北师大版高中数学必修4：任意角的正弦余弦函数定义说课稿

x
0

6

4

3
2 5
2 36
7 4 3 5 11 2
63 23 6
0 0 0 y sin x
1 2
2 2
3 2
1
3 2
1 2
1 2

3 2
1
3 2
1 2
0 0 y cos x 1
3 21 2 22
1 2
3 2
1 3
2
1 2
1 31
22
设计意图：通过应用三角函数的定义，熟悉和记忆特殊角的三角函 数值、三角函数值的符号，加强对三角函数概念的理解．有利于培 养学生良好的学习习惯，提高其独立分析和解决问题的能力，变 “学会”为“会学”。充分保障学生的主体地位。
（3）求出角 的正弦、余弦函数值。
解：
y
（1）如图6，以原点为角的顶点，以 x轴正
半轴为始边，顺时针旋转 后，与单位圆交
于点P，

MOP


4
即为所求作的角。
4
（2）由于 ,点P在第四象限，
4
M
o
1
4
P
所以点P的坐标为( 2 , 2 )
22
图6
（3）根据任意角的三角函数定义，易得sin( ) 2 ,cos( ) 2 . 点评：本例的目的是巩固并加深理解任4意角的2 正弦4、余2
当点P在第一、二象限时，纵坐标 y ＞0； 当点P在第三、四象限时，纵坐标 y ＜0。
所以，正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限 角是负的。同样地，余弦函数值在第一、四象限是正的，在第二、 三象限是负的。
设计意图：巩固了定义，又让学生感受到数学规律是自己发
现的，而不是教材中给出的生硬结论。
当角终边在坐标轴上时，容易验证上述计算公式仍成立。
学生归纳：
如图：设a 是任意角，a的终边上任意一点P的坐标是(x, y)，
当角a 在第一、第二、第三、第四象限的情形，它与原点的
距离为r，则r = x 2 + y 2 = x2 + y2 > 0
sin y , cos x
r
r
设计意图：把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义的过程， 发展学生的理性思维。让学生理解长度比到坐标比的本质变化， 突破难点。明白用r=1来定义正弦函数余弦函数，可以让所得的 对应关系更简单。
设计意图：回顾旧知，为后面探索任意角三角函数的定义做铺垫。
为了研究方便，引入单位圆的定义。

yO
1
P(u, v),
M
以原点为圆心,以单位 长度为半径的圆叫做 单位圆.
-1 -1
x
1
设计意图：此处做法简单，思想重要。 把角放入坐标系中一个简单的动作，将 形与数结合了起来，体现出了一种重要 的思想方法——数形结合法。
例3 假设角 的顶点是直角坐标系的原点，始边与 x
轴的非负半轴重合，已知角 终边上任一点Q(x, y) ，
求角 的正弦函数值余弦函数值。
例4 已知角 a 的终边经过P(-2,-3),求 a 的正弦函数 值余弦函数值。
sin a = y = - 3 = - 3 13
r 13
13
cosa = x = - 2 = - 2 13
问题4：探究当角取特殊值时，角的正弦、余弦函数值情况。
问题5：对于确定的角α ，正弦函数、余弦函数值是否随点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢？
问题1：本节所给正弦函数、余弦函数的定义与初
中是否一致？
承上启下：角是在平面直角坐标系中推广的，因

此一我步们研究也它可的以将正锐弦角函放数入和平余面弦直函角数坐。标系中，进y O 1
r 13
13
变式：若将P（-2，-3）改为 P（-2a,-3a)(a≠0)，试求角
a 的正弦函数值余弦函数值？
设计意图：熟练定义，变式是提醒同学们角的终边是射线， 应分情况讨论。
6.归纳小结
谈谈你的收获？
正弦函数、余弦函数是如何定义？定义域和值域是？
函数值在各象限的符号？
教自
特殊角的正弦、余弦函数值？
北师大版教材必修四第一章第4节
任意角的正弦函数、余弦函数定义
一. 说教材
1.教材的地位和作用
“任意角的正弦函数、余弦函数”是本章教学内容的基本概念， 是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础 上，进行的推广。它是后续研究三角函数诱导公式，三角函数周期 性的基础。又是以后学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。 并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这 一基本概念。
是[-1,1]。
设计意图：在定义了任意角的正弦函数、余弦函数后,设置了思考 与交流的问题.其目的是:在教师的引导和启发下,经过同学们之间的 讨论和交流,加深对正弦函数、余弦函数定义的理解.
利用几何画板，
3.概念深化
(1)探究当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限 时，角的正弦、余弦函数值的正负号的情况。将自己的思 考探究结果先填入下表，然后再填入直角坐标系的各个象 限中，以便于加强记忆，灵活运用。
4.应用举例
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）cos250
（2）sin
4
解：（1）因为 250 是第三象限角，所以cos250 0 ；
（2）因为

