三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质
——正弦函数、余弦函数的性质
【教学目标】
1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
3．掌握正弦函数的周期及求法。

(n )si y A x ωϕ＝＋
【教学重点】
正、余弦函数的性质。

【教学难点】
正、余弦函数性质的理解与应用。

【教学过程】
一、讲解新课：
（1）定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］，
R (,)-∞+∞分别记作：
sin y x x ∈R
＝，cos ,y x x =∈R
（2）值域
，1sin 1x ≤≤--1cos 1
x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。

[
]-1,1其中正弦函数，sin y x =x ∈R
（1）当且仅当，时，取得最大值1。

x 2k 2π
π=+k ∈Z （2）当且仅当，时，取得最小值。

x 2k 2π
π=+k ∈Z 1-
而余弦函数，cos y x ＝x ∈R
当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。

2x k π=k ∈Z (21)x k π=+k ∈Z 1-（3）周期性
由，()知：
sin(2)sin x k x π+=cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值()f x T x 时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周()()f x T f x +=T 期。

由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。

2π4π2π-4π-2k πk ∈Z 0k ≠对于一个周期函数
，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正()f x 数就叫做
的最小正周期。

()f x 注意：
1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域x ∈M x T M +∈0T ＞0T ＜无下界；
2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如）
()f x ()()00¹f x t f x +3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最T sin y x =2π4π2π-4π-T 小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
()f x 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的2k πk ∈Z 0k ≠周期，最小正周期是2π
（4）奇偶性
由sin()sin x x
-=-可知：为奇函数
()cos x cosx -＝sin y x =为偶函数
cos y x =∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称
（5）单调性
从，的图象上可看出：
sin y x =3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦当
时，曲线逐渐上升，的值由增大到1。

,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin x 1-当
时，曲线逐渐下降，的值由1减小到。

3x ,22ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin x 1-结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增大到1；
2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 1-在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到。

32,2()22k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 1-余弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增加到1；在每一[(2k 1),2k ](k )ππ-∈Z 1-个闭区间上都是减函数，其值从1减小到。

[2,(21)]()k k k ππ+∈Z 1-二、讲解范例：
例1：
求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么。

x （1），；
cos 1y x =+x ∈R （2），。

sin 2y x =x ∈R 解：（1）使函数，取得最大值的x 的集合，就是使函数，cos 1y x =+x ∈R cos y x =x ∈R 取得最大值的的集合。

x {|2,}x x k k π=∈Z 函数，的最大值是。

cos 1y x =+x ∈R 112=＋（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值的2 z x =x ∈R z ∈R y sin z ＝z ∈R z 的集合是|2,2z z k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩
⎭Z 由，
222x z k π
π==+
得4x k π
π
=+即使函数，取得最大值的x 的集合是。

sin 2y x ＝x ∈R |,4x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩
⎭Z 函数，的最大值是1。

sin 2y x ＝x ∈R 例2求下列函数的定义域：
（1） （2）1
n 1si x y =+y =解：（1）由，得1sin 0x +≠sin -1
x ≠即
32()2x k k Z ππ≠+∈∴原函数的定义域为3|2,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩
⎭Z （2）由得cos 0x ≥22()
22k x k k π
π
ππ-++∈Z ∴原函数的定义域为2,2()22k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣
⎦Z 例3求函数的单调区间
cos y x =-
解：由的图象可知：
cos y x =-单调增区间为[2,(21)]()
k k k ππ+∈Z 单调减区间为[(21),2]()
k k k ππ-∈Z 例4求下列三角函数的周期：1．
2． 3．sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y cos 2x =3sin 25x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解：1．令而 即：3z x π
=+sin(2)sin z z π+=(2)()
f z f z π+=(2)33f x f x πππ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭
∴周期2T π
=2．令2z x
=∴()cos 2cos cos(2)cos(22)cos[2()]f x x z z x x πππ===+=+=+即：()()
f x f x π+=∴周期T π
=3．令则25x z π=+4()3sin 3sin(2)3sin 23sin (4)2525x x f x z z f x ππππππ+⎛⎫⎛⎫==+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∴周期
4T π=三、课堂练习：
1．求下列函数的周期：
（1）
（2） （3）sin 22cos 346y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin y x =cos 2cos 21y x x x =+-解：（1）
最小正周期1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1T π=最小正周期22cos 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22T 3
π=∴为，的最小公倍数∴T 1T 2T 2πT π
=（2）T π
=
（3）∴2cos 2y x x =+T π
=2． 直接写出下列函数的定义域、值域：
（1）（2）1
1sin x y +=y =解：（1）当时函数有意义，值域：x 2k 2ππ≠-k ∈Z 1,2
⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦
（2）
()时有意义，值域3x 2k ,2k 22ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 3．求下列函数的最值：
（1）
（2）（3）y=sin 314y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭sin 24sin 5y x x =-+x x cos 3cos 3+-解：（1）当
即 x= ()时3242x k ππ
π+=+1232ππ+k k ∈Z max 0y =当即 ()时3242x k π
π
π+=-234k x ππ-=k ∈Z min 2
y =-（2）()sin 221y x =-+∴当 时22x k π
π=-k ∈Z max 10y =当 时22x k π
π=-k ∈Z min 2
y =（3）当 时1
3c 1os x y +=-+2x k ππ=+k ∈Z max 2
y =当 时
2x k π=k ∈Z 1
min 2y =4．函数的最大值为2，最小值为，求，的值。

sin y k x b =+4-k b 解：当时0k ＞⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+1
342b k b k b k 当时（矛盾舍去）∴ 0k ＜⎩⎨⎧-==⇒⎩
⎨⎧-=+=+-1342b k b k b k 3k =1b =-5．求下列函数的定义域：
（1）2）（3）y =()lg 2si n 1y x =++y =解：（1） ∵∴
3cos 12cos 20x x --≥co 112s x ≤≤
∴定义域为： 223()3k k k ππππ⎡-⎤∈⎢⎥⎣
+⎦Z （2）7122sin 662()1cos 22233k x k x k x k x k ππππππ
ππ⎧⎧-<<+>-⎪⎪⎪⎪⇒∈⎨⎨⎪⎪≥-≤≤+⎪
⎪⎩⎩Z 22()63k x k k π
πππ⇒-<≤+
∈Z ∴定义域为：
(2,2)63k k k π
πππ-+∈Z （3）∵
()cos sin 0x ≥∴22()
22k x k k π
π
ππ-≤≤+∈Z ∵1sin 1
x ≤≤∴
x R ∈1y ≤≤。