2018年福建省高中数学联赛(福建省赛区)预赛试题参考答案(新)

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(2021年整理)2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(3)

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2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟（3）一、填空题（每小题6分，共60分）1、设a ， b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11，那么这样的有序正整数对（a ， b ）有 _ 组。

2、方程16sin πx cos πx ＝16x ＋1x的解集合为3、三棱锥S ABC -是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O 是底面ABC ∆内的一点,那么tan tan tan W OSA OSB OSC =∠⋅∠⋅∠的最小值是______________4、对任意,x y R ∈，代数式22222654522M x x y y x xy y =-++-++-+的最小值为________5、计算：232010sin sin sin sin 2011201120112011πππ=_______________6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种． 7、对,x y R ∀∈,函数(,)f x y 都满足:①(0,)1f y y =+；②(1,0)(,1)f x f x +=；③(1,1)(,(1,))f x y f x f x y ++=+；则(3,2011)f =__________________ 8、设2n 个实数122,,,n a a a 满足条件21211()1n i i i a a -+=-=∑则12212()()n n n n a a a a a a μ++=+++-+++的最大值为________________9。

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(5)(2021年整理)

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2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(5)一．填空题（每小题6分,共60分）1．函数 y =的最大值是 _______2．青蛙在正六边形ABCDEF 上A 点处，每次向相邻顶点跳跃。

到达D 点或者跳满五次则停止。

不同跳跃方式有____________种.3．设2()f x ax bx c =++,(0)1,(1)1,(1)1,f f f ≤≤-≤则(2)f 的最大值为 ___________ 4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+,1,2,n =，则通项n a = ______5．已知椭圆x 2a2＋错误!＝1（a ＞b ＞0)与直线1x y +=交于M , N 两点, 且OM ON ⊥(O 为原点), 当椭圆的离心率e ∈[错误!，错误!]时，椭圆长轴长的取值范围是 __________6．对于每个大于等于2的整数n ，令)(n f 表示x nx sin sin =在区间],0[π上不同解的个数，)(n g 表示x nx cos cos =在区间],0[π上不同解的个数，则∑=-20072))()((n n f n g =____________7．在平面直角坐标系中，定义点P (x 1， y 1）, Q (x 2, y 2）之间的“直角距离”为d （P , Q ）=|x 1－x 2｜＋｜y 1－y 2|若C (x , y )到点A （1， 3)， B （6, 9)的“直角距离"相等，其中实数x ， y 满足0≤x ≤10， 0≤y ≤10,则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 _________8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是9．复数z ，使322z z z +=，则z 的所有可能值为 _____ ____． 10．所有的满足条件11a b a b a b a b a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为．二、解答题（每小题20分,共100分） 11。

(2021年整理)2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(15)

