天津理工大学高等数学下册试题

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天津理工大学高等数学I期末复习题（5篇范文）

天津理工大学高等数学I期末复习题（5篇范文）第一篇：天津理工大学高等数学I期末复习题《高等数学AI》模拟复习题（二）一、单项选择题1、设f'(x)=[ϕ(x)]3，其中ϕ(x)在(-∞,+∞)连续、可导，且ϕ'(x)>0 则必有（）A、f(x)在(-∞ ,+∞)上单调增；B、f(x)在(-∞ ,+∞)上单调减；C、f(x)在(-∞ ,+∞)上是凹的；D、f(x)在(-∞ ,+∞)上是凸的；2、函数f(x)=x3+2在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，其在（0，1）内适合f(1)-f(0)=f'(ξ)(1-0)的ξ=()1A、；3B、1；C、11；D、223.设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)>g'(x)，则当a<x<b时，有（）A.f(x)>g(x)；B.f(x)+g(a)>f(a)+g(x)；C.f(x)<g(x)；D.f(x)+g(b)>f(b)+g(x).4.若F'(x)=f(x)，则⎰dF(x)=()A、f(x)；B、F(x)；C、f(x)+C；D、F(x)+C5、设函数y=f(x)对任意x满足f''(x)+xf'(x)5=-1-x4，若f'(x0)=0,则以下结果正确的是（）A、f(x0)是f(x)的极大值；B、f(x0)是f(x)的极小值；C、(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点；D、x0不是f(x)的驻点。

⎰f(x)dx=F(x)+C,则⎰xf(a2-x2)dx=（）6、已知f(x)在R上连续，[]A、F(a2-x2)B、F(a2-x2)+C11C、F(a2-x2)+CD、-F(a2-x2)+C 22二、填空题复习题二1、设⎰f(x)dx=ex+sin2x+c，则f(x)=___________；2、曲线y=x-arctanx在区间__________上是凹的；-1x-1x3.若⎰f(x)edx=e+C，则f(x)4、若⎰f(x)dx=F(x)+C,则⎰sinxf(cosx)dx=5、⎰f'(x)-f(x)2dx=___________；6、f(x)在(-∞,+∞)连续，⎰f(x)dx=F(x)+C，则⎰f(ax+h)dx=三、计算题1.求⎰cosxdx2、已知f(x)的一个原函数为excosx，求⎰xf'(x)dx.x(ex+1)-2(ex-1)3.lim 3x→0(arcsinx)4、求函数y=2x+8的单调区间和极值.x四、解下列各题1、⎰xarctanx+x22、已知f(x)的一个原函数为exsinx，求⎰xf''(x)dx五、证明题1、设f(x)在[ 1 , 2]上有二阶导数，且f(1)=f(2)=0，又F(x)=(x-1)2f(x)证明：至少存在一点ξ∈(1 , 2)，使F''(ξ)=0.2、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0求证：存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)+ξf'(ξ)=0；第二篇：天津理工大学高等数学I期末复习题《高等数学 AI》模拟复习题（四）一、选择题1、方程z=(x2+y2)表示的曲面方程是（）A、旋转锥面；2.直线B、双曲抛物面；C、旋转抛物面；D、椭圆柱面.x+3y+4z==与平面4x-2y-2z=3的关系是()-2-7312A、平行，但直线不在平面上；B、直线在平面上；C、垂直相交；D、相交但不垂直.二、填空题1.设有点A（1，3，1），B（1，1，2）和C（2，3，5），则AB⋅AC=.2.若直线⎨⎧2x+3y-z+D=0与x轴有交点，则D=.2x-2y+2z-6=0⎩3、平面x+y=0是().A、与oz轴垂直的平面；B、与xoy平面平行的平面；C、通过oz轴的平面；D、不是前三种平面.三、计算题1.过点M(1,-2,3)作平面，使它与两平面π1:x+y-z-3=0和π2:2x+y+z-1=0都垂直.2、求过直线⎨⎧3x+2y-z-1=0且垂直于已知平面x+2y+3z-5=0的平面方程.⎩2x-3y+2z+2=0复习题四第三篇：高等数学极限复习题高等数学复习资料二川汽院专升本极限复习题一极限计算二两个重要极限三用无穷小量和等价第四篇：天津理工大学文件天津理工大学文件津理工人事…2005‟26号关于印发《天津理工大学福利费管理办法》的通知各学院、机关各处室、各直属单位：《天津理工大学福利费管理办法》已经2005年12月8 日第23 次校长办公会审议通过，现印发执行。

