初二数学-直角三角形练习题

一．选择题（共5小题）
1．已知下列语句：
（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；
（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；
（3）三个角对应相等的两个三角形全等；
（4）两个直角三角形全等．
其中正确语句的个数为（）
~
A．0 B．1 C．2 D．3
2．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，
则DE的长是（）
A．8 B．5 C．3 D．2
4．如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）
A．10 B．6 C．8 D．5
】
5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）
A．21 B．18 C．13 D．15
二．填空题（共10小题）
6．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ 全等时，AQ=cm．
7．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA 全等．
·
8．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD﹣BE=DE．
正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为．
>
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P 为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为．
11．如图，在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长是cm．
12．如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF=．
13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于．
《
14．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=7，BC=5，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB 的中点，则△DEF的周长是．
三．解答题（共11小题）
16．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
<
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？
若是请给出证明；若不是，请说明理由．
17．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．
18．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
—
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
19．如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC，AC=9cm，求CE的长．
20．如图所示，AB=AC，∠A=120°，点E在AB边上，EF垂直平分AB，交BC于F，EG⊥BC，垂足为G，若GF=4，求CF的长．
21．已知∠MAN，AC平分∠MAN．
|
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
22．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=12厘米，AB的值是等式x3﹣1=215中的x 的值．点P从点A开始沿AB边向B点以1.5厘米∕秒的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向C点以2厘米∕秒的速度移动．
①求AB的长度﹙厘米﹚．
②如果P、Q分别从A、B两点同时出发，问几秒钟后，△PBQ是等腰三角形并求出此时这个三角形的面积．
23．已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC，AF=FD．求证：EF⊥AD．
;
24．如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；
（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
25．如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．
（1）求证：BE⊥AC；
·
（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等
腰三角形．请求出所有BP的值．。

2017年02月16日精锐教育4的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2016秋•东宝区校级期中）已知下列语句：
（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；
（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；
（3）三个角对应相等的两个三角形全等；
】
（4）两个直角三角形全等．
其中正确语句的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据全等三角形的判定定理HL、SAS、AAS、ASA分别进行分析即可．【解答】解：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等，说法错误；
（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；
（3）三个角对应相等的两个三角形全等，说法错误；
（4）两个直角三角形全等，说法错误．
:
故选：A．
【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形全等的判定定理．
2．（2015秋•武汉校级期中）对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择即可．
【解答】解：①两条直角边对应相等，根据“SAS”，正确；
②斜边和一锐角对应相等，根据“AAS”，正确；
"
③斜边和一直角边对应相等，根据“HL”，正确；
④直角边和一锐角对应相等，根据“ASA”或“AAS”，正确；
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定定理，除HL外，一般三角形的全等有四种方法，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
3．（2014春•栖霞市期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于
D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（）
A．8 B．5 C．3 D．2
【分析】根据已知条件，观察图形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，然后证△AEC≌△CDB后求解．
}
【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，
∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠CAE=∠BCD，
又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，
∴△AEC≌△CDB．
∴CE=BD=2，CD=AE=5，
∴ED=CD﹣CE=5﹣2=3（cm）．
故选C．
<
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，是解题的关键．
4．（2016春•罗湖区期末）如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）
A．10 B．6 C．8 D．5
【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．