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2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟（15）偏难一、填空题（共10小题，每小题6分,满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上)【第1题:福建预赛热点题】【第2题：立体几何】【第3题:柯西不等式】【第4题：不等式最值】【第5题:数列】著名的斐波那契数列｛a n}：1,1,2,3，5，8…,满足a1=a2=1,a n+2=a n+1+a n，n∈N＊,那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2017是斐波那契数列的第项．【第6题：平面向量】已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．【第7题：函数性质】已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称,当函数y=f（x）和y=g(x）在区间［a,b］上同时递增或者同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f(x）的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y=|2x﹣t｜的“不动区间”,则实数t的取值范围是．【第8题：导数极值、数形结合、线性规划】【第9题:圆锥曲线】【第10题:数形结合】二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程）【第11题：数列求和，单调性】已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列｛a n }的通项公式；(Ⅱ）若数列｛b n ｝满足112n na b n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，T n 为数列{b n }的前n 项和,若T n ≥m 恒成立，求m 的最大值．【第12题：解析几何:分类讨论、面积定值】在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a≠1）的两个焦点分别是F 1,F 2，直线l:y=kx+m （k,m∈R）与椭圆交于A ，B 两点．(1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值； (2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； (3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．【第13题:导数】已知函数f(x ）=e x﹣2（a ﹣1)x ﹣b,其中e 为自然对数的底数．（1)若函数f （x ）在区间[0,1］上是单调函数，试求实数a 的取值范围；（2)已知函数g （x ）=e x﹣（a ﹣1）x 2﹣bx ﹣1，且g （1）=0，若函数g （x ）在区间［0，1]上恰有3个零点，求实数a 的取值范围．【第14题：2015女子全国赛】【第15题:组合最值之方格，2015女子全国赛】2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟15参考答案【第1题】【第2题】【第3题】【第4题】【第5题】解：根据题意，斐波那契数列｛a n}中，a n+2=a n+1+a n，当n为奇数时，则有a n+1=a n+a n﹣1=a n+a n﹣2+a n﹣3=a n+a n﹣2+a n﹣4+a n﹣6=…=a n+a n﹣2+a n﹣4+a n﹣6+…+a1+1，则有1+a3+a5+a7+a9+…+a2017=a2018；即1+a3+a5+a7+a9+…+a2017是斐波那契数列的第2018项，答案为:2018．【第6题】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,则A（0，0），B（，0)，C（，），∵，不妨设M（cosθ，sinθ），∴++=（﹣cosθ,﹣sinθ)+(﹣cosθ,﹣sinθ）+(﹣cosθ，﹣sinθ）=(﹣3cosθ,﹣3sinθ）,∴|++｜2=（﹣3cosθ）2+(﹣3sinθ)2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin（θ+)，∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin(θ+)≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：［0,6]【第7题】解：因为函数y=f(x）与y=F（x）的图象关于y轴对称,所以F（x）=f （﹣x）=|2﹣x﹣t｜，因为区间［1,2]为函数y=｜2x﹣t｜的“不动区间"，所以函数y=｜2x﹣t|和函数F（x）=｜2﹣x﹣t|在［1，2］上单调性相同,因为y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反,所以（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在［1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x)+t2≤0在［1,2］上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在［1,2]上恒成立，得≤t≤2；故答案为：［］【第8题】【第9题】【第10题】【第11题】试题解析：(Ⅰ）因为11S a +， 33S a +， 22S a +成等差数列,所以()()()3311222S a S a S a +=+++，所以()()31323122S S S S a a a -+-+=+，所以314a a =，因为数列{}n a 是等比数列，所以23114a q a ==, 又0q >,所以12q =，所以数列{}n a 的通项公式112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,()12312122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅所以()()()012112212322122n nn T n n n -⎡⎤-=⋅+-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+--⋅-⋅⎣⎦()()012111222222212112nn nn nn T n n n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--故()121n n T n =-⋅+所以1121n n T n ++=⋅+所以()()()1121121120n n nn n T T n n n ++⎡⎤-=⋅+--⋅+=+⋅>⎣⎦所以1n n T T +>所以{}n T 是递增数列，所以()1min1n T T ==，所以1m ≤,所以m 的最大值为1【第12题】解：（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，∴△MF 1F 2为等腰直角三角形,∴OF 1=OM ，当a ＞1时，=1，解得a=，当0＜a ＜1时,=a ，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m ，设A （x 1,y 1），（x 2，y 2），由，即（1+a 2）x 2+2a 2mx+a 2m 2﹣a 2=0，∴x 1+x 2=﹣,x 1x 2=,∴y 1y 2=（x 1+m ）(x 2+m)=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0,∴x1x2+y1y2=0，∴+=0,∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3)证明：当a=2时，x2+4y2=4,设A（x1，y1），（x2,y2)，∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2,由，整理得，(1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2)+m2=++m2=,∴=﹣4×,∴2m2﹣4k2=1,∴|AB｜=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==,∴S△OAB=｜AB|d==•==1【第13题】解:（1)根据题意，函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其导数为f’（x）=e x﹣2（a ﹣1），当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x)=e x﹣2（a﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立,∴2（a﹣1)≤(e x)min=1（其中x∈［0，1]），解得；当函数f（x）在区间［0，1]单调递减时，f’（x)=e x﹣2（a﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≥（e x)max=e（其中x∈[0，1］)，解得．综上所述,实数a的取值范围是．（2）函数g（x)=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，则g’（x)=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，分析可得f（x)=g’(x)．由g（0）=g（1）=0,知g（x）在区间(0，1)内恰有一个零点，设该零点为x0,则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间(0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0,1）内存在零点x2，所以f（x)在区间（0，1）内恰有两个零点．由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x)在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减,故f （x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以．令f'(x）=0,得x=ln(2a﹣2)∈（0，1)，所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）］上单调递减，在区间（ln（2a﹣2),1］上单调递增．记f(x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），因此x1∈（0，ln（2a﹣2)］，x2∈（ln(2a﹣2），1)，必有f（0)=1﹣b＞0，f(1）=e﹣2a+2﹣b＞0．由g(1）=0,得a+b=e，所以,又f（0）=a﹣e+1＞0,f（1）=2﹣a＞0，所以e﹣1＜a＜2．综上所述,实数a的取值范围为（e﹣1,2）．【第14题】【第15题】。

(2021年整理)2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(20)

（完整）2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(20)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(20)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(20)的全部内容。

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟（20)一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上) 【第1题:集合与不等式】设有集合2{|log (34)2,0}x S x x x x =-≥>，22{|log (2)2,0}x T x x k x x =-≥>满足S T ⊆，则实数k 的取值范围是。

【第2题：函数性质】若函数()23log 2a f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________。

【第3题：柯西不等式】a b 、为正的常数,10<<x ，xbx a x f -+=1)(，求)(x f 的最小值是_____。

【第4题：平面向量】.在ABC ∆中,02,3,30AB AC BAC ==∠=,P 是ABC ∆所在平面上任意一点，则PA PB PB PC PC PA μ=⋅+⋅+⋅的最小值是______________ 【第5题：函数图像性质】方程230x x e -=的实根的个数为。

