综合法与分析法精品教案
【参考教案】《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》（人教A版）第一章：综合法的概念与运用1.1 教学目标1. 理解综合法的定义及特点；2. 学会运用综合法进行问题的解决。
1.2 教学内容1. 综合法的定义及特点；2. 综合法在实际问题中的应用。
1.3 教学步骤1. 引入综合法的概念，让学生了解综合法的定义及特点；2. 通过实例讲解，让学生学会运用综合法进行问题的解决；3. 练习题：让学生巩固所学内容。
第二章：分析法的概念与运用2.1 教学目标1. 理解分析法的定义及特点；2. 学会运用分析法进行问题的解决。
2.2 教学内容1. 分析法的定义及特点；2. 分析法在实际问题中的应用。
2.3 教学步骤1. 引入分析法的概念，让学生了解分析法的定义及特点；2. 通过实例讲解，让学生学会运用分析法进行问题的解决；第三章：综合法与分析法的比较3.1 教学目标1. 理解综合法与分析法的区别与联系；2. 学会根据实际情况选择合适的方法进行问题的解决。
3.2 教学内容1. 综合法与分析法的区别与联系；2. 实际问题中综合法与分析法的选择。
3.3 教学步骤1. 通过对比实例，让学生了解综合法与分析法的区别与联系；2. 讲解如何在实际问题中选择合适的方法进行问题的解决；3. 练习题：让学生巩固所学内容。
第四章：综合法与分析法在几何中的应用4.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在几何中的应用；2. 学会运用综合法与分析法解决几何问题。
4.2 教学内容1. 综合法与分析法在几何中的应用；2. 几何问题中综合法与分析法的选择。
4.3 教学步骤1. 通过几何实例，让学生了解综合法与分析法在几何中的应用；2. 讲解如何在几何问题中选择合适的方法进行问题的解决；第五章：综合法与分析法在代数中的应用5.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在代数中的应用；2. 学会运用综合法与分析法解决代数问题。
5.2 教学内容1. 综合法与分析法在代数中的应用；2. 代数问题中综合法与分析法的选择。
教学设计6：2.2.1 综合法和分析法(一)
2.2.1综合法和分析法（一）整体设计教材分析在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚．本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．教学目标1．知识与技能目标(1)理解综合法证明的概念；(2)能熟练地运用综合法证明数学问题．2．过程与方法目标(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图．3．情感、态度与价值观(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯．重点难点重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；(2)了解综合法的思考过程、特点．难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容．教学过程引入新课证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明．请同学们证明：已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动结果：(学生板书证明过程)证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.设计意图引导学生应用不等式证明以上问题，体会综合法证明的思考过程，为引出综合法的定义做准备．探究新知提出问题：请同学们回顾，你证明这道题的思维过程．活动设计：学生自由发言．教师活动：整理学生发言，得到证明上题的思维过程．首先，分析待证不等式的特点：不等式右端是3个数a，b，c乘积的四倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积，据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式两端出现相同的形式；其次，寻找转化的依据及证明中要用的知识，本题应用不等式x2＋y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据；最后，给出证明即可．(在总结证明上题思维过程的同时，向学生灌输解决问题先粗后细，先框架，后具体的思想)这样，我们可以把上题的证明过程概括为：从已知条件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性质出发，通过推理得出结论成立．活动结果：综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．设计意图让学生先表达综合法证明的特点，但他们对综合法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出综合法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到综合法的定义． 运用新知例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．思路分析：本题首先把已知条件进行语言转换，即将A ，B ，C 成等差数列转化为2B ＝A ＋C ，a ，b ，c 成等比数列转化为b 2＝ac ，接着把隐含条件显性化，将A ，B ，C 为△ABC 三个内角明确表示为A ＋B ＋C ＝π，然后寻找条件与结论的联系；利用余弦定理可以把边和角联系起来，建立边和角的关系，进而判断三角形的形状．这样，就可以尝试直接从已知条件和余弦定理出发，运用综合法来推导出结论．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ，①由A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 点评：在证明数学命题时，经常要把已知条件进行语言转换，把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要把命题中的隐含条件显性化，然后寻找条件与结论的联系，最后运用综合法来推导结论．巩固练习设a ＋b >0，n 为偶数，证明b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b. 证明：b n -1a n ＋a n -1b n －1a －1b ＝(a n －b n )(a n -1－b n -1)(ab )n， (1)当a >0，b >0时，(a n －b n )(a n －1－b n －1)≥0，(ab )n >0，所以(a n －b n )(a n -1－b n -1)(ab )n ≥0，故b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b. (2)当ab 为负值时，不妨设a >0，b <0，由于a ＋b >0，所以a >|b |.又n 是偶数，所以(a n －b n )(a n －1－b n －1)>0.又(ab )n >0，故(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n >0，即b n -1a n ＋a n -1b n >1a ＋1b .综合(1)(2)可知，b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b成立． 理解新知(1)由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”．(2)框图表示P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论．2.如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．证明SO ⊥平面ABC .思路分析：从已有的定义、定理、公理出发，推出要证的结论．证明：由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA ，连接OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC . 又因为△SBC 与△ABC 全等，故有SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2.所以△SOA 为直角三角形，所以SO ⊥AO .又AO ∩BO ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .点评：让学生进一步熟悉综合法证明的思维过程与特点，学习综合法证明的规范证明过程，同时熟悉综合法证明的操作流程图．巩固练习已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋c)≥4. 证明：由于a ，b ，c ∈R ＋，则(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋c )＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝1＋b ＋c a ＋1＋a b ＋c＝2＋(b ＋c a ＋a b ＋c)≥2＋2b ＋c a ·a b ＋c＝4. 变练演编已知x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 思路分析：抓住要证明式子的结构特征，合理运用均值不等式，用综合法证明上述不等式．证明：由于x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，则b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2＝b a x 2＋c a x 2＋c b y 2＋a b y 2＋a cz 2＋b c z 2＝(b a x 2＋a b y 2)＋(c a x 2＋a c z 2)＋(c b y 2＋b cz 2)≥2xy ＋2xz ＋2yz ＝2(xy ＋xz ＋yz )， 所以有b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 点评：学会结合条件及所证的结论，寻找到解决问题所需的知识，充分体会综合法证明不等式的方法，规范解题步骤．达标检测1．综合法：(1)一般的，利用____________，经过____________最后________，这种证明方法叫做综合法．2．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c ·log b c ＝4，则下列各式中，一定正确的是( )A ．ac ≥bB ．ab ≥cC ．bc ≥aD ．ab ≤c【答案】1.已知条件和某些数学定义，公理，定理 一系列的推理论证 推导出证明的结论成立2.B课堂小结1．综合法证明是证明题中常用的方法．从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论．2．