数字电路 第二章 逻辑代数与逻辑函数化简
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第二章 逻辑函数及其简化
L 表示。
利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 求函数 L AC B D 的反函数：
解： L ( A C) ( B D) 例 求函数 解：
L A B D
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明；
A B
如：串联开关电路
逻辑符号和表达式
A B C
P
P = A ·B · C=A×B ×C = A B C
&
真值表：列出输入的所
有状态和输出值。
逻辑1: 表示开关”闭”,灯的” 亮”. 逻辑0: 表示开关”断”,灯的”
A B
断 断 断 闭 闭 断 闭 闭
P
灭 灭 灭 亮
A B 0 0 0 1 1 0 1 1
B
逻辑符号和表达式
A B C ≥1
真值表：
A B 0 0 0 1 P 0 1 1 1
P = A + B+ C
或逻辑也称逻辑加运算，相当于 集合中的并集，根据并集的概念， 不难确定逻辑加的运算规则： A+B = P 0+ 0 = 0 0+ 1 = 1 1+ 0 = 1
A B P 00 0 0 1 1 1 0 1
第二章 逻辑函数及其简化
2.1 基本概念
2.2 逻辑代数 2.3 逻辑函数的表示方法 2.4 代数法化简逻辑函数 2.5 逻辑函数的卡诺图化简
2.1 基本概念
逻辑门电路：在数字电路中，实现逻辑运算功能的电路。 如：与门、或门、非门。 逻辑状态：在数字电路中；把一个状态分为两种，一种 状态叫逻辑1，另一种状态叫逻辑0 。
名称
第二章-逻辑函数及其简化
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 0 0 1
例2 有X、Y、Z三个输入变量，当其中两个或两个以上取值 为1时，输出F为1；其余输入情况输出均为0。试写出描述此 问题的逻辑函数表达式。 解：三个输入变量有23=8种不同组合，根据已知条件可得真值表 如 下：
由真值表可知，使F=1的输入变量组合有4个，所以F的与—或 表达式为：
F XYZ X Y Z XY Z XYZ
2）逻辑函数的表示方法
（1）真值表 逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有n个变量时， 共有2n个不同的变量取值组合。在列真值表时，变量取值 的组合一般按n位二进制数递增的方式列出。用真值表表 示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看出逻辑函数值 和变量取值之间的关系。
对偶关系
A(A+B)=AB
4）包含律
证明：
AB+AC+BC=AB+AC
AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC
对偶关系
5) 关于异或和同或运算
对偶数个变量而言， 有 A1A2... An=A1 A2 ... An
对奇数个变量而言， 有 A1A2... An=A1 A2 ... An
异或和同或的其他性质:
A 0= A 1= A A= A (B C)=(A B ) C A (B C)=AB AC
A 1=A A 0 =A A A= 1 A (B C)=(A B) C A+(B C )=(A+B) (A+C)
2 逻辑函数及其化简
=AB A B D A B D
AB A B ( D D )
AB AB
AB A B
A B &
&
AB
&
L
& &
AB
AB A B
（1-38）
利用逻辑代数的基本公式：
例2：
F ABC ABC ABC ABC AB (C C ) ABC AB 提出A A( BC B) A(C B) AC AB
A B( A A) A B
例如：A ABC DC A BC DC 被吸收
（1-17）
3.混合变量的吸收：
AB AC BC AB AC
1 证明： AB AC BC AB AC ( A A) BC
AB AC ABC ABC AB AC
普通代 数不适 用!