【第6题：三角函数：三倍角、四倍角】二元函数22()cos47cos47cos4cos48sin sin 6f x y x y x y x y =+++++-+，的最大值为___ 【第7题:空间几何体，球】一个球外接于四面体ABCD ，另一半径为1的球与平面ABC 相切，且两球内切于点D ，已知3AD =,4cos ,cos cos 52BAC BAD CAD ∠=∠=∠=，则四面体ABCD 的体积为【第8题：圆锥曲线】已知B 是双曲线22:2410C x y 上靠近点(0,)(1)A m m 的一个顶点．若以点A 为圆心，AB 长为半径的圆与双曲线C 交于3个点，则m 的取值范围是．【第9题：规划面积问题：高斯函数中不等关系】设R 是满足00[][]5x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+++≤⎩，，的点(),x y 构成的区域，则区域R 的面积为_______.（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）。

2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月13日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合{}1327x A x =≤≤，{}22log ()1B x x x =-<，则A B = （）A ．(12)，B ．(]13-，C ．[)02，D ．(1)(02)-∞- ，，【答案】A【解答】由1327x ≤≤，得03x ≤≤。

因此，[]03A =，。

由22log ()1x x -<，得2202x x x x ⎧->⎪⎨-<⎪⎩，解得，10x -<<或12x <<。

因此，(10)(12)B =- ，，。

所以，A B = (12)，。

2．若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：133110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（）A ．2-B ．3-C ．2D ．3【答案】B【解答】由点A 在直线1l ：70x y --=上，设(7)A t t -，。

由AB 中点为(12)P ，，知(211)B t t --，。

∵点B 在直线2l ：133110x y +-=上，∴13(2)3(11)110t t -+--=。

解得，3t =。

∴(34)A -，，2(4)313l PA k k --===--。

3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心。

l 为1A MN 平面与1D BE 平面的交线，则直线l 与正方体ABCD 底面所成角的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解答】如图，由正方体的性质与条件，易得MN ABCD ⊥面，BE ABCD ⊥面。

∴1A MN ABCD ⊥面面，1D BE ABCD ⊥面面。

∴l ABCD ⊥面，l 与ABCD 面所成角的大小为90︒。

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(20)(2021年整理)

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(20)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(20)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟（20）一、填空题（共10小题，每小题6分,满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）【第1题：集合与不等式】设有集合2{|log (34)2,0}x S x x x x =-≥>，22{|log (2)2,0}x T x x k x x =-≥>满足S T ⊆，则实数k 的取值范围是。

【第2题：函数性质】若函数()23log 2a f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]1,2上递增,则a 的取值范围是___________。

【第3题：柯西不等式】a b 、为正的常数，10<<x ，xbx a x f -+=1)(，求)(x f 的最小值是_____. 【第4题:平面向量】。

在ABC ∆中，02,3,30AB AC BAC ==∠=，P 是ABC ∆所在平面上任意一点,则PA PB PB PC PC PA μ=⋅+⋅+⋅的最小值是______________ 【第5题:函数图像性质】方程230x x e -=的实根的个数为 . 【第6题:三角函数：三倍角、四倍角】二元函数22()cos47cos47cos4cos48sin sin 6f x y x y x y x y =+++++-+，的最大值为___ 【第7题：空间几何体，球】一个球外接于四面体ABCD ,另一半径为1的球与平面ABC 相切,且两球内切于点D ，已知3AD =,4cos ,cos cos 52BAC BAD CAD ∠=∠=∠=,则四面体ABCD 的体积为【第8题：圆锥曲线】已知B 是双曲线22:2410C x y 上靠近点(0,)(1)A m m 的一个顶点．若以点A 为圆心，AB 长为半径的圆与双曲线C 交于3个点,则m 的取值范围是．【第9题:规划面积问题：高斯函数中不等关系】设R 是满足00[][]5x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+++≤⎩，，的点(),x y 构成的区域,则区域R 的面积为_______.（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. 【第10题：复数，圆锥曲线】二、解答题（共5小题,每小题20分，满分100分.要求写出解题过程）【第11题：数列：奇偶项问题，大热点，已连续考了两年了】数列｛a n }的首项a 1＝1,且对任意n ∈N，a n 与a n ＋1恰为方程x 2－b n x ＋2n＝0的两个根。

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(15)

