时间序列分析方法 第11章 向量自回归

11.1.1 向量自回归模型的条件似然函数 假设表示一个包含时间时个变量的的向量。假设的动态过程可以由 下面的阶高斯向量自回归过程： ， 假设我们已经在个时间间隔中观测到这些个变量的观测值。如同标 量过程时的情形，最简单的方法是将前个样本(表示为)做为条件，然后 利用后面的个样本(表示为)形成参数估计。我们的目的是构造下面的条 件似然函数： 这里参数向量为，我们在上述函数中相对于参数进行极大化。一般 情形下，向量自回归模型是在条件似然函数基础上，而不是在无条件似 然函数基础上进行估计的。为了简单起见，我们将上述“条件似然函 数”称为“似然函数”，相应的“条件极大似然估计”称为“极大似然估计”。 向量自回归与标量自回归过程的似然函数的计算方法是类似的。基 于时刻以前观测值，时刻的值等于常数向量：，加上一个多元正态分布 的随机向量，因此条件分布为： 我们可以将上述条件分布表示成为更为紧凑的形式。假设向量是常 数向量和滞后值向量构成的综合向量： 这是一个维数为的列向量。假设表示下述维矩阵： 这时条件均值可以表示为，的第行包含VAR模型第个方程中的参 数。使用这样的符号，我们可以把条件分布表示成为紧凑形式： 因此第个观测值的条件分布可以表示成为： 这是基于条件的观测值从1到的联合概率分布为： 连续叠代利用上述公式，可以获得全部样本基于的联合条件分布是 单独条件密度函数的乘积： 因此，样本对数似然函数为：
与基于和进行预测的均方误差是一样的，则称变量无法Granger影响变 量( fails to Granger-cause )。
如果我们将预测限于线性预测，则当： 则称变量无法Granger影响变量。 等价地，如果上述预测无助性成立，这时我们也称“变量在时间序列意 义上相对于变量是外生的( is exogenous in the time series sense with respect to )。
§11.2 二元Granger因果关系检验 Bivariate Granger Causality Tests
一个能够利用VAR模型处理的关键问题是如何描述一些变量预测其 他变量时的有用程度。下面我们主要分析由Granger(1969)提出的，由 Sims(1972)推广的预测两个变量之间关系的方法。
11.1.4 向量自回归模型的似然比检验 Likelihood Ratios Tests
为了实施似然比检验，我们需要计算极大似然函数的具体数值，为 此，我们考虑：
上式中的最后一项是： 代入到似然函数中，得到： 这使得似然比检验比较容易进行。假设我们希望检验的原假设是一 组变量是由具有阶滞后变量的高斯VAR模型产生，而备选假设是滞后变 量阶数为。为了在原假设下估计系统，我们对系统中的每一个变量基于 常数和所有其他变量及其阶滞后变量进行最小二乘回归，设是从这些回 归中得到的残差的方差-协方差矩阵。因此在原假设下对数似然估计的
与上述意义相同的第三种表示是：如果上述预测无助性成立，则称 关于将来的是非线性信息化的( is not linearly informative about future )。
提出如此定义的Granger观点是：如果一个事件Y是另外一个事件X 的原因，则事件Y应该发生在事件X之前。但是，即使人们从哲学角度同 意这样的观点，但在使用累积时间序列数据来实现这样的观点上遇到了 巨大的障碍。为此，我们首先需要考虑二元系统中表示Granger因果关 系的时间序列表示的机理。
极大值是： 类似，该模型系统可以利用最小二乘估计对包括所有变量阶滞后变
量进行线性估计，得到备选假设下对数似然函数的最大值是： 这里是从第二组变量集合中获得的方差-协方差矩阵。则似然比对
数的二倍可以表示为： 在原假设下，似然比统计量具有分布的渐近分布，自由度是附加在
原假设上约束的数目，系统中每个方程在原假设上的约束条件是每个变 量减少了个滞后变量，因此一个方程中的参数零约束是，因此整个VAR 模型系统的约束条件数目，因此上述似然比统计量在原假设成立时的渐 近分布是。
11.2.3 Granger因果关系的计量检验 Econometric Tests for Granger Causality
计量检验两个具体的可以观测到变量之间是否具有“变量非 Granger影响变量”的关系，都可以在上面论述的三种Granger影响关系 的意义上进行。最简单也可能是最好的方法是使用字回归方程中的下三 角指定。为了进行这样的检验，我们假设一个特殊的滞后阶数为的自回 归方程并利用OLS估计下面的方程：
