十年高考数学全国卷线性规划问题整理

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高考数学丨线性规划知识点汇总

高考数学丨线性规划知识点汇总一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。

2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。

3 整点：坐标为整数的点叫做整点。

4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。

只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。

5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。

线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。

2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。

若直线不过原点，通常选择原点代入检验。

3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。

4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。

5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。

基础知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<03．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。

2010高考数学全国卷1(题题详细解析)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试及答案第I 卷一．选择题 (1)复数3223i i+=-(A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i ii i +++++-===--+.(2)记cos(80)k -︒=,那么tan 100︒=A.21k k- B. -21k k- C.21k k- D. -21k k-2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析】222sin 801cos 801cos (80)1k=-=--=-,所以tan 100tan 80︒=-2sin 801.cos 80k k-=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为m ax 12(1)3z =-⨯-=.0x y += 1Oy x =y20x y --=xA 0:20l x y -=2-2A（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则a a a=(A) 52(B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a =====(5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 45.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】35533(12)(1)(16128)(1)x x x x x x x +-=+++-故353(12)(1)x x +-的展开式中含x的项为333551()1210122C x xC x x x ⨯-+=-+=-,所以x的系数为-2.(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的ABC DA 1B 1C 1D 1 O选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23B33C 23D637.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC1D ，由等体积法得11D A C D D A C DV V --=,即111133A C D A C D S D O S D D ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则12211133sin 60(2)2222AC D S AC AD a a ∆==⨯⨯=,21122A C D S A D C D a ∆==.所以1312333AC DAC DS D D aD O a S a∆∆===,记DD 1与平面AC1D 所成角为θ,则13sin 3D O D D θ==,所以6cos 3θ=.（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b,c=125-=15,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为 (A)32(B)62(C) 3 (D) 69.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12a P F e x a e x x c=--=+=+，22000||[)]21aPF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得 cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||P F P F F F P F P F +-,即cos 0602220000(12)(21)(22)2(12)(21)x x x x ++--=+-,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为06||2y =（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 222a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a=，所以a+2b=2a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为 (A) 42-+(B)32-+(C) 422-+ (D)322-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，APO=21x +，21sin 1xα=+，||||cos 2P A P B P A P B α∙=⋅ =22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙= ，则4221x xy x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB ∙=-+.此时21x =-.（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233(B)433(C) 23 (D)83312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有A B C D 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 433V =.第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)(13)不等式2211x x +-≤的解集是 .13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 解析:原不等式等价于2221(1),10x x x ⎧+≤+⎨+≥⎩解得0≤x ≤2.(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .14．17-【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.12x =y=1xy aO12x =-414a y -=2y x x a=-+【解析】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))(k k k Z απππ∈+++∈，又3c o s 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4sin 25α=,sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tantan 2134471tantan 2143παπα-+==--+.(15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .15.(1,5)4【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知，a 的取值必须满足1,4114a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<.(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =uu r uur，则C 的离心率为 . 16.23【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图，22||BF b c a =+=,作1D D y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =uu r uur，得1||||2||||3O F BF D D BD ==,所以133||||22D D O F c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22ac cFD e a ca=-=-又由||2||BF FD =,得232c c a a=-,整理得22320c a ac -+=.xO yBF1DD两边都除以2a ,得2320e e +-=,解得1()e =-舍去，或23e =.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知A B C V 的内角A ，B 及其对边a，b 满cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.【解析】(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.【解析】(18)解：(Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用. 则 D=A+B·C,()0.50.50.25,()20.50.50.5P A P B P C=⨯==⨯⨯== ()()P D P A B C=+=()()P A P B C + =()()()P A P B P C + =0.25+0.5×0.3 =0.40.(Ⅱ)~(4,0.4)X B ，其分布列为： 4(0)(10.4)0.1296,P X ==-= 134(1)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 2224(2)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 334(3)0.4(10.4)0.1536,P X C ==⨯⨯-=4(4)0.40.0256.P X === 期望40.4 1.6E X =⨯=.（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (19) 【解析】解法一：(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,由此知 1,DG GC BG ===即A B C ∆为直角三角形，故B C B D ⊥.又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，(Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD =133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又. 故AD E ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接A F ,则226,3AF D E AF AD D F⊥=-=.连接F G ，则//,FG EC FG DE ⊥.所以，A F G ∠是二面角A D E C --的平面角. 连接AG,AG=2,2263FG D G D F=-=,2221cos 22AF FG AGAFG AF FG+-∠==-,所以，二面角A D E C --的大小为120°.解法二：以D 为坐标原点，射线D A 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，由,m D E m D C⊥⊥,得m D E⊥=，0m DC⊥=故20,20 111x y zyλλλλλ++==+++.令2x=，则(2,0,)mλ=-.(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想. 【解析】20.解：（Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x xλ+'=+-=+，()l n 1x f x x x '=+, 题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤.令()ln g x x x =-，则1()1g x x'=-当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤，1x =是()g x 的最大值点，()(1)1g x g =-≤ 综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.(Ⅱ)有（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤；当1x ≥时，()l n (l n 1f x x x x x =+-+ 1l n (l n 1)x x x x=++- 11ln (ln 1)x x x x=--+0≥所以(1)()0x f x -≥（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设89F A F B = ，求B D K ∆的内切圆M 的方程 .【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.【解析】（21）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠.（Ⅱ）由①知，21212(1)(1)42x x m y m y m +=-+-=- 1212(1)(1) 1.x x m y m y =--=因为 11(1,),FA x y =-uu r 22(1,)FB x y =-uur，212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=--+=-+++=-uu r uur故 28849m -=，解得 43m =±所以l 的方程为3430,343x y x y ++=-+=又由①知 2214(4)4473y y m -=±-⨯=±故直线BD 的斜率21437y y =±-，因而直线BD 的方程为3730,3730.x y x y +-=--=因为KF 为BK D ∠的平分线，故可设圆心(,0)(11)M t t -<<，(,0)M t 到l 及BD 的距离分别为3131,54t t +-. 由313154t t +-=得19t =，或9t =（舍去），故圆M 的半径31253t r +==.所以圆M 的方程为2214()99x y -+=.（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-.（Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查. 【解析】（Ⅱ）12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得用数学归纳法证明：当2c >时1n n a a +<. （ⅰ）当1n =时，2111a c a a =->，命题成立；。