（1-15）
三、吸收规则 1.原变量的吸收： A+AB=A
证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
AB CD AB D( E F ) AB CD
被吸收
（1-16）
2.反变量的吸收：
A AB A B
证明：A AB A AB AB
2、逻辑函数的化简方法
化简的主要方法： １．公式法（代数法） ２．图解法（卡诺图法） 代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 并项法:
A A 1
AB( C C ) AB
（1-36）
L AB C ABC
吸收法：
第2章 逻辑代数与逻辑化简
L ABC ABC ABC ABC
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。 例2 写出函数 L A B
A B
真值表。
解：该函数有两个变量，有4种取值的可能 组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。
逻辑函数及其表示方法（4）
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。 例3 画出下列函数的逻辑图： 解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。
∴等式成立 同理可得
AB A C BCD AB A C
逻辑代数的运算规则（4）
基本逻辑定理 （1）对偶定理 若已知等式
F G
1 0
F
1 0
0 1
" " " " " " " "
F
D
G
0 1
F的对偶式
" " " G的对偶式 " " " " "
L A B A B
由逻辑图也可以写出其相应 的函数表达式。 例4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：可由输入至输出逐步 写出逻辑表达式：
L AB BC AC
逻辑函数及其表示方法（5）
逻辑函数的标准形式 考查逻辑函数： F f ( A, B) AB AB AB 化简，有： 最小项 A AB 0 AB 0 AB 1 AB 1 B 0 1 0 1 标准“与或” 式
0 1 0 1
A 0 1
Y 1 0
0 1 0 1
&
≥1
A A
1
Y Y
逻辑 符号
2 逻辑函数及其化简
1 1 1 1 1 1
AD
B
11
A 冗余项
AC
10
∴ F2 ( A, B, C, D) = AB + BC + AD
C
AB
例：用公式化简法得到下式，问是否最简， 若不是请化简之。
F3 ( A , B, C) = A B + AC + AB + BC
填项：
A
0 1
BC00
C
01 1 11 1 10
1
第二章 逻辑代数基础
§2.1 逻辑代数运算法则 §2.2 逻辑函数的化简 §2.3 卡诺图法
§2.1 逻辑代数运算法则
依据： 1.逻辑变量只取：0 、1两种状态。 2.与、或、非是三种最基本的逻辑运算。 与普通代数运算法则类似的：分配 律、结合律、交换律等。 与普通代数运算法则不同的： A•A=A A+A=A A = A (还原律）
= B + BD + ABD + ABCD
吸收消去
= B + BD
（长中含短，留下短）
吸收消去 （长中含反，去掉反） ∴F1 = B + D（最简与或式）
F2 = AD + AD + AB + AC + BD + ACEF+ BEF + DEFG
A
吸收消去 （长中含短，留下短）
(合并项)
= A + AC + BD + BEF + DEFG
ABD
D
01
（ + C) C
直接填入
11
10
01 11
1
1
B A
逻辑函数的公式法化简
=AB + (A + B )C
=AB + ABC
=AB + C
数字电路与逻辑设计
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第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
4 .配项法：
利用公式 A + A = 1、A - A = 0、AB + AC = AB + AC + BC，将某一
数字电路与逻辑设计
! !!在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。
例7:化简逻辑函数： L = AD + AD + AB + AC + BD + ABEF + BEF
解：L = A + AB + AC + BD + ABEF + BEF
（利用 A + A = 1 ）
=A + AC + BD + BEF （利用A+AB=A）
乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项进行合并化简。
例 6： L = AB + AC + BCD
=AB + AC + BCD( A + A)
=AB + AC + ABCD + ABCD
=AB + AC
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第二章逻辑函数及其简化
=AC+CD
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=AB + ABC
=AB + C
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第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
4 .配项法：
利用公式 A + A = 1、A - A = 0、AB + AC = AB + AC + BC，将某一
数字电路与逻辑设计
! !!在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。
例7:化简逻辑函数： L = AD + AD + AB + AC + BD + ABEF + BEF
解：L = A + AB + AC + BD + ABEF + BEF
（利用 A + A = 1 ）
=A + AC + BD + BEF （利用A+AB=A）
乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项进行合并化简。
例 6： L = AB + AC + BCD
=AB + AC + BCD( A + A)
=AB + AC + ABCD + ABCD
=AB + AC
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第二章逻辑函数及其简化
=AC+CD
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数电 第二章 逻辑代数基础(3)
3、将合并后的各个乘积项进行逻辑相加。
数字电子技术
16
•
注意：
• 每一个1必须被圈，不能遗漏。
• 某一个1可以多次被圈，但每个圈至少包含一个新的1。
• 圈越大，则消去的变量越多，合并项越简单。圈内1 的个数应是2n（n=0，1，2…）。
• 合并时应检查是否最简。 • 有时用圈0的方法更简便，但得到的化简结果是原函 数的反函数。
在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0， 所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将 约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。
数字电子技术
21
二.任意项
在输入变量的某些取值下函数值是1 还是 0皆可，并不影响电路的功能。
由于任意项的取值不影响电路的功能。所 以既可以把任意项写入函数式中，也可以不 写进去。
数字电子技术
28
例： 例1 Y
ABC D ABCD ABC D
给定约束条件为： ABCD+ABC D+ABC D+AB C D+ABCD+ABCD+ABCD=0
AB
00 00 0 01 0
CD
01 1 x 0 x
AD
AD
Y BC 00 A 0 0 1 1
数字电子技术
01 1 1 1
11 1 0
10 1 1
13
二、用卡诺图化简函数
例1： 将 Y ( A, B, C ) AC AC BC BC 化简为最简与或式。 Y BC 00 A 0 0 1 1
01 1 1
11 1 0
10 1 1
Y BC 00 A 0 0 1 1
ABC D ABCD ABC D
数字逻辑第2章-逻辑代数
果将表达式中的所有“ · ”换成“＋”， “＋”换成“ · ”，“ 0”换成“ 1”，“ 1” 换成“0”，而变量保持不变，则可得到的 一个新的函数表达式Y‘，Y’称为函Y的对偶 函数。
例如：
Y AB CDE
Y A B C D E
Y AB C
Y ( A B )(C D E)
（B A） B
证明:由于（A B ） （A B） （A B A） B
A （B B）
A 1
1
而且（A B ） （A B） A B A A B B
00
0 所以，根据公理 5的唯一性可得到:
A B A B
A A
定理6：反演律
A B A B
A B A B
定理7：还原律
A B A B A ( A B ) ( A B ) A
定理8：冗余律
AB A C BC AB A C
( A B)(A C)(B C) ( A B)(A C)
A B B A 交换律： A B B A
公理2
( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
公理3
公理4
A (B C) A B A C 分配律： A B C ( A B) ( A C )*
判断两个逻辑函数是否相等，通常有两种方法。
①列出输入变量所有可能的取值组合，并按逻 辑运算法则计算出各种输入取值下两个逻辑 函数的相应值，然后进行比较。
②用逻辑代数的公理、定律和规则进行证明。
2.2 逻辑代数的基本定理和重要规则
例如：
Y AB CDE
Y A B C D E
Y AB C
Y ( A B )(C D E)
（B A） B
证明:由于（A B ） （A B） （A B A） B
A （B B）
A 1
1
而且（A B ） （A B） A B A A B B
00
0 所以，根据公理 5的唯一性可得到:
A B A B
A A
定理6：反演律
A B A B
A B A B
定理7：还原律
A B A B A ( A B ) ( A B ) A
定理8：冗余律
AB A C BC AB A C
( A B)(A C)(B C) ( A B)(A C)
A B B A 交换律： A B B A
公理2
( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
公理3
公理4
A (B C) A B A C 分配律： A B C ( A B) ( A C )*
判断两个逻辑函数是否相等，通常有两种方法。
①列出输入变量所有可能的取值组合，并按逻 辑运算法则计算出各种输入取值下两个逻辑 函数的相应值，然后进行比较。
②用逻辑代数的公理、定律和规则进行证明。
2.2 逻辑代数的基本定理和重要规则
数字电子技术基础 第2章
证明若干常用公式
21、A+A ·B=A 证明：A(1+B)=A 22、A+A’ ·B=A+B 证明：利用分配律，(A+A’).(A+B)=1.(A+B) 23、A ·B+A ·B’=A 证明：A.(B+B’)=A.1 24、A ·(A+B)=A 证明：A.A+A.B=A+A.B=A(1+B)=A.1=A
1.2 逻辑式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值， 就得到真值表。
例 2.5.2 P32-33
五、各种表示方法间的相互转换
2、逻辑函数式与逻辑图 的相互转换
2.1 给定逻辑函数式转换 为相应的逻辑图
用逻辑图形符号代替逻辑 函数式中的逻辑运算符号 并按运算顺序将它们连接 起来。
1、真值表与逻辑函数式的相互转换 1.1 由真值表写出逻辑函数式
1）找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输入变量取值的组合。 2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的
