第3章和第4章习题课
水力学第3章习题课
3.11
图1为射流泵的工作原理。工作流体Q0从 喷嘴高速喷出时,在喉管入口处因周围的 空气被射流卷走而形成真空,被输送的流 体Qs即被吸入。两股流体在喉管中混合并 进行动量交换，使被输送流体的动能增加 ，最后通过扩散管将大部分动能转换为压 力能。
射流泥浆泵用于河道疏浚、水下开挖和井 下排泥。射流泵没有运动的工作元件，结 构简单,工作可靠，无泄漏，也不需要专 门人员看管,因此很适合在水下和危险的 特殊场合使用。
例：
2 2 p1 1v1 p2 2v2 Z1 Z2 hw 应用能量方程式的条件： g 2g g 2g
（1）水流必需是恒定流； （2）作用于液体上的质量力只有重力；
（3）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但 所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；
（4）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量 加入或分出。若有分支，则应对第一支水流建立能量方程式，例 1 如图示有支流的情况下,能量方程为：
p3 v p1 v Z1 Z3 hw13 g 2g g 2g
2 1 1 2 3 3
3
Q1
1 2
Q3 Q2
解：渐变进口段：
D 2 A 1 1.77m2 4
V1 Q 1.02m / s A1
1v12 0.05 m 2g
1v12 p 30.65m 2g
p1 A1 531KN
渐变出口段：
d2 A 2 0.785 m2 4
2
v2
Q 2.92 A2
v2 0.87
3
2
2 p3 3v32 p2 2v2 Z2 Z3 hw23 g 2g g 2g
工程流体力学习题课1-第2-3-4章-部分习题解答
2 2 d2
习题3-14解题示意图1
Dr W-X Huang, School of Chemical Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, P.R. China
工程流体力学——习题课(1)——第 2-3-4 章部分习题解答
Fx1 =
y x
H1
D
H2
图 3-26 习题 3-11 附图
1 1 ρ gH1 × ( DL) = × 1000 × 9.8 × 4 × (4 × 10) = 784000 N=784kN 2 2 1 D 1 4 Fx 2 = ρ gH 2 × ( L) = × 1000 × 9.8 × 2 × × 10 = 196000 N=196kN 2 2 2 2
H
h
由此得： H ≥ 122mm + h ≥ 244mm (2) 结合以上正负压操作时结果有：
p / ρ g ≤ h ≤ H − | p| / ρ g
图 3-23 习题 3-8 附图
→ 122mm ≤ h ≤ 178mm
Dr W-X Huang, School of Chemical Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, P.R. China
工程流体力学——习题课(1)——第 2-3-4 章部分习题解答
F1-6
习题 3-8 旋风除尘器如图 3-23 所示，其下端出灰口管段长 H，部分插入 水中，使旋风除尘器内部与外界大气隔开，称为水封；同时要求出灰管内液面 不得高于出灰管上部法兰位置。设除尘器内操作压力 ( 表 压 ) p = −1.2 kPa~ 1.2kPa。 净化空气 (1) 试问管段长 H 至少为多少 mm? (2) 若H=300mm，问其中插入水中的部分h应在 什么范围？(取水的密度 ρ =1000kg/m3) 含尘 解：(1) 正压操作时，出灰管内液面低于管外液 面，高差为 h′ = p / ρ g ；为实现水封，出灰管插入深 度 h 必须大于此高差，即
自动控制原理课后习题第四章答案
G(s)H(s)=
Kr s(s+1)(s+3)
σ根 s=3-K+ω轨r4-3-迹+p4s132ω1-3的+~3ω32分p===s2-离+001K点.p-3r=3：KK~0θrr===012+ωω6021,o=3,=0+±1810.7o
8
jω
1.7
s1
A(s)B'系(s)统=根A'轨(s迹)B(s)
s3 p3
s=sK2±r没=j24有.8.6位×于2K.r根6=×4轨80.迹6=上7，. 舍去。
2
第四章习题课 (4-9)
4-9 已知系统的开环传递函数，(1) 试绘制出
根轨迹图。
G(s)H与(s虚)=轴s交(0点.01s+1K)(系0.统02根s+轨1迹)
jω
70.7
解: GKK(rr=s=)10H5(0s)=ωω2s1,(3=s=0+±17000K.7)r(s+50)
s1
A(s)B'(系s)统=A根'(轨s)迹B(s)
s3 p3
p2
p1
-4
-2
0
((24))ζ阻=尼03.振5s2荡+1响2应s+s的81==K-r0值0.7范+围j1.2
s=s-s10=3=.-80-56.8+50K.7r×=20=s.82-=54×-.631..1155×3.15=3.1
-2.8
450
1080
360
0σ
0σ
第四章习题课 (4-2)
4-2 已知开环传递函数，试用解析法绘制出系
统的根轨迹，并判断点(-2+j0),(0+j1),
第4章 线性方程组与向量习题课
5b x1 = a (b + 1) 2 x2 = b+1 2(b 1) x3 = b + 1
1 0
1 b 2 2b
1 c 1 x2 x1 = a x1 = a x2 = c . x3 = 0 x =0 3
由
b 2 1 a A → 0 b1 1 0 0 0 1 b 2 2b
b 2 1 a b 2 1 a A = 0 b1 1 0 → 0 b1 1 0 a b 1 b 3 2b 0 0 1 b 2 2b
( 1) a ≠ 0, b ≠ ±1, 方程组有唯一解； 方程组有唯一解；
暨南大学珠海学院
( 2 ) a ≠ 0, b = 1, 方程组有无穷多解； 方程组有无穷多解；
α 1 , α 2 , L , α m 线性相关
α1 x1 + α 2 x2 + L + α m xm = ο 有非零解． 有非零解．
R ( A) < n , 其 中 A = ( α 1 , α 2 , L , α n ) .
n个m维列向量 α1 , α 2 ,L , α n 线性相关 个 维列向量
暨南大学珠海学院
解：方法一,对方程组的系数矩阵作行初等变换， 方法一 对方程组的系数矩阵作行初等变换， 对方程组的系数矩阵作行初等变换
1 1 q 1 1 q A = 1 2q 1 → 0 1 1 p p 1 1 0 0 q( p 1)
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0.