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(15)偏难一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）【第1题:福建预赛热点题】【第2题:立体几何】【第3题:柯西不等式】【第4题:不等式最值】【第5题:数列】著名的斐波那契数列{a n }：1，1，2，3，5，8…，满足a 1=a 2=1，a n+2=a n+1+a n ，n ∈N*，那么1+a 3+a 5+a 7+a 9+…+a 2017是斐波那契数列的第项．【第6题:平面向量】已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．【第7题:函数性质】已知函数y=f （x ）和y=g （x ）的图象关于y 轴对称，当函数y=f （x ）和y=g （x ）在区间[a ，b]上同时递增或者同时递减时，把区间[a ，b]叫做函数y=f （x ）的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y=|2x ﹣t|的“不动区间”，则实数t 的取值范围是．【第8题:导数极值、数形结合、线性规划】【第9题:圆锥曲线】【第10题:数形结合】二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程）【第11题：数列求和，单调性】已知数列{a n }是等比数列，首项a 1=1，公比q ＞0，其前n 项和为S n ，且S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足112n na b n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n ≥m 恒成立，求m 的最大值．【第12题：解析几何:分类讨论、面积定值】在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m （k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【第13题:导数】已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．【第14题：2015女子全国赛】【第15题：组合最值之方格，2015女子全国赛】2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟15参考答案【第1题】【第2题】【第3题】【第4题】【第5题】解：根据题意，斐波那契数列{a n }中，a n +2=a n +1+a n ，当n 为奇数时，则有a n +1=a n +a n ﹣1=a n +a n ﹣2+a n ﹣3=a n +a n ﹣2+a n ﹣4+a n ﹣6=…=a n +a n ﹣2+a n ﹣4+a n ﹣6+…+a 1+1，则有1+a 3+a 5+a 7+a 9+…+a 2017=a 2018；即1+a 3+a 5+a 7+a 9+…+a 2017是斐波那契数列的第2018项，答案为：2018．【第6题】解：以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A （0，0），B （，0），C（，），∵，不妨设M （cosθ，sinθ），∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ），∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin （θ+），∵﹣1≤sin （θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin （θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]【第7题】解：因为函数y=f （x ）与y=F （x ）的图象关于y 轴对称，所以F （x ）=f （﹣x ）=|2﹣x ﹣t |，因为区间[1，2]为函数y=|2x ﹣t |的“不动区间”，所以函数y=|2x ﹣t |和函数F （x ）=|2﹣x ﹣t |在[1，2]上单调性相同，因为y=2x ﹣t 和函数y=2﹣x ﹣t 的单调性相反，所以（2x ﹣t ）（2﹣x ﹣t ）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t （2x +2﹣x ）+t 2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x ≤t ≤2x 在[1，2]上恒成立，得≤t ≤2；故答案为：[]【第8题】【第9题】【第10题】【第11题】试题解析：（Ⅰ）因为11S a+，33S a+，22S a+成等差数列，所以()()()3311222S a S a S a+=+++，所以()()31323122S S S S a a a-+-+=+，所以314a a=，因为数列{}n a是等比数列，所以23114aqa==，又0q>，所以12q=，所以数列{}na的通项公式112nna-⎛⎫= ⎪⎝⎭；()01221122232122n nnT n n--=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()12312122232122n nnT n n-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅所以()()()012112212322122n nn T n n n -⎡⎤-=⋅+-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+--⋅-⋅⎣⎦()()012111222222212112nn n nn nT n n n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--故()121nn T n =-⋅+所以1121n n T n ++=⋅+所以()()()1121121120n nnn nT T n n n ++⎡⎤-=⋅+--⋅+=+⋅>⎣⎦所以1n n T T +>所以{}n T 是递增数列，所以()1min 1n T T ==，所以1m ≤，所以m 的最大值为1【第12题】解：（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，∴△MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴OF 1=OM ，当a ＞1时，=1，解得a=，当0＜a ＜1时，=a ，解得a=，（2）当k=1时，y=x +m ，设A （x 1，y 1），（x 2，y 2），由，即（1+a 2）x 2+2a 2mx +a 2m 2﹣a 2=0，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=， ∵△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴+=0，∴a 2m 2﹣a 2+m 2﹣a 2=0∴m 2（a 2+1）=2a 2，（3）证明：当a=2时，x 2+4y 2=4，设A （x 1，y 1），（x 2，y 2），∵k OA •k OB =﹣，∴•=﹣，∴x 1x 2=﹣4y 1y 2，由，整理得，（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0．∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∴y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=++m 2=，∴=﹣4×，∴2m 2﹣4k 2=1，∴|AB |=•=•=2•=∵O 到直线y=kx +m 的距离d==，∴S △OAB =|AB |d==•==1【第13题】解：（1）根据题意，函数f （x ）=e x ﹣2（a ﹣1）x ﹣b ，其导数为f'（x ）=e x ﹣2（a ﹣1），当函数f （x ）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x ）=e x ﹣2（a ﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立， ∴2（a ﹣1）≤（e x ）min =1（其中x ∈[0，1]），解得；当函数f （x ）在区间[0，1]单调递减时，f'（x ）=e x ﹣2（a ﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a ﹣1）≥（e x ）max =e （其中x ∈[0，1]），解得．综上所述，实数a 的取值范围是．（2）函数g （x ）=e x ﹣（a ﹣1）x 2﹣bx ﹣1，则g'（x ）=e x ﹣2（a ﹣1）x ﹣b ，分析可得f（x）=g'（x）．由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以．令f'（x）=0，得x=ln（2a﹣2）∈（0，1），所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）]上单调递减，在区间（ln（2a﹣2），1]上单调递增．记f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），因此x1∈（0，ln（2a﹣2）]，x2∈（ln（2a﹣2），1），必有f（0）=1﹣b＞0，f（1）=e﹣2a+2﹣b＞0．由g（1）=0，得a+b=e，所以，又f（0）=a﹣e+1＞0，f（1）=2﹣a＞0，所以e﹣1＜a＜2．综上所述，实数a的取值范围为（e﹣1，2）．【第14题】【第15题】。

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(3)