写入原变量，取值为0的写入反变量。 3）将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。 例 2.5.1 P32
IEC （International Electrotechnical Commission，国 际电工协会）
异或，同或
异或：
输入A,B 不同时，输出Y为1；输入A,B 相同时，输 出Y为0。
Y=A⊕ B=A· B’+A’ · B
或：
输入A,B 不同时，输出Y为0；输入A,B 相同时，输 出Y为1。
证明若干常用公式
25、A ·B+A’ ·C+B ·C=A ·B+A’ ·C 证明：=A.B+A’.C+B.C(A+A’) =A.B+A’.C+A.B.C+A’.B.C =A.B(1+C)+A’.C.(1+B)=A.B+A’.C 同样可证明：A ·B+A’ ·C+B CD=A ·B+A’ ·C 26、A ·(A ·B)’=A ·B’; A’ ·(A·B)’=A’ 证明：A.(A’+B’)=A.A’+A.B’=A.B’
逻辑函数的代数化简法
A B ( A B )C A B AB
AB AB C AB C
A+AB=A+B
2.3.2逻辑函数的代数法化简法
1.逻辑函数的化简 ④配项法：先利用 A A( B B ) ，增加必要的乘积项，再利用 并项、吸收、消去等方法化简。 例2.3.4 化简 L A B A C B C
3
2.3.1 逻辑函数的最简形式
1. 逻辑函数的最简与-或表达式
一个逻辑函数可以有多种不同的逻辑表达式，五种常用表达式
为：
F(A、B、C) AB AC
“与―或”式
AB AC (A C)(A B)
“与非―与非”式 “或―与”式
ACAB
“或非―或非”式
ACAB
“与―或―非”式
逻辑函数表达式中，与-或表达式是基本的表达式，易于转
1.逻辑函数的化简
②吸收法：利用A + AB = A 消去多余的项AB。
例2.3.2 化简 L A B A BCDE ABCDF 解：L A B A BCDE ABCDF
A B A BCD(E F) A B
③消去法：利用 A AB A B 消去多余变量。
例2.3.3 化简 L A B A C B C
=
=B
练习2.3.2 试用吸收法化简下列函数 = A+BC
练习2.3.3 用消去法化简下列函数 AB
AC D
用多余项定理化简下列函数
2.3.2 逻辑函数的代数化简法
1.逻辑函数的化简
【练习 】化简L AD A D AB A C BD AB EF B EF 解： L AD A D AB A C BD AB EF B EF
(1) 公式法（代数法） (2) 图解法（卡诺图法） 代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。
数字电路逻辑函数以及简化
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。
例2 列出下列函数的真值表：
L AB AB
解：该函数有两个变量，有4种取值的 可能组合，将他们按顺序排列起来即 得真值表。
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。
例3 画出下列函数的逻辑图： L A B A B
B m12 m13 m 15 m14 ABCD ABCD ABCD ABCD A m8 m9 m11 m10 ABCD ABCD ABCD ABCD
CD
AB 00 01
11
10
00 0
1
3
2
01 4
5
7
6
11 12 13 15 14
10 8
9
11 10
D
(a)
(b)
仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：
如例4。
2.2 逻辑函数的简化
2.2.1 逻辑函数的代数简化法
1．逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且 能互相转换。例如：
其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
2．逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。
第二章 逻辑函数及其简化
2.1.1 基本逻辑函数
1．与运算
与逻辑举例： 设1表示开关闭合或灯亮； 0表示开关不 闭合或灯不亮， 则得真值表。
若用逻辑表达式 来描述，则可写为
L A B
与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。
例2 列出下列函数的真值表：
L AB AB
解：该函数有两个变量，有4种取值的 可能组合，将他们按顺序排列起来即 得真值表。
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。
例3 画出下列函数的逻辑图： L A B A B
B m12 m13 m 15 m14 ABCD ABCD ABCD ABCD A m8 m9 m11 m10 ABCD ABCD ABCD ABCD
CD
AB 00 01
11
10
00 0
1
3
2
01 4
5
7
6
11 12 13 15 14
10 8
9
11 10
D
(a)
(b)
仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：
如例4。
2.2 逻辑函数的简化
2.2.1 逻辑函数的代数简化法
1．逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且 能互相转换。例如：
其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
2．逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。
第二章 逻辑函数及其简化
2.1.1 基本逻辑函数
1．与运算
与逻辑举例： 设1表示开关闭合或灯亮； 0表示开关不 闭合或灯不亮， 则得真值表。
若用逻辑表达式 来描述，则可写为
L A B