线性表示且表法唯一. 线性表示且表法唯一. 线性相关， 线性无关， 例⒋设 α1 , α 2 , α 3 线性相关，α 2 , α 3 , α 4 线性无关， 线性表出， α 问 α1 能否由 α 2 , α 3 线性表出， 4 能否由 α1 , α 2 , α 3 线性表出？ 线性表出？ Q 线性无关， 线性无关， 解： α 2 , α 3 , α 4 线性无关，∴α 2 , α 3 线性无关， 又 Qα1 , α 2 , α 3 线性相关， 线性相关，
高等数学第三章习题课答案
第三章 微分中值定理习题课一、判断题（每题3分）1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（ √ ）2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（ × ）3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( × )4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . ( × )5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 .（ √ ）6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件. ( × )7.函数()arctan f x x x =的图形没有拐点. （ √ ）8.因为函数y =0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =.（ × ）二、选择题（每题3分）1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．xe B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()211f x x=+，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. （A ）[]2,0-；（B ）[]0,1；（C ）；[]1,2-（D ）[]2,2-3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ）(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.4．已知函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）.（A ）13 （B （C ）12 （D 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).A. 单调减函数B.单调增函数C. 有单调增区间也有单调减区间D. 没有单调性7. 函数2129223-+-=x x x y 的单调减少区间是 （ C ）. （A ）),(+∞-∞ （B ）)1,(-∞（C ）)2,1(（D ）),2(+∞8．设(),a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(),a b 内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A ）上方;（B ）下方; （C ）左方; （D ）右方.9.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则 （ A ）. （A ）3,30a b a b +=+= （B ）0,30a b a b +=+= （C ）2,320a b a b +=+=（D ）0,340a b a b +<+=10. 设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有()'0f x <且()"0f x <，则()y f x =在(,)a b 内（ C ）A.单调增加，图像是凹的B.单调减少，图像是凹的C.单调减少，图像是凸的D. 单调增加，图像是凸的11．函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a 和c 应满足（ C ）.（A ）0a <且0c =； （B ）0a >且c 是任意实数； （C ）0a <且0c ≠；（D ）0a <且c 是任意实数.12． 函数23++=x x y 在其定义域内（ B ） （A ）单调减少 (B) 单调增加 (C) 图形是凹的(D) 图形是凸的13．若()()00,x f x 为连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A ）()()00,x f x 必为曲线的拐点; （B ）()()00,x f x 必为曲线的驻点; （C ）0x 点必为曲线的极值点;（D ）0x x =必为曲线的拐点.14.函数()2ln f x x x =-的驻点是（ B ）.（A ）1x = （B ）12x =（C ）(1,2) (D) 1(,1ln 2)2+15．函数2ln(1)y x x =-+的极值（ D ）. A ．是1ln 2-- B ．是0D．不存在 C．是1ln216.设()[0,1]()f x x f x ''=在上有＜0，则下述正确的是（ A ）( A ) (1)f '＜)0()1(f f -＜(0)f '; ( B ) (0)f '＜)0()1(f f -＜(1)f '; ( C ) (1)f '＜(0)f '＜)0()1(f f -; ( D ) (0)f '＜(1)f '＜)0()1(f f -17.设()f x 具有二阶连续的导数，且20()lim3,ln(1)x f x x →=-+则(0)f 是()f x 的（ A ）（A ）极大值； （B ）极小值; （C ）驻点; （D ）拐点.18.设函数()y f x =在0x x =处有()0f x '=0,在1x x =处导数不存在，则( C ). A. 0x x =,1x x =一定都是极值点 B.只有0x x =可以是极值点C. 0x x =, 1x x =都可能不是极值点D. 0x x =,1x x =至少有一个是极值点三、解答题（求极限每题4分其余每题 8分） 1．求极限220000011sin sin 1cos 2(1)lim lim lim lim lim 0sin sin 22→→→→→---⎛⎫-===== ⎪⎝⎭x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）11lim 1ln x xx x →⎛⎫⎪⎝⎭-- =()()11ln 1ln 11limlim 11ln ln x x x x x x x x x x x→→--+-=--+11ln ln 11limlim ln 1ln 22x x x x x x x x x →→+===+-+0(3)11lim 1→⎛⎫ ⎪⎝⎭--x x x e 01lim (1)→--=-xx x e x x e 0011lim lim 12xxx x x x x x x e e e xe e e xe →→-===-+++ （4）200011ln(1)ln(1)lim()lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-==++0011111limlim lim 22(1)2(1)2x x x x x x x x x →→→-+====++20sin (5)limtan →-x x xx x 2200sin 1cos lim limtan 3x x x x x x x x →→--==0sin 1lim 66x x x →==222201(6)lim(1)→---x x x e xx e 22401lim→--=x x e xx 2232002211lim lim 42x x x x xe x e x x →→--==12=2223220000tan tan sec 1tan 1(7)lim lim lim lim ln(1)333→→→→---====+x x x x x x x x x x x x x x x1ln 1(8)lim cot →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x arc x 1lim cot →+∞=x x arc x 222211lim lim 111x x x x x x x →+∞→+∞-+===+-+sin sin cos (9)limlim cos 1→→-==-x a x a x a xa x a22200021sec 77ln tan 7tan 2sec 77tan 7(10)lim lim lim 11ln tan 2tan 7sec 22sec 22tan 2+++→→→⋅⋅⋅===⋅⋅⋅x x x x x x x x x x x x x(11)lim arctan 2→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭x x x π22221arctan 12lim limlim 1111→+∞→+∞→+∞--+====+-x x x x x x x xxπ2lim ln(arctan )2(12)lim arctan →+∞→+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭x xx x x x e ππ2lim ln(arctan )→+∞x x x π222211ln arctan lnln arctan arctan 1limlimlim 111→+∞→+∞→+∞+⋅+===-x x x x x x x xxxππ2222lim 1x x x ππ→+∞=-=-+ 22lim arctan -→+∞⎛⎫∴= ⎪⎝⎭xx x e ππ .()tan 21(13)lim 2→-x x x π解：()()()11sin ln 22limlim tan ln 2cos tan 2221lim 2x x x x x x xx x x eeππππ→→--→-==1122sinlim22x xx e eπππ→---⋅==tan 0(14)1lim +→⎛⎫⎪⎝⎭xx x 0011lim tan lnlim ln++→→⋅⋅==x x x x xxee2001110ln limlim1x x x xx xe ee++→→---====2． 验证罗尔中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[]0,1上的正确性.解：()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，()()012f f ==-满足罗尔定理条件.（3分）令()2121010f x x x '=-+=，得()0,1x =，满足罗尔定理结论.3． 试证明对函数2y px qx r =++应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明：在区间[],a b 上，()()()f b f a f b aξ-'=- 代入：()()222pb qb r pa qa r p q b aξ++-++=+-解得：2a bξ+=. 4． 证明方程531xx -=在()1,2之间有且仅有一个实根．证明：令()531f x x x =--，()11310f =--<， ()522610f =-->所以 ()0f x =在()1,2上至少一个根，又()4'53f x x =-，当()1,2x ∈时()'0f x >，所以单增，因此在()1,2上至多有一个根.()0f x =在()1,2上有且仅有一个根.5． 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=. 提示:令()()x F x e f x =证明：令()()xF x e f x =，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()()()x F x e f x f x ''=+ （3分）由Larange 中值定理，则至少(,)a b ξ∈，使得()()()F b F a F b aξ-'=-又()()0f a f b == ∴()()0f f ξξ'+=6． 