综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．3．综合法可用于证明与函数、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题． 基础练习1．△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos A ＝cos C ，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由3b ＝23a sin B 3sin B ＝23sin A sin B sin A ＝32A ＝π3或2π3. 由cos A ＝cos C A ＝C ，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝C ＝π3＝B .所以△ABC 为等边三角形． 拓展练习⇒⇒⇒2．已知函数f (x )＝x 2＋2x＋a ln x (x >0)，f (x )的导函数是f ′(x )．对任意两个不相等的正数x 1、x 2，证明当a ≤0时，f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)． 证明：由f (x )＝x 2＋2x＋a ln x ， 得f (x 1)＋f (x 2)2＝12(x 21＋x 22)＋(1x 1＋1x 2)＋a 2(ln x 1＋ln x 2) ＝12(x 21＋x 22)＋x 1＋x 2x 1x 2＋a ln x 1x 2. f (x 1＋x 22)＝(x 1＋x 22)2＋4x 1＋x 2＋a ln x 1＋x 22， ∵x 1≠x 2且都为正数，有12(x 21＋x 22)>14[(x 21＋x 22)＋2x 1x 2]＝(x 1＋x 22)2. ① 又(x 1＋x 2)2＝(x 21＋x 22)＋2x 1x 2>4x 1x 2，∴x 1＋x 2x 1x 2>4x 1＋x 2. ② ∵x 1x 2<x 1＋x 22，∴ln x 1x 2<ln x 1＋x 22. ∵a ≤0，∴a ln x 1x 2>a ln x 1＋x 22. ③ 由①、②、③得f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)． 设计说明本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法——综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力；并能用综合法证明数列、几何等有关内容．本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路，与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力．。
综合法和分析法(公开课教案)
综合法和分析法(公开课教案)第一章：综合法的介绍1.1 教学目标：了解综合法的定义和应用范围。
掌握综合法的步骤和技巧。
1.2 教学内容：综合法的定义和意义。
综合法的应用领域，如科学研究、工程设计等。
综合法的步骤，包括问题定义、信息收集、方案设计等。
综合法的技巧，如图表制作、数据分析等。
1.3 教学方法：讲授法：介绍综合法的定义、应用领域和步骤。
案例分析法：分析实际案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论综合法的技巧和难点。
1.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第二章：分析法的介绍2.1 教学目标：了解分析法的定义和应用范围。
掌握分析法的步骤和技巧。
2.2 教学内容：分析法的定义和意义。
分析法的应用领域，如企业管理、市场研究等。
分析法的步骤，包括问题定义、数据收集、因素分析等。
分析法的技巧，如数据可视化、假设验证等。
2.3 教学方法：讲授法：介绍分析法的定义、应用领域和步骤。
案例分析法：分析实际案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论分析法的技巧和难点。
2.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第三章：综合法和分析法在科学研究中的应用3.1 教学目标：了解综合法和分析法在科学研究中的具体应用。
掌握相应的应用技巧和注意事项。
3.2 教学内容：综合法和分析法在科学研究中的常见应用场景。
具体的应用技巧，如数据整合、信息提炼等。
应用过程中的注意事项，如数据准确性、逻辑严密性等。
3.3 教学方法：讲授法：讲解综合法和分析法在科学研究中的应用。
案例分析法：分析具体案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论应用过程中的技巧和难点。
3.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第四章：综合法和分析法在工程设计中的应用4.1 教学目标：了解综合法和分析法在工程设计中的具体应用。
综合法和分析法 说课稿 教案 教学设计
直接证明与间接证明一、教学目标：知识与技能：1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2.了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点难点：分析法和综合法的思考过程、特点三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新1. 已知“若，且，则”，试请此结论推广猜想.（答案：若，且，则）2. 已知，，求证：.先完成证明→ 讨论：证明过程有什么特点？3如何证明基本不等式.（讨论→ 板演→ 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）(二) 典例解析例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）→ 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.跟踪练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）跟踪练习：（1）为锐角，且，求证：. （提示：算）（2）已知求证：3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.例3：求证.讨论：能用综合法证明吗？→ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→板演证明过程（注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因.跟踪练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.先讨论方法→ 分别运用分析法、综合法证明.出示例4：见教材P48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）出示例5：见教材P49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）跟踪练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；五、小结比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）。
综合法与分析法.-教案
综合法与分析法一、教材分析：《综合法与分析法》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．二、教学目标：1、知识与技能：(1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．(2)了解综合法和分析法的思维过程和特点．2、过程与方法：(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3、情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．三、教学重点： 综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤。
四、教学难点： 综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题。
五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：本节知识点数学是证明中的一种特别方法，它需要学生具备一定的方向思维，执果索因，具备一定的逻辑推理能力，由于逻辑的转换存在困难，大部分学生对于本节课要学习的证明方法还存在一定逻辑推理上的欠缺，还需要老师逐步讲解和引导。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究、讲练结合法七、教学过程一， 1、自主导学： 复习引入回顾不等式：⑴(),02a a b b ≥>+的证明过程；证明：因为222a b a b ab +=+≥=所以2a b +≥=a b =等号成立⑵222a b ab +≥，(,)a b R ∈的证明过程；因为2222()0a b ab a b +-=-≥所以 222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立。
2、合作探究（1）分组探究： 例1．已知 ,,0,a b c ＞且不全相等，求证：222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++＞证明：222,0b c bc a +≥＞，所以22()2a b c abc +≥ ①因为222,0c a ac b +≥＞，所以 22()2b c a abc +≥ ②因为222,0a b ab c +≥＞，所以 22()2c a b abc +≥ ③由于，,,a b c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得 222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++＞（2）教师点拨：观察上述证明方法我们可以得到综合法的概念：所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证明的不等式。
教学设计8：2.2.1 综合法与分析法
