2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班) 高一寒假 第3讲 数列的小伙伴们 教师版 目标班

第3讲数列的小伙伴们

满分晋级

数列3级

等差数列深入

数列2级

数列的小伙伴们

数列1级

与数列的第一次

亲密接触

知识切片

<教师备案>本讲内容分成两部分：3．1等比数列的基本量；3．2等比数列的性质初步．本讲内容较少，可以与上一讲进行一个时间上的均衡．本讲思路是：先从直观上认识等比数列，通过一些

具体的数列感受等比数列并学习等比中项，之后再学习等比数列的通项公式，熟悉通项公

式以及正确计算等比数列的项数．再学习等比数列的求和公式，以及一些简单的性质．希

望把概念分开讲解，分别配例题．国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了，此处就尽

量不用了，由汉诺塔引入．

等比数列引入

汉诺塔

在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，印度教的主神大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘，这就是所谓的汉诺塔（如下图）．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些圆盘：一次只移动一片．．．．．．．，不管在哪根柱子上，小．圆盘．．必在大．．．圆盘．．上面．．．当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽．故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题．”

汉诺塔初始模型

64

636221C

B A ∙∙∙

∙∙∙

要把圆盘移动到另外一根柱子上，至少需要移动多少次呢？设有n 个圆盘，要从A 移动到C ，至

少需要移动的次数为n a ．易知12n =，时，1213a a ==，

，3n =的时候，可以考虑先将上面两个小的移到B 上，要23a =次，再将最大的那个移到C 上，要1次，最后将B 上的两个移到C 上，要23a =次，总共要2217a +=次．

对于一般的n ，我们可以类似考虑（如下图）：先将上面1n -个圆盘移到B 上，要1n a -次；然后将最大的那个盘子移到C 上，要1次移动；最后再将B 上的那1n -个圆盘移到C 上，要1n a -次．这种方法需要的次数为111121n n n a a a ---++=+．

n －1

1

n

∙∙∙

∙∙∙A

B

C

22C

B

A

∙∙∙∙∙∙

n

1n －1

①

②

3.1等比数列基本量计算

n

∙∙∙∙∙∙A

B

C

12

③

下面简单说明一下，至少要移动的次数121n n a a -=+．只需要考虑最大的那个圆盘移动到C 上的时

候，此时，比较小的1n -个圆盘必定是图②中的摆放方式，这1n -个圆盘从A 到B 要1n a -次，然后这1n -个盘子移到C 又要1n a -次，因此总共至少要121n a -+次才行． 综上可得到数列{}n a 的递推公式121n n a a -=+，则 232121231212212221222121n n n n n n n a a a a a -----=+=++=+++=

=++

++=- （也可变形为()1121n n a a -+=+，于是()()()2112112121212n n n n n a a a a ---+=+=+==+=．）

假设一秒钟能移动一次，那完成目标需要的时间就是6421-秒，大概是5845亿年，地球是远撑不到那个时候的．

当然，我们不是要探讨地球什么时候毁灭，而是要研究像231222，

，，，这样的数列，比如怎么求和，类似于这样的数列就是等比数列．

考点1：等比数列的概念

1．文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母(0)q q ≠表示．

2．符号定义：数列{}n a 中，若1n n a

q a +=（q 为常数，0q ≠），则称{}n a 为等比数列．

<教师备案>对于等比数列定义的详细理解：

① 由于等比数列每一项都可作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0．

② “从第二项起”是因为首项没有“前一项”．

③ 1n n

a

a +均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与前

一项之比，防止前后次序颠倒．

④ 如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列． ⑤ 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．

⑥ 常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列．

知识点睛

【例1】 等比数列的认识

下列数列是等比数列吗?如果是，求出公比，如果不是说明理由．

①1010，，，，；②2222，，，，；③1248--，，，，；④39183672，，，，， 【追问】等比数列是不是一定是单调的？

【解析】 ①④不是等比数列，②③是等比数列．

①的项中有0，④此数列从第2项起是一个等比数列．②1q =，③2q =-．

【追问】主要是希望学生通过一些等比数列的例子探索一下等比数列的单调性，不涉及等比

数列的通项公式．

1q =时，等比数列是常数列，不单调性；

0q <时，

等比数列一定是正负交替的，这时数列一定不单调，如1248--，，，，； 1q >，10a >时数列单调增加，如1248，，，，； 1q >，10a <时，数列单调递减，如1248----，

，，，； 01q <<，10a >时，数列单调递减，如11

124，，，；

01q <<，10a <时，数列单调递增，如1124

1

---，，，．

考点2：等比数列的通项公式

已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，第n 项为n a ，通项公式：11n n a a q -=．

11n n a a q -=

<教师备案>等比数列通项公式的推导：

可以直接迭代，根据等比数列定义有2211221n n n n n a a q a q a q a q ----=⋅=⋅==⋅=⋅．

也可以用叠乘法进行推导： 根据等比数列的定义，可以得到

21a q a =，32

a q a =，43a

q a =，…，1n n a q a -=．

把以上1n -个等式左右两边分相乘得13241231

n n n a a

a a

q q q q a a a a --⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅⋅个

，

经典精讲

知识点睛

第n 项

首项 项数减1