设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.提示:令 ()()F x xf x =.证明：构造辅助函数()()F x xf x =， ()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a内可导∴()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，()()()F x f x xf x ''=+且(0)()0F F a ==由Rolle 定理，至少(0,)a ξ∃∈，有()0F ξ'= 即()()0f f ξξξ'+=7． 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根证：令()()()()323,33311f x x x b f x x x x '=-+=-=+-()1,1x ∈-时，0,,f f'<故()f x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.8． 证明：当1x >时，xe x e >⋅.证明: 令()xf x e x e =-⋅，显然()f x 在[1,]x 上满足Lagrange 中值定理的条ξ∈，使得件，由中值定理，至少存在一点(1,)x()(1)(1)()(1)()f x f x f x e e ξξ'-=-=--即()(1)0f x f >=又即x e x e >⋅9． 证明：当0x >时，112x +>证：()()111022f x x f x '=+==>()()00f x f >=,即有112x +>10． 求证：1,(0,)>+∈+∞xex x证明：令()1,,[0,)xf x e x x =--∈+∞当(0,)x ∈+∞时，()10x f x e '=->故在区间[0,)+∞上，()f x 单调递增从而当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=即1x e x >+或者：证明：()221112!2xf e e x x x x x ξξ''=++=++>+……8分11． 当1>x 时，证明：13>-x. 答案参看课本p148 例6 12． 证明：当0x >时， ln(1).1xx x x<+<+ 答案参看课本P132 例1 13． 设0,1a b n >>>， 证明:11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-.证明：令()nf x x =，显然()f x 在[,]b a 上满足lagrange 定理条件，故至少存在一点(,)b a ξ∈，使得()()()()f a f b f a b ξ'-=- 即1()n n n a b n a b ξ--=-又由b a ξ<<及1(1)n n n ξ->的单增性，得11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-14． 设0a b >>，证明：ln a b b a ba a b--<< 证明：令()ln f x x =，在区间[],b a 上连续，在区间(,)b a 内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点(),b a ξ∈，使得1ln ln ()a b a b ξ-=-，又因为1110,a b ξ<<<因此，ln a b a a ba b b--<<. 15． 证明恒等式()arcsin arccos ,112x x x π+=-≤≤.证：令()arcsin arccos f x x x =+ 则()f x 在[]1,1-上连续.在()1,1-内有:()0,f x f C '=≡≡令0,,arcsin arccos 22x C x x ππ==+=在()1,1-内成立.再根据()f x 在[]1,1-上的连续性,可知上式在[]1,1-上成立.16． 求函数2y x =的极值点和单调区间. 解：132(1)y x-'=-因此，2y x =在定义域(,)-∞+∞内有不可导点10x =和驻点21x =17． 求函数32535y x x x =-++的单调区间，拐点及凹或凸的区间. 解：23103y x x '=-+,易得函数的单调递增区间为1(,)(3,)3-∞+∞,单调减区间1(,3)3.610y x ''=-,令0y ''=，得53x =. 当53x -∞<<时，0y ''<，因此曲线在5(,]3-∞上是凸的；当53x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在5[,)3+∞上是凹的，故520(,)327是拐点18． 试确定,,a b c 的值，使曲线32y x ax bx c =-++在（1,1-）为一拐点，在0x =处有极值，并求曲线的凹凸区间.解：232y x ax b '=-+ 62y x a ''=-(1,1)-为拐点，则062a =- 3a ∴=由0y '=，则2360x x b -+= , 代入0x =，则0b =.11,1a b c c -++=-=曲线为3231y x x =-+, 66y x ''=-. 凸区间为(,1)-∞-, 凹区间为(1,)+∞.19． 求函数()7ln 124-=x x y 的单调区间，拐点及凹或凸的区间.解： 34314(12ln 7)124(12ln 4)y x x x x x x'=-+⋅⋅=-， 易得函数的单调递增区间为13(,)e +∞,单调减区间13(0,)e . ()232112(12ln 4)412144ln 0y x x x x x x x''=-+⋅⋅=>， 令0y ''=，得1x =.当01x <<时，0y ''<，因此曲线在(0,1]上是凸的；当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在[1,)+∞上是凹的，故(1,7)-是拐点 20． 求函数arctan xy e=的单调区间，拐点及凹或凸的区间．解：arctan 211x y e x '=⋅+>0,因此单调增区间是R , arctan arctan arctan 2222221212(1)(1)(1)xx x x x y e e e x x x ⎡⎤⎡⎤-''=+-=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 令0y ''=，得12x =. 当12x -∞<<时，0y ''>，因此曲线在1(,]2-∞上是凹的； 当12x <<+∞时，0y ''<，因此曲线在1[,)2+∞上是凸的，故1arctan 21(,)2e是拐点 21． 求函数1234+-=x x y 的拐点和凹凸区间. 解：3246y x x '=- 2121212(1)y x x x x ''=-=- 令0y ''=，得10x =，21x = 列表 （4分）22． 求函数32391=+-+y x x x 的极值.解：2'3693(1)(3)y x x x x =+-=-+ ''66y x =+ 令0'=y 得驻点：121,3x x ==-.当21x =时，''0,y >取得极小值，其值为4-. 当33x =-时，''0y <，取得极大值，其值为28.23． 求函数23(1)1=-+y x 的极值.解： 226(1)y x x '=-22226(1)24(1)y x x x ''=-+-令0y '=，得1231,0,1x x x =-==(0)60y ''=>，故20x =是极小值点.(1)0y ''±=， 无法用第二充分条件进行判定.在11x =-的附近的左右两侧取值均有0y '<，故11x =-不是极值点. 在21x =的附近的左右两侧取值均有0y '>，故21x =不是极值点. 极小值(0)0y =24． 求函数32(1)(23)=-+y x x 的极值点和单调区间.解：22323(1)(23)4(1)(23)(1)(23)(105)0y x x x x x x x '=-++-+=-++=所以，驻点11x =，232x =-，312x =- 列表∴()f x 在32x =-处取得极大值3()02f -= ()f x 在12x =-处取得极小值127()22f -=- 单调递增区间31(,],[,)22-∞--+∞，单调递增区间31[,]22-- 25． 试问a 为何值时，函数1()sin sin 23=+f x a x x 在3π处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解：2()cos cos23f x a x x '=+()f x在3π处取得极值22121()coscos 03333232f a a πππ'∴=+=⋅-⋅= 23a ∴=即 ()2()cos cos 23f x x x '=+ ()2()sin 2sin 23f x x x ''∴=--222()sin 2sin 2033333f πππ⎛⎫''∴=--=-⋅+< ⎪⎝⎭⎝⎭所以它是极大值，极大值为212()sin sin 33333f πππ∴=+=26． 求函数3223y x x =-在区间[]1,4上的最大值与最小值.解：212660,0,1y x x x x '=-===(舍去x =)()()11,480,f f =-=，故最大值为80，最小值为－1.27．、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设小屋长 x m ，宽 y m ，220,102xx y y +==-.2101022x x S x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，100,10S x x '=-==故小屋长10米，宽5米时，面积最大.28.某厂每批生产产品x 单位的总费用为()5200C x x =+（元）， 得到的收入是()2100.01R x x x =-（元）.问每批生产多少个单位产品时总利润()L x 最大？解：()()()22100.0152000.015200L x x x x x x =--+=-+-()0.0250,250L x x x '=-+==（单位）()0.020L x ''=-<，故250x =单位时总利润最大.-----精心整理，希望对您有所帮助!。
集合论-第三四章习题
价关系又是A上的偏序关系吗？
解：存在,A上的恒等关系就满足。
例2在A＝{1,2,3,4,6,8,12,24}和B＝{2,3,4,8,9,10,
11}上定义的整除关系“|”，画出Hasse图，指出最大
(小)元，极大(小)元。
解：如图(a)所示
24
8
最大元：24 最小元：1 8 极大元：24 极小元：1 4
[若|X|=n，结果又如何？]
例4 设X是一个集合，|X|＝n，求： (1) X上的二元关系有多少？ (2) X上的自反的二元关系有多少？ (3) X上的反自反的二元关系有多少？ (4) X上的对称的二元关系有多少？ (5) X上的反对称的二元关系有多少？ (6) X上既是自反的也是反自反的关系有多少？(0) (7) X上既不是自反的也不是反自反的关系有多少？ (8) X上自反的且对称的关系有多少？ [ “反自反的且对称的关系有多少？”是一样多] (9) X上自反的或对称的关系有多少？ (10)X上既是反自反的也是反对称的关系有多少？ (11)X上既是对称的也是反对称的关系有多少？ (12)X上既不是对称的也不是反对称的关系有多少？
§3 基数及其比较
在抽象地研究集合时，最根本的是考虑集合的
“大小”，而集合中元素的性质是可以不加考虑的。 对给定的集合Ａ和Ｂ，它们的“大小”是否相同？哪 一个集合元素“较多”？
对于有限集合来说，集合的“大小”就是集合中
元素的个数，称为集合的基数。基数越大的集合所含 元素的个数越多，也就是说这个集合越大。
1.写出R的关系矩阵； 2.验证(A,R)是偏序集; 3.画出Hasse图; 4.若A上的关系如下：
R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？
电路分析第3、4章习题课
图5
6. 图6 所示线性网络N只含电阻，若IS1=8A， IS2=12A，Ux为80V，若IS1=8A，IS2=4A，Ux为0.求： IS1=IS2=10A时，Ux是多少？
图6
7. 用戴维南定理求图7 电路中流过 20 kΩ电阻的电 流及 a 点电压 Ua.