天津理工大学高数下学期答案

Po[p-lk0000000000000000000000000000000000 0第八章多元函数微分法（基本题）同步训练8.1题解一、填空题1、xx 12+； 2、22222(1,)1()yy xy x f y x x y x⋅==++； 3、22,0x xy -≤≤≥； 4、0x y +=.二、选择题1、A ；2、A ；3、A ；4、D.三、计算题1、4 ；2、1/e. 四、令(1),(1)x y k xy kx u x y k x++===-- 极限不存在(1)当沿x 轴趋于(0,0)时，0,1,lim 1y u u ==∴=. (2)当沿直线3x y =趋于(0,0)时，lim 2u =.同步训练8.2题解一、填空题1、1；2、)2sin()cos(xy y xy y -，)2sin()cos(xy x xy x -；3、2122,22sin sinx x x yy y y-；4、111x y z αβγαβγ---.二、选择题1、D ；2、A ；3、A ；4、B.三、计算题1、解：22()3z y y xy x xϕ∂'=-+∂，2()3z y x xy y x ϕ∂'=++∂，2、解：1111()sin ()sin sin sin 2222n x b f x nxdx nxdx xdx x xdx ππππππππππππππ----==-=-⎰⎰⎰⎰， .22z yx x y ∂=-∂+ 4、2211(,)ln sin 22Z x y x y x y =++-.同步训练8.3题解一、填空题1、222482dx dy dz -+； 2、1()xdx dy x y y-+； 3、2222221()111ydx xdy ydx xdy x y x y x y +=++++； 4、2222111(22)()2xdx ydy xdx ydy x y x y +=+++. 二、选择题1、D ；2、C ；3、A ；4、D.三、（此题不要求做）同步训练8.4题解1、3222sin 22cos 23(cos 6)x y x y t t dze t e t e t t dx---=⋅-=-. 2、22(1)1xxdz e x dx x e =++.3、()[()()]x x dze x x x dxφφφ'=+，. 4、2222222(),2(),()[22]0z z z z x x y y x y y x x y xy yx x y x yϕϕϕ∂∂∂∂'''=+=+-=+-=∂∂∂∂. 5、121222()z y yf f f f x x x∂=+-=-∂，y x z ∂∂∂222223122111)1(f xf x y f x y x f '-''-''-+''=， 6、32123zx f xy f y∂=+∂，22zy∂ ∂642241112222696x f x y f x y f xyf =+++. 同步训练8.5题解一、填空题22232(32)(32)z z x x y z x ∂+=∂∂- 1、-1； 2、()xzy z x --；3、1211212222,,()F F F F F Fdx dy F F F F ++---+-. 二、选择题1、D2、C三、计算题1、令22(,,)()0F x y z yf x z x z =---=，12-'=f xy F x ，)(22z x f F y -=，12-'-=f yz F z ，222'1()2'12'1z xyf z f x z x yzf y yzf ∂-∂-==∂+∂+ z z z y x x y∂∂+=∂∂ 2、22213232z zz x z x y z x∂∂-==∂-∂-， 222316(32)z xz x z x ∂-=∂- 22232(32)(32)z z x x y z x ∂+=∂∂- 4、设方程01x y z xyz ++=⎧⎨=⎩，确定函数(),()y y x z z x ==，方程组两边对x 求导100dy dzdx dxdy dz yz xz xy dx dx ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得()(),()()dy y z x dz z x y dx x y z dx x y z --==--.同步训练题解8.6题解一、填空题1、11112x y z-+==； 2、1()24z y x π=-+； 3、112360,123x y x y z z --++-===-.二、选择题1、C ；2、B...三、计算下列各题1、切平面法线方向{2,2,1}n =-，切平面方程2(2)2(1)(3)0x y z -+---=，223x y z +-=.2、切线方程为11222112x y z π+---==，法平面方程242x y z π++=+.同步训练8.7题解一、填空题1、2cos()4sin 3244z l ππ∂=+=∂； 2、(1,1)(1,1)2,|1,2,|1,u u u u x y x y x x y y ∂∂∂∂=-==-+=∂∂∂∂00|cos cos ,gradu |P P u i j l αβ∂=+=+∂ . 二、选择题1、B ；2、2(1,1,2)(1,1,2)||1u y yz x ∂=-=-∂，(1,1,2)(1,1,2)|2|0u xy xz y ∂=-=∂，2(1,1,2)(1,1,2)|3|11uz xy z∂=-=∂，方向导数(1,1,2)1110cos cos cos |1115222u u u u l x y z αβγ∂∂∂∂=++=-⋅+⋅==∂∂∂∂，选A. 三 1310322322312)1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1(=⋅+⋅+⋅=∂∂z y xlu. 2、方向导数0001()u x y z l a∂=++∂. 同步训练8.8题解一、填空题 1、小-2；2、)1,21(-；原题应改为)2(),(22y y x e y x f x ++= 二、选择题1、B ；2、C.三、1、边长为233a 的正方体. 2、83|236|1551313d +-==.3、解：设所求点为),,(z y x M )0,0,0(>>>z y x .令0),,(2222=-++=a Z Y X Z Y X G ，x G MX2=，y G MY2=，z G MZ2=.球面在点),,(z y x M 处切平面方程为0)(2)(2)(2=-+-+-z Z z y Y y x X x ，即2222a z y x zZ yY xX =++=++，其截距式方程为1222=++zaZ yaY xaX ，所以切平面在三个坐标轴上的截距分别为：z a y a x a 222,,.其与三个坐标面围成的四面体体积为xyz a V 66=.因函数xyza V 66= 的最小值点就是函数x y z z y x f =),,(的最大值点，故问题等价于求函数x y z z y x f =),,(在2222a z y x =++条件下的最大值点.构造辅助函数)0,0,0()(),,(2222>>>-+++=z y x a z y x xyz z y x F λ.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+==+==+=)4(0)3(02)2(02)1(022222a z y x z xy F y xz F x yz F z yxλλλ ，由)3(),2(),1(式有λ2-===zxy y xz x yz 222z y x ==⇒，代入)4(得a x =23，因0,0,0>>>z y x 故得a z y x 33===是唯一可能极值点，四面体体积确实存在最小值，故为最小值点即所求点为)33,33,33(a a a . 同步训练第八章检测题题解一、填空题：1、1）必要；2）必要； 3）充分； 4）充分； 5）充分.2、0(,)(,)()(,)lim[]2(,)x x f a x b f a b f a x f a b f a b x x→+---'-=-；3、sin ax e x ；4、21()1x y ++.二、选择题：1、D ； 2、B.三、1、1）2212,z z yx x y y x y∂∂==∂+∂+. 2）1ln y y dz yx dx x xdy -=+. 2、222223332u x yz y z xy z x xy z ∂-∴=+∂- 1(1,1,1)1321u x ∂-=+=-∂3、解：yx z∂∂∂2)3(12111f f x y f ''+''+'=)3(22221f f x ''+''+12212116)32(f f f y x f xy '+''+''++''=， 22yz∂∂)3(1211f f x x ''+''=)3(32221f f x ''+''+221211296f f x f x ''+''+''=. 4、解：dy xF yF yF zF dx xF yF zF xF dz 2121212122++-++-=.四、切点22(,,)(,,1)22x y z =，体积有最小值31119(2)112242422V =++=. 五、解：设()(,)G xyz F x y z xyz =++，曲面∑在点(1,1,1)处切平面法向量，曲面∑在点(1,1,1)处切平面法向量，(1,1,1)(1,1,1){,,}{,,}x y z u v u v u v n G G G F yzF F xzF F F ==+++，当1x y z ===时，3,1,u v ==(3,1)(3,1)5u v u v F yzF F F +=+=，3(3,1)(3,1)5u v u v F xzF F F +=+=，(3,1)(3,1)5u v u v F xyF F F +=+=， ∴法向量{5,5,5}5{1,1,1}n ==，∴切平面方程3x y z ++=，法线方程111x y z -=-=-.同步训练9.1题解（基本题）一、填空题1、(,)Du x y d σ⎰⎰2、21I I >3、21I I <4、21I I <5、21I I <二、1、A 2、B3、C4、D同步训练9.2－1题解一、填空题1、420(,)xxdx f x y dy ⎰⎰；2、12221112(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰；3、8.二、1、B 2、B3、C （原题应为⎰⎰---=)4(2144),(y ydx y x f dy I ）三、1、原式136. 2、1cos1-.3、证明：左边()()00()()()aaam a x m a x x dx e f x dy a x e f x dx --==-=⎰⎰⎰右边 4、176V =. 同步训练9.2－2题解一、填空题1、2cos 22(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰；2、12cos sin 00(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ+⎰⎰；3、2sin 200(cos ,sin )a I d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰； 4、211112010(cos sin )(,)(cos ,sin )x xdx f x y dy d f r r rdr πθθθθθ---+=⎰⎰⎰⎰.二、1、B ； 2、B.三、计算题1、2(1)a e π--.2、54π.四、1、4cos 22223202cos ,()()2DDx y M xy dxdy x y dxdyd r dr πθθρρθ=+==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4442013145(42)cos 12024222d ππθθπ=-=⋅⋅⋅=⎰。

高数练习题答案(天津理工大学)

