第一章 行列式试题及答案
(完整word)行列式习题1附答案
命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：第 1 页 共 4 页《线性代数》第一章练习题一、填空题1、_____________)631254(=τ8 2、要使排列（3729m14n5）为偶排列，则m =___8____， n =____6_____ 3、关于x 的多项式xx x xx 22111---中含23,x x 项的系数分别是 -2,44、 A 为3阶方阵，2=A ,则____________3*=A 1085、四阶行列式)det(ij a 的次对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为 +6、求行列式的值 (1）46924692341234=__1000___; （2）131410242121=_0___ ；(3) 2005000200410020030102002200120001--=___2005____;(4） 行列式243012321---中元素0的代数余子式的值为___2____7、648149712551 = 6 ；1252786425941653241111--=1680-8、设矩阵A 为4阶方阵,且|A|=5,则｜A ＊|=__125____，｜2A ｜=__80___,|1-A |= 15。
命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：第 2 页 共 4 页9、011101110= 2 ；=000100312222210 12 。
10、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 011、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 值不变 。
12、行列式中在项的项共有214312344214231144434241343332312423222114131211,,24!4a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，21431234a a a a 是该行列式的项，符号是 + 。
第一章 行列式答案详解
第一章行列式习题1.1二阶和三阶行列式1．计算下列二阶行列式．()12112-=4(1)5--=()222111x x x x -++22(1)(1)x x x x =-++-321x x =--【分析】考查二阶行列式的计算公式2．计算下列三阶行列式．()1251312204--1301113113123024204===()2a bcb c a c a b 11()1()011b c b ca b c c a a b c c b a ca b a b b c=++=++----333()3c b a c a b c abc a b c a b b c --=++=-----【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式3．当x 取何值时，3140010x x x¹．【解析】31210214040(24)0241010x x x x x x xxxx x且===-【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式习题1.2排列1．求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性．()14132；()41324t =，为偶排列()2542316；()5423169t =，为奇排列()3()()246213521n n -L L ．()()()(1)2462135212n n n n t +-=L L ，4142443n k k n k k =++⎧⎨=+⎩或时，为奇排列或时，为偶排列【分析】考查逆序数的计算及奇偶排列的概念*2．设排列12n i i i L 的逆序数为k ，求排列121n n i i i i -L 的逆序数．【解析】考虑第m 个数(m=1,2,...,n-1)，它与后面n-m 个数的每一个数都有一个“序”，这个序要么是“顺序”，要么是“逆序”。
这样全部的“序”共有：（n-1)+(n-2)+...+2+1=n(n-1)/2个。
12n i i i L 逆序数是k ，那么排列121n n i i i i -L 的逆序是n(n-1)/2-k 【分析】考查逆序概念习题1.3n 阶行列式1．写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项．【解析】1123344211233244;a a a a a a a a +-【分析】行列式的定义2．在5阶行列式中，下列各项应取什么符号？()11523314254a a a a a ；()152********,+a a a a a 取“”t =()22132441355a a a a a ；()21324413552,+a a a a a 取“”t =()34153122435a a a a a ．()41531224355,a a a a a 取“-”t =【分析】行列式的定义3．设一个n 阶行列式中等于零的元素的个数大于2n n -，试证明该行列式为零．【解析】N 阶行列式共有2n 个元素，等于零的元素的个数大于2n n -，则非零元素个数小于n 个，即一定出现一个0行，则行列式值为0.【分析】行列式的定义4．用行列式的定义计算下列行列式．()1010000200001000n n -L LM M M LML L (23(1)1)112231,11(1)(1)!n n n n n a a a a n τ----=-=- ()2()()1111121211000n n n n a a a a a a --L L MLM M L(1)((1)21)212(1)112(1)1(1)(1)n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=- 【分析】行列式的定义和主次对角线行列式的结论5．设()11121314212223243132333441424344x a a a a a x a a a f x a a x a a a a a x a --=--，求()f x 中3x 的系数．【解析】根据行列式的定义，3x 系数只能来自于一项11223344()()()()x a x a x a x a ----，即11223344()a a a a -+++【分析】行列式的定义习题1.4n 阶行列式的性质1．用行列式的性质计算下列行列式．()1a x x x x b x xx x c x+++000000a x x x x x x b x xb x x x b x x a x b xc xx c x x x c x x c +=+++=++++2()()()a b x c x x bcx abc ab ac bc x=++-+=+++【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+展开定理+三角化方法()22464273271014543443342721621-1321122331299001003279001003270100327190010044310000116100001169001006210029400294c c r r c c c c r r +----===121000011601003272940000000294r r «=-=-【分析】行列式性质+行列式性质+三角化方法()3ab ac aebd cd debf cf ef---1111111111110020204111020002abcdef abcdef abcdef abcdef---=-==-=-【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+行列式性质+三角化方法2．将下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值．()1111111111111022281111002211110002-==-----【分析】三角化方法的计算()222401120112011204135413505550111221031233123048304832051205102110211----------=-=-=---------112011201120111011101111010102500047001800180031003100025---------=-=-=-=----------【分析】三角化方法的计算3．计算下列行列式．