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(3)一、填空题（每小题6分，共60分）1、设a , b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a , b )有 _ 组.2、方程16sin πx cos πx ＝16x ＋1x 的解集合为3、三棱锥S ABC -是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O 是底面ABC ∆内的一点，那么tan tan tan W OSA OSB OSC =∠⋅∠⋅∠的最小值是______________4、对任意,x y R ∈，代数式M =________5、计算：232010sinsinsin sin2011201120112011ππππ=_______________ 6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种． 7、对,x y R ∀∈，函数(,)f x y 都满足：①(0,)1f y y =+；②(1,0)(,1)f x f x +=； ③(1,1)(,(1,))f x y f x f x y ++=+；则(3,2011)f =__________________ 8、设2n 个实数122,,,n a a a 满足条件21211()1n i i i a a -+=-=∑则12212()()n n n n a a a a a a μ++=+++-+++的最大值为________________9. 如图，在△ABC 中，cos25C =,0,AH BC ⋅=0)(=+⋅，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为_________10. 若实数a , b , x , y 满足3,ax by +=227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=，则55ax by +=________ 二、解答题（每小题20分，共100分）11．已知数列{a n }：30,2021==a a ，.311-+-=n n n a a a ⑴ 证明：500112-=-+-n n n a a a )2(≥n⑵ 求出所有的正整数n ，使得151++n n a a 为完全平方数.12、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点．（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ∆的面积为定值；（2）若BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的31， 13、已知函数()ln ()2f x x ax 2a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，试证明：01x a>.14. 如图，已知K L 、分别是ABC ∆的边AC AB 、的中点，ABC ∆的内切圆I 分别与边CA BC 、切于点E D 、.求证：DE KL 、的交点在ABC ∠的角平分线上.15．给定大于2011的正整数n ，将21,2,3,,n 分别填入n n ⨯的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟3 参考答案1、设3312412423711,23711a b αβαααβββ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅, 则有11max 22max 33max 44max {,}4,{,}3,{,}2,{,}1αβαβαβαβ====.故有序正整数对(a , b )有(241)(231)(221)(211)⨯+⨯+⨯+⨯+=945组.2、当x ＞0时，16x ＋1x ≥8，（x ＝14取到等号）而，(x ＝14＋k , k ∈Z 取到等号), 于是有当x ＞0时，方程只有一个解x ＝14。

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(19)

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛仿真模拟(19)一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）【第1题:概率】甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 . 【第2题：立体几何】如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 . 【第3题:柯西不等式取等号条件为0时】z y x ,,均为非负实数，满足2221327()(1)()224x y z +++++=，则z y x ++的最大值与最小值分别为 .【第4题:平面向量：奔驰定理】若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆CO A BO C AO B S S S ，设μλ+=，则=+μλ . 【第5题:构造函数，集合关系容易漏解】设(2,4)A =-，2{|40,}R B x x ax x =++=?．若A B 的非空子集个数为1，则实数a 的取值范围是．【第6题:】已知()()(),,2,1,0a xb yc x y R a b c a c b c =+∈===--= ，则a b -的取值范围是_______________.【第7题:复数概念】已知复数32sin 32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z . 【第8题:圆锥曲线】已知双曲线()2222:10,0x y a b a b Γ-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是Γ右支上的一点，Q 是2PF 的延长线上一点，且12QF QF ⊥，若13sin 5PFQ ∠=，则Γ的离心率的取值范围是______________．【第9题:规划面积问题】已知z 为非零复数，zz 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量的端点P 运动所形成的图形的面积为 . 【第10题：不等式取等条件】已知正实数12,,,n a a a 与非负实数12,,,n b b b 满足 (1) 1212n n a a a b b b n +++++++= ;(2) 121212n n a a a b b b += ，则 121212n n n b b b a a a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的最大值为__________．二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

2018年福建省高一数学竞赛试卷及解析

2018年福建省高一数学竞赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题，B={x|log2(x2－x)<1}，则A∩B=（）A. (1，2)B. (－1，3]C. [0，2)D. (－∞，－1)∪(0，2)2.若直线l与两直线l1：x－y－l=0，l2：13x－3y－11=0分别交于A、B两点，且线段AB中点为P(1，2)，则直线l的斜率为（）A. －2B. －3C. 2D. 33.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、E分别为棱BC、BB1的中点，N为正方形B1BCC1的中心.l为平面A1MN与平面D1BE的交线，则直线l与正方体底面ABCD所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4.如图，在三棱锥中，SA=SB=AB=BC=CA=6，且侧面ASB⊥底面ABC，则三棱锥S－ABC 外接球的表面积为（）A. 60πB. 56πC. 52πD. 48π5.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)={−x2−2，x∈(−1，0]，x2−2，x∈(0，1]。