【解答】解：∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，
∴BD=DC，
—
∵E为AC的中点，
∴DE=AB=×10=5，
故选D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是解决问题的关键．
5．（2016秋•苏州期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F 为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）
A．21 B．18 C．13 D．15
[
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，F为BC的中点，
∴DF=BC=×8=4，
∵BE⊥AC，F为BC的中点，
∴EF=BC=×8=4，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=5+4+4=13．
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
>
二．填空题（共10小题）
6．（2016秋•瑞安市校级期中）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A 的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ=cm．
【分析】根据直角三角形的全等的判定解答即可．
【解答】解：要使△AFC与△ABQ全等，
则应满足，
∵AQ：AB=3：4，AQ=AP，PC=4cm，
$
∴AQ=．
故答案为：．
【点评】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据SAS证明三角形的全等．
7．（2015秋•沛县校级月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D 为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动0，2，6，8秒时，△DEB与△BCA全等．
【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AC=BE进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
@
∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8﹣4=4，
∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；
②当E在BN上，AC=BE时，
∵AC=4，
∴BE=4，
：
∴AE=8+4=12，
∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；
③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
AE=8+8=16，
【
点E的运动时间为16÷2=8（秒），
故答案为：0，2，6，8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（2009秋•大港区期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD﹣BE=DE．
；
正确的是①②④（将你认为正确的答案序号都写上）．
【分析】首先由△AEF与△ADF中分别有两个直角及对顶角得到①是正确的，利用等腰三角形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求，而无法证明③是正确的．
【解答】解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD
∴①∠ABE=∠BAD 正确
∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°
∴∠1=∠CAD
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
|
∴②△CEB≌△ADC 正确
∴CE=AD，BE=CD
∴④AD﹣BE=DE．正确
而③不能证明，
故答案为①、②、④．
故填①、②、④．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及等腰三角形的判定与性质；要充分利用全等三角形的性质来找到结论，利用相等线段的等量代换是正确解答本题的关键；
$
9．（2016•黔南州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED 交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
…
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
！
10．（2016•贵阳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为4或6．
【分析】根据直角三角形的性质得到∠ACD=∠ABC=30°，根据含30°的角的直角三角形的性质得到AD=AC=，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AD⊥AB，
∴∠ACD=∠ABC=30°，
∴AC=BC=2，
`
∴AD=AC=，
①当AP=AB=4时，
∴PD==3，
∵BD=BC=3，
∴PB==6，
②当PB=AB=4，
综上所述：PB=4或6．
故答案为：4或6．
{
【点评】本题考查了含30°的角的直角三角形的性质，勾股定理等腰三角形的性质，熟练掌握含30°的角的直角三角形的性质是解题的关键．
11．（2016秋•罗庄区期末）如图，在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长是9 cm．
【分析】利用垂直平分线的性质可得AD=BD，根据含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC的长．
【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点E，BD=18cm，
∴AD=BD=18cm，
'
∵在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，∠ADC=30°，
∴AC=AD=9cm．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质和含30°直角三角形的性质，综合运用各性质定理是解答此题的关键．
12．（2016秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF=6．
【分析】先由垂直的定义及三角形内角和定理得出∠BDA=75°，根据三角形外角的性质得出∠DAC=60°，再由角平分线定义求得∠BAD=60°，则∠FEA=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到EF=2，再求出∠FBE=30°，进而得出BF=EF=6．
(
【解答】解：∠DBE=15°，∠BED=90°，
∴∠BDA=75°，
∵∠BDA=∠DAC+∠C，而∠C=15°，
∴∠DAC=60°，
∵AD为∠CAB平分线，
∴∠BAD=∠DAC=60°，
∵EF⊥AB于F，
∴∠FEA=30°，
》
∵AF=2，
∴EF=2，
∵∠FEB=60°，
∴∠FBE=30°，
∴BF=EF=6．
故答案为6．
【点评】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，综合性较强，难度适中．
"
13．（2016春•绍兴校级期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于4．
【分析】延长BA、CD交于E，求出∠E，求出DE、CE长，在Rt△CBE中，求出BC，在Rt△CBD中，根据勾股定理求出BD即可．
【解答】解：
延长BA、CD交于E，
∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴DE=2AD=8，
;
∴CE=10+8=18，
∵tan∠ABC=，
∴tan60°=，
BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD===4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中．
!