()111100[(1)][(1)]100x a a aa a a a x a x a x a x n a x n a a a x ax x a-=+-=+--L LL L L L M M L M M M L M M M L M L LL 1[(1)]()n x n a x a -=+--10111011120201600022002200220004----=-=-=-----()33312()02()2()0x y x y y x yx yy x y x x y x y x y x y x y xx yxy x yx++-+=+-=+=-+--+--【分析】各行或各列元素之和相等的行列式的计算4．计算下列行列式()112311110010010na a a a L L LM M M LM L ，其中0,2,3,,.i a i n ¹=L 122123211111000110000nn n n a a a a a a a a a a a ---ç==---ççL L L L L LM M M LML 【分析】箭型行列式计算()212111111111111na a a +++L LM M M LML ，其中0,1,2,,.i a i n ¹=L 111121211212211111111100000100000n n n nna aa a a a a a a a a a a a a a a a a +++++-ç===++++çç-L LL L L L L M M M LMM M M L M L L 【分析】利用性质变换为箭型行列式计算5．证明()33by az bz ax bx ayx y z bx ayby az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++．【证明】左边by az bz ax bx ayby bz ax bx ay azbz ax bx aybx ayby az bz ax bx by az bz ax ay by az bz axbz ax bx ay by az bz bx ay by az ax bx ay by az+++++++=+++=++++++++++++y bz ax bx ay zbz ax bx ayb x by az bz ax a y by az bz axzbx ay by azx bx ay by az ++++=+++++++++22y bz ax bx zax bx ay y bz ax x z x bx ay b x by az bz a yazbz ax b x by azz a yz bz ax zbx ay by x ay by az z bx ay y xy by az++++=+++=+++++++()223333y bz x z x ay y z x z x y x y z b x byz a y z ax b xy z a yz x a b zx y z bx y x y az z xyxyzy zx=+=+=+【分析】拆项性质+行列式性质6．证明121211221100001000000001n n n n nn n x x x a x a x a x a xa a a a a -------=++++-L L L L M M M L M M LL ．【证明】11c n n nD xD a 展开-=+()22121n n n n n n x xD a a x D a x a ----=++=++()3232123232312312121n n n n n n n n n n n n n nx D a x a x a x D a x a x a x a a x a a x a x a x a ----------=+++==+++=++++=++++L L L L 【分析】展开定理+递推发习题1.5行列式的展开1．求行列式30453221--中元素2和2-的代数余子式．【解析】2的代数余子式：313104(1)003A +=-=；2-的代数余子式：323234(1)2953A +-=-=【分析】余子式、代数余子式的概念2．用降阶法计算下列行列式【分析】拉普拉斯展开定理()211122200000000000000=0000000111111231n n na a a a a a a a a nn ------+L L LL MM M L M M MM M L M M L L LL12(1)(1)n nn a a a =+- 【分析】行列式性质+展开定理3．计算下面行列式222244441111a b c d a b c d a b c d ．【解析】4D 中各列元素均缺少3次方幂的元素，在4D 中添加3次方幂的一行元素，则产生5阶范德蒙行列式，再适当添加一列得：22222333334444411111()ab c d x f x a b c d x a b c d x a b c d x =按最后一列展开，得2341525354555()f x A xA x A x A x A =++++，因为()()()()0f a f b f c f d ====，所以,,,a b c d 为()f x 的四个根，则()()()()()f x k x a x b x c x d =----由根与系数关系有4555Aa b c d A +++=-，而4545(1)A D D +=-=-，55()()()()()()A b a c a d a c b d b d c =------，则()()()()()()()D a b c d b a c a d a c b d b d c =+++------.【分析】克莱姆法则+展开定理4．已知四阶行列式D 中第1行的元素分别为1,2,0,4-，第3行的元素的余子式依次为6,,19,2x ，试求x 的值．【解析】313233346,,19,2A A x A A ==-==-，由展开定理得：162()019(4)(2)0x ⨯+⨯-+⨯+-⨯-=，解得7x =【分析】代数余子式、余子式+展开定理求11121314及11213141．【解析】1112131411111111016110500164241313042463524130635A A A A -----+++===----------1201048428(1)(1)46136313+--=-=--=---11213141112131411521110513131413M M M M A A A A ---+++=-+-=----152142412000424812812081291210912-----==-=-=------【分析】代数余子式、余子式+展开定理的逆运用习题1.6克莱姆法则1．用克莱姆法则求解下列方程组的解12341234123412342326223832242328x x x x x x x x x x x x x x x x ì++-=ïïïï---=ïíï+-+=ïïï-++=-ïî．【解析】1234324,324,648,324,648D D D D D ====-=-，则12341,2,1,2x x x x ===-=-【分析】克莱姆法则2．设1a ，2a ，3a 互不相同，证明方程组123112233222112233000x x x a x a x a x a x a x a x ì++=ïïï++=íïï++=ïïî只有零解．【解析】系数行列式时范德蒙行列式，因为1a ，2a ，3a 互不相同，则系数行列式非零；再由克莱姆法则可知，该齐次方程组只有零解.【分析】克莱姆法则3．当l 为何值时，齐次线性方程组123122334000x x x x x x x l l ì++=ïïï-+=íïï+=ïïî()1只有零解；()2有非零解．当11λλ≠≠-且时，只有零解；当=1=1λλ-或时，有非零解【分析】克莱姆法则自测题1．填空题(每小题10分，共20分)()1行列式103100204199200395301300600=___2000____．()2已知11111111111111D x---=---，则D 中x 的系数是___4-____．2．计算下列行列式：(每小题15分，共30分)()11(1)(1)(2)220000(1)(1)000000n n n n c nn n D αβαββααββα---==-+-展开()212312323411341(1)3452145221211121n n n n n D n n n +==--(1)(1)1231111101111111101111(1)(1)2211110111111111111n n n n n n nnn n n n n n n n-⨯------++==----(1)(2)1122(1)(1)100100(1)(1)(1)(1)(1)221001000n n n n n n n nn n n n n n n ------⨯-++=⋅-=⋅-⋅-⋅(1)12(1)(1)2n n n n n n --+=-⋅⋅(本题15分)已知2231122D yx=，且1112133M M M +-=，1112131A A A ++=，其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式，(1)i j ij ij A M +=-，试求D 的值．【解析】1112133235M M M x y +-=⇒-=111213114A A A y x ++=⇒=⇒=则行列式的值为14．(本题15分)解线性方程组231234231234231234231234x ax a x a x e x bx b x b x ex cx c x c x e x dx d x d x e⎧+++=⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其中,,,a b c d 互异．【解析】系数行列式非零，由克莱姆法则可知1234,0,0,0x e x x x ====5．(本题20分)证明：11000100,010001n n a b ab a b ab a b a b a b a ba b++++-=¹+-+L L L M M M L M M L ．【解析】上课做为例题已讲过。