2.2.1 综合法与分析法教学目标1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． 知识链接1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？ 答 要证a ＋b 2≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．教学导引1．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P 表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q3．分析法(1)定义：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明方法叫做分析法．(2)框图表示：用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件课堂讲义要点一 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4. 证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b＋1≥2＋2b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法．跟踪演练1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形． 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪演练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明 要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )．由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明 要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立． 规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.当堂检测1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y 【答案】D【解析】∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14， 则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2【答案】C【解析】根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明 因为1log b a＝log a b ，所以 左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋lo g 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)． 证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3， 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．。
《综合法分析法》教案
教学内容及流程教学内容及流程例4：已知a,b是正整数,求证:a ba bb a+≥+.证明: 要证a ba bb a+≥+成立，只需证()a ab b ab a b+≥+成立，即证()()()a b ab a b ab a b+-+≥+.即证a b ab ab+-≥也就是要证2a b ab+≥,即()0a b-≥.该式显然成立,所以a ba bb a+≥+.抽象概括：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法.特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步推理找寻充分条件，解题思路执果索因，较易分析，但表达过程叙述繁琐，文辞冗长.三、应用（设计意图：让学生体会在实际解题时综合法和分析法的灵活应用，培养学生应用所学知识、方法解决实际问题的能力）1.用综合法写例3证明：由a b≠，知2()0a b->，即2220a ab b-+>，则22a ab b ab-+>．又0a b+>，则22()()()a b a ab b ab a b+-+>+，即3322a b a b ab+>+．实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是比较少的．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它．对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用.2.如图2，在长方体1111ABCD A B C D-中，11A D A =所以有平面1A BD ∥平面从上面的两例可以看出，分析法的基本思路是：从“未知”看“需知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．同学们可以在学习过程中，沿着这样的解题思路，亲自体验一下分析法在立几证明中的妙用。
公开课教案教学设计课件综合法与分析法
第二章第2节直接证明与间接证明一、综合法与分析法课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。
3．综合法是从推导到的方法。
而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。
综合法是由导，分析法是执索。
三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+，求证：例2．已知a,b∈R+，求证：例3.已知a,b,c∈R，求证（I）课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f 则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．21,2-或D ．21,2或 2．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππ C ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27- 4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ）A ．x y 2sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+yc x a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
综合法和分析法(公开课教案)
综合法和分析法课时安排：每章25分钟，共125分钟教学目标：1. 让学生理解综合法和分析法的概念及应用。
2. 培养学生运用综合法和分析法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维和判断能力。
教学方法：1. 讲授法：讲解综合法和分析法的原理及运用。
2. 案例分析法：分析实际案例，让学生深入理解综合法和分析法。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
教学内容：第一章：综合法概述1.1 综合法的定义1.2 综合法的应用领域1.3 综合法的优势和局限性第二章：分析法概述2.1 分析法的定义2.2 分析法的应用领域2.3 分析法的优势和局限性第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 综合法与分析法的区别3.2 综合法与分析法的联系3.3 综合法与分析法在实际应用中的选择第四章：综合法在解决问题中的应用4.1 综合法解决问题的步骤4.2 综合法在案例中的应用4.3 综合法解决问题的注意事项第五章：分析法在解决问题中的应用5.1 分析法解决问题的步骤5.2 分析法在案例中的应用5.3 分析法解决问题的注意事项教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。
2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，检验学生对综合法和分析法的理解程度。
3. 课堂问答：通过提问，了解学生对教学内容的掌握情况。
教学资源：1. PPT课件：展示综合法和分析法的原理、案例及应用。
2. 案例材料：提供实际案例，供学生分析和讨论。
3. 参考书籍：为学生提供更多的学习资料，加深对综合法和分析法的理解。
教学建议：1. 在讲解综合法和分析法时，举例生动、贴近实际，激发学生的兴趣。
2. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。
3. 注重课后作业的布置和批改，及时了解学生对教学内容的掌握情况。
4. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
第六章：综合法在自然科学中的应用6.1 自然科学中综合法的典型应用案例6.2 综合法在自然科学研究中的作用与意义6.3 综合法在自然科学中的局限性与挑战第七章：分析法在社会科学中的应用7.1 社会科学中分析法的典型应用案例7.2 分析法在社会科学研究中的作用与意义7.3 分析法在社会科学中的局限性与挑战第八章：综合法与分析法在工程领域的应用8.1 工程领域中综合法的应用案例8.2 工程领域中分析法的应用案例8.3 综合法与分析法在工程领域的结合应用第九章：综合法与分析法在医学领域的应用9.1 医学领域中综合法的应用案例9.2 医学领域中分析法的应用案例9.3 综合法与分析法在医学领域的结合应用第十章：综合法与分析法在商业领域的应用10.1 商业领域中综合法的应用案例10.2 商业领域中分析法的应用案例10.3 综合法与分析法在商业领域的结合应用教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。
1[1].2综合法与分析法 教案(北师大版选修2-2)
![1[1].2综合法与分析法 教案(北师大版选修2-2)](https://img.taocdn.com/s3/m/20e31714b52acfc789ebc93c.png)
