全国大学生周培源力学竞赛模拟试题及答案-江苏大学

题（3） 一、简答题1、在有输送热气管道的工厂里，你可以看到管道不是笔直铺设的。

每隔一段距离，管道就弯成一个门框似的(见图)。

你考虑一下，这种做法有什么力学意义?2、如图所示，木栓阻止着上下两块木板相对沿移，因而在截面力AB 上直接受到剪力作用。

但当P 力逐渐加大时，木栓最后却沿着纹理方向CD 破裂。

你能解释这种现象吗？3、中国古代木结构建筑中，在上梁与柱子(图a)的连接处，往往采用一种独具风格的斗拱结构(示意如图b)。

试从材料力学的观点分析一下这种在世界上特有的结构方式有什么优点。

4、建筑工程中常用的钢筋混凝土结构，在设计上布置钢筋承受拉力、混凝土承受压力，这有什么好处？今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，如图所示。

在使用中出现了险情：列车通过时跨中挠度超出了设计要求。

有人说：这好办，只要中间部位再加一个桥墩就行了。

试分析一下这个方案是否可行?为什么?并请你提出一个可行的方案来。

题（1）题（2）题（4）5、有人作过计算，钢制潜艇在安全的极限潜水深度下，它的浮力要减小3％左右。

这是什么缘故?从材料力学的角度来说，在潜艇的设计中，除了强度和稳定性问题外，还有什么重要问题需要考虑？6、如果你开始学习空手道(气功)，有一件事看来是有趣的。

用赤手空拳作一次击断木板的表演，这牵涉到肌肉强度、打击速度、木材强度以及技术的水平和观众的注意、……等等许多问题。

从材料力学的观点，有一个问题似乎是基本的。

应该对单块木板还是对一叠木板(两者总厚相同，见图)作练功表演呢? 当然，所比较的这两种方案中除单块与层叠这点不同之外，其他条件完全相同。

此外，假定观众离你只有3m ，因而不易受骗，所以你在采用某种巧妙的方案时，还要注意不致露出破绽。

二、计算题7、公元前221—205年，古埃及一个君主下令首席工程师Belisatius 设计一艘特大的战舰。

舰长128m ，宽18．3m ，一个桨就要40个人来划。

显然，在当时这只是一种幻想。

我们现在设桨示意如图，为了保证它有足够的强度，试研究下列具体问题：(0)建立力学模型 (1)桨所受的最大载荷如何确定?(2)作为初步设计，设想把桨做成等直圆杆，若木材的拉伸强度限为10MPa ，如何确定它的直径？(3)设计成变截面圆杆是否合理？其直径沿长度怎样变化为好？ (4)采用圆截面是否最优方案? 题（6）题（7）8、一场严重的洪水威胁着某个村庄，村民们必须撤离。

但洪水淹没了原有的小桥，使人们不能方便地过河。

重新搭桥要有9m 长，沿河床的截面如图a 所示。

人们很快找到两根直径为0.1m 的旧长木杆，并用0.6m 长的薄板把它们组装起来。

有人估算了一下此桥的承载能力，建议每次只能通过一个体重较轻的人。

计算的模型和公式想必读者是熟悉的，结果是：对于重量为734N 的人最大弯矩约为1．65kNm ，每根木杆的最大正应力为8．4MPa ，而木材的拉伸强度大约等于1MPa 。

出乎意料的是，当一个小孩通过时，木杆竟然断了，幸好落水的小孩得救。

后来又找到几根较新的木杆，马上要用来搭桥，……。

关于紧急搭桥有许多问题，试考虑其中几个如下：(1)原来的估计有什么疏忽的地方?若木材的重度为35.43/kN m ，桥上没有人时木杆是否有应力？最大应力有多大？(2)用四根木杆构成的桥上，同时能通过多少人?(3)若找到三块9m 长的木板，—块50mm 厚、600mm 宽，另两块都是25mm 厚、300m m 宽。

在构造新桥时，有两种简单的叠置方法，其横截面如图b 和c ，问哪—种比较好?两种方法都能安全吗？(4)在定出利用这三块板造桥的最好方案后，试确定人们通过时两人之间容许的最小距离。

9、（碰撞）均质圆柱体质量为M ，半径为R ，沿水平面以角速度0ω作无滑动滚动，与一高度为h 的直角台阶相碰撞，如图所示。

若碰撞是塑性的，要求碰撞后圆柱体能始终保持接触地滚上台阶，求0ω值的范围。

题（8）10、（点的运动学）假想在平原上有一只野兔和一只猎狗，在某一时刻同时发现对方。

野兔立即向洞穴跑去，猎狗也立即向野兔追去。

在追击过程中，双方均尽全力奔跑，假设双方速度大小不变，方向可变。

问：（1）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，求猎狗的运动方程和运动轨迹。

（2）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，试确定猎狗的初始位置范围，使得猎狗在这一范围内出发，总可以在野兔进洞前追上它。

江苏大学力学竞赛样题答案一、简答题1、解答：本问题属于热应力问题，所给出的方案可以有效减轻热应力的影响。

2、 解答：本问题属于剪切问题。

分析图如下：图(a)为木栓的受力图，图(b)为木栓上半部的受力图，图(c)为沿图(b)的下边取的一个单元体，可见，木材的纹面上是受剪的。

由于木材的纹面强度差，因而将沿该面剪坏。

3、 解答：这种结构的力学模型如图： 属于梁的合理设计问题采用这种结构可有效提高梁的强度 和刚度。

4、 解答：本问题属于梁的弯曲与材料性能的合理利用问题。

在中间加一桥墩的做法不可行。

因为这样做的话，在列车通过时，在中间桥墩的另一侧可能会出现混凝土受拉的情形，从而导致梁的破坏。

(a)τ(b)(c)可采用桥中间部分下侧抗拉材料加固，这样也可使宽度大的船通过。

5、 解答：原因是在水的压力下。

潜艇会出变小。

因此，在潜艇的设计时，不仅要考虑强度和稳定性，还要考虑刚度问题。

6、 解答：本问题属叠合梁的弯曲问题。

采用(b)方案更容易打断木板。

对（a ），最大正应力为：22236141bh Plbh Pl==σ 对(b)，假设每块木板承受的载荷一样，最大正应力为2229)3(61341bh Pl h b Pl=⨯=σ 二、计算题7、解答：本问题属于梁的弯曲及合理设计问题。

