南通市启东中学2016届高三上学期第一次月考试题 数学及答案

启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试

高三数学试题

命题人：俞向阳

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合{}1,2,4A =，{}|(1)(3)0B x x x =--≤，则A B = ． 2．命题“[0,)x ∃∈+∞，23x >”的否定是 ．

3．在3和243中间插入3个实数1a ，2a ，3a ，使这5个数成等比数列，则2a = ． 4．已知7sin cos 13αα+=-

，π

(,0)2

α∈-，则tan α= ． 5．函数()ln 23x f x x =+-在区间(1,2)上的零点个数为 ．

6．已知定义在R 上的函数2()23f x ax x =++的值域为[2,)+∞，则()f x 的单调增区间为 ．

7．函数3()812f x x x =+-在区间[33]-，

上的最大值与最小值之和是 ． 8．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为 ．

9．若α、β均为锐角，且1cos 17α=

，47

cos()51

αβ+=-，则cos β= ． 10．函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当(0

,3)x ∈时，()x

x f 2=，则

(5)f -= ．

11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下

列函数：

⑴1()sin cos f x x x =+；⑵2()f x x ；⑶3()cos )f x x x +；

⑷4()sin f x x =；⑸5()2cos (sin cos )222

x x x

f x =+，其中“互为生成”函数的

有 ．（请填写序号）

12．已知ABC ∆是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2

AB AD AC AD BC ⋅+⋅= ，

则||BC =

．

13．已知直线l 与曲线1

y x

=-和曲线ln y x =均相切，则这样的直线l 的条数为 ．

14．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++，*

n ∈N ，则2014

20151()k k k a a =-=∑ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分14分) 已知集合{}||21|3A x x =-<，{}

2|(2)20B x x a x a =-++≤．

⑴若1a =，求A B ；

⑵若A B A = ，求实数a 的取值范围．

16．(本小题满分14分) 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B C

c B A

--=

+．

⑴求角A 的值；

⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．

17．(本小题满分14分)

已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，且a

与b 的夹角等于150︒，b 与c 的夹角等于120︒， ||2c = ，求||a

，||b ．

18．(本小题满分16分) 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列．

⑴设此等比数列的公比为q ，求3q 的值；

⑵问：数列中是否存在不同的三项m a ，n a ，p a 成等差数列？若存在，求出m ，n ，p 满足的条件；若不存在，请说明理由．

19．(本小题满分16分)

已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2

*11,2,n n n S ka ta n n -+=-∈N ≥(其

中,k t 为常数)．

⑴若12k =

，1

4

t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．

20．(本小题满分16分)

已知函数()=e x f x (其中e 是自然对数的底数)，2()1g x x ax =++，a ∈R ．

⑴记函数()()()F x f x g x =⋅，当0a >时，求()F x 的单调区间；

⑵若对于任意的1x ，2[0,2]x ∈，12x x ≠，均有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数a 的取值范围．

启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试

高三数学试题参考答案

一、填空题

1．{}1,2； 2．[0,)x ∀∈+∞，23x ≤； 3．27； 4．125

-

； 5．1； 6．[1,)-+∞（(1,)-+∞也对）； 7．16； 8．210；

9．1

3； 10．2-； 11．⑴⑵⑸； 12．2； 13．1； 14．2029105/2．

二、解答题

15．解：由题意知，(1,2)A =-；

⑴当1a =时，[1,2]B =， [1,2)A B ∴= ； ……………………………………………………

……6分

⑵A B A = ，A B ∴⊆；

①当2a =时，{}2B =，不符合题

意； …………………………………………………8分

②当2a <时，[,2]B a =，由A B ⊆得：1a -≤； ………………………………………11分

③当2a >时，[2,]B a =，此时A B ⊄，不符合题意；

综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． …………………………………………14分

16．解：⑴由正弦定理，得：b a b c

c b a

--=

+， 整理，得：222a b c bc =+-， ………………………………………………………

4分

由余弦定理，得：1cos 2

A =

， A 是ABC ∆的内角，π

3

A ∴=

； ………………………………………………………7分 ⑵ a ，c ，b 成等差数列，2c a b ∴=+，