与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。
数电-第二章 逻辑代数
= AB AC
=右式
如果两个乘积项中，一项包括了原变量，另一项包括反变量， 次吸收律消 而这两项剩余因子都是第三个乘积项的因子，则第三个乘积 除C和B 项是多余的。
分别应用两
2.1 逻辑代数
• For example： a） AB AB AB AB b）AB AC AB AC
2.1 逻辑代数
• For example: 化简函数
Y AB C ABC AB Y AB C ABC AB
AB(C C) AB
B(A A)
B
• For example: 化简函数
Y AB C ABC B D
Y AB C ABC B D
(A B)(A C)
AB 证明： B AB A B AB 证明： AC AB AC A
(A B)(A B) A A A B AB BB A B AB
AA AC AB BC AB AC BC A B AC
2.1 逻辑代数
• B、异或运算的一些公式 异或的定义：在变量A、B取值相异时其值为1， 相同时其值为0。即： B AB AB A 根据相似道理，我们把异或的非（反）称为同或， 记为：A⊙B= A B
1、交换律：
A B BA
2、结合律： (A B) C A (B C)
第二章 逻辑代数
本章重点内容 逻辑函数的化简
2.1 逻辑代数
逻辑代数是英国数学家乔治· 布尔(George Boole)于1849年提出的，所以逻辑代数又称 布尔代数。直到1938年美国人香农在开关 电路中才用到它，现在它已经成为分析和 设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工 具。 •A、逻辑代数的基本定律和恒等式
逻辑代数及逻辑函数的化简
第27页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.逻辑函数的表示方法
逻辑真值表；逻辑表达式；逻辑图；卡诺图 (1) 逻辑真值表
以上面的举重裁判电路为例
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1
第15页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
四、逻辑代数的基本定理
1. 代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。 例: 代入定理证明德•摩根定理也适用于多变 量的情况。 解：
A ( B C) A ( B C) A B C A ( B C) A ( B C) A B C
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.“或”门
输入、输出端能实现或运算的电路叫做“或 门”。或门的符号也就是或运算的符号。 逻辑式： F=A+B+C 逻辑符号： A B C
1
F
注1.常见的有二输入或门，三输入或门、四输入或 门等。 注2.常把或门的一个输入端作门的控制端，当控制 端为“0”时，或门打开，为“1”时，或门功能禁 止。
第 1页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
§2.1 逻辑代数的基本原理
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的 逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的 研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大 写字母A、B、 C、…表示，逻辑变量的取值只有两 种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但必 须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义， 它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符 号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.逻辑函数的表示方法
逻辑真值表；逻辑表达式；逻辑图；卡诺图 (1) 逻辑真值表
以上面的举重裁判电路为例
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1
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数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
四、逻辑代数的基本定理
1. 代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。 例: 代入定理证明德•摩根定理也适用于多变 量的情况。 解：
A ( B C) A ( B C) A B C A ( B C) A ( B C) A B C
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.“或”门
输入、输出端能实现或运算的电路叫做“或 门”。或门的符号也就是或运算的符号。 逻辑式： F=A+B+C 逻辑符号： A B C
1
F
注1.常见的有二输入或门，三输入或门、四输入或 门等。 注2.常把或门的一个输入端作门的控制端，当控制 端为“0”时，或门打开，为“1”时，或门功能禁 止。
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数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
§2.1 逻辑代数的基本原理