且f(x+2)=f(x)，g(x)=5−2xx−2，则方程f(x)=g(x)在区间[3，7]上的所有实根之和为（）A. 14B. 12C. 11D. 76.已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=kx+b(k>0)交线段CA于点D，交线段CB 于点E.若△CDE的面积为2，则b的取值范围为（）A. (√2−1，1)B. (2−√2，23]C. (2−√2，34]D. (√2−1，23]第II卷（非选择题）二、填空题7.函数f(x)=[log3(13√x)]⋅[log√3(3x2)]的最小值为________.8.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，P A=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.9.若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________.10.已知集合A={1，3，5，7，9}，集合{a b|a∈A，b∈A，且a≠b}，则集合B中元素的个数为________.为有理数的所有正整数n的和为________.11.使√16n+17n+812.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a，b，c，其中a，b，c为整数，且c>b>a>64.若对每个正整数n≤753，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次），则b的最小值为________.三、解答题13.已知△DEF三边所在的直线分别为l1:x=－2，l2：x+√3y－4=0，l3：x－√3y－4=0，⊙C为△DEF的内切圆.（1）求⊙C的方程；（2）设⊙C与x轴交于A、B两点，点P在⊙C内，且满足|PC|2=|PA|⋅|PB|.记直线P A、PB的斜率分别为k1、k2，求k1k2的取值范围.14.函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值.15.如图，AB、P A、PBC分别为⊙O的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点E，AB、PE相交于点F，直线CF交⊙O于另一点G、交P A于点K.证明：（1）K是P A的中点；（2）AG2=BG⋅PG..16.已知a，b，c∈R，且3a2+3b2+4c2=60. （1）求 a+b+c的最大值（2）若a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，求a4−a +b4−b+3c6−c的最小值17.设集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c（不必不同），都有a+b+c≠0.求集合S的元素个数的最大值.参考答案1.A【解析】1.由1≤3x ≤27，得0≤x ≤3.因此，A =[0，3]. 由log 2(x 2－x )<1，得{x 2−x >0x 2−x <2，解得，－1<x <0或1<x <2 所以A ∩B = (1，2)，选A. 2.B【解析】2.由点A 在直线l 1：x －y －7=0上，设A (t ，t －7). 由AB 中点为P (1，2)，知B (2－t ，11－t ). ∵点B 在直线l 2：13x +3y －11=0上， ∴13(2－t )+3(11－t )－11=0.解得，t =3. ∴A (3，－4)，k l =k PA =2−(−4)1−3=−3,选B. 3.D【解析】3.如图，由正方体的性质与条件，易得MN ⊥面ABCD ，BE ⊥面ABCD . ∴面A 1MN ⊥面ABCD ，面D 1BE ⊥面ABCD .∴l ⊥面ABCD ，l 与面ABCD 所成角的大小为90°. 选D. 4.A【解析】4.如图，设D 为AB 中点，O 1为△ABC 的外心，O 2为△SAB 的外心，O 为三棱锥S －ABC 外接球的球心，球O 的半径为R .由SA=SB=AB=BC=CA=6，知△SAB、△ABC是边长为6的正三角形.∴SD⊥AB，CD⊥AB，CD=SD=3√3，O1在CD上，O2在SD上，且O2D=O1D=√3，CO1=2√3.∵侧面ASB⊥底面ABC，OO1⊥面ABC，∴SD⊥面ABC，O2D⊥O1D，SD∥OO1.∴四边形O2DO1O为正方形，OO1=O2D=√3.∴R=OC=√O1O2+O1C2=√3+12=√15.∴三棱锥S－ABC外接球的表面积为4πR2=60π.选A.5.C【解析】5.如图，作出函数的图像.由图像可知，两函数的图像在区间[－3，7]上有5个不同的交点.设它们的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5.由于函数y=f(x)与y=g(x)的图像均关于点(2，－2)对称.所以，x1+ x5=4，x2+x4=4，x3=3.所以，方程f (x )=g (x )在区间[－3，7]上的所有实根之和x 1+ x 2+x 3+x 4+x 5=11. 选C. 6.B【解析】6.如图，设|CD |=m ，|CE |=n .由条件知，△ABC 为等腰直角形，CA =CB =2√2，CA ⊥CB . 由△CDE 的面积为2，得12mn =2，mn =4.由k >0，得m >n .因此，2<m ≤2√2.设DE 交y 轴于点F ，点F 到CA 、CB 的距离相等，设为t . 则S ΔCDE =12mt +12nt =2，t =4m+n.∴b =OF =2−CF =2−√2t =2−4√2m+n.∴b =2−4√2m+n的取值范围为(2−√2，23]. 选B.7.−258【解析】7.设log 3x =t ，则log 3(13√x )=−1+12t ，log √3(3x 2)=32log 3√3=2(1+2t).∴f(x)=g(t)=(−1+12t)⋅2(1+2t)=2t 2−3t −2=2(t −34)2−258.∴当t =34，log 3x =34，x =334时，f (x )取最小值−258.8.√52【解析】8.如图，作EH ⊥AD 于H ，连HF .