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编概率(精解精析)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编概率（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻地概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．45【结果】C思路：将4个1和2个0随机排成一行,可利用插空法,4个1产生5个空,若2个0相邻,则有155C =种排法,若2个0不相邻,则有2510C =种排法,所以2个0不相邻地概率为1025103=+．故选：C ．2．(2021年高考全国乙卷理科)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74地概率为( )A ．79B ．2332C ．932D ．29【结果】B思路：如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出地数分别为,x y ,则实验地所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<,其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74,则构成地区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭,即图中地阴影部分,其面积为13323124432A S =-⨯⨯=,所以()2332A S P A S Ω==．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中地面积问题,解题关键是准确求出事件,A Ω对应地区域面积,即可顺利解出．3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在一组样本数据中,1,2,3,4出现地频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本地标准差最大地一组是( )A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【结果】B思路：对于A 选项,该组数据地平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=。

高考数学总复习 7-3 简单的线性规划问题但因为测试新人教B版

高考数学总复习 7-3 简单的线性规划问题但因为测试新人教B版1.(文)(2010·北京东城区)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(0,1)[答案] B[解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方⇔－2－2t＋4<0，∴t>1.[点评]可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0⇔点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．由题意－2(－2－2t＋4)>0，∴t>1.(理)(2010·惠州市模拟)若2m＋2n<4，则点(m，n)必在()A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案] A[解析]∵2m＋2n≥22m＋n，由条件2m＋2n<4知，22m＋n<4，∴m＋n<2，即m＋n－2<0，故选A.2．(2010·四川广元市质检)在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A．95B．91C．88D．75[答案] B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y ＝1时，0≤x≤13；y ＝2时，0≤x≤12； y ＝3时，0≤x≤10；y ＝4时，0≤x≤9； y ＝5时，0≤x≤7；y ＝6时，0≤x≤6； y ＝7时，0≤x≤4；y ＝8时，0≤x≤3； y ＝9时，0≤x≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个． 3．(2011·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．4[答案] D [解析]该线性约束条件所代表的平面区域如上图，易解得A(1,3)，B(1，53)，C(2,2)，由z ＝3x－y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.4．(文)(2011·安徽示范高中皖北协作区联考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，y －x≥0，x≥0.目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有( )A ．a>1B ．a>－1C ．a<1D ．a<－1[答案] D[解析] 作出可行域如下图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z.只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a>1，故a<－1，故选D.(理)(2011·宝鸡质检)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0<a<13B ．a≥13C ．a>13D ．0<a<12[答案] C[解析] 作出可行域如下图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A(2,2)处取得最大值，故－1a >－3，∴a>13.5．(2011·泉州质检)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤20≤y≤3x ＋2y －2≥0所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则|AB|的最大值为( )A ．2 5 B.13 C ．3 D. 5 [答案] B[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合下图观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB|的最大值是13，选B.6．(2011·兰州模拟)设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N(x ，y)满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤02x ＋y －12≤0x≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数个[答案] D[分析] 点N(x ，y)在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如下图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y －12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.7．如下图，若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤my ＋n x －3y≥0y≥0(n>0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.[答案] －33[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33. 8．(2011·浏阳模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1x ＋y≥13x －y≤3，则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值为________．[答案] 11[解析] 如下图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z ＝4x ＋y 在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2()，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．[答案] 15[解析] 设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥00.5x ＋0.7y≥1.9x ＋0.5y≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：z min＝3×1＋6×2＝15.10．(2011·福建厦门外国语学校月考)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解析] 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，0.3x ＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如下图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，此时z 取得最大值，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.11.(文)(2010·揭阳市模考、重庆南开中学模考)已知正数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0x －3y ＋5≥0，则z＝⎝⎛⎭⎫14x ·⎝⎛⎭⎫12y的最小值为( )A ．1 B.324C.116 D.132[答案] C[解析] 如下图易得2x ＋y 的最大值为4，从而z ＝4－x·⎝⎛⎭⎫12y ＝⎝⎛⎭⎫122x ＋y 的最小值为116，选C.(理)(2011·重庆一诊)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0x －2y ＋8≥0x≥0，y≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4[答案] A[解析] 如下图由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A. 12．(文)(2010·山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤132x ＋3y≤18x≥0y≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如下图，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝132x ＋3y ＝18，解得A(3,4)． ∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C[解析] 设该公司派甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y≥72，2x ＋y≤19，x ＋y≤12，0≤x≤8，x ∈N 0≤y≤7，y ∈N利润z ＝450x ＋350y ，可行域如下图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝19x ＋y ＝12得A(7,5)．当直线350y ＋450x ＝z 过A(7,5)时z 取最大值， ∴z max ＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.13．(2011·广州一测)某校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≥5，x －y≤2，x<6.则该校招聘的教师最多是________名． [答案] 10[解析] 如下图在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ∈N ，y ∈N ，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时x ＋y 取得最大值，x ＋y 的最大值是10.14．(2011·苏北四市三调)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤10≤y≤22y －x≥1下，x －1 2＋y 2的最小值为________．[答案]255[解析] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到x －1 2＋y 2可视为该区域内的点(x ，y)与点(1,0)之间距离，结合下图可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y －x ＝1的距离，即为|－1－1|5＝255.15．(文)(2010·吉林省质检)某单位投资生产A 产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A 、B 两种产品，那么分别生产A 、B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？[解析] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y≤142x ＋y≤9x≥0y≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y. 作出可行域如上图，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝92x ＋3y ＝14解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝⎛⎭⎫134，52，平移直线y ＝－32x ＋S 2，当它经过点A ⎝⎛⎭⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S2最大，S 也最大．此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元．(理)(2010·茂名模考)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y≤3220x ＋5y≤55x≥0y≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如上图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝84x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.51．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥x －1，y≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2[答案] B[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥x －1y≤－3|x|＋1的图形如下图．解得：A(0,1) D(0，－1) B(－1，－2) C(12，－12)S △ABC ＝12×|AD|×|x C －x B |＝12×2×(12＋1)＝32，故选B. 2．(2010·重庆市南开中学)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥22x －y≤4x －y≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3[答案] D[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0)∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC ＝12×2×4－12×2×1＝3.3．(2010·南昌市模拟)已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a<1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a ＋2b ＝2a ＋21－a＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M<3，故选B.4．(2010·广东中山)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤4x ＋y≥1y≥0，则3x ＋5y 的最大值为( )A ．12B ．9C ．8D ．3[答案] A[解析] 由下图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A(4,0)时，z 取最大值，最大值为12，故选A.5．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x －y≥－2，4x ＋3y≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如下图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.6．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a>0，a≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9][答案] C[解析] 作出不等式表示的平面区域如下图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0x －y ＋8＝0得A(1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝02x ＋y －14＝0得B(3,8)，当函数y ＝a x 过点A 时，a ＝9，过点B 时，a ＝2，∴要使y ＝a x 的图象经过区域M ，应有2≤a≤9.7．如下图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(23，45)是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是________．[答案] (－125，－310)8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y≤1801000x ＋600y≤8000x≥0，y≥0，x ，y ∈Z ，且z ＝200x ＋150y.约束条件可化简为： ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y≤605x ＋3y≤40x≥0，y≥0，x ，y ∈Z可行域为如下图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝605x ＋3y ＝40，得到B(207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y)中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B(207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益． [点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．。

