南通市启东中学2016届高三上学期第一次月考试题 数学及答案

启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试高三数学试题命题人：俞向阳一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{}1,2,4A =，{}|(1)(3)0B x x x =--≤，则A B = ． 2．命题“[0,)x ∃∈+∞，23x >”的否定是 ．3．在3和243中间插入3个实数1a ，2a ，3a ，使这5个数成等比数列，则2a = ． 4．已知7sin cos 13αα+=-，π(,0)2α∈-，则tan α= ． 5．函数()ln 23x f x x =+-在区间(1,2)上的零点个数为 ．6．已知定义在R 上的函数2()23f x ax x =++的值域为[2,)+∞，则()f x 的单调增区间为 ．7．函数3()812f x x x =+-在区间[33]-，上的最大值与最小值之和是 ． 8．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为 ．9．若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ． 10．函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当(0,3)x ∈时，()xx f 2=，则(5)f -= ．11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：⑴1()sin cos f x x x =+；⑵2()f x x ；⑶3()cos )f x x x +；⑷4()sin f x x =；⑸5()2cos (sin cos )222x x xf x =+，其中“互为生成”函数的有 ．（请填写序号）12．已知ABC ∆是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2AB AD AC AD BC ⋅+⋅= ，则||BC =．13．已知直线l 与曲线1y x=-和曲线ln y x =均相切，则这样的直线l 的条数为 ．14．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++，*n ∈N ，则201420151()k k k a a =-=∑ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分14分) 已知集合{}||21|3A x x =-<，{}2|(2)20B x x a x a =-++≤．⑴若1a =，求A B ；⑵若A B A = ，求实数a 的取值范围．16．(本小题满分14分) 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+．⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．17．(本小题满分14分)已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，且a与b 的夹角等于150︒，b 与c 的夹角等于120︒， ||2c = ，求||a，||b ．18．(本小题满分16分) 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列．⑴设此等比数列的公比为q ，求3q 的值；⑵问：数列中是否存在不同的三项m a ，n a ，p a 成等差数列？若存在，求出m ，n ，p 满足的条件；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2*11,2,n n n S ka ta n n -+=-∈N ≥(其中,k t 为常数)．⑴若12k =，14t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．20．(本小题满分16分)已知函数()=e x f x (其中e 是自然对数的底数)，2()1g x x ax =++，a ∈R ．⑴记函数()()()F x f x g x =⋅，当0a >时，求()F x 的单调区间；⑵若对于任意的1x ，2[0,2]x ∈，12x x ≠，均有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数a 的取值范围．启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试高三数学试题参考答案一、填空题1．{}1,2； 2．[0,)x ∀∈+∞，23x ≤； 3．27； 4．125-； 5．1； 6．[1,)-+∞（(1,)-+∞也对）； 7．16； 8．210；9．13； 10．2-； 11．⑴⑵⑸； 12．2； 13．1； 14．2029105/2．二、解答题15．解：由题意知，(1,2)A =-；⑴当1a =时，[1,2]B =， [1,2)A B ∴= ； …………………………………………………………6分⑵A B A = ，A B ∴⊆；①当2a =时，{}2B =，不符合题意； …………………………………………………8分②当2a <时，[,2]B a =，由A B ⊆得：1a -≤； ………………………………………11分③当2a >时，[2,]B a =，此时A B ⊄，不符合题意；综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． …………………………………………14分16．解：⑴由正弦定理，得：b a b cc b a--=+， 整理，得：222a b c bc =+-， ………………………………………………………4分由余弦定理，得：1cos 2A =， A 是ABC ∆的内角，π3A ∴=； ………………………………………………………7分 ⑵ a ，c ，b 成等差数列，2c a b ∴=+，由⑴可知，222a b c bc =+-，222(2)c b b c bc ∴-=+-，整理，得：2330c bc -=，…………………………………12分由0c >，得b c =，a b c ∴==，∴ABC ∆是等边三角形．