同步训练1-1题解（基本题）一、填空题1、],0[],4(ππ⋃--；2、21x +.二、选择题 1、C ；2、A.三、计算题1、1||110[()]0||1001||110x x x e x f g x e x e x ⎧<-∞<<⎧⎪⎪====⎨⎨⎪⎪->-<<+∞⎩⎩， ()1||1[()]1||1||1f x e x g f x e x e x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩. 2、111()()111x x x x x x a a a f x x x x f x a a a ------=-=-==+++，()f x ∴在(,)-∞+∞是偶函数.同步训练1-2题解（基本题）一、填空题1、略；2、n 从[]125aε+开始；二、选择题1、A,B ；2、B.三、1、0ε∀>，绝对值不等式226|1|5n n n ε++-<+，22226122|1|55n n n n n n n n +++-=<=++，只须22,n n εε<>，取正整数2[]N ε=，则当n N >时，226|1|5n n n ε++-<+，证毕.2、n x Q 有界，∴存在0M >，对一切n ，||n x M <，又lim 0,0n n y ε→∞=∀>，对Mε存在正整数N ，当n N >时恒成立，|||0|n n y y M ε=-<，||||||n n n n x y x y M Mεε∴⋅=⋅<⋅=，证毕.同步训练1-3题解（基本题）一、填空题1、略；2、充分必要；3、1,1-,不存在.二、选择题 1、A ； 2、B,A,D ； 3、C.三、1、0ε∀>为使11|sin 0|,|sin |||x x x x x ε-<<，只须|0|||x x ε-=<，取δε=，则当0|0|x δ<-<时，恒成立1|sin 0|x x ε-<，01lim sin 0x x x→∴=.2、0ε∀>，为使|ε<，|=<<Q ，∴ε<，21x ε>，取21X ε=，则当x X >恒成立|ε<，0x →+∞∴=.3. 0ε∀>，为使24|(4)|2x x ε---<+，24|4||24||2|2x x x x -+=-+=++Q ，只须|(2)||2|x x ε--=+<，取δε=，则当0|(2)|x δ<--<时恒成立24|(4)|2x x ε---<+，224lim 42x x x →--∴=-+.同步训练1-4题解（基本题）一、填空题1、0；2、无穷小乘有界变量是无穷小；3、略；4、,0x k k z π→≠∈；5、A.二、选择题1、A ；2、D.同步训练1-5题解（基本题）1、原式＝32232(3)27lim 34(2)x x x→∞+=+； 2、原式＝11()22112n-=-； 3、原式＝1lim(1)11n n →∞-=+； 4、原式＝1x →=；5、原式＝1lim2x =； 6、由题设知21lim 0x x ax b →++=，即10,1a b b a ++==--，代入原式2111lim lim(1)251x x x ax ax a a x →→+--=++=+=-，3,4a b ∴==-.同步训练1-6题解（基本题）一、填空题1、13；2、12-；3、3；4、1-.二、选择题1、D ；2、A.三、1、原式＝221332122lim{[1]}21x xx x e x +-⋅--+→∞-+=+；2、原式30sin (1cos )1limcos 2x x x x x →-==；3、原式＝13tan cot 3tan 0lim[(13tan )]x xx x x ⋅→+3e =；4、33,3n <∴=；5、222222111()121n n n n n n n n n n <+++<+++++L ； 2222lim lim 11n n n n n n n →∞→∞==++Q ，∴原式＝1；6、原式＝1sin lim11x x x =.同步训练1-7题解（基本题）一、选择题1、B ；2、D.二、1、原式＝000lim lim 1n n m m x x n mx x n m x n m -→→>⎧⎪===⎨⎪∞>⎩；2、原式＝330lim 1x x x →=；3、原式＝220sin lim 1x xx →-=-.同步训练1-8, 1-9题解（基本题）一、填空题1、(,0)(0,)-∞+∞U ；2、9；3、(,2)(2,3)(3),2x -∞--+∞=-U U .二、选择题 1、A ；2、B.三、22||11()lim0||11||1nnn x x x f x x x x x x →∞<⎧-⎪===⎨+⎪->⎩，()f x 在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞U U 连续， 1x =±为跳跃间断点.四、1、原式＝2x →=；2、原式＝2sincos 22limcos 22x ax a x aa x a →-+⋅=-； 3、lim lim1x x →+∞==；4、原式631336223lim[(1)]6x x x x e x +---⋅-+→∞=-=+.同步训练1-10题解（基本题）一、1、原式2ln 300022()1ln 1233lim3lim limln 3x x x x x x x e x x x →→→--====. 2、原式3sin (1cos )cos x x x x x→-==2001sin 1cos limlim cos x x x x x x x →→-=⋅=二、设()21x f x x =-在[0,1]连续，(0)10,(1)2110f f =-<=-=>，由函数取零值定理，至少存在(0,1)ξ∈，使()0f ξ'=，即210ξξ-=，即至少有(0,1)ξ∈，使x ξ=是方程21x x =的根.三、设()()F x f x x =-在[,]a b 连续，()()0,()()0F a f a a F b f b b =-<=->，由函数取零值定理在(,)a b 内至少存在ξ，使()0F ξ=，即()f ξξ=.四、()f x Q 在0(,)x a b ⊂连续，0()0f x A =>，00lim ()()x xf x f x A →∴==，对102A ε=>存在0δ>，使当0||x x δ-<时，即存在0x 的邻域0(,)(,)x a b δ⊂U 内，使11|()|,()222A f x A A A A f x A -<-<<+，即有1()2f x A >. 同步训练第一章检测题题解（基本题）一、填空题1、必要、充分；2、15；3、2611x x ++；4、e.二、选择题1、C ；2、C ；3、B ；4、B. 三、1、原式111lim(1)2212n n →∞=-=+.2<L1n n ==，∴原式＝1.3、原式2cos (cos 1)2limlimcot ln cos sin 0lim 1x x x x x x x x xx e e e →→--→====.四、间断点0,1x x ==，1(00)0,(00),0f f e x --=+=∴=Q 是跳跃间断点，(10)0,(10),1f f x -=+=+∞∴=Q 是无穷间断点.五、lim ()1,0,1x f x a b →∞=∴==Q ，又221lim 02x x cx dx x →++=+-， 21lim0,1,1x x cx d c d d c →∴++=∴+=-=--， 2111(1)(1)(1)lim 0lim 0(2)(1)(2)(1)x x x cx c x x c x x x x x →→+--+-+-⇒=⇒=+-+-，即0(1)(1)1lim(2)0,2,1(2)(1)3x x x c c c d x x →-++=+==-=+-，即当0,1,2,1a b c d ===-=时，lim ()1x f x →∞=，即1lim ()0x f x →=.六、任取x 及[,]x x a b +∆∈，由题设00|()()|||0x f x x f x L x ∆→≤+∆-≤∆−−−→，lim ()()x f x x f x ∆→∴+∆=，即()f x 在[,]x a b ∈连续，由x 的任意性知()f x 在[,]a b 内连续，又()()0f a f b ⋅<，()f a ∴与()f b 异号，由函数取零值定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=.同步训练2-1题解（基本题）一、填空题1、04()f x '；2、必要，充分；3、!,(1)!n n --.二、选择题1、C ；2、B.三、1、为使()f x 在1x =连续，由(10)(10)(1)1f f f a b -=+=⇒+=，为使()f x 在1x =可导，由(1)(1)f f -+''=，计算211()(1)1(1)lim lim 211x x f x f x f x x ---→→--'===--，111()(1)1(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b ax af a x x x ++++→→→-+--'====---， 2,1a b ∴==-，即21()211x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩在1x =连续可导.2、11||x e x e y x e =='==，切线方程1()1y x e e =-+，即xy e=. 3、22()()()()()lim lim lim()()2()x a x a x a f x f a x a g x f a x a g x ag a x a x a→→→--'===+=--.同步训练2-2题解（基本题）1、12arcsin 222xx y '==. 2、12ln y x x '=⋅=3、1ln ln ln y x x x'=.4、22222111111tan cos33sin3tan (cos33sin3)22x x xy e x e x e x x x x x x '=++⋅-=+-.5. arcsin 2xy '=+arcsin 2x =arcsin 2x =.6、222(cos )(cos )2cos sin (cos )sin 2df x f x x xg x x dx'=-⋅=⋅. 7、2222(sin )sin 2(cos )(sin 2)sin 2[(sin )(cos )]dyf x x f x x x f x f x dx''''=⋅+-=-.同步训练2-3题解（基本题）一、1、y '=23/2(1)x y x -''==+.2、22()1,{()()[()]}()[()]f x y y f x f x f x f x f x '''''''==-. 3、()()n x y n x e =+ 4、设2sin ,u x v x ==，(100)(100)1(99)2(98)100100y u v c u v c u v '''=⋅++2100991009998sin()1002sin()2sin()2222x x x x x πππ⋅=++⋅+++ 23sin 200sin()9900sin()2x x x x x ππ=+⋅++⋅+2sin 200cos 9900sin x x x x x =--.同步训练2-4题解（基本题）一、填空题1、12；2、33(1),24(1)t t +-.二、选择题1、D ；2、C.三、1、2223320,3(1)ay y y a y y '''-+==-,2222323222483(1)33(1)9(1)a y y a ay a yy y y y '⋅''===---.2、当0x =时y e =, 2110y xy y x e y''+++=+，将0,x y e ==代入2110e y e e '++=得21(0)()y e e'=-+.3、122ln 1(ln 1)()x x x y x x x x x '=++-+. 4、22cos sin cos 1,csc sin sin dy t t t t d y t t dx t dx t--====---.5、1ln [ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)]3y x x x x =+++-+--11111[]31234y y x x x x'=+-++++-111]234y x x x '--++-.同步训练2-5题解（基本题）一、填空题1、c ；2、cos sin ln x x x x -. 二、选择题1、A ；2、A.三、1、[2[(2)](2)3[(3)](3)]dy f x x f x f x dx ϕϕϕ''''=+；2、[(1ln )cos sin ]x x dy x x x x x dx =+-；3、sin (1)sin()()0,sin x y x yx y e y xyey xy y xy dy dx e x xy++++''+++==-+.同步训练第二章检测题题解（基本题）一、填空题1、sin cos x x -；2、2(())[()()][()][2()()]f x x x x x f x x x x x ϕϕϕϕϕϕ'''''''+++；3、2cos sin x x x-+；4、1x =.二、选择题1、B ；2、C ；3、B ；4、C.三、1、sin cos tan cos |cos |x x x x xe x y e e e ex -'=⋅=-. 2、ln ln ,ln ln x yx y y x y y y x y x''=+=+,(ln )ln x y x y y y x '-=-，ln (ln )(ln )ln yyy y x y x y x x x y x x y--'==--. 