线性规划命题的变迁——从2010年全国高考福建卷数学理工类第8题谈起

一
道线性规划题，题表面上是以线性规划为背景，此
设不等式组｛２＋ ≥０一）３所表示的平面区域，
【≥ ｙ＿
是，曲线（一３￣）Ｙ４－＋＝１的点集记为，上对于中的任意点与中的任意点Ｂ，ＩＢＩ的求Ａ最小值．
距离．
，
≥ ｌ
不等式组｛２＋ ≥０【ｙ３所表示的平面区域是。一，
ｙ ≥
：
≥ １
平面区域与关于直线３一４ｙ一９＝０对称．
变式１已知实数ｙ一＋，满足｛２３≥０则，
ｌｙ≥ ①：＝３４一ｙ的取值范围是多少？ ② ＝上的取值范围是多少？＝（一３√ ）＋Ｙ ③ 的取值范围是多
主命题依旧在创新上不遗余力．观近几年线性规综划的命题，从最初单纯考查可行域的画法、目标函数
的几何意义，经过几年的演变，现在的题型是更关注线性规划与其它知识模块之间的综合，线性规划如与函数、解几、率等问题的综合，文以此高考题概本为背景，从六个方面对线性规划近几年命题的变化进行归纳、结，总希望能为来年的高三总复习投石问
中学数学杂志２１００年第９期
而用基本不等式解答．４触类旁通。深一步，再与可行域的面积有关的问
。。
求实数ｋ的取值范围．分析目标函数表

近几年全国卷高考文科数学线性规划高考题汇编

线性规划高考题1.[2013.全国卷]设,x y满足约束条件10,10,3,x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=-的最小值是（）A.7-B.6-C.5-D.3-2.[2014.全国卷]设x，y满足的约束条件1010330x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y=+的最大值为（）3.[2014.全国卷]设1，y满足约束条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay=+的最小值为7，则a=（）A．-5 B. 3 C．-5或3 D. 5或-34. [2012.全国卷.T5] 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（）A.(1－3，2) B.(0，2) C.(3－1，2) D.(0，1+3)5.[2010.全国卷.T11]已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（）A.（-14，16）B.（-14，20）C.（-12，18）D.（-12，20）6. [2016.全国卷]设x，y满足约束条件210,210,1,x yx yx-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z=2x+3y–5的最小值为:7．[2016.全国卷]若x，y满足约束条件103030x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z=x-2y的最小值为8.[2015.全国卷]若x，y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y=+的最大值为9.[2015.全国卷] x,y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为10.[2013.全国卷]设,x y满足约束条件13,10xx y≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y=-的最大值为11. [2011.全国卷.T14]若变量,x y满足约束条件329,69,x yx y≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y=+的最小值为12. [2016.全国1卷.T16]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。

高考数学考点24简单的线性规划试题解读与变式(new)

考点24 简单的线性规划【考纲要求】1．掌握确定平面区域的方法（线定界、点定域）．2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法（图解法），注意线性规划问题与其他知识的综合．【命题规律】简单的线性规划是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查,有时会出现解答题中于其他知识结合考查.【典型高考试题变式】（一）求目标函数的最值例1。

【2017课标1,文7】设x,y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2D．3【解析】如图，作出不等式组表示的可行域,则目标函数z x y=+经过(3,0)A时z取得最大值，故max 303z=+=，故选D．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域,并明确可行域对应的封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．【变式1】【改变结论】设x，y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y的最小值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(1,0)B 时z 取得最小值，故min 101z =+=,故选B ．【变式2】【改变条件】变量x ，y 满足约束条件错误!则z ＝x ＋y 的最大值是（ ) A ．4- B ．4 C ．2 D ．6 【答案】B（二)非线性目标函数的最值例2。