行列式习题解答
111 (b) c a b(a)(c) (b)1 b 1 (a) a 1 (c) c a2abc abc 0
b c 0
⑥0 1 1 1 0 1 11 2 110 a a2 a3
⑦ b b2 b3 c c2 c3
f ( x) 中旳常数项是(1) 2 31 (1) 3 31 3
x 030 15.已知 0 0 0 2 1, 求 x
0 x00 4 000
x 030
解
0 0
0 x
0 0
2 0
24 x
1, 所以
x
1 24
4 000
16.用行列式性质证明下列等式
证明 ①
a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3
00
解 ②此行列式刚好只有处于不同旳行与不同旳列旳
n个非零元素 a12 , a23 , a(n 1)n , an1 ,故非零项只有一项 a12a23 a(n 1)n an1 ,该项所带旳符号为 (1) 23 n1 (1)n1 , 所以 D (1)n11 2 (n 1) n (1)n1 n!
解 ① (38162754) 2 3 0 4 3 1 1 14
所以 38162754 为偶排列
② (3712456) 2 2 0 1 1 1 7
所以 3712456 为奇排列
③ 246 (2n)135 (2n 1)
n (n 1) 2 1 n(n 1) 2
所以当 n 4k 或 n 4k 3 时为偶排列;当n 4k 1
或 n 4k 2 时为奇排列.
6.选择 i, j, k,使排列 21i36 jk97为偶排列.
解 当 i 4, j 8, k 5 时， (214368597 6), 为 为偶排列，当 i 5, j 4, k 8时， (215364897 6), 为偶排列，当 i 8, j 5, k 4时， (218365497 10),
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。
解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
(完整版)行列式习题答案
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式 = 0，则[ C ]x52231521-=x （A ）2 （B ）（C ）3（D ）2-3-2．线性方程组，则方程组的解=[ C ]⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ),(21x x （A ）（13，5）（B ）（，5）（C ）（13，）（D ）（）13-5-5,13--3．方程根的个数是[ C ]093142112=x x （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ]（A ） （B ） 665144322315a a a a a a 655344322611a a a a a a （C ） （D ）346542165321a a a a a a 266544133251a a a a a a 5．若是五阶行列式的一项，则的值及该项的符号为[ B ]55443211)541()1(a a a a a l k l k N -ij a l k ,（A ），符号为正； （B ），符号为负；3,2==l k 3,2==l k （C ），符号为正；（D ），符号为负2,3==l k 2,3==l k 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ](A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题1．行列式的充分必要条件是1221--k k 0≠3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是133．已知排列为奇排列，则r =2,8,5s = 5,2,8，t = 8,5,2397461t s r4．在六阶行列式中，应取的符号为 负 。
ij a 623551461423a a a a a a 三、计算下列行列式：1．=181322133212．=5598413111３．yxyx x y x yyx y x +++332()x y =-+４．=10001100000100100５．000100002000010n n -1(1)!n n -=-６．0011,22111,111 n n nn a a a a a a --(1)212,11(1)n n n n n a a a --=-线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名 学号第二节 行列式的性质一、选择题：1．如果， ，则 [ C ]1333231232221131211==a a a a a a a a a D 3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）8（B ）（C ）（D ）2412-24-2．如果，，则 [ B ]3333231232221131211==a a a a a a a a a D 2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）18（B ） （C ）（D ）18-9-27-3． = [ C ]2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a （A ）8 （B ）2（C ）0（D ）6-二、选择题：1．行列式 12246000 2. 行列式-3=30092280923621534215=11101101101101112．多项式的所有根是0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 0,1,2--3．若方程= 0 ，则225143214343314321x x --1,x x =±=4．行列式 5==2100121001210012D 三、计算下列行列式：1．2605232112131412-21214150620.12325062r r +=2．xa a a x a a a x 1[(1)]().n x n a x a -=+--线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名 学号第三节 行列式按行（列）展开一、选择题：1．若，则中x 的一次项系数是[D]111111111111101-------=x A A （A ）1（B ）（C ）（D ）1-44-2．4阶行列式的值等于 [D ]443322110000000a b a b b a b a （A ） （B ）43214321b b b b a a a a -))((43432121b b a a b b a a --（C ）（D ）43214321b b b b a a a a +))((41413232b b a a b b a a --3．如果，则方程组 的解是 [B]122211211=a a a a ⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a （A ）， （B ），2221211a b a b x =2211112b a b a x =2221211a b a b x -=2211112b a b a x =（C ）， （D ），2221211a b a b x ----=2211112b a b a x ----=2221211a b a b x ----=2211112b a b a x -----=二、填空题：1．