3、2()2()()()(),()0f x x a x x a x f a ϕϕ'''=---=,2()()2()()()()()limlim 2'()x ax a f x f a x a x x a x f a a x a x aϕϕϕ→→'''----''===--. 4、21ln [ln 3ln(1)3ln(1)]2y x x x =+--+236]11xy x x '=--+. 四、22()0x x f x xx ⎧≥=⎨-<⎩，当0x <时，()2f x x '=-，当0x >时，()2f x x '=，当0x =时，200()(0)(0)lim lim 00x x f x f x f x x---→→--'===-，20(0)lim 0x x f x ++→'==，(0)(0)0f f -+''==，(0)0f '∴=，总之20()20x x f x x x ≥⎧'=⎨-<⎩. 五、1°(0,1]α∈时，当x a →时，()x a α-是无穷小1|sin |1x a≤-， 1lim ()lim()sin0()x ax af x x a f a x aα→→∴=-==-， ()f x ∴在x a =连续，但1()()1()lim lim()sinx ax a f x f a f a x a x a x αα-→→-'==---不存在. ()f x ∴在x a =不可导.2°(1,2]α∈，显然()f x 在x a =连续，又()()()limx af x f a f a x a →-'=-11lim()sin 0x a x a x aα-→=-=-， ()f x ∴在x a =可导，且()0f a '=，此时1211()()sin()cos (0)f x x a x a x x a x aααα--'=---≠--，当12α<≤时，lim ()x af x →'不存在，()f x '∴在x a =不连续.3°当[2,)α∈+∞时，lim ()0()x af x f a →''==，()f x '∴在x a =连续.六、()f x Q 以T 为周期，()()f x T f x ∴+=，00()()()()()limlim ()x x f x T x f x T f x x f x f x T f x x x∆→∆→++∆-++∆-''+===∆∆，()f x '∴是以T 为周期的周期函数.同步训练3-1题解（基本题）一、填空题1、2π； 2、3. 二、选择题 1、D ；2、C.三、1、设231120()23n n a a a F x a x x x x n-=++++L ， ()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)(1)0F F ==， ∴至少存在一点(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，即2101210n n a a x a x a x --++++=L 在(0,1)内至少有一根.2、()f x Q 在(,)a b 二阶可导，()f x ∴在1223[,],[,]x x x x 连续，在1223(,),(,)x x x x 内可导， 123()()()0f x f x f x ===，由罗尔定理在12(,)x x 及23(,)x x 内分别至少存在12,ξξ，使12()()0f f ξξ''==，由题设()f x '在12[,]ξξ连续，在12(,)ξξ可导，12()()f f ξξ''=， ∴至少存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈⊂，使()0f ξ''=.3、设()ln f x x =，它在[,]b a 连续在(,)b a 可导，由拉格朗日定理至少存在(,)b a ξ∈，使1ln ln (),ln ln 3a b a ba b a b b a a b a bξ---=-<<⇒<-<. 4、分析：欲证()()0f kf ξξξ'+=，即1()()0k k f k f ξξξξ-'+=，即[()]|0k x x f x ξ='=，从而可引入辅助函数()()k F x x f x =，证：设()()k F x x f x =在[,]a b 连续在(,)a b 可导，()()0,()()0k k F a a f a F b b f b ====，由罗尔定理至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即1()()0()()0k k f k f f kf ξξξξξξξ-''+=⇒+=.同步训练3-2题解（基本题）一、填空题1、1；2、0. 二、选择题1、B ；2、C.三、1、原式20011lim lim 366x x x x x xe e xe x x →→+-===；2、原式22cos3cos 3sin3sin limlimtan 22tan 2sec 22x x x x x xxx x ππ→→--+==⋅⋅ 213sin3sin 19cos3cos lim lim4tan242sec 2x x x x x x x xππ→→-+-+==191142-==；3、原式00ln 1limlimln(1)x xxx x xe exe e e e →→--===；4、原式33330000tan sin tan sin sin (1cos )12limlim lim lim tan sin cos 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→⋅---=====. 四、原式00()11()(0)1limlim (0)1222x x f x f x f f x x →→'''--''====. 同步训练3-3题解（基本题）一、填空题1、234561(01)2!3!4!5!6!x xx x x x e e x xθθ=++++++<<；2、341sin 1sin (01)3!4!x x xx θθ=-+<<.二、原式2232330[10()1]2[0()]2!2!3!lim x x x x x x x x x x→++++-+++= 3323233010()20()2!3lim x x x x x x x x x x x→+++++----= 33300()16lim 6x x x x →+== 三、()(),()(1),,()()x x n x f x xe f x x e f x x n e '==+=+L ,(0)0,(0)1,f f '==()(0)2,,(0)n f f n ''==L .()(1)21(0)(0)()()(0)(0)2!!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''∴=++++++L2311(1)2!(1)!(1)!n x n x x n x x x e x n n θθ+++=+++++-+L(01)θ<<.同步训练3-4题解（基本题）一、填空题1、(0,)(,0)+∞↑-∞↓；2、1230,1,1x x x ==-=. 二、选择题1、A ；2、C ；3、B.三、()(2)(1)x f x e x x -'=-+-，令()0f x '=得驻点2,1x x =-=，列表(,2)-∞-， 2-， (2,1)-， 1， (1)+∞()f x ' - 0 + 0 - ()f x ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓(2)f - (1)f 极小值22(2)(461)0f e e +-=-++=，极大值1212(1)(131)5f e e e e --=+++=+四、设2()sin 12xx f x e x -=+--，()cos x f x e x x -'=-+-，()(1sin )0,(0,)x f x e x x π-''=-+<∈，()f x '∴单调减少，又(0)0f '=， ∴当0x π<<时，()(0)0f x f ''<=， ∴当0x π<<时，()f x 单调减少，又(0)0f =， ∴当0x π<<时，()(0)0f x f <=，即2sin 12xx e x -+<+.五、由322(),()32f x x ax bx f x x ax b '=++=++(1)123(1)32023f a b a b f a b a b =++=-+=-⎧⎧⇒⇒⎨⎨'=++=+=-⎩⎩0,3a b ⇒==-同步训练3-5题解（基本题）一、填空题1、52055(,),[,),(,)32733+∞-∞；2、13()28f =.二、选择题 1、C ； 2、B.三、1、322,32,62y ax bx y ax bx y ax b '''=+=+=+，(1,3)Q 是曲线32y ax bx =+的拐点，3,620a b a b ∴=++=，39,22a b ⇒=-=.2、设底面三角形边长为x ，柱体高为h ，则2V h =，于是h =，表面积22(0)S x x =+=>，由34)0dS x V dx =-=得唯一驻点x =，又2234)0d S Vdx x+>，故当x =时表面积最小. 3、横断面面积2122S r rh π=+，得24S h r r π=-，断面周长()22()024S f r r r r r r ππ=++-<≤，2()22Sf r r π'=+-，令()0f r '=得唯一驻点24Sr π=+，且32()0Sf r r ''=>，∴当24Sr π=+时()f r 最小，此时24Sh π=+，故当r h =时，建沟所用材料最省.同步训练3-6题解（基本题）一、1、14,4；2、0；3、水平，2y π=-.二、经讨论：0y =是水平渐近线.同步训练第三章检测题（基本题）一、填空题1、(1,)+∞；2、1；3、(,)-∞+∞；4、()af a '.二、选择题1、D ；2、C ；3、D ；4、D.三、1、原式500lim 0t t t e →+∞==（令21t x=）；2、原式232000cos sin cos sin cos sin cos 1limlim lim sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-====； 3、原式22ln[1(1cos3)]1cos33sin 39limlimlimln(1)22x x x x x xx xx e eee →→→+--+====；4、原式112(ln 2ln(1))11lim2lim()11x x x x x x x x eee →→-+--+===.四、2ln ,2ln ,2ln 21y x x y x x x y x '''==+=++, 令2ln 30y x ''=+=得323ln ,2x x e -=-=，当32,0x e y -''>>，凹区间32(,)e -+∞，当320,0x e y -''<<<凸区间32(0,)e -，拐点是3323(,)2e e ---五、设()(1)()x F x e f x =-在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)(1)(1)0F F e f ==-=，o x1 2 -1由罗尔定理，至少存在一点(0,1)ξ∈使()0F ξ'=，即()(1)()0f e f ξξξ-'+-=.同步训练4-1题解（基本题）一、填空题 1、22sin con x x x x +； 2、2()f x x x c =-+； 3、2323x c +.二、选择题 1、B ； 2、D ； 3、D.三、计算题1、C x e x dx x e x xdx x e x x x x x ++--=+-=+----⎰⎰||ln 32)()(23125323； 2、222222222121111()arctan (1)(1)1x x x dx dx dx x C x x x x x x x+++==+=-+++++⎰⎰⎰； 3、C e dx e dx e x x x x x ++==⎰⎰313ln 1)3(3； 4、C x x dx x dx x +-=-=⎰⎰sin )cos 1(2sin 22；5、C x x dx x x dx xx x x dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22. 同步训练4-2题解（基本题）一、填空题 1、arcsin ()f x c +； 2、arctan ()f x c +. 二、选择题1、D ；2、D.三、计算下列各题1、原式＝2C =-⎰； 2、原式＝444313(1)ln |1|414d x x C x --=--+-⎰； 3、原式＝11112()ln ||32131x dx C x x x --=+-++⎰；4、原式＝1313()arcsin 33C x x-=-+； 5、C ==；6、⎰⎰⎰--=-=x d x x xdx x x xdx x cos )cos (cos sin cos )cos 1(cos sin 755253C x x ++-=8cos 6cos 86；7、C x tg tgx dtgx x tg xdtgx xdx ++=+==⎰⎰⎰322431)1(sec sec .四、计算下列各题1. 2(0)a > 解：令sin ()22x a t t ππ=-<<，原式＝222sin cos (1cos 2)cos 2a ta t a dt t dt a t =-⎰⎰22(sin cos )arcsin 22a a x t t t c c a =-+=. 