天津理工大学高等数学下册试题

天津理工高等数学试题

一、填空题

1.设sin z xyz 1,-=则

z yz x cos z xy ∂=∂-. 2.设L 为圆周22x y 4+=

，则对弧长曲线积分=12π⎰ . 3.交换积分次序(

)22

2y 410y 0x

2dy f x,y dx =dx y)dy ⎰⎰⎰⎰. 4.方程2x y"4y'4y e -++=的一个特解是2x x e -212

. 二、选择题

1.函数(

)2222x y 0f x,y 0x y 0

+≠=+=⎩在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0

C.两个偏导数都存在，但不为0

D.全微分存在

2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥；

2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C .

A.12xdv 4xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

B.12

ydv 4ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

C.12zdv 4zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

D.12

xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222

x dydz x y z ∑++⎰⎰ 等于C . A.0

B.

22y z 1+≤⎰⎰

C.43π

D.22x z 1

+≤-⎰⎰ 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y e c cos x c sin x =+的方程是B .

A.y"4y'5y 0--=

B.y"4y'5y 0-+=

C.y"2y'5y 0-+=

D.2x y"4y'5y e

-+= 三、计算二重积分2y 2D

e dxdy y ⎰⎰.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 五、设y u y

f 2x,x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝，f 具有二阶连续偏导数，求 22

11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x

∂''''''=+--∂∂. 六、设()f x 是一个连续函数，证明：

（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2⎛⎫=++ ⎪⎝⎭

⎰，其中22u x y =+. 证明：（1）

()()()(

)

222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y

(yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y

f x y xdx ydy ++=+++∂+'=+∂∂+∂+'=+=∂∂∴++

（2） ()()22

u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2

+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭=++=++⎰⎰ 七、求：由曲面2222z 0,z y 1,x y 4==

+=+=所围空间立体Ω的体积.

解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ

====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

是一个全微分。

九、

计算曲面积分2∑，其中∑

为下半球面z =上侧.

解：补充曲面∑‘：z=0并取其下侧。

xy

222210002D 2

xdydz (z 1)dxdy xdydz (z 1)dxdy (2z 3)dxdydz 1022zdxdydz 22d d 3xdydz (z 1)dxdy dxdy πππθρρππ∑

∑'∑+∑ΩΩ'∑=++++=-+=--=--=-++=-=-∴⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2

7xdydz (z 1)dxdy 3π∑∑=++=-⎰⎰ 十、设()f x 二阶可微，且()1

f 03=，()f 01'=-，确定()f x 使积分

()()()2L 1312yf x 3yf x y dx f x x x dy 222⎛⎫⎛⎫''+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎰与路径无关. 解：

()()()2L 212x 3x

012**'*''01000101*1312yf x 3yf x y dx f x x x dy 222P Q 112f (x)3f (x)f (x)3x y x 22f (x)2f (x)3f (x)3x 1

2301,3

y C e C e y a x a y a y 0

02a 3a x 3a 3x 1

12a ,a 39

1y λλλλ-⎛⎫⎛⎫''+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭∂∂'''=→++=--∂∂'''--=+--=→=-==+=+→=→=---=+=-==-⎰x 3x 121212x 3x 2x 39

12f (x)C e C e x 39

21f (0)C C 93

11f (0)C 3C 33

1112f (x)e e x 123639--+=+-+=++='=-+-=-=+-+