§2 综合法与分析法2．1综合法2．2分析法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生分析综合法和分析法的思考过程与特点；(2)简单运用综合法与分析法解决具体的数学问题．2．过程与方法结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程．3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯；(2)通过本节的学习和运用实践，体会数学问题解决过程中的思维方式．●重点难点重点：(1)了解综合法与分析法的思考过程和特点；(2)运用综合法与分析法证明数学问题．难点：对综合法与分析法的思考过程和特点的概括．教学时要结合学生已学过的数学知识，通过实例充分暴露学生解决问题时的思维过程及形成原因，再通过不同实例概括两种方法的思考特点，从而揭示综合法与分析法的含义，使重点突出，难点化解．(教师用书独具)●教学建议在以前的学习中，学生已积累了较多的综合法、分析法证明数学问题的经验，但这些经验是零散的，不系统的．由此，借助学生熟悉的数学实例，引导学生归纳总结两种方法的特点，促使他们形成对两种方法的较完整认识．所以本节课宜采取自主探究与师生交流相结合的教学模式，充分暴露学生思维，总结共性，形成规律．●教学流程创设问题情境，引出问题：证明以下命题，并归纳思考过程和特点(给出例1、例2)⇒学生探究后，师生交流，通过分析、比较归纳、概括，得出综合法、分析法的定义.⇒进一步引导学生揭示综合法与分析法的操作流程.⇒通过例1及变式训练完善综合法.⇒通过例2及互动探究完善分析法.⇒通过例3及变式训练巩固两种方法，并理清两种方法的区别与联系.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x ，y 满足x ＋y ＝1，求证：2x ＋2y ≥2 2.证明：因为x ＋y ＝1，所以2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝22，故2x ＋2y ≥22成立． 1．本题的条件和结论是什么？【提示】 条件：x ＋y ＝1；结论：2x ＋2y ≥2 2. 2．本题的证明顺序是什么？【提示】 从已知利用基本不等式到待证结论．从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接【问题导思】证明不等式：3＋22<2＋7成立，可用下面的方法进行． 证明：要证明3＋22<2＋7， 由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7， 显然6<7成立．∴3＋22<2＋7成立． 1．本题证明从哪里开始？【提示】 从结论开始． 2．证题思路是什么？【提示】 从结论开始，寻求每一步成立的充分条件． 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法.设a ，b ，c >0，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .【思路探究】 注意到不等式左、右两边的特征，只需利用“bc a ＋ac b ≥2bc a ·acb＝2c ”，就可将左、右两边的形式化异为同．【自主解答】 因为bc a ＋ac b ≥2bc a ·acb＝2c ，ac b ＋ab c ≥2ac b ·ab c ＝2a ，ab c ＋bc a ≥2ab c ·bc a＝2b ，将以上三个不等式左、右分别相加，得：2(bc a ＋ac b ＋ab c )≥2a ＋2b ＋2c ，即bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .1．应用综合法解决问题时，应充分分析条件和结论之间的异同点，然后合理选择相关定义、定理、公式等已知结论化异为同将条件向结论转化．2．综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到问题的解决．综合法广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法．一般说来，当题目已知条件中因果关系较清晰时，可正向思考，由因索果，用综合法解决．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.【证明】 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．【自主解答】 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，故只需证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即证a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a)＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a )，只需证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a 2)，即证a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．1．本题观察到已知条件简单(a >0)，而证明的结论 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2比较复杂，这时我们一般采用分析法．2．分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．将本例的条件改为“a ＋b >0”，结论改为“a 2＋b 2≥22(a ＋b )”．【证明】 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥[22(a ＋b )]2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，所以a 2＋b 2≥2(a ＋b )成立.，B ，C的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【思路探究】 本题可从结论入手用分析法求解，也可从条件入手用综合法证明． 【自主解答】 法一 (分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二 (综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°.所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边加ab ＋bc ，得 c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以(c a ＋b ＋1)＋(ab ＋c ＋1)＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法和分析法各有优缺点．从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长．也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lg c . 【证明】 因为a >1，b >1，故要证log a c ＋log b c ≥4lg c ，则只需证lg c lg a ＋lg clg b≥4lg c .又因为c >1，所以lg c >0，故只需证1lg a ＋1lg b ≥4，即lg a ＋lg b lg a ·lg b≥4，又因为ab ＝10，所以lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝1，故只需证1lg a ·lg b≥4，(*)又因为lg a >0，lg b >0，所以0<lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b 2)2＝(12)2＝14，即(*)式成立．所以原不等式成立，即log a c ＋log b c ≥4lg c .化归与转化思想在证明题中的应用(12分)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形.【思路点拨】 将A 、B 、C 成等差数列，转化为符号语言就是2B ＝A ＋C ；A 、B 、C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A ＋B ＋C ＝π；a 、b 、c 成等比数列，转化为符号语言就是b 2＝ac .再结合余弦定理进行求解即可．【规范解答】 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①2分 ∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，∴A ＋B ＋C ＝π.②由①②得，B ＝π3.③4分由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④6分 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .8分 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac . 即(a －c )2＝0，因此a ＝c .9分 从而有A ＝C .⑤10分由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形.12分1．本题中欲判断△ABC 的形状，可考虑从三角形中的角(或边)入手分析，这就要将条件中的边角相互转化，从而使问题得以解决．2．解答数学问题时，应充分分析题目的条件和结论，并在此基础上找到条件与结论的差异，然后展开联想，联想有关的数学定理、公式等，最后选择合理的依据和手段化异为同．1．综合法证明问题的步骤第一步：分析条件、选择方向，仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件、组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：统览全题，要点检查，解题后注意对整个题的检查，反思总结解题方法的选取． 2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略.1．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a ＋1a >b ＋1b D.2a ＋b a ＋2b >a b【解析】 ∵a >b >0，∴1b >1a >0，∴a ＋1b >b ＋1a.【答案】 A2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2【解析】 欲证2－3<6－7，即证2＋7<3＋6，因两边皆为正数，故只需证(2＋7)2<(3＋6)2.【答案】 C3．已知a ，b ，x 均为正数，且a >b ，则b a 与b ＋xa ＋x的大小关系为________．【解析】 ∵b (a ＋x )－a (b ＋x )＝ab ＋bx －ab －ax ＝x (b －a )，∵a ，b ，x 均为正数，a >b ， ∴x (b －a )<0.∴b (a ＋x )<a (b ＋x )．即b a <b ＋xa ＋x.【答案】 b a <b ＋xa ＋x4．设a >0，b >0且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 【证明】 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2， 只需证a 3＋b 3－a 2b －ab 2>0， 只需证a 2(a －b )＋b 2(b －a )>0， 只需证(a －b )·(a 2－b 2)>0， 只需证(a －b )2(a ＋b )>0， 又a >0，b >0，a ≠b ， 故(a －b )2>0，a ＋b >0， 不等式显然成立.一、选择题 1．(2013·济南高二检测)若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( ) A ．x >0，y >0 B ．x <0，y <0 C ．x >0，y <0 D ．x <0，y >0【解析】 ∵xy >1>0，∴x ，y 同号，又x ＋y ≥0，故x >0，y >0. 【答案】 A2．在不等边三角形中，a 为最长边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2【解析】 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0知b 2＋c 2－a 2<0，即a 2>b 2＋c 2.