2、222cos sin sin sec sin sin dt tdt d tt t t t===⎰⎰⎰ C xx C t ++-=+-=21sin 1.3、21sec tan 1cos 9sec tan 9t t dt tdt t t ==⎰⎰1sin 9t C C =+=. 同步训练4-3题解（基本题）一、选择题 1、C2、B二、填空题1．⎰+-'=''c x f x f x dx x f x )()()( 2.c x x x f +-=)1(ln 2)( 三、计算题1、()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C -------=-=-+=--+=-++⎰⎰⎰；2、⎰⎰---=-)11ln()11ln()11ln(xd x xx dx xC x xx x dx xx +---=---=⎰|1|ln )11ln(1)11ln(；3、C x x dx xx x x d x x x x xd dx xx +-=-=-==⎰⎰⎰⎰)2(ln 2)1ln (2)ln ln (2ln 2ln ；4、令udu dx u x u x 2,,2===,⎰⎰⎰⎰-===)sin sin (2sin 2cos 2cosudu u u u ud udu u dx xc x x x c u u u ++=++=)cos sin (2)cos sin (2.四、22()()()()(tan )tan sec 2222x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x x x C C ''==-=-+=+⎰⎰⎰五、⎰⎰⎰-----+=-==xdx x n n x nx x x xdx x n x x x d x I n n n n n n n cos )1(cos sin sin sin )(sin 21121)1(cos sin ----+=n n n n I n n x nx x x I ⎰-+==3455520cos 5sin cos I x x x x xdx x IC x x x x x x x ++-++-=cos )120605(sin )12020(2435同步训练4-4题解（基本题）一、选择题1、C2、D二、填空题1、211A B Cx Dx x x x ++++++； 2、2ln |310|x x C +-+； 3、ln |1sin |x C ++.三、计算题1、⎰⎰⎰⎰++-++++=++-+=+++134134)134(2113424221134122222x x dxx x x x d dx x x x dx x x x C x arctg x x x x d x x ++-++=+++-++=⎰)32(31134ln 219)2()2(|134|ln 21222； 2、21111()(ln |1|ln |2|)23123dx dx x x C x x x x =-=--+++--+⎰⎰11ln ||32x C x -=++； 3、解：令tan 2x t =，则221cos 1t x t -=+，221dtdx t=+，22222222113cos 3(1)(1)231dt dx dt dt t c t x t t t t+====-+++-+++⎰⎰⎰⎰；4、⎰⎰⎰+-+=+=+22325631)11(6)1(6)1(t dt t t t dt t t x xx dx =+-=C arctgt t )(6C x arctg x +-)(666.同步训练第4章检测题题解（基本题）一、1、C ；2、C ；3、C ；4、D.二、1、C x ++234)1(61；2、C x arctg +-cos .三、1、原式=C x xx d dx xx ++=++=+⎰⎰|22sin |ln 2sin 2)22(sin 2sin 22cos 2 2、令221x t +=，原式⎰=+-=-=C t t dt t t 35)1(3522C x x ++-+232252)1(31)1(513、原式=⎰⎰=+--=++2)1()1(1112222x x x x d dx xx x C x x arctg +-2121 4、原式⎰⎰⎰+++-=++=++=------1)1()1(1)1(22222x x x x x x xe e d e dx e e e e dx C e e x x +++++-=--]1)1(1ln[25、由212)11ln(xx x -='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+知原式⎰=-+-+=)11ln()11ln(21x x d x x C x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+2)11ln(41 6、令t x cos =，原式=⎰⎰⎰-==-tdt t t t td ttdt ctg ctg ctg sin 2C x x xx c t t t +---=+-=221ln arccos 1|sin |ln ctg 7、令arcsin t x =，则sin ,cos ,cos t x t dx tdt ==，原式＝22111cos (1cos 2)cos 2242t tdt t t dt t t tdt =+=+⎰⎰⎰22111(arcsin )424x x x C =+-+. 四、C x x x x x dx x f x xf x xdf dx x xf ++-+=-==⎰⎰⎰ln )sin 1(]'ln )sin 1[()()()()('C x x x x x +-++=)ln 1)(sin 1(ln cos五、⎰+-=-=-='=-=='c u u du u u f u u f x u x x x f 2222)21()(,21)(,sin ,sin 212cos )(sin 则令故c x x x f +-=2)(，代入(0)0f =，得0c =，则2()f x x x =-. 六、()(sin )(sin )cos f x x c x x ''=+==Q ，()()()(cos )cos()2n n n f x x x π∴==+ ()()cos()sin()22n n n f x dx x dx x c ππ∴=+=++⎰⎰同步训练5-1题解（基本题）一、填空题1、必要、充分；2、10ln ()f x dx ⎰3、是介于x 轴，ππ-==x x ,及x x f sin )(=围成的两块面积大小相同(符号相反)的两部分的代数和.二、选择题 1、A ；2、C ；3、C.三、1、x x f 2cos 1)(+=Θ在]45,4[ππ上连续，]45,4[,2)(max ,1)(min ππ∈==x x f x f ，2cos 112≤+≤∴x ，524455()(1cos )2()4444x dx ππππππ-≤+≤-⎰，即5244(1cos )2x dx ππππ≤+≤⎰2、设()()F x xf x =，1201()2()2f xf x dx =⎰Q ，又由积分中值定理，11(0,)2ξ∃∈，使12110()()xf x dx f ξξ=⎰，11111()()()22F f f ξξξ∴==，由罗尔定理，11(,)2ξξ∃∈，使()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=.同步训练5-2题解（基本题）一、填空题 1、yex cos ； 2、⎰-04222sin 2sin x x x dt t ；3、3x <.二、选择题1、A ；2、B.三、1、证：2)()()()()('a x dtt f x f a x x F x a---=⎰，令()()()()xa G x x a f x f t dt =--⎰，b x a x f a x x G a G ≤≤≤-==0)(')()(',0)(，由0)('≤x G 知)(x G 单调下降，因此0)(≤x G ，从而0)('≤x F .2、222000|sin ||sin ||sin |sin (sin )x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰4)(cos )cos (2=+-=0πππx x3、22()22x f x x x +'=++，当[0,1]x ∈时()0f x '>，即()f x 在[0,1]上单调增加，最小值(0)0f =，最大值211122200021(22)(1)(1)22222(1)1t d t t d t f dt t t t t t ++++==+++++++⎰⎰⎰15ln arctan 2224π=+-4、原式＝22011lim 33x x e x →-=同步训练5-3题解（基本题）一、填空题 1、0 ； 2、23；3、1.二、选择题1、B ；2、B.三、1、令t a x sin =，则tdt a dx cos =，当2,00π====t a x t x 时当时⎰-a dx x a x0222⎰⋅=2022cos cos sin πtdt a t ta a ⎰=⋅⋅⋅⋅=-=204422416)22143221()sin 1(sinππππa a dt t t a2、00022222(1)|221(1)dx dxarctg x x x x ---==+++++⎰⎰arctg1arctg(1)442πππ=--=+= 3、000|cos |x dx ππ==⎰⎰220022cos (cos )|sin |xdx x dx x x ππππππ=-=-=4、方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-+≥≥-=--时即当时即当101111011)1(1x x e x x xx f x⎰⎰⎰-+++=--2010211)1(11)1(x dx e dx dx x f x ⎰⎰++-=+-+-+=----10211011112ln |)1ln(1)1(11x x x x e x dx x d e e e )1ln(2ln )]1ln(2[ln 11e e +=++--=-方法二：令1-=x t ，则11≤≤-t ，dt dx =⎰⎰⎰--+==-21111)()1(t e dt dt t f dx x f ⎰++101t dt⎰--+=++-=+++-+=01110)1ln(2ln |])1[ln(1|)1ln(11e e t dt e e e t tt t 同步训练5-4题解（基本题）一、填空题 1、2π；2、21π+.二、选择题 1、A ；2、B.三、1、原式⎰=--=-=---=434302232)2(6|)12arcsin()21()21()21(πππx x x d 方法二：原式⎰==-=434332|arcsin 212πx xx d 2、原式000ln(1)|ln 211xx x xdx e dx e e e+∞+∞-+∞--===-+=++⎰⎰ 3、102211arctan 11111arctan |()ln |ln 2142142x t dx x dx x x x x t ππ+∞+∞+∞+∞=-+⋅=+=+++⎰⎰ 4、令ln u x =，原式＝1P duu+∞⎰，由P253例3，当1P >时收敛，当1P ≤时发散.同步训练第五章检测题题解（基本题）一、填空题 1、0；2、31；3、)2,(),21,(--∞-∞；4、)3(6sin )(cos 2222x xf x x xf --.二、选择题1、A ；2、D.三、1、由积分中值定理12312(0)3()3()()(1)33f f x dx f f ξξξ==⋅⋅=≤≤⎰，由罗尔定理有(0,)(0,1)C ξ∈⊂，使()0f C '=.2、0lim ()lim sin 2(1)0(0)x x x f x e f ++→→=-=≠，()f x 在0x =处不连续，在0x ≠处均连续. 3、令x t =-1，于是21010110(1)()()()f t dt f x dx f x dx f x dx ---==+⎰⎰⎰⎰20122221011(1)1(1)12424xx e dx dx e e x ππ--=+=--+-=+-+⎰⎰ 4、原式03300(arcsin )arcsin limlim(1~,0)4xx x x t t dtx xe x x x x x→→--==-→⎰ 241241lim 1211lim 12111lim 20220220=-=--=--=→→→x x x xx x x x x x 5、证明：2002sin sin sin nn n xdx xdx xdx ππππ=+⎰⎰⎰，而⎰⎰⎰⎰==--2=2=-=222020sin sin ))((sin 0,,sin ππππππππππxdx tdt dt t t x t x xdx nn n n时当令故sin sin sin 2sin nnnn xdx xdx xdx xdx ππππ2002=+=⎰⎰⎰.同步训练6-1,2（一）面积题解（基本题）一、填空题1、23a π2、462二、计算题1、解：面积33242242220024sin (cos )12sin cos 12sin (1sin )A a td a t a t tdt a t t dt πππ===-⎰⎰⎰2231531312()42264228a a πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=。