图7
8. 图8（a）所示电路，输入电压为20V，U2=12.5V， 若将网络N短路，如图(b)所示，短路电流I为10mA， 试求网络N在AB端的戴维南等效电路
+
2U1
- 2V
(a)
-
(b )
图11
12. 如图12所示，RL为何值时能获得最大功率，并 求最大功率。 10 + a ＋ Uoc
2A
UR 20
UR 20 – + － 20V – b
图12
练习
1. 列出图1-1所示电路的网孔方程、节点方程。
+ uS 6 -
R6 2
uS2 +
1 R1
uS1 +
电路分析习题课（3—4章）
1. 电路如图1 所示 用网孔分析法求 I A 并求受控源 提供的功率 PK .
图1
2. 电路如图所示，用网孔分析法求4Ω电阻的功率。
图2
3. 试用结点分析法求解图3中的 U1及受控源的功率。
图3
4. 试列出为求解图4 所示电路中 Uo所需的结点方程。
图4
5. 电路如图5 所示，用叠加定理求Ix
图8
9. 求图9 所示电路的戴维南等效电路。
图9
10. 用戴维南定理求图10所示电路中2A电流源上的电 压U 。
15Ω 5Ω I
15Ω
5I
+
胡寿松《自动控制原理》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第3~4章)【圣才出品】
第3章线性系统的时域分析法3.1复习笔记本章考点：二阶欠阻尼系统动态性能指标，系统稳定性分析（劳斯判据、赫尔维茨判据），稳态误差计算。
一、系统时间响应的性能指标1．典型输入信号控制系统中常用的一些基本输入信号如表3-1-1所示。
表3-1-1控制系统典型输入信号2．动态性能与稳态性能（1）动态性能指标t r——上升时间，h（t）从终值10%上升到终值90%所用的时间，有时也取t＝0第一次上升到终值的时间（对有振荡的系统）；t p——峰值时间，响应超过中值到达第一个峰值的时间；t s——调节时间，进入误差带且不超出误差带的最短时间；σ%——超调量，()()%100%()p c t c c σ-∞=⨯∞（2）稳态性能稳态误差e ss 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t→∞时，输出量与期望输出的偏差。
二、一阶系统的时域分析1．一阶系统的数学模型一阶系统的传递函数为：()1()1C s R s Ts +＝2．一阶系统的时间响应一阶系统对典型输入信号的时间响应如表3-1-2所示。
表3-1-2一阶系统对典型输入信号的时间响应由表可知，线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。
三、二阶系统的时域分析1．二阶系统的数学模型二阶系统的传递函数的标准形式为：222()()()2n n n C s s R s s s ωζωωΦ++＝＝其中，ωn 称为自然频率；ζ称为阻尼比。
2．欠阻尼二阶系统（重点）（1）当0＜ζ＜1时，为欠阻尼二阶系统，此时有一对共轭复根：21,2j 1n n s ζωωζ=-±-（2）单位阶跃响应()()d 211e sin 01n t c t t t ζωωβζ-=-+≥-式中，21arctanζβζ-=，或者β＝arccosζ，21dn ωωζ=-各性能指标如下：t r ＝（π－β）/ωd2ππ1p d n t ωωζ==-2π1%e100%ζζσ--=⨯3.5(0.05)s nt ζω=∆=4.4(0.02)s nt ζω=∆=3．临界阻尼二阶系统（1）当ζ＝1时，为临界阻尼二阶系统，此时s 1＝s 2＝－ωn 。
郭著章、李庆生《英汉互译实用教程》（第3版）课后习题及详解-第3、4章【圣才出品】
郭著章、李庆⽣《英汉互译实⽤教程》（第3版）课后习题及详解-第3、4章【圣才出品】第3章翻译常⽤的⼋种技巧⼀、翻译下列各段。
注意翻译术语的适当运⽤，尤其是有关翻译技巧的定义1. There are in the main eight techniques and principles in translation, either from English into Chinese or from Chinese into English. They are: diction, amplification, omission, conversion, inversion, negation, division and repetition.【答案】不管是英译汉还是汉译英，主要有⼋条翻译技巧(和原则)，即选词⽤字法，增译法，减译法，词类转移法，词序调整法，正说反译法、反说正译法，分译法和重译法。
2. By “diction” we mean proper “choice of words” in translation on the bas is of accurate comprehension of the original.【答案】所谓“选词⽤字法”，就是在正确理解原⽂的基础上适当地选择词语。
3. Repetition is useful chiefly for clearness, which is of course the first quality to be acquired in a discourse. Secondly, words are repeated also for the sake of emphasis or force, which is another important quality in expression. Lastly, repetition will give life to the discourse and make it more attractive.【答案】重译法之所以有⽤，第⼀是它可使译⽂明确(明确是衡量语⾔质量的第⼀个标准)；第⼆是为了强调，使语⾔有⼒(这是衡量语⾔质量的另⼀重要标准)；第三是为了使译⽂⽣动形象，引⼈⼈胜。
审计学第3-4章练习题
审计学第3-4章练习题第三章职业道德基本原则与概念框架一、单项选择题1.以下情形中属于自我评价导致不利影响的是()。
A.鉴证业务项目组成员担任或最近曾经担任客户的董事或高级管理人员B.审计客户的董事最近曾是会计师事务所的合伙人C.会计师事务所推介审计客户的股份D.审计项目组成员与审计客户的董事存在主要近亲属关系2.下列有关职业道德基本原则的表述中，不正确的是()。
A.无论是执业会员还是非执业会员均应遵循诚信原则的要求B.注册会计师只要执行业务就必须遵守独立性的要求C.客观原则要求会员不应因偏见、利益冲突以及他人的不当影响而损害职业判断D.在推荐自身和工作时，注册会计师不应对其能够提供的服务、拥有的资质及积累的经验进行夸大宣传缩小了工作范围D.根据保密原则，注册会计师不得利用因职业关系和商业关系而获知的涉密信息为自己或第三方谋取利益二、多项选择题1.下列各项描述中，对职业道德基本原则产生不利影响的有()。