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的 逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的 研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大 写字母A、B、 C、…表示，逻辑变量的取值只有两 种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但必 须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义， 它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符 号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。
电子技术(数电部分-第2章 逻辑代数和逻辑函数
A B C ( A B) ( A C )
证明: 右边 =(A+B)(A+C)
A B C ( A B) ( A C )
; 分配律 ; 结合律 , AA=A ; 结合律
=AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC =A(1+B+C)+BC =A • 1+BC =A+BC
33 MHz
• 以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点
变量 赋值 为1时 用该 变量 表示； 赋0时 用该 变量 的反 来表 示。
33 MHz
最小项
使最小项为1的变量取值 A B C
对应的十 进制数
编号 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
ABC ABC A BC A BC AB C AB C ABC ABC
例1： F1 A B C D 0
F1 A B C D 0
注意 括号
注意括号
F1 ( A B) (C D) 1
F1 AC BC AD BD
与或式
33 MHz
例2： F2 A B C D E
F2 A B C D E
“+” 换成 “· ”，0 换成 1，1 换成 0，
则得到一个新的逻辑式 Y´，
则 Y´ 叫做 Y 的对偶式
A AB A
33 MHz
Y AB CD
对偶式
A( A B) A
Y ( A B)(C D)
2.2 逻辑函数的变换和化简
2.2.1 逻辑函数表示方法：四种，并可相互转换 真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。 四 种 表 示 方 法
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= (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
或与式转换为与或非式
F = (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
= AB + AC
§2.4.3 逻辑函数的代数法化简
化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门 化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，
电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。 电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。
A + AB = A + B
E = A+ B+ C+ BCD+ BC = A + B + C+ C(BD+ BE) = AB + C+ BE+ BD
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式 公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不 易判断。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数 的一种方法。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定 等缺点。
__
__________ __________ _
A + B + C+⋯ = ABC⋯
逻辑代数的基本定律： 逻辑代数的基本定律： P21，熟记 ，
§2.3.2 逻辑代数的基本规则
代入规则
AB = A + B
____
A ↔F = AC
反演规则
____
⇒ ACB = AC + B
F = AC+ BCD+ 0
C C = AB + B + BC+ BD+ BD+ ADE(F + G)
摩根定律
= A + BC+ BC+ BD+ BD+ ADE(F + G)
BC + BC A = BC + A
= A+ B + BC+ BD+ BD C = A + BC(D+ D) + BC+ BD+ BD(C+ C) CD C = A+ B + B D+ BC+ BD+ BCD+ BCD C = A+ BD+ BC+ B D+ BCD
= (ABC + DE) (ABC + DE)
( A + B )( A + C) = A + BC
= DE
例 习题二 2.6 (10)
F = AB + AC+ BC+ BCD+ BC + B E CF
E = A + B + (A + B)C+ BCD+ BC + BCF E CF = A+ B + C+ BCD+ BC + B
在电路上可以用或非门 实现。 实现。
A C
A B
≥1 ≥1 ≥1
F = A+ C + A+ B
与或非式： 与或非式：只有与或非运算
F = AB + AC
在电路上可以用与或非门 实现。 实现。
A B A C
& ≥1
F = AB + AC
§2.4.2 逻辑函数的转换
通常是将“与或式” 通常是将“与或式”转换为其他形式 F = AB + A C
A B 开关A 开关 A 0 断 0 断 1 通 1 通 A B
真值表 开关B 开关 B 0 断 1 通 0 断 1 通 灯F F 0 灭 1 亮 1 亮 1 亮
F = A+ B
A B
或门国标符号 A B
F = A+ B
C
或门国际流行符号
F= A+ B + C