【答案】 C3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 ∵a 2＋b 2－1－a 2b 2＝(a 2－a 2b 2)＋(b 2－1) ＝a 2(1－b 2)＋(b 2－1)＝(a 2－1)(1－b 2) ＝－(a 2－1)(b 2－1) 故选D.【答案】 D4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定 【解析】 要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a (a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小， 即比较0与12的大小，而0＜12. 故P ＜Q 成立． 【答案】 C5．已知函数f (x )＝(12)x ，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b)，(a ＞0，b ＞0)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A【解析】 由于a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b，又函数f (x )＝(12)x 在R 上为减函数，故f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)．【答案】 A 二、填空题6．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证______，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．【解析】 分析法就是要证结论成立的充分条件．即应填：a 2＋b 2－2ab ≥0，(a －b )2≥0，(a －b )2≥0.【答案】 a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥07．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log 2xy＝________.【解析】 原等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝(x －2y )2，即(x y )2－5(x y )＋4＝0，解得xy＝4或1(舍)， 故log 2xy＝log 24＝4.【答案】 48．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________．【解析】 由题意得a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b )＝10＋(9a b ＋b a )≥10＋29＝16，当且仅当9a b ＝ba且1a ＋9b＝1，即a ＝4，b ＝12时，等号成立． ∴a ＋b 的最小值为16，∴要使a ＋b ≥μ恒成立，只需μ≤16. 【答案】 0＜μ≤16 三、解答题9．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y)≥9.【证明】 法一 ∵x ＋y ＝1，∴(1＋1x )(1＋1y )＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy)＝5＋2(y x ＋x y)． 又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＞0，xy＞0.∴y x ＋xy≥2， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时取等号．则有(1＋1x )(1＋1y)≥5＋2×2＝9成立．法二 ∵x ＞0，y ＞0,1＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立，∴xy ≤14.则有(1＋1x )(1＋1y )＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy≥1＋8＝9成立．10．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－aca< 3.【证明】 ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，要证原不等式成立，只需证b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，即证(a ＋c )2－ac <3a 2，即证(a －c )(2a ＋c )>0，∵a －c >0,2a ＋c ＝(a ＋c )＋a ＝a －b >0， ∴(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 【证明】 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立.(教师用书独具)已知：a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .【思路探究】 先利用对数的运算将不等式化简后，再结合基本不等式证明．【自主解答】 要证明log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x [(a ＋b )2·(b ＋c )2·(a ＋c )2]<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式知a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.∵a ，b ，c 不全相等，上面三式相乘， a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2> a 2b 2c 2＝abc ， 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．1．解决本题的关键是分析出结论中不等式的复杂之处在于带有对数符号，故应先将其化去．2．在具体问题的解答中，能否合理分析条件、结论，并将条件与结论之间沟通联系起来，是解题的关键．是否存在常数c ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤x x ＋2y ＋y2x ＋y对任意正数x ，y 恒成立？试证明你的结论．【证明】 令x ＝y ＝1，得23≤c ≤23，∴c ＝23.先证明x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，因为x >0，y >0，要证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，只需证3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y )， 即x 2＋y 2≥2xy ，这显然成立，∴x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23. 再证x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23，只需证3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )， 即2xy ≤x 2＋y 2，这显然成立．∴x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23. ∴存在常数c ＝23，使对任何正数x ，y 都有x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23≤x x ＋2y ＋y2x ＋y成立．。
(完整版)数学：2..2..1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)
数学：2.2.1《综合法和分析法》教案教学目标：<一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
<二）过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；<三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
第一课时 2.2.1 综合法和分析法<一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知“若，且，则”，试请此结论推广猜想.<答案：若，且，则）2. 已知，，求证：.先完成证明→ 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2> + b(c2 + a2> + c(a2 + b2> > 6abc.tFAx82mkCG分析：运用什么知识来解决？<基本不等式）→ 板演证明过程<注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.tFAx82mkCG框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.tFAx82mkCG分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件<内角和）2. 练习：①为锐角，且，求证：. <提示：算）② 已知求证：3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.tFAx82mkCG三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，. <教材P100 练习 1题）<两人板演→ 订正→ 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. 的三个内角成等差数列，求证：.3. 作业：教材P102 A组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法<二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式.<讨论→ 板演→ 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证.讨论：能用综合法证明吗？→ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 <注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件<已知条件、定理、定义、公理等）为止.tFAx82mkCG框图表示：要点：逆推证法；执果索因.③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.先讨论方法→ 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？<从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？<从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面<指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.tFAx82mkCG提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .tFAx82mkCG3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析>，从“已知”推“可知”<综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. <框图示意）tFAx82mkCG三、巩固练习：1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.略证：正弦、余弦定理代入得：，即证：，即：，即证：<成立）.2. 作业：教材P100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？<原因：偶次）2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？tFAx82mkCG3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。