图示浆可以看作一两边受分布载荷的杠杆。

在平衡的前提下，可将其简化为一受分布载荷的悬臂梁，如图示（1） 浆所受的最大载荷可以根据每个人的力量来估计。

如图，假若每人的力量为P则 P Pq 67.3640==q梁受的最大弯矩为： P P M 1805.440max =⨯=（2） 由][max σσ≤=WM 得：][32max3σπM d W ≥= 所以：3max][32σπM d =（3） 圆截面是合理的，可根据弯矩的变化规律确定直径的变化规律。

（4） 考虑到船员加力部位的变化，圆截面应该是最优方案。

8、 解答：本问题属于梁的弯曲问题，可将桥简化为一简支梁：（1） 经数据检验可知，原来的估计中忽略了梁自重的影响。

在无人的情况下，存在有梁自重产生的应力 最大应力为：M P aWM 3254.410032109943.51.04125.0362max=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ππσ 若小孩过桥时产生的最大应力超过10-4.3254=506746Mpa ，就出现危险。

（2） 用四根木杆架桥，可通过一人。

由人产生的最大应力为4.2 MPa ，加上木杆自重引起的应力为8.5254Mpa 不超过10MPa ，可以过去一人（3） 用一块截面为600x50和两块300x25的木板钉成(d)(e)两种方式时，(d) 种更好（计算得来）（4） 两人过河时，力学模型如下，设每人重量为P99)9(2Pax P R A --=99)9(2Paxx x P M C --=M C 取极大值 72)18(2maxa P M -=若梁的最大容许弯矩解：塑性碰撞可看成是一个约束，碰撞前后为一过程，碰撞开始和碰撞结束的角速度分别为：0ω，1ω。

碰撞结束后上滚圆柱体为定轴转动，设滚动结束后其角速度为2ω。

滚动过程的任意位置的角速度为ω，问题就可解了。

首先考虑碰撞过程（图b ），碰撞前后圆柱对A 的动量矩守恒有：()0001A Mv R h J J ωω-+=式中 00,v R ω= 201,2J MR =23,2A J M R = 得碰撞终了时圆柱的角速度：10323R hRωω-=其次考虑滚上过程，碰撞后A 处无滑动，圆柱绕A 转动，在滚上过程中系统的机械能守恒A时当4/)18(a x -=O ω 0vCMg有：()22121122A A J MgR J Mg R h ωω+=++ 要使圆柱能够滚上台阶，须使滚上后的角速度2ω满足条件：20ω==≥因此得：0ω≥在滚上过程的任一位置，圆柱的角速度为ω，法向反力为,N 与水平成角θ（图c ）由质心运动定理和系统的机械能守恒有：()2cos 90n c Ma MR Mg N ωθ==--()22111sin 22A A J MgR J Mg R h ωωθ+=++ 解得： 2174sin 33R h N Mg MR Mg R θω-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭可见sin θ为最小值R hR-时，台阶的法向反力N 的最小值，即： min 07324333R h R h R h N Mg MR Mg R R R ω---⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 20323R h R h MgMR R R ω--⎛⎫=- ⎪⎝⎭要使碰撞后圆柱始终与A 保持接触地滚上台阶，应满足条件min 0N ≥ 因此得0ω≤。

于是所求范围为：0ω≤≤欲使上式成立，应有：≤ 即 37h R ≤如37h R >，则本题无解。

解：（1）为方便可如图建立坐标。

在任意时刻r vt，野兔R的位置为(,)r rx y,奔跑的方向与x轴夹角为rθ。

猎狗D的位置为(,)d dx y,奔跑的方向由D指向R。

且设,r dv v大小均为常量，1drvv>。

出于一般性的考虑，认为rθ可以变化，则t时刻野兔的位置为0000cossintr r r rtt r r rx x v dty y v dtθθ⎫=+⎪⎬⎪=+⎭⎰⎰（1）而猎狗在追击过程中满足dv=；d r dd r dy y yx x x-=-（2）由式（2）可解出猎狗的运动微分方程((ddxxyx⎫=⎪-⎪⎬⎪=⎪-⎭（3）可以由式（3）解微分方程组求出,d dx y，从而得到猎狗的运动轨迹。

一般情况下无法求出该运动轨迹的解析表达式，但若取90rθ≡，rx=，ry=时，则可由式（1）、（3）消去时间t得到猎狗运动的轨迹方程11()()2121d d d ddx x x xy ba aλλλλ-=-++-其中,a b为与初始条件有关的参数，rdvvλ=，特别是当12λ=时，有0d dy y=+图中就是12λ=时，野兔初始位置在原点，90r θ=，猎狗分别在123D D D 的初始位置时所得到的猎狗运动轨迹，轨迹与y 轴的交点表示猎狗在此位置追上了兔子。

（2）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，可以想象，存在着一个位置范围Γ，若猎狗的初始位置在Γ内，猎狗可以在野兔进洞前追上它；而猎狗的初始位置若在Γ外，则兔子可以安全跑进洞中，猎狗就再也追不着兔子了。

为了求出Γ的边界，可以采用如下方法。