【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（）A.4 B 。

9 C 。

10 D.12 【解析】画出可行域如图所示，点31A -（，）到原点距离最大，所以 22max ()10x y +=,选C 。

2010年高考数学理科试题解析版(全国卷II)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）（数学理）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+>（C ）211(R )x y e x +=-∈ （D ）211(R )x y ex +=+∈【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A (1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++===（5）不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】s i n (2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将s i n (2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）A B C V 中，点D 在A B 上，C D 平方A C B ∠．若CB a =u u r，C A b =uur ，1a =，2b =，则C D =uuu r（A ）1233a b +（B ）2133a b +（C ）3455a b +（D ）4355a b +【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为C D 平分A C B ∠，由角平分线定理得A D C A 2=D BC B1=，所以D 为AB 的三等分点，且22A D A B (C B C A )33==- ，所以2121C D C A +A D C B C A a b 3333==+=+，故选B.（9）已知正四棱锥S A B C D -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.. 【解析】332211',22y xk a--=-∴=-，切线方程是13221()2y aax a ---=--，令0x =，1232y a-=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（11）与正方体1111ABC D A B C D -的三条棱A B 、1C C 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

高中数学增量代换法处理高考线性规划问题

重庆市武隆县武隆中学数学组梁承勇邮编408500 liaceny@增量代换法处理高考线性规划问题（重庆市武隆中学梁承勇 408500）线性规划问题在高中数学中是一个新增加的内容，在近几年的高考中都是一个热点问题，各省市自主命题中都要考察这一内容，因此显得特别地重要。

纵观该问题的解法均是：先画出不等式组的图象得到可行域，再作直线mx+ny=0的一组平行直线：mx+ny=t ，通过平移并保持与可行域有公共点，求出在y 轴上的截距t 的最大值和最小值，进而求出z 的最大值和最小值。

这种解法要在同一坐标系内画出很多复杂的直线即可行域的边界直线和平行移动的直线。

能否不画图象，通过代数问题代数求解的原则进行呢？本文就举例谈谈增量代换法在高考线性规划问题的使用，引入变量t ，p 来处理这类问题。

现举例说明：例1：设y x z +=2，式中x ，y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤+≥3425531y x y x x 求z 的最大值和最小值。

解：由于1≥x 可设)0(1≥+=t t x 引入变量t 带入不等式组有 ⎪⎩⎪⎨⎧++≥≤++31425533t y y t 由314++≥t y 又可设)0(314≥+++=p p t y 所以)0(44≥++=p p t y 带入25533≤++y t 化简有68517≤+p t 同时0≥t ，0≥p由442222p t t y x z +++++=+= 4493p t ++= )52855517(413t p t +++= 57)517(2013t p t +++= 结合68517≤+p t 同时0≥t ，0≥p 易知0==p t 时z 取最小值3 又572068357)517(2013t t p t z ++≤+++=知当4=t ，0=p 时 z 取最大值12。

例2：（06天津，3）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥xy y x x y 263 则目标函数y x z +=2的最小值为（） A ．2 B 。

2010年高考全国数学卷(全国Ⅱ.理)(含详解答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）数学(理科）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== （5）不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】s i n (2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将s i n (2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若C B a =u u r ，CA b =uu r，1a =，2b =，则CD =u u u r（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA2=DBCB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==- ，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，故选B.（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

2024高考全国卷及各省数学线性规划真题整理-免费(附答案)

2024高考全国卷及自主招生数学高考真题线性规划专题真题整理（附答案解析）1.（17全国卷I ，文数7）设x ，y 满意约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D解析：如图，由图易知当目标函数z x y =+经过直线33x y +=和0y =（即x 轴）的交点(3,0)A 时，z 能取到最大值，把(3,0)A 代入z =x +y 可得max 303z =+=，故选D.2.（17全国卷I,理数14题）设x ，y 满意约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为答案：5-解析：不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如图所示。

由32z x y =-变形得322z y x =-。

要求z 的最小值，即求直线322z y x =-的纵截距的最大值。

由右图，易知当直线322z y x =-过图中点A 时，纵截距最大。

联立方程组2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-。

故32z x y =-的最小值是-5.3.（17全国卷Ⅱ，文数7、理数5）设x 、y 满意约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩ .则2z x y =+ 的最小值是（）A. -15B.-9C. 1 D 9答案：A解析：不等式组2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图所示，易知当直线2z x y =+过到213y x =+与3y =-交点()63--，时，目标函数2z x y =+取到最小值，此时有()()min 26315z =⨯-+-=-，故所求z 最小值为15-．4.（17全国卷Ⅲ，文数5）设x ，y 满意约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z =x -y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3] 答案：B解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数z =x -y 在直线3260x y +-=与直线0x =（即x 轴）的交点()0,3A 处取得最小值，此时min 033z =-=-。

高考数学复习考点题型专题讲解题型24 线性规划(解析版)

高考数学复习考点题型专题讲解题型：线性规划【高考题型一】：线性规划求最值。

『解题策略』：确定线性区域：二元一次不等式0(0)Ax By C ++><区域的确定只与系数B 有关，当B 与后面的符号一致在直线上方，不一致在直线下方，或简记为“同上异下”，或通过移项等方式把B 变为正值，若0>，则在直线上方；若0<，则在直线下方。

另注意实虚线(有等号为实线)。

【题型1】：构造截距求最值。

『解题策略』：对于线性目标函数：a z z ax by y x b b=+⇒=-+，可看作直线平行移动穿过可行域时截距的范围。

注意：①可行域边界的斜率与平行直线系斜率的大小比较，然后确定直线平移规律；②b 的符号，当0b >时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 最大；反之，z 最小。

当0b <时，与上面正好相反，且0b <是考生最容易出错的一个知识点。

1.(2009年新课标全国卷6)设y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ,则y x z += ( ) A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值【解析】：如图画出区域，选B。

2.(2012年新课标全国卷14)设,x y满足约束条件,013x yx yx y≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y=-的取值范围为。