历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案

2015-2016年第二学期《高等数学AII 》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω由平面1=++z y x ，1=+y x ，0=x ，0=y ，1=z 所围，化为三次积分是（ B ） A 、 ⎰⎰⎰---=211010),,(y x x dz z y x f dy dx I ； B 、 ⎰⎰⎰---=111010),,(y x x dz z y x f dy dx I ；C 、 ⎰⎰⎰--=11110),,(yx dz z y x f dy dx I ； D 、 ⎰⎰⎰--=11010),,(yx x dz z y x f dy dx I .2、设y e x u 2=，则=du （ A ）A. dy e x dx xe y y 22+；B. dy e xdx y +2；C. dy xe dx e x y y 22+；D. dy e x dx e x y y 22+. 3、微分方程y dxdyx= 的通解为（ C ）. A. C x y +-=； B. C x y +=； C. Cx y =； D. x y =.4、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是xoy 平面上圆222R y x ≤+的上侧，R Q P ,,在3R 空间上有一阶连续偏导数，且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，则与曲面积分⎰⎰∑++1Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是（ B ）(A) ⎰⎰∑++2Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(B) ⎰⎰∑++3Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(C)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑21 ；(D)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑31 .5、微分方程x xe y y y 396-=+'-''的特解形式为（ B ）A 、x axe 3-；B 、x e b ax 3)(-+；C 、x e b ax x 3)(-+；D 、x e b ax x 32)(-+ 解：特征方程0)3(9622=-=+-r r r ，321==r r ，特解形式为x e b ax y 3)(-*+=.选（B ）. 6、当)0,0(),(→y x 时， 22yx xyu +=的极限为（ A ） A 、不存在； B 、1； C 、2； D 、0. 7、下列级数收敛的是（ B ） A 、∑+∞=+121n n ； B 、∑+∞=131sin n n ； C 、∑+∞=+1441n n n ； D 、∑+∞=-121)1(n n n . 8、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）A. x x e C e C y --=21；B. 221x xe C e C y --=； C. 221x xe C eC y -=-； D. x x e C e C y 221+=-.解：特征方程0)1)(12(122=+-=-+r r r r ，11-=r ，212=r ，通解为221xx e C e C y -=-.选（C ）.9、设⎰⎰+=Ddxdy y x I 21)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 32)(，D 由直线1=x ，1=y 与1=+y x 围成，则1I 与2I 的大小关系是（ A ）A 、21I I <；B 、21I I =；C 、21I I >；D 、21I I ≥. 10、积分 0 0adx ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为（ B ）A 、⎰⎰40csc 02πθθa dr r d ；B 、⎰⎰40sec 02πθθa dr r d ；C 、⎰⎰20tan 02πθθa dr r d ；D 、⎰⎰40sec 0πθθa rdr d .二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程0))(,,(4='''y x y y x F 的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个.2、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 000)(，它的傅立叶级数的和函数为)(x S ，则=)5(πS 2π. 3、已知函数)ln(22y x z +=，则=∂∂-∂∂xzy y z x0 . 4、设平面曲线L 为1||||=+y x ，则曲线积分=⎰+ds e Ly x ||||e 24.5、若曲线积分⎰---=Ldy y ax xy dx y xy I )(3)6(2232与路径无关,则=a 2 。

理工大学高等数学第二学期期末试卷及答案

系部专业班级学号姓名密封线答题留空不够时，可写到纸的背面注意保持装订完整，试卷折开无效装订线
4、已知两直线的方程是则过且平行于
的平面方程是
三、计算题（每小题 7 分，共 14 分）
1、设，求．
解
， 4 分
7 分
2、设，求
. 解: 因为
，所以
6分
． 7分
理工大学考试试卷
(2011-2012 学年度第二学期)
课程名称：高等数学（一） B 卷
命题：高等数学教研室
题号一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
一、单项选择题（每小题3分，共12分） 1．设有连续的一阶偏导数，则（
）．（A ）；（B ）
；（C ）
；（D ）
2、，是圆
在第一象限从点到点
的
一段，则 ( ) ．
（A ）
, （B ）, （C ）
, （D ）
3、下列无穷积分收敛的是（D ）. （A ）
(B)
(C)
(D)
4、二阶微分方程的通解是（ A ）.
（A ）；（B ）；（C ）
；（D ）
二、填空题（每小题3分，共 12分） 1、改变二次积分的积分次序
．
2、设, 则.
3、．
11
∑+∑∑-⎰⎰⎰⎰
2x y dxdydz Ω+-⎰⎰⎰
⎰⎰（注意z 的积分限应该为。

11-12-2高等数学下(通信、电子本科)A卷及标准答案

2011 - 2012学年第二学期期末考试《高等数学(下)》试卷(A)答卷说明：1、本试卷共6页，四个大题，满分 100分，120分钟完卷。

2、闭卷考试。

3、适用班级：11级通信系、电子系本科各班题号-一--二二三四总分分数评阅人： ____________ 总分人： __________________________、单项选择题(共 10小题，每小题3分，共30分)。