行列式 中元素3的代数余子式是 -6122305403--2．设行列式，设分布是元素的余子式和代数余子式，4321630211118751=D j j A M 44,j a 4则 =，=-6644434241A A A A +++44434241M M M M +++3．已知四阶行列D 中第三列元素依次为，2，0，1，它们的余子式依次分布为1-5，3，4，则D = -15,7-三、计算行列式：1．321421431432432112341234134101131010141201311123031111310131160.311-==---=-=-2.12111111111na a a +++ ==121111011101110111n a a a+++121111100100100na a a---211112111110010010n c c a a a a a+--+111223211111100001000na a cc a a a a++-+11121101111000000ni ni iia a a c a c a=+++∑1211()(1)nn i i a a a a =+∑或121123113111111000000nn a r r a r r a r r a a a a+------211211212311111000000na a aa a a c c a a a a+++--11122313311111100000ni in nnaa a c c a a a c c a a a a=++++∑1122()(1)nn i ia a a a a =++∑或11221121121110111110111111111(1).n n n n nn i ia a a a a a D a a a a a a a --=++++=+=+=+∑线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名学号综 合 练 习一、选择题：1．如果，则 = [ C ]0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D 3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D =（A ）2 M（B ）－2 M（C ）8 M（D ）－8 M2．若，则项的系数是[ A ]xxx x x x f 171341073221)(----=2x （A ）34 （B ）25 （C ）74 （D ）6二、选择题：1．若为五阶行列式带正号的一项，则 i = 2 j = 154435231a a a a a j i 2. 设行列式，则第三行各元素余子式之和的值为 8。
(完整版)行列式练习题及答案
一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 00000010020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-= （ ）. （A ）!n（B ）!)1(2)1(n n n --（C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列；2． 各项以列标为标准顺序排列；3． 各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1． 8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．abbb a b b b a D n ΛΛΛΛΛΛΛ=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛ。
(完整版)线性代数习题集带答案
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
第一章行列式(学生题目简单答案版)
第二部分 线性代数第一章 行列式题型1.1 行列式的计算（88年，数学一）设4阶矩阵234234(,,,)(,,,)A B αγγγβγγγ==,,其中，234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式41A B ==,,则行列式A B += ．【答案】40.（88年，数学三/数学四）1110110110110111= ． 【答案】3-．（89年，数学五）行列式1111111111111111x x x x ---+-=--+-- ． 【答案】4x ．（90年，数学五）设A 为1010⨯矩阵 10010000010000001100000A ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式A E λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数．【解析】101010A E λλ-=-．（91年，数学五）n 阶行列式0000000000000000a b a b a a b b a=．【答案】1(1)n n n a b ++-．（96年，数学一）四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于()． （A ）12341234a a a a b b b b -． （B ）12341234a a a a b b b b +．（C ）12123434()()a a b b a a b b --． （D ）23231414()()a a b b a a b b --． 【答案】（D ）．（96年，数学五）5阶行列式1000110001100011011a aaa D a a a a a---==------ ． 【答案】23451a a a a a -+-+-．（97年，数学四）设n 阶矩阵0111110111110111110111110A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，则A = ．【答案】1(1)(1)n n ---．（99年，数学二）记行列式212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x x x x x ---------------为()f x ，则方程()0f x =的根的个数为()．（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4． 【答案】（B ）．（00年，数学四）设(1,0,1)T α=-，矩阵T A n αα=,为正整数，则n aE A -= ． 【答案】2(2)n a a -．（01年，数学四）设行列式3040222207005322D =--，则第四行各元素余子式之和的值为 ．【答案】28-．（14年，数学一/数学二/数学三）行列式00000000a b abc d c d=()． （A ）2()ad bc -．（B ）2()ad bc --．（C ）2222a d b c -．（D ）2222b c a d -．【答案】（B ）．（15年，数学一）n 阶行列式200212020022012-=-． 【答案】122n +-．（16年，数学一/数学三）行列式10001=0014321λλλλ---+ . 【答案】43223 4.λλλλ++++题型1.2 行列式的计算（二）矩阵的性质（87年，数学一）设A 为n 阶方阵，且A 的行列式0A a =≠，而*A 是A 的伴随矩阵，则*A =()．（A ）a ． （B ）1a． （C ）1n a -． （D ）na ． 【答案】（C ）．（87年，数学四）设A 为n 阶方阵，k 为常数，则kA k A =．()【答案】（×）．（88年，数学四）设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式12A =．求行列式1*(3)2A A --的值．【解析】31*12(3)23A A A --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1627=-．（90年，数学五）设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*A =()．（A ）1n A-． （B ）A ． （C ）n A ． （D ）1A-．【答案】（A ）．（92年，数学四）设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且00A A a B b C B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,，则C = ．