基本逻辑运算——非 §2.2 基本逻辑运算 非
m1
0 1 0 0 0 0 0 0
m2
0 0 1 0 0 0 0 0
m3
0 0 0 1 0 0 0 0
m4
0 0 0 0 1 0 0 0
m5
0 0 0 0 0 1 0 0
m6
0 0 0 0 0 0 1 0
m7
0 0 0 0 0 0 0 1
ABC AB ABC ABC ABC AB ABC ABC C C
与或式转换为或与式
F的对偶式： ' = (A + B)(A + C) 的对偶式： F
= AB + AC+ BC = AB+ AC
则F= (F' )'= (A + B)(A + C) =
与或式转换为与非式
多余项定律
F = AB + AC= AB⋅ A ⋅ C
摩根定律
或与式转换为或非式
F = (A + B)(A + C)
A ↔ A , B ↔ B ,⋯
0 ↔1 ⋅ ↔+
⇒ F = A+ C ⋅ B + C+ D ⋅1 +
(
)(
)
对偶规则： 对偶规则： 相等的逻辑函数的对偶式也相等 对偶式
F = AC+ BCD+ 0 0 ↔1 ⋅ ↔ +
⇒ F' = A+ C ⋅ B + C+ D ⋅1 +
(
)(
)
§2.4.1 逻辑函数的基本形式
第二章 逻辑代数与逻辑函数化简
逻辑代数 基本逻辑运算 逻辑代数的基本定律和规则 逻辑函数的代数法化简 逻辑函数的卡诺图法化简
§2.1 逻辑代数
逻辑变量（自变量） 逻辑变量（自变量） A, B, C
普通代数的自变量具有一定取值范围，表达某一意义。 普通代数的自变量具有一定取值范围，表达某一意义。 表示时间的变化。 例如时间 t ，取值范围 [ 0, +∞ ) ，表示时间的变化。 ∞ 表示两种状态。 逻辑变量的取值范围为 0 和 1 ，表示两种状态。
异或：输入的两个变量相同时， 异或：输入的两个变量相同时，输出为 0；相反时，输出为 1。 ；相反时， 。
F = AB+ AB = A⊕ B
A B
=1
__ __
A
1 1
&
≥1
B &
F = A⊕ B
；相反时， 。 同或：输入的两个变量相同时， 同或：输入的两个变量相同时，输出为 1；相反时，输出为 0。
= A + BD+ BC+ (B + B)CD
A + AB = A
D + D = 1, C + C = 1
= A + BD+ BC+ CD
例 习题二 2.6 (8)
F = (A + B + C)(D+ E) (A + B + C+ DE)
摩根定律 摩根定律 摩根定律
= (ABC)(DE) (A + B + C+ DE) = (ABC)(DE) (ABC+ DE)
C 0 0 1 1 1 1 1 0 0
D 0 0 0 0 1 1 1 1 0
F 0 1 1 0 1 1 0 0 1
C D
1 F 0
结论：多个变量异或时， 结论：多个变量异或时，变量中有奇数个 1 时，结果为 1； ； 变量中有偶数个 1 时，结果为 0。 。
§2.3.1 逻辑代数的基本定律
逻辑函数的相等： 逻辑函数的相等： 真值表相同
逻辑函数（因变量） 逻辑函数（因变量）F = ( A, B, C)
普通是随着它的自变量变化的因变量，具有一定的值域。 普通是随着它的自变量变化的因变量，具有一定的值域。 逻辑函数是随着逻辑变量变化的函数， 逻辑函数是随着逻辑变量变化的函数，它的值域为 0 和 1 。
基本逻辑运算——与 §2.2 基本逻辑运算 与
例 2.4.1
F = AD+ AD+ AB + A + BD+ ACEF + BEF + DEFG C C = A+ AB + A + BD+ ACEF + BEF + DEFG C = A+ A+ AB + A + BD+ ACEF + BEF + DEFG = A+ A + BD+ BEF + DEFG C = A+ C+ BD+ BEF + DEFG = A+ C+ BD+ BEF
例 2.3.1：P19 ： A B C
&
F = A(B + C)
≥1
A B A C
&
≥1
&
G = AB + AC
例 2.3.2：摩根定理 ：
AB = A+ B A + B = AB
_______ __ __
____
__
__
__________ _
ABC⋯ = A+ B+ C+⋯
__ __ __
__
__
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式
最小项：含有逻辑问题的全部变量， 最小项：含有逻辑问题的全部变量，且所有变量都以原变量或反
= A+ B+ A+ C
或与式转换为与或非式
F = (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
= AB + AC
§2.4.3 逻辑函数的代数法化简
化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门 化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，
电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。 电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。
A + AB = A + B
E = A+ B+ C+ BCD+ BC = A + B + C+ C(BD+ BE) = AB + C+ BE+ BD
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式 公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不 易判断。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数 的一种方法。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定 等缺点。
__
__________ __________ _
A + B + C+⋯ = ABC⋯
逻辑代数的基本定律： 逻辑代数的基本定律： P21，熟记 ，
§2.3.2 逻辑代数的基本规则
代入规则
AB = A + B