14．（2016•郑州校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为+1．
【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON=90°，AB=2，
∴OE=AE=AB=1，
∵BC=1，四边形ABCD是矩形，
[
∴AD=BC=1，
∴DE===，
根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，
∴当OD过点E是最大，最大值为+1．
故答案为：+1．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．
15．（2016秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，AB=AC=7，BC=5，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是．
【
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB=AC=7，BC=5，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，∴△BCE是直角三角形，EF是Rt△BCE的中线，
EF=BF=FC=BC=，
又∵点D是AB的中点，
∴DF是Rt△AFB的中线，也是Rt△AEB的中线，
∴DE=DF=AC=，
、
∴三角形DEF的周长=DE+DF+EF=++=，
故答案为．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角
形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
16．（2016秋•临沂期末）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD ⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
·
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．
【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
@
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
、
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用．
>
17．（2009秋•澄海区校级期中）如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．
【分析】①如图1，过C作CM⊥x轴于M点，则可以求出△MAC≌△OBA，可得CM=OA=2，MA=OB=4，故点C的坐标为（﹣6，﹣2）．
②如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ
利用三角形全等的判定定理可得△AOP≌△PQD（AAS）
进一步可得PQ=OA=2，即OP﹣DE=2．
"
【解答】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，
∵∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
则∠MAC=∠OBA，
在△MAC和△OBA中
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM=OA=2，MA=OB=4，
∴OM=OA+AM=2+4=6，
（
∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）．
（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ
∴OP﹣DE=OP﹣OQ=PQ，
∵∠APO+∠QPD=90°，
∠APO+∠OAP=90°，
∴∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PQD中，
》
，
∴△AOP≌△PQD（AAS）．
∴PQ=OA=2．
即OP﹣DE=2．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大．
18．（2008秋•上饶期末）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
>
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF
了．
【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
<
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EB+CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
【
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC=3，BE=AF=10．
∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．
[
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．
19．（2012秋•巫山县期末）如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC，AC=9cm，求CE的长．
【分析】在三角形ABC中，由A和C的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再由BE平分∠ABC，可得出∠EBA=∠A=∠CBE=30°，利用等角对等边得到BE=AE，设CE=x，由AC﹣CE及AC的长表示出AE，可表示出BE，在三角形BCE中，由=∠CBE=30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得出CE为BE的一半，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CE的长．
【解答】解：∵△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°，又BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE=∠ABC=30°，
|
∴∠ABE=∠A=30°，
∴EB=EA，又AC=9cm，
设EC=xcm，则AE=BE=AC﹣CE=（9﹣x）cm，
在Rt△BCE中，∠CBE=30°，
∴CE=BE，即x=（9﹣x），
解得：x=3，
则CE=3．
【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及角平分线的性质，利用了方程的思想，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
|
20．（2010秋•本溪期中）如图所示，AB=AC，∠A=120°，点E在AB边上，EF垂直平分AB，交BC于F，EG⊥BC，垂足为G，若GF=4，求CF的长．
【分析】连接AF，由AB=AC，且∠BAC=120°，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠B与∠C的度数为30°，再由EF垂直于AB，EG垂直于BC，得到两对角互余，利用同角的余角相等得到∠GEF的度数为30°，在直角三角形EFG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由GF的长求出EF的长，在直角三角形EFB中，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由EF的长求出BF的长，即为AF的长，由∠BAC﹣∠BAF求出∠FAC为直角，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由AF的长即可求出FC的长．
【解答】解：连接AF．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF⊥AB，EG⊥BF，
—
∴∠BEG+∠GEF=90°，又∠B+∠BEG=90°，
∴∠GEF=∠B=30°，
∵GF=4，
∴在Rt△GEF中，EF=2GF=8，
∴在Rt△BEF中，BF=2EF=16，
∵EF垂直平分AB，∴AF=BF=16，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠FAC=120°﹣30°=90°，