【答案】(1)mn ab -．（92年，数学五）已知实矩阵33()ij A a ⨯=满足条件：（Ⅰ）(,1,2,3)ij ij a A i j ==，其中ij A 是ij a 的代数余子式； （Ⅱ）110a ≠． 计算行列式A ．【解析】1A =．（93年，数学五）若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式1231,,,,m αααβ=1223,,,,n ααβα=则四阶行列式32112,,,()αααββ+等于()．（A ）m n +． （B ）()m n -+． （C ）n m -． （D ）m n -． 【答案】（C ）．（94年，数学一）设A 为n 阶非零方阵，*A 是A 的伴随矩阵，T A 是A 的转置矩阵，当*T A A =时，证明0A ≠．【证明】略. ．（95年，数学一）设A 是n 阶矩阵，满足T AA E =（E 是n 阶单位矩阵，T A 是A 的转置矩阵），0A <，求A E +．【解析】0A E +=．（98年，数学四）设,A B 均为n 阶矩阵，23A B ==-,,则*12A B -= ．【答案】2123n --．（03年，数学二）设三阶方阵,A B 满足2A B A B E --=，其中E 为三阶单位矩阵，若101020201A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则B = ．【答案】12．（04年，数学一/数学二）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B = ．【答案】19．（05年，数学一/数学二/数学四）设123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(2439)B ααααααααα=++++++，，．如果1A =，那么B = ．【答案】2．（06年，数学一/数学二）设矩阵2112A E ⎛⎫=⎪-⎝⎭，为二阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = ．【答案】2．（06年，数学四）已知12,αα为二维列向量，矩阵1212(2,)A αααα=+-,12(,)B αα=．若行列式，6A =，则B = ．【答案】2-．（10年，数学二/数学三）设,A B 为3阶矩阵，且1322A B A B -==+=,,，则1A B -+= ．【答案】3．（12年，数学二/数学三）设A 为3阶矩阵，且*3A A =,为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得矩阵B ，则*BA = ．【答案】27-．（13年，数学一/数学二/数学三）设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ijA 为ij a 的代数余子式．若0(123)ij ij a A i j +==，，，，则A = . 【答案】1-．题型1.3 行列式的计算（三）秩数，特征值的性质（91年，数学一）设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵，证明A E +的行列式大于1． 【证明】略.（98年，数学三）齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，，，的系数矩阵记为A ，若存在3阶矩阵B O ≠，使得AB O =，则()．（A ）2λ=-且0B =． （B ）2λ=-且0B ≠． （C ）1λ=且0B =． （D ）1λ=且0B ≠． 【答案】（C ）．（99年，数学一/数学二）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则()．（A ）当m n >时，必有行列式0AB ≠． （B ）当m n >时，必有行列式0AB =．（C ）当n m >时，必有行列式0AB ≠． （D ）当n m >时，必有行列式0AB =． 【答案】（B ）．（00年，数学三）若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1B E --= ．【答案】24．（00年，数学四）已知四阶矩阵A 相似于,B A 的特征值为2,3,4,5.E 为四阶单位矩阵，则B E -= ．【答案】24．（08年，数学三）设3阶矩阵A 的特征值是1,2,2,E 为3阶单位矩阵，则14A E --= ．【答案】3．（15年，数学二/数学三）设3阶矩阵A 的特征值为2221B A A E -=-+,,,，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = ．【答案】21．。
(完整版)第一章行列式试题及答案
第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλNO2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++111222c bcacbc b ab ac ab a ( )(A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1二 填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。
第一章行列式专项测试题参考答案(1)
326
=3
1
3 = (−1)3+2 (−1) 3
6 = −9 .
33
0 −1 0
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a2 ab b2
7. 证明 2a a + b 2b = (a − b)3 .
111
【证明】
a2 ab b2 2a a + b 2b 111
c −c
2
3
c −c
1
3
(a −b)(a +b) b(a −b) b2
zxy
【分析】利用行列式运算性质化简. 可按如下步骤操作：第一步，将第一列拆开，得到两行
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列式之和；第二步，利用第一列化简其他列；第三步，化简后提出列的公因子，再化简剩下
的最后一列.
ax + by ay + bz az + bx x ay + bz az + bx y ay + bz az + bx 【证明】 ay + bz az + bx ax + by = a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
zxy
111 121 14. （1） D = 1 1 3
111
1 1+ a 1
1 1 ; （2） D = 2 2 + a
nn n
1 2
.
n+a
【答案】（1） (n −1)!
；（2）
a
+
n(1 + 2
n)
a n −1
.
【解析】（1）
111 121 D= 1 1 3
第一章行列式专项测试题参考答案(1)
第一章 行列式
1. 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性.
(1) 53412
(2)135 (2n −1)246 (2n)
【解析】（1） (53412) = 4 + 2 + 2 + 0 + 0 = 8 ，偶排列；
（2）前 n 个元素135 (2n −1) 相互之间不构成逆序，后 n 个元素 246 (2n) 相互之间也不 构成逆序，因此逆序数为前 n 个元素中的每个元素与后 n 个元素所构成的逆序个数之和.
0 b3 a3
0 0 a2 b2
b4 0 0 a4
b4 a4 0 0
0 0 b3 a3
= (a1a4 − b1b4 ) (a2a3 − b2b3 )
（法二）直接按第 1 行（列）展开，过程略.
a1 + b1 12. 计算行列式 D = a2 + b2
a3 + b3
2a1 − b1 2a2 − b2 2a3 − b3
a11 a12 = −3 a21 a22
a31 a32
a13 a23 + 0 = −3M . a33
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x − 2 x −1 x − 2 x −3
2x − 2 2x −1 2x − 2 2x −3
10. 记行列式
为 f (x) ，则方程 f (x) = 0 的根的个数为
3x − 3 3x − 2 4x − 5 3x − 5
1 2 4 001
2 −5 1 2
−3 7 −1 4
6. 计算行列式 D =
.