4
是第四象限角，所以
s in


4


0
.
例2
在直角坐标系的单位圆中，



4
,
（1）画出角 ； （2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标；
y sin x y cos x
y=sinx
y
+
+
y=cosx
_o _
x
y
_
+
_o +
x
问题3：根据什么判断正弦、余弦函数值在各个象限的符号， 让学生归纳总结出各个象限正弦、余弦函数值正负。
三角函数值的符号取决于x、y值的正负
正弦、余弦函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取
决于 u, v 的符号。
问题2：探究正弦函数、余弦函数的定义域和值域？
（1） 既表示一个角，又表示一个实数（弧度数）。“它的终边与
单位圆交于点 P(u,v), ”包含两个对应关系。
（2）利用坐标平面内点的坐标的特征我们还可得到定义域和值域。
在给定的单位圆中，对于任意角 可以是正角负角或是零角，故正
弦函数v sin 和余弦函数u cos 的定义域是全体实数R，值域
1
y P
y
1
P
x -1
-1
OM
MO
y
1
x
M
-1
O
P
1y
x -1
Mx
O
P
探索发现： 对于给定的任意角α，终边与单位圆的交点P的纵坐标v和横坐
标u都是唯一确定的。所以正弦函数余弦函数都是以角α为自变量， 以单位圆上点的坐标为函数值的函数。
设计意图：让学生在讨论、争辩的过程中认识三角函数，并培养学 生的合作意识。学生已经学习了函数的概念，因此对正弦函数、余 弦函数的学习就是一个从一般到特殊的演绎过程。
3.教学重难点
重点：任意角的正弦、余弦函数的定义和定义域，函数值在各象 限的符号,以及特殊角的正弦、余弦函数值。 难点：从单位圆定义正弦、余弦函数推广到从终边上任一点定义 正弦、余弦函数。
二． 说学生
初中学生已经学过锐角三角函数的定义，对锐角三角函数 有一定的了解，而且学生通过任意角与弧度制的学习，已经会 利用直角坐标系来研究任意角。同时，学生已经具备一定的自 学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。
提问：若 sin 0,求角的取值范围。
学生误区：一二象限角 ，忽略了特殊角情形。
利用几何画板，
(2)探究当角取特殊值 0, , , 3 ,2 时，角的正弦、余弦
函数值情况。
22
设计意图：使用几何画板很直观，学生更容易理解，注意力更加集 中，积极性也更高。
思考题：分小组填课本P15动手实践，并借助单位圆记 住特殊角的三角函数值。
y
1
1y
x -1
x M M
x
M Mx
-1
O M MM M O
-1
O
-1
O
P
P
P
依据：（1）无论 为任意角，恒有：
P
MP M P ,即 sin y
OP OP
1r
OM OM ,即 cos x
OP OP
1r
比值一样，只需要考虑正负号。
（2）规定r x2 y2 0，且sin和y符号相同，cos和x符号相同。
教法：启发探索、讲解讨论结合、交流练习
学法：自主探究、动手实践、小组合作交流
教学手段：在由直角三角形过渡到直角坐标系的任意角时，我 使用了PPT动态效果。在分析任意角的正弦函数、余弦函数的正
四. 教学过程设计
创设情境,揭示课题
1.复习引入
教师提问1:在初中,我们学习了锐角的正弦函数、余弦函数,它
们是如何定义的?
若OP r 1，则
根据初中所学的锐角三角函数定义，
有：sin MP v v
OP 1
cos OM u u
OP 1
-1 -1
P(u, v),
M
1x
结论：本节给出的正弦函数和余弦函数与初中给出的定义是一致的。 对于锐角来说，既可以用直角三角形边的比来定义正弦函数和余弦 函数，也可以依托坐标系中单位圆上点的坐标来定义。
如果对于任意角
何进行定义呢?
,是不是也存在正弦函数、余弦函数呢?该（如 让
在直角三角形中定义:
学
斜边
对
边
