参数变量函数

2 3 C1 C54 5, C 5 C5 10. 5
y (5 ) e x (cos x 5 sin x 10 cos x 10 sin x 5 cos x sin x) 4e x (sin x cos x ).
例3 解
y x 2 sin x, ( x 2 ) 2 x,
3． ex 4． 5 和 e kx 的高阶导数：
1 的高阶导数： x
2 15
多项式的高阶导数. Q( x ) 3 2 x Q ( 49 ) ( 0.235) .

2x 1 ,

18
求 Q ( 48) ( 0 ) 和
6
1 的高阶导数： ( x a)( x b)
为例，
x 2 , x 0, 7 分段函数在分段点的高阶导数：以函数 f ( x ) 2 x , x 0.
求 三.
f (x) .
高阶导数的运算性质: n 阶可导. 则
设函数 u (x) 和 v (x ) 均 1． 2． 3．
ku( x ) ( n)
ku( n ) ( x). u ( n ) ( x ) v ( n ) ( x).
u( x) v( x) ( n )
乘积高阶导数的 Leibniz 公式：
验证函数 y arcsin x 满足微分方程 (1 x 2 ) y ( n 2 ) (2 n 1) xy( n 1 ) n 2 y ( n ) 0. ( n3 )
并依此求 y ( n ) ( 0). 解 y 1 1 x2 , 1 x 2 y 1. xy 1 x
（3）
（3） 式表示在曲线 ( ) 上的点 M ( , ) 处切线 MT 与极轴 OX 轴的夹角 的正切，如图所示。 过点 M 的射线 OH 与切线 MT 的交角 的正切是 tan tan( ) tan tan 1 tan tan （4）
四.
参数方程所确定函数的高阶导数:
d dy d 2 y dt dx dx dx 2 dt 例6 x a cos t , dy b ctgt. dx a
(t ) (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) . (t ) (t) 3
(1 x 2 ) y ( n 2 ) (2 n 1) xy( n 1 ) n 2 y ( n ) 0. 可见函数 y arcsin x 满足所指方程. y (n 2 ) n 2 y (n ). 注意到 y (0) 0 和 y (0) 1 , n 2k 时, n 2k 1 时, y (n ) ( 0) 0; y (n ) ( 0) ( 2k 1) 2 ( 2k 3) 2 3 2 12 f ( 0) 就有 在上式中令 x 0, 得递推公式
T H T
将（3）代入（4）得向径与切线夹角的正切
O
tan
( ) ( )
(5)
例 2 证明：对数螺线 e / 2 上所有点的切线与向径的夹角 为一常 量 证明 由（5），对每一个 都有
( ) e / 2 tan 2 ( ) 1 e / 2
x 0
f ( x ) f ( x) , 注意区分符号 f ( x0 ) 和


f ( x0 ) .
二. 几个特殊函数的高阶导数:
1 2.
求幂函数 y x n 的各阶导数 正弦和余弦函数: 计算
sin x ( n) 、 cos x ( n) 、 sin kx( n) 、 cos kx( n)
数为 t 1 ( x ),
有 y (t ) 1 ( x ) , 用复合函数求导法, 并注


意利用反函数求导公式. 就有
dy dy dy dt ψ (t) dt . dx dx dt dx (t) dt
例1 解
x a cos t , dy dy Leabharlann Baidudx dt
2 即在对数螺线上任意一点的切线 与向径的夹角等于 arctg 2
O
MP
P
x
§ 4 一. 高阶导数的概念 我们知道，加速度 a (t ) lim
高阶导数
v (t ) v(t 0 ) t t 0 t t0
因此加速度函数是速度函数的导数，从而是路程函数的导数的导数，这就 产生了高阶导数的概念。 定义: f ( x 0 ) lim f ( x 0 x) f ( x0 ) . x f ( n ) ( x) f ( n 1) ( x ) .
2 (uv) (n) u (n) v (0) C1 u (n 1) v (1) Cn u (n 2) v (2) Ck u (n k) v (k) u (0) v n n
例1
设
y x 3 e x 求 y (50 )
利用萊布尼兹公式 ， 取 u e x , v x 3 y
t 0
于是得到下面结论 dy (t ) 结论：设函数 x (t ), y (t ) 可导且 (t ) 0 ，则 . dx (t ) 证 （ 法一 ） 用定义证明. （法二 ） 由 ( t ) 0, 恒有 ( t ) 0 或 (t ) 0. (t ) 严格单调. (这些事实的证明将在下一章给出.) 因此, (t ) 有反函数, 设反函
求 y (80 ) . ( x 2 ) 2, ( x 2 ) ( x 2 ) ( n ) 0; (sin x) (79 ) cos x, (sin x ) ( 78 ) sin x.
80 79 2( sin x) 2
(sin x) (80 ) sin x,
2
两端求导
1 x 2 y
0,
即
(1 x 2 ) y xy 0. 对上式两端求 n 阶导数, 利用 Leibniz 公式, 有
2 (1 x 2 ) y ( n 2 ) C1 ( 2 x) y ( n 1) Cn ( 2) y ( n ) xy ( n 1) C 1 y ( n ) n n
§3 参数变量函数的导数 平面曲线 C 一般的可表示为参变量方程形式： x ( t ), y ( t ) , t ( , ) 设 t t 0 对应曲线上的 P 点，如果 P 点由切线，那么切线斜率也可由 割线斜率去极限得到
Q P
x
y

割线 PQ 的斜率为
y ( t 0 t ) ( t 0 ) x ( t 0 t ) (t 0 ) 取极限得切线斜率 lim y t 0 (t 0 t ) (t 0 ) ( t 0 ) tg lim x 0 x lim (t 0 t ) ( t 0 ) (t 0 )
y b sin t.
求
dy . dx
dx (b sin t}) b cot t dt ( aost ) a
若曲线 C 由极坐标 参量方程
( ) 表示，则可转化为一极角 为参数的
x cos ( ) cos y sin ( ) sin
( 50)
e x 50 e 3 x C 50 e 6 x C 50 e 6
x 3 x 2 2 x 3 x
注意：利用萊布尼兹公式时要注意 u 与 v 的选取次序，否则会使计 算复杂。 例2 解 y e x cos x, C50 C55 1, 求 y (5 ) .
dy ( ( ) sin ) ( ) sin ( ) cos ( ) tan ( ) dx ( ( ) cos ) ( ) cos ( ) sin ( ) ( ) tan
y (80 ) ( x 2 sin x) (80 ) x 2 sin x 80 2 x( cos x)
( x 2 6320) sin x 160 x cos x. 例4 例5 y f (arctgx), 其中 f (x ) 二阶可导. d2 y 求 . dx 2

d2 y y b sin t. 求 . 2 dx d2y b 2 . 2 3 dx a sin t
解