奇偶性,周期性

函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）

“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性

f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；

③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称

（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3

x

y =在)1,1[-上不是奇函数

常用性质：

1．0)(=x f 是既奇又偶函数；

2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)

()()(x f x f x f =-=；

4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；

5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：

（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶

（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数

2)

()()(x f x f x --=

ϕ和一个偶函数

2)

()()(x f x f x -+=

ψ的和。

2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意

且

① 总有

则称

在区间M 上单调递增

② 总有则称在区间M 上单调递减

应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性

一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二） 求函数的单调区间

定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论

（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减

3. 周期性

（1）一般地对于函数

，若存在一个不为0的常数T ，使得

内一切值时

总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期

（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。 注：常用结论

（1）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期（自己证明） （2）若定义在R 上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b 成轴对称 （a ≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。（自己证明）

（推论）若定义在R 上的偶函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期 （3）若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)

(1)(x f a x f -=+；则)(x f 是周期函数，2a 是它的一个周期

4．对称性

一、函数自身的对称性

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a －x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，

∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P （2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上， ∴ 2b －y = f (2a －x) 即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a －x) = 2b ，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0) ∵ f (x) + f (2a －x) =2b

∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。 故点P （2a －x 0，2b －y 0）也在y = f (x) 图像上， 而点P 与点P 关于点A (a ,b)对称，充分性得证。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a 对称的充要条件是

f (a +x) = f (a －x) 即f (x) = f (2a －x) （证明留给读者）

推论：函数 y = f (x)的图像关于y 轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3函数 y = f (x)的图像关于直线x = a 对称的充要条件是

f (a +x) = f (a －x) 或 f (x) = f (2a －x)

定理4.若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b 成轴对称 （a ≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。

二．不同函数对称性

定理5. 函数y = f (a+x)与y = f (b－x)的图像关于直线x = (b-a)/2成轴对称

定理6. 互为反函数的两个函数关于直线y=x对称

【典型例题】

[例1] 判断下列函数奇偶性

（1）（且）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）且

∴奇函数

（2），关于原点对称

∴奇函数

（3），关于原点对称

∴既奇又偶

（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶（5）且，关于原点对称

∴为偶函数

[例2]（1），为何值时，为奇函数；

（2）

为何值时，为偶函数。

答案：（1）