5 −9 2 7
4 −6 1 2
【答案】-9
【解析】（化零降阶法）
2 −5 1 2 2 −5 1
线性代数 第一章 行列式
第一章 行列式习题答案二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案1.计算下列二阶行列式（1）23112=； （2）cos sin 1sin cos θθθθ-=；（3）1111121221212222a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b =+++ 1221122112211221a a a b b a b b ----（4）1112111221222122a ab b a a b b +1122112212211221a a b b a a b b =+--2.计算下列三阶行列式（1）10312126231-=--； (2)11121322233233a a a a a a a 112233112332a a a a a a =-()1122332332a a a a a =- （3）a c bba c cb a3333a b c abc =++- 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.123t =+= 112217t =++++=（3）()()()12322524212n n n n ---4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列.解：4,5i j ==，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a -6.按定义计算下列行列式：（1）0001002003004000(4321)(1)2424t =-= （2）000000000000a c db (1342)(1)abcd abcd t =-= 7. 求1230312()123122x xf x x x x-=的展开式中4x 和3x 的系数.4x 的系数为6-；含3x 的项只有(4231)(1)(3)3t x x x -?创，所以3x 的系数为(4231)(1)3(3)119t -?创= 行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：（1）200819861964200919871965201019881966；解：32212008198619641110111r r r r D --==(2)123123123111a a a a a a a a a +++； 解：2312323231(1)1111a a D a a a a a a a =+++++各列加到第一列后提取公因式21312312331(1)0101r r r r a a a a a a --=+++123(1)a a a =+++ （3）41232013201116011601110111031023500r r D +--==-- 213314116116(1)111027350818r r r +++--=-=-20=- （4）211201110111611261112112211100100c c D ---==----314110110(1)26126116221223c c -+=-=--=--.（5）00100101D αβαβαβαβαβαβαβ++=++.()401100101D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++-+++ ()()()32212D D D D D a b a b a b a b a b a b 轾=+-=++--臌432234a a b a b ab b =++++2.证明：（1）011=++++=cb adb a dcd a c b d c b a D １１；证明：将D 的各列都加到最后一列再提出公因式有1111(1)01111a b c d a b b c a d b c D a b c d c d a b c d d a b c d a ++==++++=++１１１１（2）33()ax byay bzaz bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax byay bz z xy ++++++=++++.证明：左式12axayaz bybzbx ay bzaz bx ax by ay bzaz bx ax by D D az bx ax by ay bzaz bx ax by ay bz =+++++++=+++++++311r br xyzx y z D a ay bzaz bx ax by a ay bz az bx ax byaz bx ax byay bzazaxay-=+++=++++++23223r br x y z x y z x y z a ay bz az bx ax by a ay az ax a yz x zxyzxyzxy-=+++== 类似有1323322(1)r r r r yz x x y z D b zx y yz x xyzzx y ←−→←−→==-,所以33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax byay bzzxy++++++=++++ 3.计算n 阶行列式（1）n D =ab bbb a b bbb a bb b b a ...........................；各行加到第一行后提取公因式有：[]111...1...(1).....................n ba b b D a n b bba bb b b a=+-[]211111 (10)0...0(1)00 0 0...n r br r br a b a n b a b a b---=+---L[]()1(1)n a n b a b -=+--（2）12121212n na n a n D n a ++=+12(0)n a a a ≠ .211212111212121211210012000n n nr r n r r r n r r a a nna naa a n a a a a a a a a a a -----+++++--==--1112221211n n n n i i a na i a a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫=++++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 4.利用范德猛行列式计算：1111123414916182764D =.2222333311111234(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341234==------= 克拉默法则部分习题答案1.用克拉默法则解线性方程组（1）122313223(0)0bx ax ab cx bx bc abc cx ax ì-=-ïïï-+= íïï+=ïïî；解：002350b a D cb abc ca-=-=-，212023500ab a D bc c b a bc a --=-= 2220350b ab D bc b ab c ca -==-，220250baab D c bc abc c --=-=-123,,x a x b x c =-==（2）123412341234123432125323348246642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨-++-=⎪⎪--+=⎩.解：132125321734826164D --==----,1132135323444822164D --==----211212332034826264D --==---,3131125321734426124D ==---,13212533853*******D --==---12342,0,1,5x x x x =-===2.当λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++0 00433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解． 解：3410(1)(3)01D l ll l l=-=--，（1）1l ¹且3l ¹时0D ¹，该齐次线性方程组只有零解。
第一章行列式试题及答案