……………………………………………………………14分（注：本题第二小问可以用角的化简来处理）17．解：由0a b c ++= 得：22222222a b c a b a b cb c a b c b c a ⎧⎧+=-++⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=-++⋅=⎪⎪⎩⎩ ， ………………………5分2222||||2||||cos1504||422||cos120||a b a b b b a ︒︒⎧++=⎪∴⎨++⋅⋅=⎪⎩ ， …………………………………………10分解之，得：||a =||4b = ． …………………………………………14分（注：本题可先判断a c ⊥，或利用平行四边形法则或三角形法则来做）18．解：⑴ 3S ，9S ，6S 成等差数列，9362S S S ∴=+，∴9693()()0S S S S -+-=，即789789456()()()0a a a a a a a a a ++++++++=， …………………………………4分34564562()()0q a a a a a a ∴+++++=， …………………………………………6分24564(1)0a a a a q q ++=++≠ ，312q ∴=-；………………………………………8分 ⑵存在不同的三项1a ，7a ，4a 成等差数列． ………………………………………10分671114a a q a == ，341112a a q a ==-，7142a a a ∴=+；……………………………12分一般地，当6n m =+，且3p m =+时，有m a ，n a ，p a 成等差数列． …………16分（注：若利用等比数列求和公式，则必须讨论公比q 是否等于1，不讨论者扣3分）19．解：⑴由题意知，21111(*)24n n n S a a -+=-，21111124n n n S a a ++∴+=-，两式相减，得：22111111(2)2244n n n n n a a a a a n +++-=-≥， …………………………2分 整理，得：11()(2)0(2)n n n n a a a a n +++--=≥，0n a > ，12(2)n n a a n +∴-=≥， …………………………………………4分数列{}n a 是等差数列，212a a ∴-=， …………………………………………6分由(*)得：212211124a a a +=-，11a ∴=10a > ，11a =； ……………………………………………………8分⑵由211n n n S ka ta -+=-得2111n n n S ka ta +++=-，两式相减，得：2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥，………………………………10分 设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222n n n n n a kqa ka tq a ta +-=-，2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，由已知，可知0q >，…………………………………12分∴1q ≠，{}n a 不是常数列，0t ∴=； ………………………………………14分 11n n S ka -∴+=-，而0n a >且10n S ->，0k ∴<，k t ∴<． ………………………………………………………………………………16分20．解：⑴2()()()e (1)x F x f x g x x ax =⋅=++，()e (1)(+1)0x F x x x a '∴=++= ，得1x =-或1x a =--， ……………………………………………………………2分列表如下：（0a >，11a ∴--<-）……………………………………………………………………………………4分()F x ∴的单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---； ……………6分 ⑵设12x x <，()e x f x = 是单调增函数，12()()f x f x ∴<，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；………8分①由1212()()()()f x f x g x g x -<-得：1122()()()()f x g x f x g x -<-， 即函数2()()e 1x y f x g x x ax =-=---在[0,2]上单调递增， ()()e 20x y f x g x x a '''∴=-=--≥在[0,2]上恒成立， e 2x a x ∴-≤在[0,2]上恒成立；令()e 2x h x x =-，()e 20ln 2x h x x '∴=-=⇒=，∴[0,ln 2)x ∈时，()0h x '<；(ln 2,2]x ∈时，()0h x '>；x(,1)a -∞--1a -- (1,1)a ---1-(1,)a --+∞()F x ' +- 0+()F x极大值极小值ln 2min ()(ln 2)e 2ln 222ln 2h x h ∴==-=-，22ln 2a ∴-≤； …………………………………………………………12分②由1221()()()()g x g x f x f x -<-得：1122()()()()g x f x f x g x +<+， 即函数2()()e 1x y f x g x x ax =+=+++在[0,2]上单调递增， ()()e 20x y f x g x x a '''∴=+=++≥在[0,2]上恒成立， e 2x a x ∴--≥在[0,2]上恒成立；函数e 2x y x =--在[0,2]上单调递减，∴当0x =时，0max e 201y =--⋅=-，1a ∴≥-，综上所述，实数a 的取值范围为[1,22ln 2]--．…………………………………………16分。