【参考教案】《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》（人教A版）第一章：综合法的概念与特点1.1 教学目标1. 了解综合法的定义和基本特点2. 掌握综合法在数学问题中的应用1.2 教学内容1. 综合法的定义与基本原理2. 综合法在数学问题求解中的应用案例1.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法的应用2. 讲解：详细阐述综合法的定义、特点及应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些应用综合法的问题1.4 教学评价1. 判断学生对综合法定义和特点的理解程度2. 评估学生在实际问题中应用综合法的熟练程度第二章：分析法的概念与特点2.1 教学目标1. 了解分析法的定义和基本特点2. 掌握分析法在数学问题中的应用2.2 教学内容1. 分析法的定义与基本原理2. 分析法在数学问题求解中的应用案例1. 引入：通过实例让学生感受分析法的应用2. 讲解：详细阐述分析法的定义、特点及应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些应用分析法的问题2.4 教学评价1. 判断学生对分析法定义和特点的理解程度2. 评估学生在实际问题中应用分析法的熟练程度第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 教学目标1. 理解综合法与分析法的区别与联系2. 能够根据问题特点选择合适的方法求解3.2 教学内容1. 综合法与分析法的区别与联系2. 不同类型问题中综合法与分析法的应用选择3.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法的不同应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法的区别与联系3. 练习：让学生自主尝试解决一些需要选择合适方法的问题3.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法区别与联系的理解程度2. 评估学生在实际问题中选择合适方法的熟练程度第四章：综合法与分析法在几何问题中的应用1. 掌握综合法与分析法在几何问题中的应用2. 能够解决一些常见的几何问题4.2 教学内容1. 几何问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见几何问题求解方法的探讨4.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在几何问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在几何问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些几何问题4.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在几何问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际几何问题中应用综合法与分析法的熟练程度第五章：综合法与分析法在代数问题中的应用5.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在代数问题中的应用2. 能够解决一些常见的代数问题5.2 教学内容1. 代数问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见代数问题求解方法的探讨5.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在代数问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在代数问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些代数问题5.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在代数问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际代数问题中应用综合法与分析法的熟练程度第六章：综合法与分析法在物理问题中的应用6.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在物理问题中的应用2. 能够解决一些常见的物理问题6.2 教学内容1. 物理问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见物理问题求解方法的探讨6.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在物理问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在物理问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些物理问题6.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在物理问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际物理问题中应用综合法与分析法的熟练程度第七章：综合法与分析法在化学问题中的应用7.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在化学问题中的应用2. 能够解决一些常见的化学问题7.2 教学内容1. 化学问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见化学问题求解方法的探讨7.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在化学问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在化学问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些化学问题7.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在化学问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际化学问题中应用综合法与分析法的熟练程度第八章：综合法与分析法在生物问题中的应用8.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在生物问题中的应用2. 能够解决一些常见的生物问题8.2 教学内容1. 生物问题中综合法与分析法的应用案例2. 常见生物问题求解方法的探讨8.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在生物问题中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在生物问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些生物问题8.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在生物问题中应用的理解程度2. 评估学生在实际生物问题中应用综合法与分析法的熟练程度第九章：综合法与分析法在实际生活中的应用9.1 教学目标1. 掌握综合法与分析法在实际生活中的应用2. 能够解决一些实际生活中的问题9.2 教学内容1. 实际生活中综合法与分析法的应用案例2. 常见实际问题求解方法的探讨9.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生感受综合法与分析法在实际生活中的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在实际问题中的具体应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些实际问题9.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法在实际生活中应用的理解程度2. 评估学生在实际生活中应用综合法与分析法的熟练程度第十章：总结与拓展10.1 教学目标1. 总结综合法与分析法的应用及其重要性2. 拓展学生对综合法与分析法在不同领域中应用的认识10.2 教学内容1. 回顾本节课所学内容，总结综合法与分析法的应用2. 探讨综合法与分析法在不同领域的拓展应用10.3 教学过程1. 引入：通过实例让学生回顾所学内容，总结综合法与分析法的应用2. 讲解：详细阐述综合法与分析法在不同领域的拓展应用3. 练习：让学生自主尝试解决一些涉及不同领域的实际问题10.4 教学评价1. 判断学生对综合法与分析法应用的总结理解程度2. 评估学生在实际问题中应用综合法与分析法的熟练程度重点解析本文主要介绍了综合法和分析法的概念、特点以及在数学、几何、代数、物理、化学、生物等领域的应用。
综合法与分析法精品教案
只需证明 B1 为真，从而有……
这只需证明 B2 为真，从而又有……
…… 这只需证明 A 为真． 而已知 A 为真，故命题 B 必为真． 要理解上述格式中蕴含的逻辑关系． [投影] 例 3 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下
同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．
【字幕】练习 1．求证 (ac bd )2 (a2 b2 )(c2 d 2 )
2．求证：
1
a2 a2
1 1
1.