____
A ↔F = AC
反演规则
____
⇒ ACB = AC + B
F = AC+ BCD+ 0
C C = AB + B + BC+ BD+ BD+ ADE(F + G)
摩根定律
= A + BC+ BC+ BD+ BD+ ADE(F + G)
BC + BC A = BC + A
= A+ B + BC+ BD+ BD C = A + BC(D+ D) + BC+ BD+ BD(C+ C) CD C = A+ B + B D+ BC+ BD+ BCD+ BCD C = A+ BD+ BC+ B D+ BCD
= (ABC + DE) (ABC + DE)
( A + B )( A + C) = A + BC
= DE
例 习题二 2.6 (10)
F = AB + AC+ BC+ BCD+ BC + B E CF
E = A + B + (A + B)C+ BCD+ BC + BCF E CF = A+ B + C+ BCD+ BC + B
在电路上可以用或非门 实现。 实现。
A C
A B
≥1 ≥1 ≥1
F = A+ C + A+ B
与或非式： 与或非式：只有与或非运算
F = AB + AC
在电路上可以用与或非门 实现。 实现。
A B A C
& ≥1
F = AB + AC
§2.4.2 逻辑函数的转换
通常是将“与或式” 通常是将“与或式”转换为其他形式 F = AB + A C
A B 开关A 开关 A 0 断 0 断 1 通 1 通 A B
真值表 开关B 开关 B 0 断 1 通 0 断 1 通 灯F F 0 灭 1 亮 1 亮 1 亮
F = A+ B
A B
或门国标符号 A B
F = A+ B
C
或门国际流行符号
F= A+ B + C
基本逻辑运算——非 §2.2 基本逻辑运算 非
m1
0 1 0 0 0 0 0 0
m2
0 0 1 0 0 0 0 0
m3
0 0 0 1 0 0 0 0
m4
0 0 0 0 1 0 0 0
m5
0 0 0 0 0 1 0 0
m6
0 0 0 0 0 0 1 0
m7
0 0 0 0 0 0 0 1
ABC AB ABC ABC ABC AB ABC ABC C C
与或式转换为或与式
F的对偶式： ' = (A + B)(A + C) 的对偶式： F
= AB + AC+ BC = AB+ AC
则F= (F' )'= (A + B)(A + C) =
与或式转换为与非式
多余项定律
F = AB + AC= AB⋅ A ⋅ C
摩根定律
或与式转换为或非式
F = (A + B)(A + C)
A ↔ A , B ↔ B ,⋯
0 ↔1 ⋅ ↔+
⇒ F = A+ C ⋅ B + C+ D ⋅1 +
(
)(
)
对偶规则： 对偶规则： 相等的逻辑函数的对偶式也相等 对偶式
F = AC+ BCD+ 0 0 ↔1 ⋅ ↔ +
⇒ F' = A+ C ⋅ B + C+ D ⋅1 +
(
)(
)
§2.4.1 逻辑函数的基本形式
第二章 逻辑代数与逻辑函数化简
逻辑代数 基本逻辑运算 逻辑代数的基本定律和规则 逻辑函数的代数法化简 逻辑函数的卡诺图法化简
§2.1 逻辑代数
逻辑变量（自变量） 逻辑变量（自变量） A, B, C
普通代数的自变量具有一定取值范围，表达某一意义。 普通代数的自变量具有一定取值范围，表达某一意义。 表示时间的变化。 例如时间 t ，取值范围 [ 0, +∞ ) ，表示时间的变化。 ∞ 表示两种状态。 逻辑变量的取值范围为 0 和 1 ，表示两种状态。
异或：输入的两个变量相同时， 异或：输入的两个变量相同时，输出为 0；相反时，输出为 1。 ；相反时， 。
F = AB+ AB = A⊕ B
A B
=1
__ __
A
1 1
&
≥1
B &
F = A⊕ B
；相反时， 。 同或：输入的两个变量相同时， 同或：输入的两个变量相同时，输出为 1；相反时，输出为 0。
= A + BD+ BC+ (B + B)CD
A + AB = A
D + D = 1, C + C = 1
= A + BD+ BC+ CD
例 习题二 2.6 (8)
F = (A + B + C)(D+ E) (A + B + C+ DE)
摩根定律 摩根定律 摩根定律
= (ABC)(DE) (A + B + C+ DE) = (ABC)(DE) (ABC+ DE)
C 0 0 1 1 1 1 1 0 0
D 0 0 0 0 1 1 1 1 0
F 0 1 1 0 1 1 0 0 1
C D
1 F 0
结论：多个变量异或时， 结论：多个变量异或时，变量中有奇数个 1 时，结果为 1； ； 变量中有偶数个 1 时，结果为 0。 。
§2.3.1 逻辑代数的基本定律
逻辑函数的相等： 逻辑函数的相等： 真值表相同
逻辑函数（因变量） 逻辑函数（因变量）F = ( A, B, C)
普通是随着它的自变量变化的因变量，具有一定的值域。 普通是随着它的自变量变化的因变量，具有一定的值域。 逻辑函数是随着逻辑变量变化的函数， 逻辑函数是随着逻辑变量变化的函数，它的值域为 0 和 1 。
基本逻辑运算——与 §2.2 基本逻辑运算 与
例 2.4.1
F = AD+ AD+ AB + A + BD+ ACEF + BEF + DEFG C C = A+ AB + A + BD+ ACEF + BEF + DEFG C = A+ A+ AB + A + BD+ ACEF + BEF + DEFG = A+ A + BD+ BEF + DEFG C = A+ C+ BD+ BEF + DEFG = A+ C+ BD+ BEF
例 2.3.1：P19 ： A B C
&
F = A(B + C)
≥1
A B A C
&
≥1
&
G = AB + AC
例 2.3.2：摩根定理 ：
AB = A+ B A + B = AB
_______ __ __
____
__
__
__________ _
ABC⋯ = A+ B+ C+⋯
__ __ __
__
__
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式
最小项：含有逻辑问题的全部变量， 最小项：含有逻辑问题的全部变量，且所有变量都以原变量或反