生
α
回
邻边
答
教师提问2:函数是怎样Leabharlann Baidu义的呢？
）
设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中
的每一个元素，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样
的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y= f（x），x∈A 。其 中，所有的自变量x组成的集合A叫做函数y= f（x）的定义域。
弦函数的定义以及利用单位圆解题，熟悉并善于利用数
形结合的思想解题。
提问：课本是从单位圆定义正弦、余弦函数，那从终边上任一 点是否也可以定义定义正弦、余弦函数呢？
5.难点突破
问题5：对于确定的角α ，正弦函数、余弦函数值是否随
点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？
P
1
y P
P
y P1
正弦函数、余弦函数，统称为三角函数.
1
y P
y
1
y
1
P
x -1
x
M
-1
OM
MO
-1
O
1y
x -1
Mx
O
P
P
为了深化定义，我循序渐进地设计了5个问题： 问题1：本节所给正弦函数、余弦函数的定义与初中是否一致？
问题2：探究正弦函数、余弦函数的定义域和值域？
问题3：根据什么判断正弦、余弦函数值在各个象限的符号，让学生 归纳总结出各个象限正弦、余弦函数值正负。
因此本课从初中锐角三角函数的定义出发，结合任意角在 直角坐标系中的表示，让学生运用从特殊到一般的探究方法探 究任意角三角函数的定义，体会在直角坐标系中定义三角函数 的优越性，避免传统教学中老师给出定义、诠释定义的填鸭式 教学方法。
三． 说教法与手段
三角函数定义“简单易记”，学生很容易轻视它，不少学 生机械记忆、一知半解。新课的教学，应走出“概念一带而过， 演习铺天盖地”的误区，走向“重视过程、重视探究、重视交 流” 的新天地。本课采用“启发探索、讲练结合”的常规教学 方法，围绕学生的学习目标设计了一系列符合学生认知规律的 问题，层层深入，力求使学生体会定义产生、发展的过程及作 用，培养学生自主学习能力 。师生通过合作共同完成教学任务， 充分调动学生的积极性,培养学生的观察思考能力,不仅掌握了 知识,更重要的是锻炼了学生的思维能力和创造思维活动. 同时 让学生参与到解决问题的过程中去,充分体现“教为主导,学为 主体”的教学原则。
2.教学目标
(1)知识与技能： ①借助单位圆认识和理解任意圆正弦、余弦函数的定义。 ②能根据定义判定正弦、余弦函数在各象限的符号。 ③理解是以实数正弦、余弦函数为自变量的函数,并会求已知终 边位置的角的正弦、余弦函数值。
(2)过程与方法: ①让学生经历任意角正弦、余弦函数概念的形成过程，体会函数、 类比、数形结合等思想方法，培养分析、抽象、概括等思维能力。 ②认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一 般关系的理解。 ③通过探究，启发的形式让学生独立思考，使学生进一步拓展思维 空间。 (3)情感态度与价值观： ①培养学生探索发现问题的科学精神、体会数学知识的连续性。 ②培养合情猜测、探究的能力，感悟数学概念的严谨性与科学性。 ③引导学生探索知识，让学生体验学习过程的乐趣，培养合作交流、 自主学习等良好的学习方式。
给出课本定义：
2.概念建构
在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长为半径的圆，
称为单位圆。对于任意角 ，使角 的顶点与原点重合，始边与 x
轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u, v), 则称点P的
纵坐标v定义为角 的正弦函数,横坐标u定义为角 的余弦函数,分
别记作 v sin u cos