设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学． 【分析归纳、小结解法】 （教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方 法． （学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记． 1．分析法是证明不等式的一种常用基本方法．当证题不知从何入手时，有时可以运用 分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的． 2．用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证 题格式． 设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法． （三）小结 （教师活动）教师小结本节课所学的知识． （学生活动）与教师一道小结，并记录笔记． 本节课主要学习了用分析法证明不等式．应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技 巧： 通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等．在使用这些技巧变形 时，要注意遵循不等式的性质．另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中 的灵活运用．理解分析法和综合法是对立统一的两个方面．有时可以用分析法思索，而用 综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程． 设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识． （四）布置作业 1．课本作业： 4、5．
【参考教案】《综合法和分析法》(人教A版)
【参考教案】《综合法和分析法》（人教A版）章节一：综合法的概念与运用1. 教学目标：让学生理解综合法的定义，掌握综合法的运用方法，能够运用综合法解决问题。
2. 教学内容：介绍综合法的定义、特点和运用方法。
通过例题讲解综合法在实际问题中的应用。
3. 教学过程：a) 引入综合法的概念，解释综合法的定义和特点。
b) 通过示例题目，讲解综合法的运用步骤和方法。
c) 让学生练习综合法解题，并提供解答和解析。
章节二：分析法的概念与运用1. 教学目标：让学生理解分析法的定义，掌握分析法的运用方法，能够运用分析法解决问题。
2. 教学内容：介绍分析法的定义、特点和运用方法。
通过例题讲解分析法在实际问题中的应用。
3. 教学过程：a) 引入分析法的概念，解释分析法的定义和特点。
b) 通过示例题目，讲解分析法的运用步骤和方法。
c) 让学生练习分析法解题，并提供解答和解析。
章节三：综合法与分析法的比较1. 教学目标：让学生理解综合法和分析法的区别与联系，能够根据实际情况选择合适的解题方法。
2. 教学内容：介绍综合法和分析法的区别与联系。
通过对比例题，展示综合法和分析法在不同情况下的应用。
3. 教学过程：a) 讲解综合法和分析法的区别与联系。
b) 通过对比示例题目，展示综合法和分析法在不同情况下的应用。
c) 让学生进行实践练习，选择合适的解题方法，并提供解答和解析。
章节四：综合法和分析法在几何中的应用1. 教学目标：让学生掌握综合法和分析法在几何问题中的应用，能够灵活运用综合法和分析法解决几何问题。
2. 教学内容：介绍综合法和分析法在几何问题中的应用。
通过几何例题，讲解综合法和分析法在解决几何问题时的运用方法。
3. 教学过程：a) 讲解综合法和分析法在几何问题中的应用。
b) 通过几何例题，讲解综合法和分析法在解决几何问题时的运用方法。
c) 让学生练习解决几何问题，运用综合法和分析法，并提供解答和解析。
章节五：综合法和分析法在代数中的应用1. 教学目标：让学生掌握综合法和分析法在代数问题中的应用，能够灵活运用综合法和分析法解决代数问题。
综合法和分析法教案
综合法和分析法教案教学要求：结合已经学过的数学实例，了解证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：分别掌握分析法和综合法思考过程，会利用两种方法解决具体问题。
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 解决上节课遗留下来的问题2. 提问：上节课的知识要点二、讲授新课：1. 教学例题：(1).如图，在等腰∆ABC 的两腰AB 即AC 上，分别取两点D 及E ，使AD=AE ，F 为BE 与CD 的交点，证明FB=FC 。
注：由上例题目可以看出，在分析个过程中思路是非常重要的，只要有了正确的清晰的分析思路，就可以按照分析的推理模式，逐步将分析的过程写出来。
同时也正确完成证明。
（不访写看看！）(2).计算曲边梯形的面积：微积分中的“元素法”如图所示，在曲 边 梯形AabB 中，任取一个小曲边梯形CEFD （即“元”），它的=，(3). 练习1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点(4).提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.(5) .练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. (6) .出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）(7). 出示例3：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法(8).提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因. (9). 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.2. 练习：1.,A B 为锐角，且tan tan 3tan tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +）2. 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P xx 练习 x 题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.作业：教材P x 页1题.。
综合法和分析法精品教案
综合法和剖析法【教材剖析】综合法与剖析法作为高中数学中常用的两种基本方法，向来被学生所熟习和应用，经过这节课的学习，学生将对这两种方法的掌握更为系统。
同时也复习了相关的其余数学知识。
【教课目的】知识目标：让学生理解剖析法与综合法的观点并可以应用。
能力目标：提升证明问题的能力。
感情、态度、价值观：养成言之有理论证有据的习惯。
【教课重难点】教课要点：让学生理解剖析法与综合法的观点并可以应用。
教课难点：提升证明问题的能力。
【教课方法】研究法【课时安排】1课时【教课过程】一、例题分析例 1．已知 a，b∈R+，求证：例 2．已知 a，b∈R+，求证：例3．已知a，b，c∈R，求证（I ）二、练习与提升s i nx2 , 1 x 0;f ( a) 2, 则 a 的所有可能值为1 ．函数 f ( x) ，若 f (1)e x 1, x 0（）A ．1B ．2 C ．1,或2 D ． 1,或222 22．函数 y xcos x sin x 在以下哪个区间内是增函数（）A ．( ,3)B ．(,2)2 2C ．(3 ,5)D ．(2,3)2 23．设 a,b R , a 22b 26, 则 a b的最小值是（）A ． 22B ．5 3 C ．－373D ．24．以下函数中，在 (0, ) 上为增函数的是（ ）A ． y sin 2 xB ． y xe xC ． y x 3 xD ． yln(1 x) x5．设a,b, c三数成等比数列，而 a c ）x, y 分别为 a, b 和 b,c 的等差中项，则（xyA ． 1B ． 2C． 3D．不确立6．已知实数 a 0 ，且函数 f ( x)a( x 2 1) (2x1) 有最小值 ，则 a =__________。
a17．已知 a, b 是不相等的正数， xa b, ya b ，则x, y的大小关系是 _________。
28．若正整数 m 知足 10m 1 251210m，则 m ______________(lg 20.3010)9．设 f ( x)sin(2x)(0), f ( x) 图像的一条对称轴是 x8 。
2.2.1综合法与分析法 教案-精选文档
综合法与分析法
一、教材分析
综合法与分析法作为高中数学中常用的两种基本方法，一直被学生所熟悉和应用，通过这节课的学习，学生将对这两种方法的掌握更加系统。
同时也复习了有关的其他数学知识。
二、教学目标
知识目标：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用。
能力目标：提高证明问题的能力。
情感、态度、价值观：养成言之有理论证有据的习惯。
三、教学重点难点
教学重点：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用。
教学难点：提高证明问题的能力。
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
例1．已知a,b∈R+，求证：
例2．已知a,b∈R+，求证：
）
例3.已知a,b,c∈R，求证（I
七、板书设计
八、教学反思
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综合法与分析法精品教案
综合法
（第二课时）
教学目标
1.掌握综合法证明不等式；
2.熟练掌握已学的重要不等式；
3.增强学生的逻辑推理能力.
