含参不等式解法举例
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含参不等式专题（淮阳中学）
编写：孙宜俊
当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。
解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：
（1） 二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。
一、含参数的一元二次不等式的解法：
1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥∆） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。
解：0)1)((2>--x a x
1,0)1)((==⇒=--x a x x a x 令 为方程的两个根
（因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论）
（1）当1或
（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或
（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x
综上所述：
（1）当1或
（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或
（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x
变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ；
2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。
小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨
论。
例2、解关于x 的不等式022≤-+k kx x
分析 此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别
式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
解 )8(82+=+=∆k k k k
(1) 当02,08,02=-+>-<>∆k kx x k k 方程时或既有两个不相等的实根。 所以不等式的解集是022≤-+k kx x ：
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-≤≤+--4)8(4)8(k k k x k k k x (2) 当02,0802=-+=-==∆k kx x k k 方程时或即有两个相等的实根， 所以不等式⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≤-+4022k k kx x 的解集是，即{}}0{2，； (3) 当02,08,02=-+<<-<∆k kx x k 方程时即无实根
所以不等式的022≤-+k kx x 解集为∅。
说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要
注意数形结合研究问题。
小结：讨论∆，即讨论方程根的情况。
2．二次项系数含参数（先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥∆）
例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax
解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x
若0 x x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ； （2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a ； （3）当10< <⇔. 综上所述，当0< x a x x 或}； 当0=a 时，解集为{1>x x }； 当10<a 时，解集为{11< x }. 例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax 解：.012<-+ax ax )(* （1）0=a 时，.01)(R x ∈⇔<-⇔* （2）0≠a 时，则0042>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a ， 此时两根为a a a a x 2421++-=，a a a a x 2422+--=. ①当0>a 时，0>∆，⇔*∴)(<<+--x a a a a 242a a a a 242++-； ②当04<<-a 时，0<∆，R x ∈⇔*∴)(； ③当4-=a 时，0=∆，2 1)(-≠∈⇔*∴x R x 且； ④当4-∆，⇔*∴)(或a a a a x 242++->a a a a x 242+--<. 综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a a a a 242++-)； 当04≤<-a 时，解集为R ； 当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,2