【解析】：画出区域可得取值范围为[]3,3-。

3.(2013年新课标全国卷II9)已知0>a，yx,满足约束条件()133xx yy a x⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若yxz+=2的最小值为1，则a= ( )A.14B.12C.1D.2【解析】：画出区域，选B。

4.(2016年新课标全国卷III13)若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0220201y x y x y x ，则y x z +=的最大值为。

2010年高考大纲全国卷 II文科数学试题及答案 (云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)

2010年高考大纲全国卷 II 理科数学试题及答案文科数学(必修+选修)(云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()AB =ð（）（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.∵ A={1,3}。

B={3,5}，∴ {1,3,5}AB =，∴(){2,4}UC A B =故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或（D ）{}3x x >【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A）3-B ）19-（C ）19（D）3【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴ 11ln(1)1,1,1y x x y x ey e ---=--==+另法（一点定乾坤――反函数选择题最快捷的方法）：原函数过点(11e -+,0)，反函数必过点(0,11e -+),符合条件的只有选项D.(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。

高考数学线性规划题型总结

2010 年高考线性规划归类解析线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题2 x y 2例 1、设变量 x、y 满足约束条件x y 1 ，则z 2 x 3 yx y 1的最大值为。

解析：如图 1，画出可行域，得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1的交点 A(3,4) 处，目标函数z 最大值为 18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域 ,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。

数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题x1,例 2、已知x y10, 则x2y2的最小值是 .2 x y20解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而x2y2 表示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知 A（ 1，2）是满足条件的最优解。

x2y2的最小值是为 5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

x 0例 3 、在约束条件y0下，当 3 s 5 时，目标函数y x sy 2 x4图 1图 2Cz 3 x 2 y 的最大值的变化范围是（）A. [6,15]B. [7,15]C.[6,8]D. [7,8]解析：画出可行域如图 3 所示,当3s 4 时,目标函数z 3 x 2 y在 B(4s , 2 s 4)处取得最大值,即zmax3(4s)2(2 s 4)s 4 [7, 8) ;当4s 5 时,目标函数z 3 x 2 y 在点 E (0, 4)处取得最大值 ,即z max 3 0 2 48 ,故 z[7, 8] ,从而选D;点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于 S的函数关系是求解的关键。

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例 4、已知双曲线x 2y 2 4 的两条渐近线与直线 x 3 围成一个三角形区域 ,表示该区域的不等式组是（）x y 0x y 0x y 0x y 0(A)x y 0(B)x y 0(C)x y 0(D)x y 00 x 30 x 30 x 30 x 3解析：双曲线224的两条渐近线方程为y x ，与直线x 3围x y成一个三角形区域（如图4 所示）时有x y 0 。

2010年普通高等学校招生考试全国卷2数学试题答案及解析

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在，每小题给出的四个选项中，参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A-B ）=P(A)-P(B)一、选择题（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。

B={3,5}，∴ {1,3,5}A B = ，∴(){2,4}U C A B = 故选 C . （2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或（D ）{}3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵ 302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A）3-（B ）19-（C ）19（D）3【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴11ln(1)1,1,1y x x y x ey e---=--==+(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。

2012-2022年十年高考数学真题分类汇编专题21 简单线性规划解法(解析版)