第一章行列式试题及答案选择题（每小题3分，共30分）(A) n (B) n /2 (C) 2 n (D) n (n -1)/2 2x 1 1 在函数f x 2x X 4x中，x 的系数是（） 1 2 X (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4对换的次数为（ ⑵若 D n =det( a j )=1，则 det( -a j ⑴n 元排列i 1 i 2…i n 经过相邻对换，变为i n …i 2 i 1,则相邻） (D) (-1) n(n -1)/2a 2ab ae1 ab aea 2ab a、 1 ab ae (C) 2ab D 1 be20 t ) 1 be (D)ab b 2b、 a b 1 be2ae be e0 be e 2ae be e fae be 1a b b ea , b, e 两两不同,a a 2e a b b 2e e 20的充要条件是e =0(A) abe =0 (B) a+b+e=O(C)b =-1, e =02 2(D) a =b ,11⑷设 2 2 nn(C) (-1) (A) 1 (B) -1 则n 不可取下面的值是 (A) (ao-(A)7 (B) 2 k +1(k 2) (C) 2 2) (D) 173 2 1 0 0 J0 1 0 (A) 3 2 1 (B) 0 1 0(C) 3 0 0 0 0 1 1 3 00 0 1 下列行列式等于零的是（ ) (D) 行列式D 非零的充分条件是 （A ） D 的所有元素非零 （B ） D 至少有n 个元素非零 （C ） D 的任何两行元素不成比例（D ） 以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 (A)a 21 ab acab b 2bebe ( )2 . e 1a 2ab ae1 0 0ab b 2be0 1 0 ae bee 20 0 1ac(B)a 1b 1a ?b ? b 3 a 3b 4a 4四阶行列式(b 16) (a 3a 4- ttebj(B) (aa 4- bb)a 4b 1)x 12x 22x 3 0齐次线性方程组2X 1 x 2 X 3 0只有零解，3x 1 X 2X 3 0件是（）(A) =0 (B)=2 (C)=1 (D)(C) (a 1b 2- a 2b” (a 3b 4- a 4b 3)(D)(a 1b 4- ⑽ 则 :填空（每小题3分，共15分）(a 2a 3- b 2b 3)(a 2b 3- a 3b 2)应满足的条⑴ 在五阶行列式中，日12日53341日24日35的符号是 ____0 0 0 1 VJ0 0 0 3 2⑵五阶行列式0 0 1 8 —J0 2 07 E J3 0 0 2 61 5 7 8 11112 0 9 63 437则 5A 14+A>4+A 44= ____⑷ 若a , b 是实数，则当a= ___ 且b=.a b0 时，有 b a1 0X| X 2 X 3 ⑸设 X 1, X 2, X 3是方程X +px +q =0的根，则行列式x 3 x 1x 2 X 2 X 3 X|三 计算行列式（每小题6分，共30分）⑵42⑶-150用5, 1,0, 1 替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有四证明题(每小题10分，共20分) ⑸0由题意知k x X 1 x X 2 x X 3 0，其中x 的系数为k ，x 的 系数为 k(x 1 x 2 x 3)，与原方程比较，得 k =1，X 1+x 2+x 3=0。
线代第1章练习附答案
1 d
的值。
d2 d4
111 1 1
abcd x 【分析】 利用范作范德蒙行列式 D1 a 2 b2 c 2 d 2 x 2 ，则行
a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
列式 D 就是行列式 D1 元素 x3 的余子式 M 45 ，即 D M 45
又 D1 (x a)(x b)(x c)(x d)(d a)(d b)(d c)(c a)(c b)(b a)
2341 2 3 4 1 2341
D
10
3412 3 4 1 2 3412
4123 4 1 2 3 4123
1 1 1 1 11 1 1
0 1 2 1 0 1 2 1
10
10
160
0 1 2 1 0 0 4 0
0 3 2 1 0 0 0 4
1 222
2 2 22
3．计算 2 2 3 2 的值。
3
111
111
A. 2
B.1
3
5．下列行列式等于零的是(
3 21
A . 3 2 1
003
B. 0 1 0
0 01
130
C.2
D. 8
3
D)
0 1 0
C． 3 0 0
001
3 1 6
D． 2 2 4
162
0 1 1 1
6．行列式 1 0 1 1
1 0
1 1
第二行第一列元素的代数余子式
A21=（
B）
1 1 1 0
2013 0 0
。
00 0 00 0 0 0 2015
【分析】方法一：此行列式刚好只有 n 个非零元素
第一章 行列式练习题目及答案
第一章 行列式一、单项选择题1．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 22. =0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 23. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 26. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)07. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)08. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. 行列式=0100111010100111.2．行列式=-0100002000010 n n .3．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .4．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.6．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .7．n 阶行列式=+++λλλ111111111.8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为.9．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .10．已知db c a cca b b a b c a c ba D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.11．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .12．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.13．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.14．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x+++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；5. bn b b ----)1(1111211111311116. na b b b a a b b a a a b 321222111111111；7．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121; 8.2212221212121111n n n nn x x x x x x x x x x x x x x x +++;9.211200000210012100012； 10．aa a aa a a aa D ---------=1101100011000110001.参考答案一． 二． 单项选择题C C A B CD B B二．填空题1.0;2.!)1(1n n --;3.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 4.M 3-; 5.160-; 6.4x ;7.1)(-+n n λλ; 8.2-; 9.0; 10.0; 11.9,12-; 12.)11(!1∑=-nk kn ; 13.3,2-≠k ;14.7=k 三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-；3. 1,0,2-=x ;4.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ;5. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;6. ∏=--nk k kna b1)()1(;7. ∏∑==-+n k k n k k a x a x 11)()(; 8. ∑=+nk k x 11; 9. 1+n ;10. )1)(1(42a a a ++-.。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式；
5．利用数学归纳法计算行列式；
6．利用递推公式计算行列式；
7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；
8．利用加边法计算行列式；
9．综合运用上述方法计算行列式.
1.3 例题分析
例 1.1 排列 14536287 的逆序数为 ( )
(A) 8 (B) 7
+L + a2n xn MMM
=
b2
⎪⎩an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = bn
的系数行列式 D
≠
0 ，则方程组有唯一解 x1
=
D1 D
（
i=1，2，…，n），其中 Di 是 D 中第 i
列元素（即 xi 的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．
2．如果线性齐次方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0． 同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
于是 A31 + A32 + A33 = 0， A34 + A35 = 0．
12345
12345
11122
11122
A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 3 2 1 4 6 r4 + r2 3 2 1 4 6 = 0
）， x 3 的系数为（
）．
3 2x 1
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
a1 ...
∏ a2
...
... ...
an ...
=
(a j − ai ) .