A.审计项目组成员与审计客户进行雇佣协商B.会计师事务所的审计客户甲股份有限公司被A 公司起诉，事务所的所长王某担任甲股份有限公司的辩护人C.项目组成员张某是审计客户出纳人员的大学普通校友D.由于对某企业集团财务报表审计的收费大幅降低，事务所决定对集团内组成部分或子公司只选取10%进行审计2.下列有关涉及职业道德的表述中，恰当的有()。
A.如果客户涉足非法活动，就有可能对注册会计师的诚信或良好职业行为构成潜在不利影响B.如果注册会计师在缺乏专业胜任能力的情况下提供了专业服务，就构成了一种欺诈C.注册会计师不应为存在利益冲突的两个或多个客户提供服务D.如果注册会计师为存在竞争的不同客户提供服务，注册会计师应当告知客户这一情况，并获得客户同意以在此情况下执行业务3.如果被审计单位要求注册会计师提供第二次意见，为了防范对职业道德的不利影响，应采取的措施有()。
A.征得客户同意，与前任注册会计师进行沟通B.与客户以书面方式预先约定确定报酬的基础C.在与客户的沟通中说明注册会计师发表专业意见的局限性D.向前任注册会计师提供第二次意见的副本4.XYZ股份有限公司(简称XYZ公司)系上市的汽车制造企业，企业完全实行ERP管理。
北京科技大学热工学第3章和第4章重点思考题和习题解答
n −1
(T1 − T2 ) = 6 × Rg
287 (303 − 252) = 438 kJ 1.2 − 1 287 )(303 − 252) = −220 kJ 1.2 − 1
Q = m(C v −
n−1
)(T2 − T1 ) = 6(715.94 −
3-26 某闭口系统内有 1 kmol 的空气，初态体积为 1m3，终态体积为 10 m3，当 初态及终态温度均为 100℃时，计算该闭口系统对外所作的功及熵的变化。 ⑴ 可逆膨胀； ⑵ 向真空膨胀；⑶ 在外压恒为 0.1MPa 的环境中膨胀。 (1) 可逆膨胀为定温过程， v w = R g T ln 2 ＝0.287*(273+100)*ln(10/1)=246.5kJ/kg v1 W=246.5kJ/kg*29kg/kmol=7148.5 kJ Q=W=T*ΔS
5. 若工质从同一初态出发，分别经历可逆绝热过程与不可逆绝热过程膨胀到相同的终压力， 两过程终态的熵哪个大？对外作的功哪个大？试用坐标图进行分析. 答：不可逆过程熵大，可逆过程作功大 习题 4-1 某发明者自称已设计出一台在 540 K 和 300 K 的热源之间循环工作的热机，该热机从
高温热源每吸收 1000 J 的热量可作出 450 J 的净功，他的设计合理吗？ 解: 方法 1：同热源间工作的卡诺热机(理想可逆热机)的热效率为：
5 5
界加热的原因，造成阀门的开启，问：⑴ 当阀门开启时，筒内温度为多少？⑵ 因加热而失 掉多少空气？设筒内空气温度在排气过程中保持不变。
P1, V1, T1
P2, V1, T2
P3, V3, T2
状态 1 解：⑴ T2 = T1
--定容
状态 2
--定温
化工原理第三章习题课及答案
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新教材高中生物第3章第4节生态系统中的物质能被循环利用课后习题浙科版选择性必修2(含答案)
新教材高中生物浙科版选择性必修2：第四节生态系统中的物质能被循环利用课后·训练提升基础巩固1.下列有关物质循环的叙述,正确的是( )A.物质只能通过植物的光合作用进入生态系统B.物质只能通过微生物的分解作用返回非生物环境C.物质循环不具有全球性D.非生物环境中的物质能被生物群落反复利用答案:D解析:硝酸盐细菌的化能合成作用也可以使非生物环境中的物质进入生物群落。
消费者、分解者、生产者的呼吸作用都可以产生二氧化碳,使碳返回非生物环境。
物质循环具有全球性。
2.在碳循环中,非生物环境和生物群落相联系的生理作用是( )①光合作用②呼吸作用③蒸腾作用④化能合成作用A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③答案:A解析:在碳循环中,碳进入生物群落要通过自养生物的光合作用和化能合成作用来实现。
生物群落中的碳再回到非生物环境中是通过生物的呼吸作用和微生物的分解作用实现的。
微生物的分解作用实质就是呼吸作用,包括需氧呼吸和厌氧呼吸两种方式。
蒸腾作用是植物水分代谢的一部分,在水循环中有一定的作用。
3.在碳循环中,生物群落中的碳元素返回大气的途径是( )①动植物的呼吸作用②植物的光合作用③化石燃料的燃烧④微生物的分解作用A.①②B.③④C.①③D.①④答案:D4.下图表示a、b、c三个地区森林土壤有机物的分解状况,则分解者的作用由弱到强依次是( )A.a、b、cB.c、b、aC.b、a、cD.a、c、b答案:B解析:由题图可知,a地区落叶供给量最多,土壤中有机物相对含量却最少,说明分解者的分解作用最强,c地区正好相反。
5.碳循环是生态系统中常见的物质循环类型之一。
下列关于碳循环的叙述,错误的是( )A.碳在非生物环境中的存在形式是CO2和碳酸盐,在生物群落中的存在形式是含碳有机物B.碳循环的循环过程只发生在生物群落和非生物环境之间C.生态系统的各种组成成分都参与碳循环过程D.大气中的CO2要变成含碳有机物只能通过绿色植物的光合作用答案:D解析:大气中的CO2要变成含碳有机物可以通过绿色植物的光合作用和自养细菌的化能合成作用。
西安交大版电路第3-5章习题课
is1
+
无源电路 uab
由题意：
0.5uab = -k1is1 - k2us1 + k3us 2 0.3uab = -k1is1 + k2us1 - k3us 2
- us2+
上三式相加可得：
1.8uab = -k1is1 + k2us1 + k3us 2
由互易定理可得: I1´=1A 由叠加定理可得：I1 = 3 - I1´= 2A
22
习题4-20 图中网络N仅由电阻组成。根据图a和图b的已知 情况求图c中电流I1和I2。 5Ω I2 I 4Ω I1 4Ω 习题4-192A 3A 4Ω 1A
+ 20V -
N
图a
5Ω
+ 20V -
N
图b
+ 20V -
1 1 1 ( )un1 un 2 is1 is 5 0 R2 R3 R4 R4 习题3-14b 1 1 1 3、对于电流源和电阻串联 un1 ( )un 2 i R4 R4 R6 的支路可以等效为一个电流 un1 源支路，列方程时此电阻不 i 补充方程： = R2 + R3 计入自电导和互电导中。 列结点电压方程注意：
+ U 1kΩ -
10V电压源单独作用：
2kΩ 1kΩ
+ + 10V '' 6U 2kΩ 2kΩ + 1kΩ -
+
-
6U' U''
2kΩ + 5V + U' 1kΩ 2 kΩ 3
+
第3章习题课 正弦交流电路