11.2.1 二元Granger因果关系的定义 Definition of Bivariate Granger Causality
我们在这里分析的主要问题是一个标量随机变量对于预测另外一个 标量随机变量是否有帮助？如果没有任何帮助，则称变量没有Granger 影响变量。更为正式地，如果对所有，基于进行预测的均方误差(MSE)
如果在所有时刻股票的预期收益率是常数r，则下列一个简单的股 票价格模型成立：
这里表示股票市场参与者利用时刻t能够获得的所有信息做出的期 望。在上述公式中包含的逻辑关系是，如果投资者在时刻t获得的信息 促使他们推测股票将具有高于正常的收益率，则他们将在在时刻t购买 更多的股票。这样的购买将促使股票价格上升，直到上述公式得到满 足。这样的观点有时被称为有效市场假说。
如果满足有界性条件，则股票价格路径满足： 因此，按照有效市场假说，股票价格中包含将来所有红利现值的最 优预测。如果这个预测是基于多余所有过去红利的信息基础上的，因为 投资者企图推断红利中的变动，则股票价格将对红利产生Granger影 响。 为了比较简单地解释这一点，我们假设： 这里和和是独立的高斯白噪声序列，是均值红利。假设投资者在时 刻t知道所有的和。则基于这些信息对红利的预测是： 将这些预测值代入到股票价格的贴现公式，得到： 因此，对这个例子而言，股票价格是白噪声，因此无法在滞后股票 价格或者红利的基础上进行预测。没有序列能够对股票价格产生 Granger影响。 另一方面，注意到公式中的能够从滞后股票价格中恢复出来。 上式说明，中具有除了包含在以外的有关的信息。因此，股票价格 对红利具有Granger影响，虽然红利对股票价格没有Granger影响。因 此，二元VAR模型具有下述形式： 因此，在这个模型中，Granger影响关系体现的因果关系是按照相 反方向起作用的。红利没有对价格产生Granger影响，即使投资者对红 利的察觉是股票价格的唯一确定成分。另一方面，价格确实对红利产生 了Granger影响，虽然现实中股票的市场估价对红利过程没有任何影 响。 一般地，例如股票和利率等反应前瞻性行为的时间序列经常被认为 可以作为许多关键时间序列非常优秀的预测因子。显然这并不意味着这 些时间序列促使GDP或者通货膨胀率上升或者下降。取而代之的是，这 些时间序列的数值反应了GNP或者通货膨胀率的走势市场最优信息。对 于评价有效市场观点，或者研究市场是否考虑或者能够预测GDP或通货 膨胀率等，对这些序列的Granger影响关系检验时有帮助的，但不应该 用于推断因果性的方向。
第十一章 向量自回归
前一章我们讨论了向量随机过程的基本性质。本章我们将深入分析 向量自回归模型，这种模型更适合于估计和预测。由于Sims(1980)年在 经济中的出色运用，向量自回归模型在分析经济系统的动态性上得到了 广泛的应用。
§11.1 无限制向量自回归模型的极大似然估计和假设检验
按照时间序列模型极大似然估计方法，我们首先分析向量自回归模 型的条件似然估计。
进一步，从模型中可以获得的值为： 根据投影的叠代法则，以时刻的为基础的预测也仅仅依赖。通过归 纳，上述推断对任何步长的预测都是成立的，因此上述断言成立：如果 对所有，上述模型中的系数矩阵是下三角矩阵，则变量无法Granger影 响变量。 根据向量回归方程中的结论，我们有下面的公式成立： ， 这里是单位矩阵，，。这个表示意味着，如果对所有，矩阵是下三 角矩阵，则对所有的，基础表示中的移动平均矩阵也是下三角矩阵。因 此，如果变量无法Granger影响变量，则过程的表示为： 这里： ，， Sims (1972) 给出了Granger影响关系的另外一种启示。这样的启示 可以从下面的命题得到。 命题11.1 考虑变量依赖过去、当前和将来的线性投影： 这里系数和定义为母体投影系数，即对所有的和，有： 则“变量非Granger影响变量”的充分必要条件是： ，