1≤i< j≤n
a1n−1
a
n−1 2
... ann−1
1.2.6 计算行列式的常用方法
1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于 2、3 阶行列式；
2．利用 n 阶行列式定义计算行列式；
3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式；
(C) 10 (D) 9
解 在排列 14536287 中，1 排在首位，逆序数为 0；4、5、6、8 各数的前面没有比它们
自身大的数，故这四个数的逆序数为 0；3 的前面比它大的数有 2 个（4、5），故逆序数为 2；
2 的前面比它大的数有 4 个（4、5、3、6），故逆序数为 4；7 的前面比它大的数有 1 个（8），
MM MM
M
11 1 1L2
1 −1 −1 −1 L −1
n +1 0 0 0 L 0
11 0 0L0
求和，故共有 n！项． 1.2.2 行列式的性质
1．行列式和它的转置行列式相等； 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号； 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于 用该数乘此行列式的任意一行（列）；
4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和， 即
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0． 同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
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第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλ2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++111222c bcacbc b ab ac ab a ( )(A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1二 填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。
⑵ 五阶行列式=6200357020381002300031000___________。
⑶ 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。
⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=132213321x x x x x x x x x __。
三 计算行列式 (每小题6分，共30分)⑴ 0112210321011322211313211----- ⑵()()()()()()()()()()()()2222222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a⑶yy x x-+-+1111111111111111 ⑷ac ba c ba c ba cb a ⑸ xb b b a x b b aa xb aa a x D n =(a ≠b )四 证明题 (每小题10分，共20分)⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n⑵ 设平面上三条不同的直线为 000=++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ，证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a五 解答题 (5分)λ 和μ 取何值时，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？参考答案一、选择题⑴ (D) ⑵ (A) ⑶ (C) ⑷ (A) ⑸ (D) ⑹ (D) ⑺ (C) ⑻ (B) ⑼ (B)； ⑽ (D) 二、填空题 ⑴ “-”调换乘积中元素的位置，使行标成标准排列5341352412a a a a a ，此时列标排列的逆序数为t (24513)=5，故该项带负号。
⑵ 42 423212331)1(620035702038100230003100032=⨯⨯-=⨯⑶ -150用5, 1, 0, 1替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---⑷ a =0, b =00)(1010022=+-=--=---b a ab ba ab b a a =0, b =0⑸ 0由题意知()()()0321=---x x x x x x k ，其中x 3的系数为k ，x 2的系数为)(321x x x k ++-，与原方程比较，得k =1，x 1+x 2+x 3=0。
将行列式的第2,3行加至第1行，并对第1行提取公因子，得0111)(132213321132213321=++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、计算题⑴ 011221032101132275103110201122103210113222113132114241--------------r r r r051132275131101122113227513110)1(53454-------+--------+r r 列展开按第5130271310521122713105423---⨯------⨯-r r 行展开按第1705133151-=--⨯列展开按第⑵ ()()()()()()()()()()()()2222222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 5232125232125232125232122222122334++++++++++++---d d d dc c c c b b b b a a a a c c c c c c 0221222122212221222222334=++++--d d c c b b a a c c c c ⑶y y x x-+-+1111111111111111yy y x x xr r r r ----1111001111004321yx xy--11111100111100113,1行提取公因子第2214110110011110011y x yx xy r r =---⑷ 对n 阶行列式acba cba cb a按第一行展开，得递推公式 11---=n n n bcD aD D于是有 abc a abc bc a a bcD aD D 2)(32123-=--=-= 2224232343)()2(c b bc a a bc a bc abc a a bcD aD D +-=---=-= 223534534c ab bc a a bcD aD D +-=-=⑸ x b b b a x b b aa x ba a a x D n =)(000a x a b b b a x b b a ax ba a a x -++++=)(000a x b b b x b b ax ba a x ab b b a x b b aa x ba a a x -+=1)(1111--+=n D a x b b b x b b a x b a a x a1)(1111)1,,2,1(--+-------=-n n i D a x b x b a b x b a b a b x an i bc c得递推公式11)()(---+-=n n n D a x b x a D ① D n 的转置行列式相当于将a ,b 互换，于是有11)()(---+-=n n n D b x a x b D ②因为a ≠b ，①⨯(x -b )-②⨯(x -a )，得()()ba a xb b x a D nn n ----=四、证明题⑴ 设n 元排列为i 1i 2…i n 。
当n =2时，最多只需1次对换即可得标准排列12，结论成立。
假设结论对n -1元排列成立，下面证明对n 元排列也成立 ① 若元素i n =n 。
根据归纳法假设，i 1i 2…i n -1可经过不超过n -1次对换变成12… (n -1)，亦即i 1i 2…i n -1i n 可经过不超过n -1次对换(<n 次)变成12…n ② 若元素i n ≠n 。
不妨设i k =n ，只需对换元素i k 和i n ，即得第①种情形，故i 1i 2…i n 可经过不超过n 次对换变成12…n ⑵ 必要性设三条直线交于一点(x 0,y 0)，则x =x 0，y =y 0，z ＝1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000bz ay cx az cy bx cz by ax 故系数行列式0==ba c a cb cb a D 即))((222ca bc ab c b a c b a D ---++++-= ])()()[()(21222a c c b b a c b a -+-+-⋅++-=0=由于三条直线不同，因此，a ,b ,c 不能全部相等，故0=++c b a 。
充分性已知0=++c b a ，要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。
⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+b ay cx a cy bx c by ax ① 将前两个方程相加，有)()()(a c y c b x b a +-=+++由于0=++c b a ，得b ay cx -=--，即第三个方程。
因此，满足前两个方程的解一定满足第三个方程(该方程是多余方程)，去掉第三个方程，方程组①变为⎩⎨⎧-=+-=+a cy bx cby ax ② 其系数行列式22)(c a ac b ac cb ba D +-=-==])([21)(22222c a c a ac c a -++-=-+-=显然D ≠0 [否则，a =c =0，并由此得b =- (a +c )=0，这与0=++c by ax 是直线方程矛盾]因此，方程组②亦即方程组①有唯一解，三条直线交于一点。