3.5 将以下相量转化为正弦量 (1) U 50 j50V (2) Im 30 j40A (3) Um 100 2e j30V (4) I 1 30A
解：(1) u(t) 50 2 2 sin(t 45) 100sin(t 45)V (2) i( t ) 50 sin(t 126.9 )A (3) u(t) 100 2 sin(t 30)V (4) i(t ) 2 sin(t 30)A
3.6 相量图如图所示，已知频率ƒ=50Hz。写出它们对
应的相量式和瞬时值式。
100V
解：
I 100 i( t ) 10 2 sin 314t A
U1 10090 u1( t ) 100 2 sin( 314t 90 )V U2 80 60 u2 ( t ) 80 2 sin( 314t 60 )V Um 3100 u( t ) 310 sin 314tV I1m 10 45 i1( t ) 10 sin( 314t 45 )A I2m 1260 i2 ( t ) 12 sin( 314t 60 )A
(1)求电压uR、uL、 uC和电流i。 (2)求电路的有功功率P、无功功率Q和视在功率S。 (3)画出相量图。
解：
i 10 2 sin(100t)A uR 100 2 sin(100t)V uL 100 2 sin(100t 90)V uC 100 2 sin(100t 90)V P 1000W,Q 0var,S 1000VA
(b) Z2、Z3不能正常工作，Z2上电压仅为126.7V， 低于额定电压，而Z3上电压253.3V，高于额定电压。
解： (1) u1超前于u2 45 。
(2) 60，u 滞后于 i 60 。
(3)由于u 、 i 不同频，故无法比较相位。
化工原理第3章_习题课和要求和思考题
化工原理第3章_习题课和要求和思考题(学生)(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第三章传热基本要求1. 掌握的内容：（1）热传导基本原理，一维定常傅里叶定律及其应用，平壁及园筒壁一维定常热传导计算及分析；（2）对流传热基本原理，牛顿冷却定律，影响对流传热的主要因；。
（3）无相变管内强制对流传热系数关联式及其应用，Nu、Re、Pr、Gr等准数的物理意义及计算，正确选用对流传热系数计算式，注意其用法、使用条件；（4）传热计算：传热速率方程与热负荷计算，平均传热温差计算，总传热系数计算及分析，污垢热阻及壁温计算，传热面积计算，加热与冷却程度计算，强化传热途径。
2. 熟悉的内容：（1）对流传热系数经验式建立的一般方法；（2）蒸汽冷凝、液体沸腾对流传热系数计算；（3）热辐射基本概念及两灰体间辐射传热计算；（4）列管式换热器结构特点及选型计算。
3. 了解的内容：（1）加热剂、冷却剂的种类及选用；（2）各种常用换热器的结构特点及应用；（3）高温设备热损失计算。
思考题1．传热速率方程有哪几种各有什么特点分别写出它们的表达式并指出相应的推动力和热阻。
2．何谓热负荷与传热速率热量衡算式与速率方程式的差别是什么3．如图所示为冷热流体通过两层厚度相等的串联平壁进行传热时的温度分布曲线，问：（1）两平壁的导热系数1与2哪个大（2）间壁两侧的传热膜1与2哪个大（3）若将间壁改为单层薄金属壁，平均壁温接近哪一侧流体的温度4．试分别用傅立叶定律、牛顿冷却定律说明导热系数及对流传热系数的物理意义，它们分别与哪些因素有关5．在什么情况下，管道外壁设置保温层反而增大热损失6．在包有内外两层相同厚度保温材料的圆形管道上，导热系数小的材料应包在哪一层，为什么7．某人将一盘热水和一盘冷水同时放入冰箱，发现热水比冷水冷却速度快，如何解释这一现象8．试述流动状态对对流传热的影响9．分别说明强制对流和自然对流的成因，其强度用什么准数决定10．层流及湍流流动时热量如何由管壁传向流体，试分别说明其热量传递机理。
算法与数据结构C语言版课后习题答案（机械工业出版社）第3,4章习题参考答案
算法与数据结构C语⾔版课后习题答案（机械⼯业出版社）第3,4章习题参考答案第3章栈和队列⼀、基础知识题3.1有五个数依次进栈：1，2，3，4，5。
在各种出栈的序列中，以3，4先出的序列有哪⼏个。
（３在４之前出栈）。
【解答】34215 ，34251，345213.2铁路进⾏列车调度时，常把站台设计成栈式结构，若进站的六辆列车顺序为：1，2，3，4，5，6，那么是否能够得到435612， 325641， 154623和135426的出站序列，如果不能，说明为什么不能；如果能，说明如何得到(即写出"进栈"或"出栈"的序列)。
【解答】输⼊序列为123456，不能得出435612和154623。
不能得到435612的理由是，输出序列最后两元素是12，前⾯4个元素（4356）得到后，栈中元素剩12，且2在栈顶，不可能让栈底元素1在栈顶元素2之前出栈。
不能得到154623的理由类似，当栈中元素只剩23，且3在栈顶，2不可能先于3出栈。
得到325641的过程如下：1 2 3顺序⼊栈，32出栈，得到部分输出序列32；然后45⼊栈，5出栈，部分输出序列变为325；接着6⼊栈并退栈，部分输出序列变为3256；最后41退栈，得最终结果325641。
得到135426的过程如下：1⼊栈并出栈，得到部分输出序列1；然后2和3⼊栈，3出栈，部分输出序列变为13；接着4和5⼊栈，5，4和2依次出栈，部分输出序列变为13542；最后6⼊栈并退栈，得最终结果135426。
3.3若⽤⼀个⼤⼩为6的数组来实现循环队列，且当前rear和front的值分别为0和3，当从队列中删除⼀个元素，再加⼊两个元素后，rear和front的值分别为多少？【解答】2和43.4设栈S和队列Q的初始状态为空，元素e1，e2，e3，e4，e5和e6依次通过栈S，⼀个元素出栈后即进队列Q，若6个元素出队的序列是e3，e5，e4，e6，e2，e1，则栈S的容量⾄少应该是多少？【解答】43.5循环队列的优点是什么，如何判断“空”和“满”。
集合论-第三四章习题
例7 是否存在一个偏序关系≤，使得(X,≤)中有唯一 的极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个具体 例子；若没有，请证明之。 例8 设R是X上的偏序关系，证明：
R是X上的全序关系X×X=R∪R-1。
例9设(A,≤)是偏序集,a∈A,f(a)={x|x∈A,x≤a},
证明：f:A→2A是一个单射，且当a≤b时，有
二、性质 定理1 设A,B,C是三个任意的集合，则 (1)若A⊆B，则|A|≤|B| ； (2)若|A|≤|B|，|B|≤|C|，则|A|≤|C| ； 推论：设A是无穷集合，则|N|≤|A|。 前面介绍了要证明两个集合基数相等必须在两个集 合之间建立起一个一一对应，但这往往是比较困难的。 下面介绍证明两个集合基数相等的一个比较简单的方 法，表示成下面的两个定理形式，这两个定理的证明 是冗长和复杂的，故略去。 定理2 (Zermelo)设A,B是两个任意集合，则|A|=|B|, |A|>|B|, |A|<|B|,三者中恰有一个成立。 这种性质称为三歧性，故这个定理称为三歧性定理。