【A 】设有直线L ：口 =丄二二2及平面二:2x y =1,则直线L1 -2 1(A)平行于二 (B) 在二内 (C)垂直于二 (D) 与二斜交【D 】2.锥面z立体在xoy 面的投影为[A l 4.函数z = f (x, y)在点(x 0, y 0)处可微分，则函数在该点1 1【C 】5.将二次积分pdx. f(x,y)dy 转化成先对x ,后对y 的二次积分为(A)必连续 (C)必有极值(D)(B)偏导数必存在且连续偏导数不一定存在(A) (x -1)2 y 2=1 (B) (x-1)2 y 2 乞 1(C)z= 0,(x -1)2y 2 -1(D)z =0,(x_1)2y 2 _1【C 3.设函数z 二z(x, y)由方程e z = e + xyz 确定，则一z的值为(1,0,1)(A) d(B)e (C)(D)11 1 x( A )°dy y f(x, y)dx(B)°dy 0f(x,y)dx( C )1 y0dy 0f(x,y)dx(D) 1 10dy 0f(x,y)dx【D] 6.设L为圆周x22y =1(逆时针方向),则口L(x y)dx (3y -2x)dy( A 3 二(B) 2 二(C) 4 二(D) -3'：【D】7.下列级数中，收敛的级数是001(A) ----------- (B)n4 . 2n 1f (3n4 2n(C)1 nn4 1 * n2(D)nm n ■ 1°°(x _1)n 【B] 8.幕级数a(x n丿■的收敛域为心n3n(A) ( -2, 4) (B)[-2,4)(C)[-2,4](D)(-2, 4]【C】9.微分方程y - y = 0满足初始条件y l x出=2的特解为(A) y =e x1( B)xy = e 2x x(C) y = 2e (D) y = e【B] 10.具有特解y1.x .x二e , y2 二xe的二阶常系数齐次线性微分方程是(A) y -2y y = 0(B)y 2y y = 0(C) y y - 2y = 0(D)y - y 2y = 0得分|二、填空题(共5小题，每小题3分,共15分)1. 设两点A(1,2,1)及B (2,1,3),则| AB | = | AB | = •、6 _；向量AB与z轴的夹角为，r则方向余弦COS ；* = ____ . COS f = ----32. 设z = y x,则dz=_dz = y x In yd^xy x^dy.3. 函数f(x, y) =x2y — y2在点P(1,1)处方向导数的最大值为_T5 _____________ .4. 设L是连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则[(x + y)ds=_J2 _______________ .15.函数展开成X 的幕级数为3 x1.已知曲面Z =x 2 ・y 2-2上一点M (2,1,3)，⑴ 求曲面在M 点处的一个法向量；(2) 求曲面在M 点处的切平面及法线方程•2.求函数 f (x, y) = 2(x 「y)「x 2「y 2 的极值.2 2 2 23.平面薄片的面密度为」(x,y)=x y 1,所占的闭区域 D 为圆周x y =1及坐标轴所围成的第一象限部分，求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分(3z 2x)dydz - (y 3 -2xz)dxdz - (3x 2z)dxdy ,其中Z为上半球面z = a 2 -x 2 - y 2及平面z = 0所围立体的整个边界曲面的外侧5.设曲线通过原点，且曲线上任一点 M (x, y)处的切线斜率等于 x - y ,求该曲线的方程.6. 求微分方程y -3y ，2y =e x 的通解.3n7. 判断级数v (-1)n °半是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?心 4四、综合应用题(共2小题，共13分，其中第1题6分，第2题7分).1. (6分)要用钢板造一个体积为4( m 3)长方体无盖容器，应如何选择容器的尺寸，使n 1n z03nx , -3 ：：三、计算题(共7小题，每小题6分,共42分)得用料最省？》 2 * 》2. (7分)设在xoy平面有一变力F(x, y) =(x • y2) i (2x^8) j构成力场,(1)证明质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关；(2)计算质点从点 A(1,0)移动到点《高等数学(下)》试卷(A) 第5页共6页B(2,1)时场力所作的功(1)|ABH<6; COS 63x(2) dz = y Inydx xy x_l dy、2「¥x n ,—3»3n £3三.计算题(每小题6分,共42分).1.(6 分)(1)由 z = x 2y 2 -2 得，Z x =2x,Z y =2y ,曲面在点M (2,1,3)处的一个法n=(-4, -2,1))2分)⑵ 在点M (2,1,3)的切平面方程为4(x-2)，2(y-1)-(z-3) =04x 2y-z -7 -0选择题每小题3分共30分)..填空题(每小题3分,共15分).... (2 分) 法x y 42分)线z -3 -1A 二 f xx （1,—1） = —2,B 二 f xy （1,—1） = °,C 二 f yy （1, — 1） = -2,则2AC - B=4 ° , A ：： ° , .................................................................................. （2 分）所以（-1 为极大值点，极大值f （1,—1） =2 ............................................................. （2 分） 3.（6分）平面薄片的质M 二 J（x, y ）dxdy 二（x 2 y 2 1）dxdy .......................... （ 2 分）DD1 o2dr C 1）Z ° - °v/【丄加丄詩彳二3二 ................................ （2分）2 4 2 84.（6 分）所围空间区域门={（ x, y, z ） |0 _ z _ a 2-X 2 - y 2} 由高斯公式，有原式r "耳◎迅）dv0 ex oy cz!!! （3z 2 3y 2 3x 2）dv ............................. （ 2 分）Q2 a=3茁 2sin 「d 「r 2 r 2dr ................................. （ 2 分）0 - 0 02.（6 分）f x =2_2x, f y =-2—2yf x 二 0,占八（2 分）y=°,（2 分）（-1 xy丑1 6=3 2二[-cos J： [ r5]0 a5......................... ( 2 分)5 55.(6分)设所求曲线为y = y(x),由题意得，y = x- y , y(0) = 0,该方程为一阶线性微分方程y・y=x, 其中P( x) 1 Q, x ........................... x .......................... ( 2 分)_p(x)dx |P(x)dx _|dx f dx故通解为y = e [ e Q(x)dx C] =e [ xe dx C] [xe x dx C]二e ▲ (xe x _ e x C)二Ce」x -1(2 分)2分)从而Q(x)二-x,特解y - -xe x, (2 分)y(0)=0 从而所求曲线为6.(6 分)对应的齐次方程y”-3y、2y=0的特征方程为r2-3r•2=0，得特征根则对应的齐次方程的y =C1e x C2e2x2分)对于非齐次方程y ” -3y： 2y二e x, ' =1为r2-3r *2=0的单根，P(x) =1,设其* y特解为y -Q(x)e x,其中Q(x)=ax, a为待定系数，Q(x)满足Q (x) (2' p)Q(x)二P(x)0 (2 1 _3)(a) =17.(6分)由于》(一1)n 4 3n4ny 二C^x C2e2x_xe x.而|im 加=lim匸匕=丄 , 贝U (—2卑1 )收y u n F 4n 4 心4n 敛，................................... （ 3 分）3n从而'•（_ ni i3n ）也收敛，且为绝对收心4n敛. ....................................... （3分）四、综合应用题（共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分）.41.（6分）设该容器的长，宽，高为x, y,z,由题意知xyz=4,则z ,容器的表面积xy4 8 8A = xy 2yz 2xz = xy 2(x y) xy , x 0, y 0xy x y分）( 2 分)因实际问题存在最小值，且驻点唯一，所以当x二y = 2（ m）, z = 1（ m）时，容器的表面积最小，从而用料最省. .....................................................................（1分）2.（7 分）证明：（1）P（x, y）=x y2, Q（x, y） = 2xy-8,由于在xoy面内，—=2y Q恒成立，且P连续，® ex cy ex2分)故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. ................................... （4分）⑵质点从点A（1,0）移动到点B（2,1）时场力所作的功（与路径无关），路径L可取折线段A > C,C > B,其中点C(2,0),从而(2,1) * (2,1)W F dr Pdx Qdy%,。

高等数学下册2005-2015各届试题

A．发散
B．条件收敛
C．绝对收敛
D．敛散性不定
5．设 L 为圆周 (x 1)2 ( y 1)2 1，取逆时针方向，
4
(x y)dx (x y)dy
则曲线积分 L
x2 y2
.
A．0
B．
C． 2
D． 2
6．级数 (lg x)n 收敛区间为
n 1
A．(-1,1)
11 B．(-10,10) C． ( , )
3．[4 分]曲线 x
cos 2
t
，
y
1 sin t ， z
sin
t
上相应于 t
处的切线方程是
2
2
2
2
4．[4 分]设 D : x , y 1，则 (x sin y)d
D
5．[4 分]设任意项级数 an ，若 an an1 ，且 lim an 0 ，则该级数是 n n1
A．必是条件收敛
A． a cos x bx
B． ax b sin x
C． a cos x b sin x
D． a cos x b sin x x
12．[3 分]微分方程 y 2 y 10 y ex cos 3x 的一个特解应具有的形式是（其中 a,b 为常数）
A． ex (a cos 3x b sin 3x)
0
ey
9．设 f (x) 是周期为 2 的周期函数，它在[ , ]上的表达式为 f (x) x ，
将它展开成傅立叶级数时，傅立叶系数 bn
A．0
B． (1)n1 1 n
C． (1)n1 2 n
D． (1)n 2 n
10．微分方程 y y 6 y xe2x 的一个特解应具有的形式

高等数学下考试题库(附答案)

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。

高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题库一、选择题〔每题4分，共20分〕A(1,0,2),B(1,2,1)是空间两点，向量的模是：〔A〕A〕 5 B 〕 3 C 〕6 D 〕9解={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=.2. 设a={1,-1,3},A〕{-1,1,5}.b={2,-1,2}B 〕，求c=3a-2{-1,-1,5}.b是：〔C〕B〕{1,-1,5}. D 〕{-1,-1,6}.解(1)c=3a-2b=3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.设a={1,-1,3},b={2,1,-2}，求用标准基i,j,k表示向量c=a-b;A〕A〕-i-2j+5k B〕-i-j+3k C〕-i-j+5k D〕-2i-j+5k解c={-1,-2,5}=-i-2jk+5.4.求两平面和的夹角是：〔C〕A〕B〕C〕D〕2435.解由公式〔6-21〕有，所以，所求夹角．求平行于轴，且过点和的平面方程．是：〔D〕A〕2x+3y=5=0B〕x-y+1=0C〕x+y+1=0D〕．解因为平面平行于轴，所以可设这平面的方程为因为平面过、两点，所以有解得，以此代入所设方程并约去，便获得所求的平面方程6．微分方程xyy xy3y4y0的阶数是(D)。

A．3B．4C．5D．27．微分方程y x2y x51的通解中应含的独立常数的个数为(A)。

A．3B．5C．4D．28．以下函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解(B)。

A ．y2x B ．yx 2C ．y2x D ．yx29．微分方程y3y 3的一个特解是(B)。

A ．yx 3 1B ．yx23 C ．yxC 2 D ．yC1x 3．函数ycosx 是以下哪个微分方程的解(C)。

A ．y y 0B ．y2y 0C ．y n y0D ．yycosx11．yCe xC e x是方程y y0的(A)，此中C 1，C 2为随意常数。

高等数学期末考试试题及解答

高等数学（下）期末试题（2）二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a ＝______。

2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为______________________。

3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。

5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。

三、计算题（每题７分，总计３５分）。

2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数，求2z x y¶抖。

3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数，并指出收敛域。

4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=，且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切，求函数)(x y 。

5、计算222Ldsx y z++ò，其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p＃的弧段。

四、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、设0a >，计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。