由P A ⊥面ABCD ，知P A ⊥AD ，EH ∥P A ，EH ⊥ABCD .作HG ⊥DF 于G ，连EG ，则EG ⊥FD ，∠EGH 为二面角E －FD －A 的平面角. ∵ABCD 为正方形，E 、F 分别为PD 、BC 的中点， ∴H 为AD 中点，FH ⊥AD . 设P A =AB =2，则EH =12PA =1，FH =2，HD =4，HG =FH×HD FD=√5.∴tan∠EGH=EH HG=12√5=√52.∴二面角E －FD －A 的正切值为√52. 9.[1，2]【解析】9.∵f (x )=x 2－2ax +a 2－4=(x －a )2－4，f (a )=－4，f (a －2)=0，f (x )在区间[a －2，a 2]上的值域为[－4，0]，f (x )的图像为开口向上的拋物线.∴{a −2≤a ≤a 2a ≥a−2+a 22，解得－1≤a ≤0或1≤a ≤2.结合a >0，得1≤a ≤2. ∴a 的取值范围为[1，2]. 10.18【解析】10.依题意，a 有5种取法；当a 取定后，b 有4种取法；故，得到5×4=20种取法.由于13=39，31=93.因此，共可得到20－2=18个不同的值. ∴集合B 中元素的个数为18. 11.205【解析】11.设16n+17n+8=(b a )2（a ，b 为互质的正整数)，则16na2+17a 2=nb 2+8b 2，n =8b 2−17a 216a −b =111a 216a −b −8.由a ，b 为互质，知a 2，b 2互质，于是，a 2与16a 2－b 2互质，且16a 2－b 2>0. ∴(16a 2−b 2)|111 ，且l 6a 2－b 2=(4a －b )(4a +b )≥5.又111=1×111=3×37， ∴16a 2－b 2=(4a －b )(3a +b )=37，或16a 2－b 2=(4a －b )(4a +b )=111. ∴{4a −b =14a +b =37 ，或{4a −b =14a +b =111 ，或{4a −b =34a +b =37. 解得，{a =194b =18（舍去），或{a =14b =55 ，或{a =5b =17 . {a =14b =55时，n =111a 2(4a−b)(4a+b)−8=111×1961×111−8=188（此时，√16n+17n+8=√3025196=5514）. {a =5b =17 时，n =111a 2(4a−b)(4a+b)−8=111×253×37−8=17（此时，√16n+17n+8=√28925=175）. ∴n =188或n =17.符合条件的正整数n 为188和17. ∴符合条件的所有正整数n 的和为205. 12.125【解析】12.显然，用这10个数能够表示的最大数是 1+2+4+8+16+32+64+a +b +c =l 27+a +b +c ， ∴127+a +b +c ≥753.……………………①又用1，2，4，8，16，32，64，a ，b 这9个数能够表示的最大的数是 1+2+4+8+16+32+64+a +b =127+a +b .因此，若c ≥127+a +b +2，则数127+a +b +1无法用这10个数中某些数的和表示. ∴c ≤127+a +b +1……………………②由①、②，可得753≤127+a +b +c ≤127+a +b +(127+a +b +1)，2(a +b ) ≥498，a +b ≥249. 结合a ，b 为整数，且6>a ，得6≥125.下面说明当a =124，b =125，c =377时，这10个数符合要求.结合二进制数的特征，对每个正整数n ≤1+2+4+8+16+32+64=127，都可以用1，2，4，8，16，32，64这7个数中的某些数的和来表示.∴当n≤127时，n可以用1，2，4，8，16，32，64这7个数中某些数的和表示；当n≤127+124=251时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124这8个数中某些数的和表示；当n≤251+125=376时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125这9个数中某些数的和表示；当n≤376+377=753时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125，377这10个数中某些数的和表示.∴a=124，b=125，c=377符合要求.∴b的最小值为125.13.（1）x2+y2=4.（2）(－1，0]【解析】13.（1)解法一：设C(a，b)，⊙C半径为r，则|a+2|=|a+√3b−4|2=|a−√3b−4|2=r，结合点C(a，b)在△DEF内，可得a+2=−(a+√3b−4)2=−(a−√3b−4)2=r.解得a=b=0，r=2.∴⊙C的方程为x2+y2=4.解法二：设C(a，b)，⊙C半径为r.如图，由条件知，l2、l3的倾斜角分别为150°和30°，且它们关于x轴对称，同时l1⊥x轴. 因此，△DEF为正三角形.∴点C在x轴上，且a=－2+r，b=0.由l2、l3交x轴于点D(4，0)，知△DEF的高为6.∴r=13×6=2，a=0.∴⊙C的方程为x2+y2=4.（2）由（1）知，C(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设P(x，y)，则x2+y2<4. ∵|PC|2=|PA||PB|，∴x 2+y 2=√(x +2)2+y 2⋅√(x −2)2+y 2，化简得，x 2－y 2=2. ∴k 1k 2=y x+2⋅y x−2=y 2x 2−4=x 2−2x 2−4=1+2x 2−4. 由x 2+y 2<4，以及x 2－y 2=2，y 2≥0，得2≤x 2<3.∴k 1 k 2∈(－1，0].∴k 1 k 2的取值范围为(－1，0].14.4750【解析】14.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =b =a ，得f (0)=f (0)+f (0)+0+2，于是f (0)=－2.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =2，b =－2，得f (0)=f (2)+f (－2)－4+2.