习题课（2）
例1 设R是A上的二元关系，下面的结论是否正确？并 证明你的结论. （1）R是自反的，则R· R也是自反的 （2）R是对称的，则R· R也是对称的。 （3）R是反自反和传递的，则R是反对称的。 （正确\正确\正确） 例2 设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对 称的吗？ 例3 是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系 的反对称闭包？为什么？ 例4 是否存在X(|X|=n)上的一个二元关系R，使得 R1,R2,…,Rn两两不相等。 例5 证明：如果R是对称的，则R＋也是对称的。
例3 设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下： R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}。 1.写出R的关系矩阵； 2.验证(A,R)是偏序集; 3.画出Hasse图; 4.若A上的关系如下： R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？ 例4 证明：每个由n2+1个实数组成的数列中必有一个 长至少为n+1的不减子序列，或有一个长至少为n+1 的不增子序列。
材料科学基础第3-4章小结及习题课讲解
b a u2 v2 w2 n
六方晶系中: b=（a/n）[uvtw]
同一晶体中，柏氏矢量愈大，表明该位错导致点阵畸变愈 严重，它所在处的能量也愈高。
3.2.3 位错的运动
基本形式:滑移和攀移
滑移（slip）:三种位错的滑移过程 攀移（climb）：在垂直于滑移面方向上运动，
第三章 晶体缺陷
晶体缺陷分类及特征（几何形态、相对于晶体的尺寸、影响范围） ：
1. 点缺陷：特征是三维空间的各个方面上尺寸都很小，尺寸
范围约为一个或几个原子尺度，包括空位、间隙原子、杂质 和溶质原子。
2. 线缺陷：特征是在两个方向上尺寸很小，另外一个方面上
很大，如各类位错。
3. 面缺陷：特征是在一个方向上尺寸很小,另外两个方向上
晶界：属于同一固相但位向不同的晶粒之间的界面 称为晶界。
亚晶界：每个晶粒有时又由若干个位向稍有差异的 亚晶粒所组成，相邻亚晶粒间的界面称为亚晶界。
确定晶界位置方法： (1)两晶粒的位向差θ (2)晶界相对于一个点阵某一平面的夹角φ。
晶界分类（按θ的大小）： 小角度晶界θ<10º 大角度晶界θ>10º
（3）刃型位错标记 正刃型位错用“⊥”表示，负刃型位错用“┬”表示；其
正负只是相对而言。
（4）刃型位错特征： ① 有一额外的半原子面，分正和负刃型位错；
② 可理解为是已滑移区与未滑移区的边界线，可是直线也 可是折线和曲线，但它们必与滑移方向和滑移矢量垂直；
③ 只能在同时包含有位错线和滑移矢量的滑移平面上滑移； ④ 位错周围点阵发生弹性畸变，有切应变，也有正应变；
表面能(γ）：产生单位面积新表面所做的功。 表示法：①γ= dw/ds ②γ= T/L （N/m） ③γ= [被割断的结合键数/形成单位新表面]×[能量/每个键] 影响γ的因素： (1)晶体表面原子排列的致密程度。 (2)晶体表面曲率。 (3)外部介质的性质。 (4)晶体性质。
第三章 习题课
例3. 已知调和函数 u ( x, y ) = x − y + xy ，求共轭调
2 2
和函数 v ( x, y )及解析函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 解
u ( x, y ) = x − y + xy ⇒ u x = 2 x + y, u y = −2 y + x
二. 习题解答 例1
f ( z ) 在区域D内解析, 在 D = D + ∂D
上连续， C = ∂D, z0 ∈ D 则
∫
C
f ( z) dz = 0?( F ) z − z0
∫
C
f ( z) dz = f ( z0 ) ?( F ) z − z0
例2. (1) 设 C : z = 2 , f ( z ) 在 I ( C ) 上解析，求
f ( z) 1 1 1 dz C1 : z − 1 = , C2 : z − = 或者 ∫C 1 6 2 6 ( z − 1) z − 2 f ( z) f ( z) 1 z− ( z − 1) dz 2 = ∫ dz + ∫ C1 C2 1 ( z − 1) z− 2 1 f f (1) 2 = 4π i f 1 − f 1 = 2π i + 2π i ( ) 1 1 2 − 1 1− 2 2
2ζ 2 − ζ + 1 (2). g ( z ) = ∫ dζ ζ =2 ζ −z
求 g (1), g ( z0 ) z0 > 2 解
2ζ 2 − ζ + 1 g (1) = ∫ dζ ζ =2 ζ −1 = 2π i 2ζ 2 − ζ + 1 = 4π i
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19
5.冷凝器中，蒸汽压力为4kPa，x=0.95，试求vx，hx， sx的值；若在此压力下蒸汽凝结为水，试求其容积变 化。
解：查饱和蒸汽表 p=0.004MPa
v ' 0.0010041m3 / kg v '' 34.796m3 / kg
0.26103 J/(kg K)
395.8K
127.2103 J 127.2kJ
(3)对罐内气体共加入总热量
Q Qv Qp 56.84 127 .2 184 .04kJ
讨论：
（１） 对于一个实际过程，关键要分析清楚所进行的过程是什么过程， 即确定过程指数，一旦了解过程的性质，就可根据给定的条件， 依据状态参数之间的关系，求得未知的状态参数，并进一步求 得过程中能量的传递与转换量。
xi
Mi wi
Mi
对成分一定的混合气体，分母为常数，因此摩尔分数取决于其
质量分数和摩尔质量的比值，对于质量分数较大的组元，如果
摩尔质量也很大，那么它的摩尔分数可能并不大。
3
3. 理想混合气体的比热力学能是否是温度的单值函数？ 其cp-cv是否仍遵循迈耶公式？
答：不是。因为理想混合气体的比热力学能为： u wiui
由于活塞无摩擦，又能充分与外界进行热交换，故当重新达到热 力平衡时，气缸内的压力和温度应与外界的压力和温度相等。则有
T2 T1 300 K
p2
pb
F2 A
(771 133 .32)Pa
95kg 100 10-4 m2
9.807 m/s
1.96 105 Pa
10
由理想气体状态方程pV=mRgT及T1=T2，可得
