三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质

——正弦函数、余弦函数的性质

【教学目标】

1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；

3．掌握正弦函数的周期及求法。(n )si y A x ωϕ＝＋

【教学重点】

正、余弦函数的性质。

【教学难点】

正、余弦函数性质的理解与应用。

【教学过程】

一、讲解新课：

（1）定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］，

R (,)-∞+∞分别记作：

sin y x x ∈R

＝，cos ,y x x =∈R

（2）值域

，1sin 1x ≤≤--1cos 1

x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。[

]-1,1其中正弦函数，sin y x =x ∈R

（1）当且仅当，时，取得最大值1。

x 2k 2π

π=+k ∈Z （2）当且仅当，时，取得最小值。

x 2k 2π

π=+k ∈Z 1-

而余弦函数，cos y x ＝x ∈R

当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。

2x k π=k ∈Z (21)x k π=+k ∈Z 1-（3）周期性

由，()知：

sin(2)sin x k x π+=cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值()f x T x 时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周()()f x T f x +=T 期。

由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。2π4π2π-4π-2k πk ∈Z 0k ≠对于一个周期函数

，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正()f x 数就叫做

的最小正周期。()f x 注意：

1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域x ∈M x T M +∈0T ＞0T ＜无下界；

2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如）

()f x ()()00¹f x t f x +3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最T sin y x =2π4π2π-4π-T 小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

()f x 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的2k πk ∈Z 0k ≠周期，最小正周期是2π

（4）奇偶性

由sin()sin x x

-=-可知：为奇函数

()cos x cosx -＝sin y x =为偶函数

cos y x =∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称

（5）单调性

从，的图象上可看出：

sin y x =3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦当

时，曲线逐渐上升，的值由增大到1。,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin x 1-当

时，曲线逐渐下降，的值由1减小到。3x ,22ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin x 1-结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增大到1；

2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 1-在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到。

32,2()22k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 1-余弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增加到1；在每一[(2k 1),2k ](k )ππ-∈Z 1-个闭区间上都是减函数，其值从1减小到。

[2,(21)]()k k k ππ+∈Z 1-二、讲解范例：

例1：

求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么。

x （1），；

cos 1y x =+x ∈R （2），。

sin 2y x =x ∈R 解：（1）使函数，取得最大值的x 的集合，就是使函数，cos 1y x =+x ∈R cos y x =x ∈R 取得最大值的的集合。

x {|2,}x x k k π=∈Z 函数，的最大值是。

cos 1y x =+x ∈R 112=＋（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值的2 z x =x ∈R z ∈R y sin z ＝z ∈R z 的集合是|2,2z z k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩

⎭Z 由，

222x z k π

π==+

得4x k π

π

=+即使函数，取得最大值的x 的集合是。sin 2y x ＝x ∈R |,4x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩

⎭Z 函数，的最大值是1。

sin 2y x ＝x ∈R 例2求下列函数的定义域：

（1） （2）1

n 1si x y =+y =解：（1）由，得1sin 0x +≠sin -1

x ≠即

32()2x k k Z ππ≠+∈∴原函数的定义域为3|2,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩

⎭Z （2）由得cos 0x ≥22()

22k x k k π

π

ππ-++∈Z ∴原函数的定义域为2,2()22k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣

⎦Z 例3求函数的单调区间

cos y x =-

解：由的图象可知：

cos y x =-单调增区间为[2,(21)]()

k k k ππ+∈Z 单调减区间为[(21),2]()

k k k ππ-∈Z 例4求下列三角函数的周期：1．

2． 3．sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y cos 2x =3sin 25x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解：1．令而 即：3z x π

=+sin(2)sin z z π+=(2)()

f z f z π+=(2)33f x f x πππ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝

⎭