排列组合应用题解法一

⑴此题研究对象是人，由分类计数原理知，有8+5+10=23种
⑵同理由分步计数原理知，有8×5×10＝400种 ⑶由题意可知共有8×5+5×10+8×10=170种
例⒉设A=｛a,b,c,d,e,f｝，B=｛x,y,z｝，从A到B共有多少
个不同的映射？ 解： 对于A中的任意一个元素，都有3种对应方法，由分步计 数原理知，有3×3×3×3×3×3=36=729种
⒊从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加 交通协管工作，则不同的选派方法有 ⒋由0、1、2、3、4、5六个数字可以组成多少个无重复数 字且比324105大的数？
⒌有红、黄、蓝三种颜色的小球各五只，都分别标有 A、B、C、D、E，现每次取出五只，要求字母各不 相同且三色齐备，有多少种取法？
C
2 5
=10种
例⒏一名数学教师和四名获奖学生排成一排留影，若老师 不排在两端，则有多少种不同的排法？ 解： 1 从特殊元素出发，优先排数学教师，共有A 3 种排法
4 A 然后排学生有 4 种排法 4 A 由分步计数原理知共有 A × 4 =72 种不同的排法。
1 3
例⒐从编号为a,b,c,d,e的5个小球中任取4个，放在编号为1,2,3,4的
二、确定研究对象后元素的先后排列顺序问题
例⒍10名男生，5名女生站成一排，使女生互不想邻， 其不同站法总数为多少？ 解： 此题研究对象是学生，先排男生，共有种A 再让5个女生站到11个空位中，共有A
10 10站法
5 11 种站法
5 由分步计数原理知共有A 10 × 种不同的坐法。 10 A 11
例⒎⑴3个相同的小红球，2个不同的小白球排成一排，共有多少
例⒌一排九个座位有六个人坐，若每个空位两边都坐有
人，共有多少种不同的坐法？ 解：
此题把座位作为研究对象，先安排6个座位让6个人去坐， 有 A6 种不同的坐法， 6 再将3个空位插入到坐好的6个人之间
3 C 共有 5 种不同的插入方法， 6 3 A C 根据分步计数原理知共有 6 × 5 =7200 种不同的坐法。
钱建英
复习：
⒈ 分类计数原理和分步计数原理；
⒉排列组合应用题解题原则：
分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合
直接法
⒊排列组合应用题解题方法：
间接法
特殊位置优先法 特殊元素优先法 插入法 捆绑法
一、确定研究对象
例⒈现有高一学生8人，高二学生5人，高三学生10人， 组成课外活动小组： ⑴选其中一个为总负责人，有多少种不同选法？ ⑵每一个年级选一名组长，有多少种不同选法？ ⑶在一次活动中，推选出其中两人作为中心发言人， 要求这两人来自不同的年级，有多少种不同选法？ 解：
A a b c d e B x y z
例⒊从9所中学选派12名教师组成代表团，每校至少1人参加，
问有多少种不同的选法？ 解法一： 此题研究对象是教师，每校先定1人，剩下3个名额分3类：
⑴3人从同一学校选，共有 C91种选法； ⑵ 3人从两个学校选，共有 2C92 种选法； ⑶ 3人从3个学校选，共有 C93 种选法； 故，所求总数为 C91 2C92 C93 =165种。
4个盒子里，每个盒子放一个小球，且球b不能放在2号盒子中， 则不同的方法总数为（ ）
（A）24
（B）42 （C）96
（D）120
解：将球b作为特殊元素，分成两类：
第一类，含有球b的排法数是 A
第二类，不含有球b的排法数是 由分类计数原理知共有A 所以选（C）
1 3
1 3
A
3 4
种，
A4 4
种， =96 种不同的排法。
A A4 4
3 4+
练习： ⒈把10本相同的笔记本分给6名学生，每人至少一本， 有多少种分法？ ⒉甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术 比赛，决出了第一到第五名的名次，甲、乙两人去 询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未 拿到冠军”，对乙说：“你当然不会最差的”。从 这个回答分析，五人的名次排列共可能有多少种？
解法二： 12个教师有11个空位，在这11个空位中选择8个位子 把它分成9组，每一组对应一个学校，所以所求的选 8 种 派方法为 C11
例⒋停车场有10个车位，今有8辆车需停放，要使两个 空位连在一起，有多少种不同的停放方法？ 解：
此题把车位作为研究对象，把两个空位看成一个整体
这样就转化成全排列问题，所以所求的总数为 A 9 种 9
种不同排法？
⑵3个相同的小红球，2个相同的小白球排成一排，共有多少 种不同排法？ 解： ⑴先将2个不同的小白球放到五个位子中的两个上 不同的方法总源自文库为 A 种 再将3个相同的小红球放到余下的3个位子中，只有1种方法 所以所求的总数为
2 5 2 5
A
=20种
⑵由于红球与白球的地位相同， 先放两个小白球的不同种数为 剩下位子再放小红球只有一种方法 所以所求的总数为