我们然后对下述原假设进行F—检验： ： 根据前面的命题8.2，实施检验的一种方法是计算上述回归的残差 平方和： 将这个平方和与仅依赖进行回归的残差平方和进行比较： 这里的单变量回归方程是： 定义F—统计量为： 如果该统计量大于分布的临界值，则我们拒绝“变量非Granger影响 变量”的原假设。这就是说，当充分大的时候，我们能够得到“变量确实 Granger影响变量”的结论。 对于具有固定回归因子和高斯扰动时，上述检验统计量在原假设成 立时具有精确的F—分布，然而，如果在Granger因果回归中具有滞后相 依变量的话，那么上述检验只是渐近的。渐近的等价检验统计量为： 如果大于分布的5%临界值，则拒绝原假设“变量非Granger影响变 量”。 另外一种方法是利用基于Sims形式的检验来代替基于Granger形式 的检验。与Sims形式有关的一个问题是，其中的误差项在一般情况下是 自相关的。因此检验“，”的标准F—检验无法给出正确的答案。解决这 种问题的一种方法是可能存在自相关性的误差项进行变换，假设误差项 具有Wold表示：，在模型两端乘以逆算子：，得到： 这时上述模型中的误差项是白噪声过程，并且与其它解释变量无 关。进一步，这时也有：“对任意，”的充分必要条件是“对任意，”。 因此，对上述模型中的无限求和在某个整数q上截断，就可以利用检 验“”的F—统计量来检验原假设“变量非Granger影响变量”。 在Granger影响关系的经验检验中，人们发现检验结果对选取的滞 后阶数是比较敏感的，同时检验结果也依赖处理可能数据存在非平稳性 的方法。这些都是在使用Granger影响关系检验中应该注意的问题。
11.1.2 的极大似然估计
我们首先考虑的极大似然估计，它包含常数向量和自回归系数。我 们的结论是它可以利用下述公式给出：
这可以当作基于常数和母体线性投影的样本估计，的第行是： 这正是基于常数和进行线性回归的普通最小二乘估计(OLS)的估计 系数向量。因此，VAR模型第个方程系数的极大似然估计可以从基于常 数项和该系统所有变量的阶滞后变量进行线性回归得到的OLS估计获 得。 为了验证上述结论，我们将似然函数中的最后一项表示成为： 这里的向量的第j个元素是从基于常数和进行线性回归得到的观测 值的样本残差： 进一步将上式化简为： 考虑上式的中间项，由于这是一个标量，利用“迹算子”进行计算数 值不改变： 注意到在线性回归中，普通最小二乘估计下的样本残差与解释变量 是正交的，即对所有的j有： 因此也有： 这样就有： 因为是正定矩阵，它的逆矩阵也是正定矩阵。因此，定义一个维向 量： 则上式最后一项可以表示成为： 因此，上式达到最小值时要求：，即：，这意味着OLS回归估计为 向量自回归系数提供了极大似然估计。
11.1.3 的极大似然估计
我们可以利用矩阵导数的一些公式来获得的极大似然估计。在的极 大似然估计处，条件似然函数为：
我们的目的是选择对称正定பைடு நூலகம்阵使得上述函数达到最大。类似的矩 阵导数运算得到：
上述矩阵的第i行和第j列元素的估计为： 这里残差是VAR模型中第i个变量基于常数和所有变量的p阶滞后进 行回归普通最小二乘估计得到的残差。
11.2.4 解释Granger因果关系检验 Interpreting Granger-Causality Tests
“Granger因果关系”与因果关系的标准含义是如何产生关系的？我们 通过几个例子来说明这个问题。
(1) Granger因果关系检验和前瞻行为
我们继续考虑股票投资者的例子。假设在时刻t，一个投资者以价 格购买一股股票，则在时刻，投资者可以获得红利，并以价格出售这股 股票。这种股票的事前收益率(ex post rate of return，表示为)可以按照下 式定义：
11.2.2 Granger因果关系的另外一种启示 Alternative Implications of Granger Causality
在描述和的二元VAR模型中，如果对所有，下述模型中的系数矩阵 是下三角矩阵，则称变量无法Granger影响变量。
从这个模型系统的第一行可知，变量的一阶段向前预测仅依赖自身 的滞后值，不依赖变量的任何滞后值：
例如，假设在滞后3阶和4阶的情形下估计一个二元VAR模型，这时 的参数阶数为：，，，假设原始样本中每个变量包含50个观测值，表示 为，观测值1至46用于估计滞后3阶和4阶指定时的系统参数，因此这 时。假设表示时基于常数、的3阶滞后和的3阶滞后进行回归的残差，假 设计算得到：
，， 则有： 计算这个矩阵的对数行列式值为：。类似地，假设将变量的滞后4 阶变量加入到回归方程中来，则可以得到残差的协方差矩阵为： 这个矩阵的对数行列式值为：。则有： 检验统计量的自由度为，由于，因此拒绝原假设，认为模型的动态 性没有被VAR(3)描述，这时采用VAR(4)更为合适。 Sims(1980)提出了一种修正的似然比检验，该检验考虑了小样本带 来的偏差。他建议的统计量为： ， 这里的是每个方程中需要估计的参数个数。这个修正后的统计量保 持原来的渐近分布，但是降低了小样本情形下拒绝原假设的可能性。对 上面的例子而言，检验统计量为： 此时我们将得到相反的检验结果，这时原假设是被接受的。