p2= 0.20MPa，t2= 260℃时
v2 1.22233m3/kg h2 2990.5kJ/kg s2 7.7457kJ /(kg K)
查h-s图核对
21
V1 mv1 0.5kg 0.48404m3 / kg 0.24202m3 V2 mv2 0.5kg 1.22233m3 / kg 0.61116m3 Q mT s
i
i
4
三、推导题
某理想气体的比定容热容cv=a+bT，其中，a,b为常数， 试导出其热力学能、焓和熵的计算式。
解： cp cv Rg a bT Rg
u
T2 T1
cvdT
T2 (a bT )dT
T1
a(T2
T1 )
b 2
(T22
T12
)
h
T2 T1
c
pdT
T2 T1
(a
bT
Rg
由于，当p<p2=0.7MPa时，阀门不会打开，因而储气罐中的气体质量不 变，有储气罐总容积V不变，则比体积为定值。而当p≥p2=0.7MPa后，阀 门开启，氧气会随着热量的加入不断跑出，以便维持罐中最大压力 0.7MPa不变，因而此过程又是一个质量不断变化的定压过程。
15
（１） １－２为定容过程 根据定容过程状态参数之间的变化规律，有
h ' 121.30kJ/kg
h '' 2553.45kJ/kg
s ' 0.4221kJ/(kg K) s '' 8.4725kJ/(kg K)
vx 1 x v ' xv '' 33.063m3 / kg sx 1 x s ' xs '' 8.0721kJ/(kg K) hx 1 x h ' xh '' 2432.5kJ/kg
求得： V1 m1v1 0.5kg 0.143m3/kg 0.0715m3
m2
V2 v2
2 v
3 p 1
s6
2.比较：
q123 q143
p2 1
3
T
2
3
4
4
1
v
s7
3.比较
q234 q214
w234 w214
p2
T2
3
3
1 4 v
1
4
s8
四、计算题
1.如图所示的气缸，其内充以空气。气缸截面积A=100cm2，活 塞距底面高度H=10cm。活塞及其上重物的总重量G1=195kg。 当地的大气压力p0=771mmHg，环境温度t0=27℃。若当气缸内 气体与外界处于热力平衡时，把活塞重物取去100kg，活塞将 突然上升，最后重新达到热力平衡。假定活塞和气缸壁之间无 摩擦，气体可以通过气缸壁和外界充分换热，试求活塞上升的 距离和空气对外作的功及与环境的换热量。
第3章和第4章习题课
1
一、判断对错题 1.各种气体的气体常数都相同。 (×) 2.在相同的温度和压力下，各种气体的摩尔体积相同。(√) 3.理想气体热力学能和焓都是温度的单值函数。 (√)
4．理想气体的定压摩尔热容与定容摩尔热容的差值与状态
无关，与气体种类有关。 (×)
5．理想气体的比热容都是常数。 (×)
)dT
(a
Rg
)(T2
T1)
b 2
(T22
T12
)
s
T2 T1
cv
dT T
Rg
ln
v2 v1
T2 (a bT ) dT
T1
T
Rg
ln
v2 v1
a ln
T2 T1
b(T2
T1)
Rg
ln
v2 v1
5
三、作图练习题
1.比较： u12 u13 h12 h13
p2
T
s
1
3
v
s12 s13
q12 q13
0.5kg 260 273 K 7.7457 7.3091 kJ /(kg K) 116.35kJ W Q U m q u m q h pv L
112.73kJ
W Q ? 水蒸汽的热力学能不是温度的单值函数
22
7.如图所示，汽柜和气缸经阀门相连接，汽柜与汽缸壁 面均绝热，汽柜内有0.5kg，2.0MPa，370℃的水蒸气。 开始时活塞静止在气缸底部，阀门逐渐打开后，蒸汽缓 慢地进入气缸，汽缸中的蒸汽始终保持0.7MPa的压力， 推动活塞上升。当汽柜中压力降到与汽缸中的蒸汽压力 相等时立即关闭阀门，分别求出汽柜和汽缸中蒸汽的终 态温度。
压力为0.7MPa。问当罐中温度为285℃，对罐内氧气共加入 了多少热量？设氧气的比热容为定值，cv=0.657kJ/(kg·K)、 cp＝0.917kJ/(kg·K)。
解: 这一题目包括了两个过程，一是由p1=0.55MPa，t1=38℃被定容加热 到p2=0.7MPa；二是由p2=0.7MPa被定压加热到p3=0.7MPa，t3=285℃。
1
ln 60 273 300 273 1 1.494
ln V1
ln 1
V2
3
T2 T1
V1 V2
n1
得：
由多变过程计算功公式：
W
m
n
1
1
Rg
(T1
T2
)
100kJ
故
Rg
W (n 1) m(T1 T2 )
100 (1.494 1) 2(573 333)
0.1029kJ/(
kg K)
T2
T1
p2 p1
(273
38) 0.7 0.55
395 .8K
该过程吸热量为：
Qv
m1cv T
p1V RgT1
cv (T2
T1)
0.55106 Pa 0.15m3 0.26103 J/(kg K) 311K
0.657103 J/(kg
K)
(395.8K-
311K)
56.84103 J 56.84kJ
h3
m1u1 m1
m2u2 m2
24
25
查h-s图
p1 2.0MPa t1 370oC h1 3175kJ/kg v1 0.143m3/kg s1 7.01kJ/(kg K)
p2 0.7MPa t2 230oC h2 2910kJ/kg v2 0.320m3/kg s2 7.01kJ/(kg K)
相对容积变化率
vx 33.063 32931 v' 0.001004
20
6. 汽缸－活塞系统内有0.5kg，0.5MPa，260℃的水蒸 气，试确定缸内蒸汽经可逆等温膨胀到0.20MPa作的功 与热量。 解：查过热蒸汽表 p1= 0.5MPa，t1= 260℃时
v1 0.48404m3 / kg h1 2980.8kJ/kg s1 7.3091kJ /(kg K)
12
2. 2kg的气体从初态按多变过程膨胀到原来的3倍，温度从
300℃ 下 降 至 60℃ ， 已 知 该 过 程 膨 胀 功 为 100kJ 自 外 界 吸 热
20kJ，求气体的cp和cv各是多少？
解法1：由题已知：V2=3V1，由多变过程状态方程式
ln T2 n 1 T1
ln V1 V2
n
ln T2 T1
23
解： 取全部蒸汽为系统： 流入=0；流出=W ；内增= Δ U
0 W U
U m2u2 m1u1 m1 m2 u3 0
W pV pm1 m2 v3
m1u1 m2u2 m1 m2 u3 m1 m2 pv3
m1u1 m2u2 m1 m2 u3 pv3 m1 m2 h3
V2
V1
p1 p2
10-3 m3 294100 Pa 196000 Pa
1.510 3 m3
（3）活塞上升距离
H (V2 V1) / A (1.5103 1.0103) /(100104 ) 5102 m 5cm