∴－2=f (2)_3－4+2，f (2)=3.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =n －2，b =2，得f (n )=f (n －2)+f (2)+2(n －2)+2=f (n －2)+3+2(n －2)+2=f (n －2)+2n +l .∴f (n )－f (n －2)=2n +1.∴f (96)－f (94)=2×96+1， f (94)－f (92)=2×94+1，f (94)－f (92)=2×94+1，……上述等式左右两边分别相加，得f (96)－f (2)=2(96+94+…+4)+47.∴f(96)=2×(96+4)2×47+47+3=4750.15.（1）见解析（2）见解析【解析】15.（1)在△APC 中，由塞瓦定理，知AK KP ⋅PB BC ⋅CE EA =1.……①∵A 是BD 的中点，P A 是⊙O 的切线，∴∠P AB =∠ADB =∠ABD .∴EB ∥AP ，PB BC =AE EC . ………………………………………②由①、②，得AK =KP .K 是P A 的中点.另解：∴A 是BD 的中点，P A 是⊙O 的切线，∴∠P AB =∠ADB =∠ABD ，EB ∥AP .如图，过点F 作MN ∥AP ，交AE 于点M ，交PB 于点N .则MF AP =EM EA ，FN AP =BN BP.…………① 且EB ∥AP ∥MN ，EM EA=BN BP .…………② ∴由①、②，得MF AP=EM EA =BN BP =FN AP . ∴FM =FN .又由MN ∥AP ，得MF AK =CF CK =FN KP， ∴AK =KP ，K 是P A 的中点.（2）由（1）及切线长定理，得KP 2=KA 2=KG ⋅KC .因此，KP KC =KG KP . 又∠PKG =∠CKP ，∴△PKG ∽△CKP .∠APG =∠KPG =∠KCP =∠GCB =∠BAG .又∠P AG =∠ABG ，∴△GP A ∽△GAB ，AG BG =PG AG. AG 2=BG ⋅PG .16.（1）√55（2）5【解析】16.（1)由柯西不等式，知(a +b +c )2=(3⋅√3a +3√3b +12⋅2c )2 ≤[(1√3)2+(1√3)2+(12)2]⋅[(√3a)2+(√3b)2+(2c)2]2 =(13+13+14)(3a 2+3b 2+4c 2)=(23+14)⋅60=40+15=55. ∴a +b +c ≤√55.当且仅当√3a 1√3=√3b 1√3=2c 12>0，即a =b =√5√11时，等号成立.∴a+b+c的最大值为√55.（2）由a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，知a，4－a，b，4－b，c，6－c均为正数，∴a(4−a)≤(a+4−a2)2=4，b(4−b)≤(b+4−b2)2=4，c(4−c)≤(c+4−c2)2=9.∴a4−a +b4−b+3c6−c=a2a(4−a)+b2b(4−b)+c2c(4−c)≥a24+b24+c29=3a2+3b2+4c212=6012=5.又当a=b=2，c=3时，满足a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，3a2+3b2+4c2=60，且a4−a +b4−b+3c6−c=5.∴a4−a +b4−b+3c6−c的最小值为5.17.20【解析】17.集合S的元素个数的最大值为2018.令S={s|1≤s≤2018，s∈Z}，显然集合S符合要求，且|S|=2018.另一方面，设S是满足题设条件的集合，显然0∉S（否则0+0+0=0）.设S中的所有正整数构成集合A，S中的所有负整数构成集合B.若A=∅，则|S|=|B|≤2018；若B=∅，则|S|=|A|≤2018.下面考虑A、B非空的情形.对于集合X，Y，记X+Y={x+y|x∈X，y∈Y}，−X={−x|x∈X}.由题设可知，(A+B)∩(−S)=∅（否则，设x0∈(A+B)∩(－S)，则存在a∈A，b∈B，－c∈－S，使得a+b=x0，－c=x0.于是，存在a∈S，b∈S，使得a+b+c=0）.且A+B∈{x|x∈Z，且|x|<2017}(事实上，A中元素≤2018，B中元素≤－1，于是A+B中元素≤2017；同理，A+B中元素≥－1027.）.设集合A中元素为a1，a2，…，a k，集合B中元素为b1，b2，…，b l，且a1<a2<…<a k，b1<b2<…<b l.∵a1+b1<a2+b1<a3+b1<…<a k+b l <a k+b2<…< a k+b l.∴A+B中至少有k+l－1个元素，即|A+B|≥k+l－1=|S|－1.结合A+B⊆{x|x∈Z，且|x|≤2017}⊆M，−S⊆M，且(A+B)∩(−S)=∅，可得(A+B)∪(−S)⊆M，4037=|M|≥|A+B|+|－S|=|A+B|+|S|≥|S|－1+|S|.∴|S|≤2019.若|S|=2019，则|A+B|+|－S|=4037=|M|.∴(A+B)∪(－S)=M.又由−2018∉A+B，2018∉A+B，知2018∈S，－2018∈S.∴对于k=1，2，3，…，1009，k与2018－k中至少有一个不属于S，－k与－2018+k 中也至少有一个不属于S.因此，|A|≤1009，|B|≤1009.∴2019=|S|=|A|+|5|≤1009+1009=2018，矛盾.因此，|S|≤2018.综上可得，|S|≤2018.综上所述，集合S的元素个数的最大值为2018.。

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2018年高中数学联赛(福建省预赛)导数题另解

2018年高中数学联赛(福建省预赛)导数题另解
叶健;郑舒恒
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2018(000)012
【总页数】2页(P48-49)
【作者】叶健;郑舒恒
【作者单位】福建省泉州市第七中学高二(12)班 365006;福建省泉州市第七中学高二(12)班 365006
【正文语种】中文
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