2、计算z dv W蝌?，其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。

4、将函数()(11)f x x x =-＃展开成以2为周期的傅立叶级数。

5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =，计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。

五、本题５分。

对0p >，讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。

天津理工大学概率论与数理统计习题答案详解

一实数 x,
有
lim
n
P{|
n
np |
x |}
0
.
9. 设 X1, X2, , Xn 为随机变量序列,a 为常数, 则{Xn} 依概率收敛于a 是指
0, lim P n
Xn a
1
,或 0, lim P n
Xn a
0
。
10. 设供电站电网有 100 盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为 0.8. 假设每盏灯开关是相互独立的, 若随机变量 X 为 100 盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X 落在 75 至 85 之间的概率不小于 9 .
第 5 章大数定律与中心极限定理
一、填空题：
1.设随机变量 E() ，方差 D() 2 ，则由切比雪夫不等式有 P{| | 3} 1 . 9
2. 设 1, 2 ,, n 是 n 个相互独立同分布的随机变量，
E(i )
,
D(i ) 8, (i 1,2,,n) 对于
0.1
10 i1
Xi
20
0.1
P 0.63
1
10
(
3.18 0.05 i1
Xi
10 2)
0.63
t2
t2
0.63
1
e 2 dt 2
0.63
1
e 2 dt
0.63 2
0 2
t2
2 0.63
1
e 2 dt 1 2 0.7357 1 0.4714
2
10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，并且都在区间[0.5，0.5 ]上服从均匀分布，求 1200 个数相

大学高数下册试题及答案

大学高数下册试题及答案《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设有直线及平面，则直线（A）A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交.2．二元函数在点处（C）A．连续、偏导数存在；B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在.3．设为连续函数，则＝（B）A．；B．；C．D．.4．设是平面由，所确定的三角形区域，则曲面积分＝（D）A．7；B．；C．；D．.5．微分方程的一个特解应具有形式（B）A．；B．；C．；D．.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数；5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有.三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.解：方程两边取全微分，则解出从而四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数.解：，从而五、（本题8分）计算累次积分）.解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.解：先二后一比较方便，七．（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.解：由对称性从而八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧.解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、（本题4分）求方程的通解.解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

高等数学(下)08-09学年第二学期末试卷(A)

首钢工学院2008-2009学年度第二学期高等数学（下）公选课期末考试试卷（A 卷）班级：学号：姓名：一．填空题：（每小题4分，共 40分）1.微分方程x x y cos 2+=''的通解为 .2.与向量}1,1,2{-=a 平行的单位向量为 . 3.已知}2,1,1{},1,1,2{--=-=b a ，则=⨯b a ．4.与向量+-=22平行且满足27=⋅x a的向量= .5.过点(2,-1,2)且与直线21231zy x =-+=-垂直的平面方程为 .6. 球心为（-2，1，2），半径为3的球面方程为__________ _________.7.设 sin 22x y x z +=，则=dz ______.8.=+-→→xyxyy x 11lim0 ．9.设yx y e y x f xsin)2(),(2-+=，则=')2,1(x f .10. 交换二次积分次序⎰⎰=1),(2dx y x f dy Iyy= .二．计算题 (每小题6分,共48分)1. 求微分方程y x e y 23-='满足初始条件0)0(=y 的特解.2. 求微分方程xe y y +='63通解.3. 求二元函数)9ln(12222y x y x z --+-+=的定义域，并画出定义域的图形。

4. 设函数),(y x z z =由方程z e e z xy 2=+-所确定,求yzx z ∂∂∂∂,.5. 设),(3222y x e y x f z ++=，求yz x z ∂∂∂∂,.6. 求函数xy y x y x f 9),(33-+=的极值.7. 计算⎰⎰=Dxydxdy I ，其中D 是由xy=1,y=x 及x=2围成.8. 计算⎰⎰+=Ddxdy y x I 22cos，其中D :0,422≥≤+y y x三．应用题 (12分)要设计一个容积为 2 m 3 的无盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时用料最省? 至少要用多少m 2的材料?。

数学模型试题2008-2009-1-A—ans

2008～ 2009学年度第二学期《数学模型》期末考试试卷评分参考标准课程代码：试卷编号： 1-A 命题日期： 2009 年 5 月 26 日答题时限： 120 分钟考试形式：开卷、笔试+机试一．填空题（每小题5分，共15分）．1．设某种物资有两个产地21,A A ，其产量分别为10、20，两个销地21,B B 的销量相等均为15。

如果从任意产地到任意销地的单位运价都为1。

设-ij x 表示产地i 运往销地j 的运量，则求最优运输方案的数学模型为： 1515 20 10.22122111222112112121≥+≥+≤+≤+∑∑==x x x x x x x x st x Max i j ij2．设某区域开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若区域允许的最大人口数为m x ，人口增长率r 为，则该区域人口增长问题的逻辑斯蒂克模型为0d (1),(0).d mx xrx x x t x =-=3. 一个刚获得学位的大学毕业生，在择业问题上，通常会从以下几个方面来考虑：收入丰厚；适合个人兴趣；发展前景广阔；地理位置优越。

若有三个就业岗位可选，建立该择业问题的AHP 模型为：二．简答题（每小题5分，共20分）．1．用流程图法简述数学建模的一般步骤。

2．地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示。

解：撤离时人员的分布状态S 、人员总数N 、撤离速度v 、人们之间相对拥紧程度r 、人员所在地与安全地点的距离L 、人员撤离完毕所需要的总时间t 等。

3．某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2008年底时有1200个病人，到2013年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试建立差分方程模判断这个说法的正确性。

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天津理工高等数学试题
一、填空题
1.设sin z xyz 1,-=则
z yz x cos z xy ∂=∂-. 2.设L 为圆周22x y 4+=
，则对弧长曲线积分=12π⎰ . 3.交换积分次序(
)22
2y 410y 0x
2dy f x,y dx =dx y)dy ⎰⎰⎰⎰. 4.方程2x y"4y'4y e -++=的一个特解是2x x e -212
. 二、选择题
1.函数(
)2222x y 0f x,y 0x y 0
+≠=+=⎩在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0
C.两个偏导数都存在，但不为0
D.全微分存在
2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥；
2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C .
A.12xdv 4xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
B.12
ydv 4ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
C.12zdv 4zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
D.12
xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222
x dydz x y z ∑++⎰⎰ 等于C . A.0
B.
22y z 1+≤⎰⎰
C.43π
D.22x z 1
+≤-⎰⎰ 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y e c cos x c sin x =+的方程是B .
A.y"4y'5y 0--=
B.y"4y'5y 0-+=
C.y"2y'5y 0-+=
D.2x y"4y'5y e
-+= 三、计算二重积分2y 2D
e dxdy y ⎰⎰.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 五、设y u y
f 2x,x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝，f 具有二阶连续偏导数，求 22
11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x
∂''''''=+--∂∂. 六、设()f x 是一个连续函数，证明：
（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
⎰，其中22u x y =+. 证明：（1）
()()()(
)
222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y
(yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y
f x y xdx ydy ++=+++∂+'=+∂∂+∂+'=+=∂∂∴++
（2） ()()22
u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2
+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭=++=++⎰⎰ 七、求：由曲面2222z 0,z y 1,x y 4==
+=+=所围空间立体Ω的体积.
解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ
====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
是一个全微分。

九、
计算曲面积分2∑，其中∑
为下半球面z =上侧.
解：补充曲面∑‘：z=0并取其下侧。

xy
222210002D 2
xdydz (z 1)dxdy xdydz (z 1)dxdy (2z 3)dxdydz 1022zdxdydz 22d d 3xdydz (z 1)dxdy dxdy πππθρρππ∑
∑'∑+∑ΩΩ'∑=++++=-+=--=--=-++=-=-∴⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2
7xdydz (z 1)dxdy 3π∑∑=++=-⎰⎰ 十、设()f x 二阶可微，且()1
f 03=，()f 01'=-，确定()f x 使积分
()()()2L 1312yf x 3yf x y dx f x x x dy 222⎛⎫⎛⎫''+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎰与路径无关. 解：
()()()2L 212x 3x
012**'*''01000101*1312yf x 3yf x y dx f x x x dy 222P Q 112f (x)3f (x)f (x)3x y x 22f (x)2f (x)3f (x)3x 1
2301,3
y C e C e y a x a y a y 0
02a 3a x 3a 3x 1
12a ,a 39
1y λλλλ-⎛⎫⎛⎫''+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∂∂'''=→++=--∂∂'''--=+--=→=-==+=+→=→=---=+=-==-⎰x 3x 121212x 3x 2x 39
12f (x)C e C e x 39
21f (0)C C 93
11f (0)C 3C 33
1112f (x)e e x 123639--+=+-+=++='=-+-=-=+-+。