专题21 简单线性规划解法理16文16文5目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想目标函数为线性的规划问题，数形结合思想考点71非线性目标函数的最值问题考点72线性规划的实际问题考点69 二元一次不等式（组）平面区域问题1．（2019•新课标Ⅲ，文11）记不等式组⎩⎨⎧≥-≥+026y x y x 表示的平面区域为D ．命题:(,)p x y D ∃∈，92≥+y x ；命题:(,)q x y D ∀∈，122≤+y x ．下面给出了四个命题 ①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A【解析】作出不等式组⎩⎨⎧≥-≥+026y x y x 表示的平面区域为D ．在图形可知，命题:(,)p x y D ∃∈，92≥+y x 是真命题，则p ⌝假命题；命题:(,)q x y D ∀∈，122≤+y x ．是假命题，则q ⌝真命题，所以①p q ∨真；②p q⌝∨假；③p q ∧⌝真；④p q ⌝∧⌝假，故选A ．2．（2014新课标Ⅰ，理9）不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥， 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（）A ．2p ，3PB ．1p ，4pC ．1p ，2pD ．1p ，3P 【答案】C【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：20x y +=，平移0l ，由图可知，当直线：2x y z +=过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C ．3．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 【答案】D【解析】若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．4．（2014安徽）不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________．【答案】4【解析】如图阴影部分，可知12(22)42ABC S ∆=⨯⨯+=考点70 线性目标函数的最值问题1．（2020浙江3）若实数,x y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是( )A ．(],4-∞B ．[)4,+∞C ．[)5,+∞D ．(),-∞+∞【答案】B 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线20x y +=，平移该直线，易知当直线经过点()2,1A 时，z 取得最小值，min 2214z =+⨯=，再数形结合可得2z x y =+的取值范围是[)4,+∞．2．（2017•新课标Ⅱ文5）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+0303320332y y x y x ，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A【解析】作出可行域如图所示，2z x y =+ 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由32330y x y =-⎧⎨-+=⎩解得(6,3)A --，则2z x y =+ 的最小值是15-，故选A ．3．（2017•新课标Ⅰ，文7）设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z xy =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】作出可行域如图所示，则z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由033y x y =⎧⎨+=⎩解得(3,0)A ，所以z x y =+ 的最大值为3，故选D ．4．（2017•新课标Ⅲ，文5）设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]【答案】B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z x y =-，经过可行域的A ，B 时，目标函数取得最值，由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得(0,3)A ，由03260y x y =⎧⎨+-=⎩解得(2,0)B ，目标函数的最大值为：2，最小值为：3-，目标函数的取值范围：[3-，2]，故选B ．5．（2013新课标Ⅱ，文3）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）（A ）7- （B ）6- （C ）5-（D ）3- 【答案】B【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线23z x y =-经过点(3,4)B 时，min 23346z =⨯-⨯=-，故选B ．6．（2014新课标Ⅱ，理9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ． 10B ． 8C ． 3D ． 2 【答案】B【解析】作出可行域如图阴影部分，做出目标函数0l ：2y x =，∵2y x z =-，∴当2y x z =-在y 轴上的截距最小时，z 有最大值，∴当2y x z =-经过C 点时，z 有最大值．由31070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：(5,2)C 此时：z 有最大值2528⨯-=，故选B ．7．（2014新课标Ⅱ，文9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．8B ．7C ．2D ．1 【答案】B【解析】画出可行域如图阴影部分所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122zy x =-+的纵截距最大，作出直线0:20l x y +=，平移0l ，当直线l ：2z x y =+A 点时，z 取到最大值．由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩解得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=，故选B ．8．（2012•新课标，文5）已知正三角形ABC 的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 【答案】A【解析】有题设知2)，作出直线0l ：0x y -+=，平移直线0l ，有图像知，直线:l z x y =-+过B 点时，max z=2，过C 时，min z =1-z x y =-+取值范围为(1－3，2)，故选A ．9．(2018天津)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥ 则目标函数35z x y =+的最大值为A ． 6B ．19C ．21D ．45 【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线35y x =-．平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由15x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)C ，所以max 325321a =⨯+⨯=，故选C ．10．（2017天津）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为A ．23 B ．1 C ．32D ．3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中3(0,1),(0,3),(,3)2A B C -，24(,)33D -，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D ．11．（2017山东）已知x ，y 满足3035030x yx y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值是A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】C【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分，当目标函数过(3,4)-时取得最大值，即max 3245z =-+⨯=．选C ．12．（2017北京）若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤ 则2x y +的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．9 【答案】D【解析】不等式组可行域如图阴影部分，目标函数2z x y =+过点(3,3)C 时，取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D ．13．（2017浙江）若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≥≤，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ． [0，4]C ．[6,)+∞D ．[4,)+∞ 【答案】D【解析】如图阴影为可行域，可知在(2,1)A 时，min 4z =，无最大值．所以2z x y =+的取值范围是[4,)+∞．选D ．x14．(2016天津)设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数25z x y =+的最小值为A ．4-B ．6C ．10D ．17【答案】B【解析】如图，已知约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0，2)，B(3，0)，C(l ，3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线255zy x =-+过点B(3，0)时，z 取得最小值23506⨯+⨯=．15．（2015福建）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 则2z x y =-的最小值等于A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为x2y x z =-z 2y x z =-2y x =1(1,)2B -z，故选A ．16．（2013四川）若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b-的值是A ．48B ．30C ．24D ．16 【答案】C【解析】作出可行域，如图，则在A 点取得最大值16，在B 点取得最小值8-，则24a b -=，选C ．17．（2012山东）设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值，点处有最小值，即，应选A ．152(1)22z =⨯--=-y x ,222441x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩y x z -=3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23[]6,1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,603=-y x )0,2()3,21(362z -18．(2011广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z =OM ·OA 的最大值为 A ．3 B ．4 C ．32 D ．42 【答案】B【解析】画出区域D 如图所示，而z =OM ·OA =2x y +，所以2y x z =-+，令0l ：2y x =-，平移直线0l 过点(2,2)时，z 取得最大值，故max 2224z =⨯+=．19．（2020全国I 文13）若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为__________．【答案】1【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线70x y +=并平移，数形结合可知当平移后的直线经过点(10)A ，时，7z x y =+取得最大值，最大值为1． xy Oy=2x=2yx=2解法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得(10)A ，，(01)B -，，3(1)2C -，，当直线7z x y =+过点(10)A ，时，1z =；当直线7z x y =+过点(01)B -，时，7z =-；当直线7z x y =+过点3(1)2C -，时，112z =-．