~
又∵∠C=30°，
∴FC=2AF=32．
【点评】此题考查了含30°直角三角形的性质，线段垂直平分线定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
21．（2009秋•崇明县期末）已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质进行证明；
（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代换后即可证明AD+AB=AC 仍成立．
【解答】（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°．
又∠ABC=∠ADC=90°，
∴AD=AC，AB=AC，
∴AB+AD=AC．
$
（2）解：结论仍成立．理由如下：
作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED=∠CFB=90°，
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC，
在△CDE和△CBF中，
·
，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF．
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE=AC，AF=AC，
则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=AC+AC=AC．
∴AD+AB=AC．
$
【点评】此题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及含30°角的直角三角形的知识；作出辅助线是正确解答本题的关键．注意：在探索（2）的结论的时候，能够运用（1）的结论．
22．（2009秋•荆州区校级期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=12厘米，AB 的值是等式x3﹣1=215中的x的值．点P从点A开始沿AB边向B点以1.5厘米∕秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2厘米∕秒的速度移动．
①求AB的长度﹙厘米﹚．
②如果P、Q分别从A、B两点同时出发，问几秒钟后，△PBQ是等腰三角形并求出此时这个三角形的面积．
【分析】先计算x3﹣1=215，易求x=6，即AB=6，再设经过x秒后，△PBQ是等腰三角形，那么有6﹣1.5x=2x，易得x=，再根据三角形面积公式易求其面积．`
【解答】解：（1）∵x3﹣1=215，
∴x3=216，
∴x=6，
故AB=6cm；
（2）设经过x秒后，△PBQ是等腰三角形，那么
BP=BQ，
即6﹣1.5x=2x，
;
解得x=，
=BP2=×（）2=．
∴S
△PBQ
答：经过秒钟后，△PBQ是等腰三角形，此时这个三角形的面积是．
【点评】本题考查了立方根的计算、三角形的面积计算、等腰三角形的性质．解题的关键是先画图，并求出AB．
23．（2016秋•青龙县期末）已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC，AF=FD．求证：EF⊥AD．
》
【分析】连接AE，DE，由直角三角形斜边的中线是斜边的一半易得AE=DE=，由全等三角形的判定定理可得△AEF≌△DEF，由全等三角形的性质定理可得∠AFE=∠DFE=90°，即得出结论．
【解答】解：连接AE，DE，
∵∠BAC=∠BDC=90°，BE=EC，
∴AE=，DE=，
∴AE=DE，
在△AEF与△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
?
∴∠AFE=∠DFE=90°，
即EF⊥AD．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线和全等三角形的判定及性质，作出适当的辅助线是解答此题的关键．
24．（2016春•广饶县期末）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；
,
（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=BC，ME=BC，从而得到DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；
（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；
（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．
【解答】解：（1）如图，连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=BC，ME=BC，
\
∴DM=ME
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∵DM=ME=BM=MC，
∴∠BMD+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
=360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
—
=360°﹣2（180°﹣∠A），
=2∠A，
∴∠DME=180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，
结论（2）不成立，
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∵DM=ME=BM=MC，
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC，
=2（180°﹣∠A），
=360°﹣2∠A，
∴∠DME=180°﹣（360°﹣2∠A），
=2∠A﹣180°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
25．（2016秋•常熟市期中）如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=BM=CM=BC，再求出ME=BM=CM=BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF+∠CME，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，
∴MF=BM=CM=BC，
∵ME=MF，
∴ME=BM=CM=BC，
∴BE⊥AC；
（2）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
∵ME=MF=BM=CM，
∴∠BMF+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
=360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
=360°﹣2×130°
=100°，
在△MEF中，∠FME=180°﹣100°=80°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用．
26．（2016秋•锡山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AD=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得DE⊥AB，再根据垂直于同一直线的两直线平行证明；
（2）利用勾股定理列式求出DE的长，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE=AE，然后分DE=EP、DP=EP、DE=DP三种情况讨论求解．
【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴BD=AD=AC，
∵DE是∠ADB的角平分线，
∴DE⊥AB，
又∵∠ABC=90°，
∴DE∥BC；
（2）解：∵AE=3，AD=5，DE⊥AB，
∴DE==4，
∵DE⊥AB，AD=BD，
∴BE=AE=3，
①DE=EP时，BP==，
②DP=EP时，BP=DE=×4=2，
③DE=DP时，过点D作DF⊥BC于F，
则DF=BE=3，
由勾股定理得，FP==，
点P在F下边时，BP=4﹣，
点P在F上边时，BP=4+，
综上所述，BP的值为，2，4﹣，4+．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，难点在于（2）要分情况讨论．。