教学重点 综合法
教学难点 不等式性质的综合运用
教学方法 启发引导式
教学活动
（－）导入新课
（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评．
（学生活动）完成练习．
［字幕］
1．证明（）．
x x 222>+R x ∈
2．比较与的大小，并证明你的结论．12+x x 2
1．证法一：由，所以011)1(2)2(22-≥+-=-+x x x x x 222>+
方法二：由，知，即，所以0)1(2≥-x 01)1(2>+-x 0222>+-x x .222x x >+
2．答：.212x x >+
证法一：由，所以0)1(122)1(222≥-=+-=-+x x x x x .212x x >+ 证法二：由知，所以0)1(2≥-x 0122≥+-x x .212
x x ≥+ ［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容．（板书课题）
设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式．提出学习任务．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明，并点评证法的数学原ab b a 22
2≥+理，
（学生活动）学生研究证明不等式．
[问题]证明ab b a 222≥+ （证明：因为，所以，即．）0)(2≥-b a 0222≥+-b ab a ab b a 22
2≥+。
综合法与分析法教案
综合法与分析法教案教案标题：综合法与分析法的教学方法比较与应用教学目标：1. 了解综合法与分析法的定义、特点和适用范围；2. 掌握综合法与分析法的基本原理和操作步骤；3. 培养学生综合思考和分析问题的能力；4. 提高学生的学科知识应用能力。
教学重点：1. 理解综合法与分析法的概念及其在教学中的作用；2. 掌握综合法与分析法的基本原理和操作步骤；3. 运用综合法与分析法解决实际问题。
教学难点：1. 学生对综合法与分析法的理解和应用能力；2. 教师如何引导学生灵活运用综合法与分析法。
教学准备：1. 教师准备PPT、教学案例和相关教学资源；2. 学生准备笔记本和写作工具。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问和引入相关教学案例，激发学生对综合法与分析法的兴趣，并引发学生对这两种教学方法的初步了解。
Step 2：讲解综合法与分析法的概念及特点（10分钟）教师通过PPT讲解综合法与分析法的定义、特点和适用范围，并与学生一起讨论这两种方法在实际教学中的应用。
Step 3：介绍综合法与分析法的基本原理和操作步骤（15分钟）教师详细介绍综合法与分析法的基本原理和操作步骤，包括综合法的整合思维和综合判断能力培养，以及分析法的问题分解和逻辑推理能力培养。
Step 4：分组讨论和实践（20分钟）教师将学生分成小组，每组选择一个教学案例，运用综合法或分析法进行讨论和实践。
教师在此过程中进行指导和辅导，引导学生理解和应用这两种方法。
Step 5：汇报和总结（10分钟）每个小组向全班汇报他们的讨论和实践成果，并进行总结。
教师对学生的表现进行评价和点评，强调综合法与分析法在解决问题中的重要性和实用性。
Step 6：拓展延伸（5分钟）教师提供一些拓展资源和阅读材料，鼓励学生进一步了解和应用综合法与分析法。
Step 7：作业布置（5分钟）教师布置相关作业，要求学生运用综合法或分析法解决一个实际问题，并在下节课进行展示和讨论。
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综合法
（第二课时）
教学目标
1.掌握综合法证明不等式；
2.熟练掌握已学的重要不等式；
3.增强学生的逻辑推理能力.
教学重点 综合法
教学难点 不等式性质的综合运用
教学方法 启发引导式
教学活动
（－）导入新课
（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评．
（学生活动）完成练习．
［字幕］
1．证明（）．
x x 222>+R x ∈
2．比较与的大小，并证明你的结论．12+x x 2
1．证法一：由，所以011)1(2)2(22-≥+-=-+x x x x x 222>+
方法二：由，知，即，所以0)1(2≥-x 01)1(2>+-x 0222>+-x x .222x x >+
2．答：.212x x >+
证法一：由，所以0)1(122)1(222≥-=+-=-+x x x x x .212x x >+ 证法二：由知，所以0)1(2≥-x 0122≥+-x x .212
x x ≥+ ［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容．（板书课题）
设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式．提出学习任务．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明，并点评证法的数学原ab b a 22
2≥+理，
（学生活动）学生研究证明不等式．
[问题]证明ab b a 222≥+ （证明：因为，所以，即．）0)(2≥-b a 0222≥+-b ab a ab b a 22
2≥+。