所以z 的最大值为1．20．（2020全国3文13）若x y ,满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____．【答案】7【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线320x y +=，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过点(12)A ，时，32z x y =+取得最大值，max 31227z =⨯+⨯=．解法二：易知32z x y =+的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出可行域的顶点坐标，分别将各顶点坐标代入32z x y =+，即可求得最大值．联立得020x y x y +=⎧⎨-=⎩，，解得00x y =⎧⎨=⎩，，代入32z x y =+中可得0z =；联立得01x y x +=⎧⎨=⎩，，解得11x y =⎧⎨=-⎩，，代入32z x y =+中可得1z =；联立得120x x y =⎧⎨-=⎩，，解得12x y =⎧⎨=⎩，，代入32z x y =+中可得7z =．通过比较可知，z 的最大值为7．21．（2020全国II 文15）若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩，，，则2z x y =+的最大值是____．【答案】8【解析】解法一：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线20x y +=并平移，由图知，当平移后的直线经过点(23)A ，时，z 取得最大值，max 2238z =+⨯=．解法二：易知可行域是一个封闭区域，因此目标函数的最值在区域的顶点处取得，由11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，此时1z =-；由121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，，得01x y =⎧⎨=-⎩，，此时2z =-；由121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，，得23x y =⎧⎨=⎩，，此时8z=．综上所述，2z x y=+的最大值为8．22．（2020全国III 理13）若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，，，则32z x y =+的最大值为________．【答案】7【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．结合图形可知，当直线322zy x =-+过点(12)A ，时， z 取得最大值，且max 31227z =⨯+⨯=．23．（2020全国I 理13）若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________．【答案】1【解析】解法一：作出可行域，如图中阴影部分所示，由10220x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得10x y =⎧⎨=⎩，，故(10)A ，．作出直线70x y +=，数形结合可知，当直线7z x y =+过点A 时，7z x y =+取得最大值，为1．解法二：作出可行域，如图中阴影部分所示，易得(10)A ，，(01)B -，，312C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，当直线7z x y =+过点A 时，1z =；当直线7z x y =+过点B 时，7z =-；当直线7z x y =+过点C 时，311722z =-=-．所以7z x y =+的最大值为1．24．（2020上海7）已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为．【答案】1-【解析】首先画出可行域，和初始目标函数2y x =，当直线2y x =平移至点()1,1A 时，取得最大值，max 1211z =-⨯=-，故答案为：1-．25．（2019•新课标Ⅱ，文13）若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最大值是．【答案】9【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z=-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，由⎩⎨⎧=-+=-+030632yx yx 解得(3,0)A ，所以z 有最大值为9．26．（2018•新课标Ⅰ，理13（文14））若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为．【答案】6【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=．27．（2018•新课标Ⅱ，理14（文14））若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为．【答案】9【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数z x y =+为y x z=-+，由图可知，当直线y x z=-+过A 时，z 取得最大值，由5230x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(5,4)A ，目标函数有最大值，为9z =．28．（2018•新课标Ⅲ，文15）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则13z x y =+的最大值是．【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，13z x y =+变形为33y x z =-+，作出目标函数对应的直线，由图知，当直线33y x z =-+过A 时，直线的纵截距最小，z 最大，由2240x x y =⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ，所以z 最大值为12333+⨯=．29．（2017•新课标Ⅰ，理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为．【答案】5-【解析】由x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x 作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得(1,1)A -，32z x y ∴=-的最小值为31215-⨯-⨯=-．30．（2017•新课标Ⅲ，理13）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则34z x y =-的最小值为．【答案】1-【解析】由34z x y =-，得344z y x =-，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线344zy x =-，由平移可知当直线344z y x =-，经过点(1,1)B 时，直线344zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，将B 的坐标代入34341z x y =-=-=-，即目标函数34z x y =-的最小值为1-．31．（2016•新课标Ⅱ，文14）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则2z x y=-的最小值为．【答案】5-【解答】作出可行域如图，由310xx y=⎧⎨-+=⎩，解得(3,4)B，由图可知，当直线1122y x z=-过(3,4)B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3245-⨯=-．32．（2016•新课标Ⅲ，理13）若x，y满足约束条件1020220x yx yx y-+⎧⎪-⎨⎪+-⎩，则z x y=+的最大值为．【答案】3 2【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由20220x yx y-=⎧⎨+-=⎩得1 (1,)2D，所以z x y=+的最大值为13122+=．33．（2016•新课标Ⅲ，文13）设x，y满足约束条件2102101x yx yx-+⎧⎪--⎨⎪⎩，则235z x y=+-的最小值为．【答案】10-【解析】作出可行域如图阴影部分所示，联立210210x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,1)A --，化目标函数235z x y =+-为25333zy x =-++，由图可知，当直线25333z y x =-++过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2(1)3(1)510⨯-+⨯--=-．34．（2015新课标Ⅰ，文15）若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l ：z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1，1），∴z =3x +y 的最大值为4．35．（2016•新课标Ⅲ，理14）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩，则z x y =+的最大值为．【答案】32【解析】作出可行域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由20220x y x y -=⎧⎨+-=⎩得1(1,)2D ，所以z x y=+的最大值为13122+=．36．（2015新课标Ⅱ，文14）若x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为．【答案】837．（2013新课标Ⅰ，文14）设x ，y 满足约束条件1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：20x y -=，平移直线l ，由题知当直线l 过A点时2z x y =-取最大值，由3x x y =⎧⎨-=⎩解得A （3，3），∴max z =233⨯-=3．38．（2012课标，理13）设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为．【答案】[－3，3]【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：2x y -=0，平移直线0l ，有图像知，:l 2z x y =-，过A （1，2）点时min z =－3，过B(3，0)时，max z =3，故2z xy =-的取值范围为[－3，3]．50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩39．（2011•新课标，理13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为．【答案】-6【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过A 点时，2z x y =+取最小值，解239x y x y +=⎧⎨-=⎩得A(4，－5)，min 42(5)z =+⨯-=－6．40．(2018北京)若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________．【答案】3【解析】作出不等式组21y xx y⎧⎨+⎩≤≤，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令2z y x =-，作出直线20y x -=，平移该直线，当直线过点(1,2)A 时，2y x -取得最小值，最小值为2213⨯-=．41．(2018浙江)若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则3z x y =+的最小值是__，最大值是__．yxOy=12x y=x+1y=2x A【答案】−2；8【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中(4,2)B -，(2,2)A ．设3z x y =+，将直线:3l z x y =+进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化，可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值，()4,22z F ∴=-=-最小值，可得当l 经过点A 时，目标函数z 达到最最大值，()2,28z F ==最大值．考点71非线性目标函数的最值问题1．(2016年山东)若变量x ，y 满足则22x y +的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设(,)P x y 为平面区域内任意一点，则22x y +表示2||OP ．显然，当点P 与点A 合时，2||OP ，即22x y +取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，故(3,1)A -．所以22x y +的最大值为223(1)10+-=．故选C ．2．(2016浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB = A ． B ．4C ．D ．6 【答案】C2,239,0,x y x yx y=9【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点,C D 分别作直线20x y +-=的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形ABDC 为矩形；又(2,2)C -，(1,1)D -，所以||||AB CD ===C ．3．（2014福建）已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 A ．5 B ．29 C ．37D ．49 【答案】C【解析】平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心(,)C a b ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为1y =（-2≤x ≤6），由图形得，当点C 在点(6,1)N 处时，22a b +取得最大值226137+=，故选C ．4．（2015新课标Ⅰ，理15）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为．【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1，3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3．5. (2016江苏)已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是．【答案】4[,13]5【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示，因为原点到直线220x y +-=22min 4()5x y +=，又当(,)x y 取点(2,3)时，22x y +取得最大值13，故22x y +的取值范围是4[,13]5．考点72 线性规划的实际问题1．（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ． D ．18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润，由题意可列，x y 34z x y =+32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩其表示如图阴影部分区域，当直线过点时，取得最大值，所以，故选D ．2．（2016•新课标Ⅰ，理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】设A 、B 两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元，由题意，得,1.50.51500.39053600x N y Nx y x y x y ∈∈⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪+⎩，2100900z x y =+，作出可行域如图中阴影部分所示，由题意可得0.39053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：60100x y =⎧⎨=⎩，(60,100)A ，由图知，2100900z x y =+经过A 时，目标函数取得最大值：210060900100216000⨯+⨯=元．考点73 含参数的线性归化问题340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=1．（2014新课标I ，文11）设,x y ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（）A ．-5B ．3C ．-5或3D ．5或-3 【答案】B【解析】当a ＞0时，作出可行域如图1中阴影部分所示，作出直线0l ：0x ay +=，平移直线0l ，由图知，l ：z x ay =+过点A 时，z x ay =+取最小值；当a ＜0时，作出可行域如图2中阴影部分所示，作出直线0l ：0x ay +=，平移直线0l ，由图知，z x ay=+无最小值；由1x y a x y +=⎧⎨-=-⎩解得A （12a -，12a +），故1(1)22a a a -++=7，解得a =-5（舍）或a =3，故选 B ．2．（2013新课标Ⅱ，理9）已知a ＞0，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a= A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2z x y =+，由题知当直线2z x y =+过A 点时，z 取最小值1，由211x y x +=⎧⎨=⎩解得A （1，－1），因A （1，－1）在(3)y a x =-上，∴a=12，故选B ．3．（2015山东）已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =A ．3B ．2C ．－2D ．－3 【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，则(2,0)A ，(1,1)B ，若z ax y =+过A 时取得最大值为4，则24a =，解得2a =，此时，目标函数为2z x y =+，即2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件，若z ax y =+过B 时取得最大值为4，则14a +=，解得3a =，此时，目标函数为3z x y =+，即3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件，故2a =，故选B ．4．（2014安徽）满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数的值为（） A ．B ．C ．2或1D ．【答案】D【解析】解法一由题中条件画出可行域，y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ax y z -=a 121-或212或12-或可知三交点(0,2)A ，(2,0)B ，(2,2)C --，则2A z =，2B z a =-，22C z a =-，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要A B C z z z =>或A C B z z z =>或B C A z z z =>，解得1a =-或2a =．解法二目标函数z y ax =-可化为y ax z =+，令0l ：y ax =，平移0l ，则当0l AB ∥ 或0l AC ∥时符合题意，故1a =-或2a =．5．（2014北京）若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为－4，则k 的值为A ．2B ．-2 C．12D ．12- 【答案】D【解析】作出线性约束条件20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，的可行域．当0k >时，如图(1)所示，此时可行域为y 轴上方、直线20x y +-=的右上方、直线20kx y -+=的右下方的区域，显然此时z y x =-无最小值．当1k <-时．z y x =-取得最小值2；当1k =-时，z y x =-取得最小值-2，均不符合题意，当10k -<<时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2，0)，B （-2k，0），C (0，2)所围成的三角形区域，当直线z y x =-经过点B （-2k，0）时，有最小值，即2()4k--=-，所以得12k =-．故选D ．6．（2012福建）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．1-B ．1C ．32D ．2 【答案】B【解析】由题意，230y x x y =⎧⎨+-=⎩，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y =2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩，如图所示，则，可得m ≤1，∴实数m 的最大值为1，故选B ．7．（2011湖南）设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，12+） B ．（12+，+∞） C ．（1，3 ） D ．（3，+∞）【答案】A【解析】1m >，故直线y mx =与直线1x y +=交于1(,)11m m m ++点，目标函数z x my =+对应的直线与直线y mx =垂直，且在1(,)11m m m ++点，取得最大值，其关系如下图所示，即2121m m +<+，解得11m <+又1m >，解得(1,1m ∈+，故选A ．m m 23≥-8．（2014浙江）当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】3[1,]2【解析】由约束条件作可行域如图，由1240x x y =⎧⎨+-=⎩解得3(1,)2C．由10240x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得(2,1)B ，在10x y --=中取0y =得(1,0)A ，要使14ax y +恒成立，则103102402140a a a a -⎧⎪⎪+-⎪⎨⎪-⎪+-⎪⎩，解得：312a ，∴实数a 的取值范围是3[1,]2．9．（2014湖南）若变量满足约束条件，且的最小值为－6， x y 240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩14ax y ≤+≤a ,x y 4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+则．【答案】－2【解析】作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，由2z x y =+，得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最小，此时z 最小，目标函数为26x y +=-，由26x y y x +=-⎧⎨=⎩，解得22x y =-⎧⎨=-⎩，即(2,2)A --，点A 也在直线y k =上，2k ∴=-．10．（2013浙江）设z kx y =+，其中实数,x y 满足2242240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--<⎩，若z 的最大值为12，则实数k =________ ．【答案】2【解析】此不等式表示的平面区域如图所示，其中(2,0)C ，(2,3)A ，(4,4)B ．当0k >时，直线：平移到B 点时目标函数取最大值，即4+4=12k ，所以2k =；当0k <时，直线：平移到A 或B 点时目标函数取最大值，此时2312k +<或4412k +<，所以不满足题意．所以2k =，所以填2．11．（2011湖南）设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为．【答案】3【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为155z y x =-+，显然只有155z y x =-+k =0l y kx =-0l y kx =-1,m >1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩5z x y =+m在y 轴上的截距最大时z 值最大，根据图形，目标函数在点A 处取得最大值，由1y mx x y =⎧⎨+=⎩，得1(,)11mA m m ++，代入目标函数，即15411mm m +=++，解得3m =．。