2019-2020年北师大版数学必修2试题及答案
北师大版数学必修2试题及答案(通用)
高一数学必修二模块考试题命题人：高一年级组 侯雪慧参考公式： 球的表面积公式S 球24R π=，其中R 是球半径．锥体的体积公式V锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积V台体1()3h S S '=，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高．球的体积公式V 球343R π=，其中R 是球半径．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的 （ ）A B C D2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 异面C ． 平行D ．异面或相交 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角D 、11AC 与1B C 成60o 角4．正三棱锥的底面边长为6，高为3，则这个三棱锥的全面积为（ ） A.39 B.183 C.9(3+6) D. 65．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A.8:27B. 2:3C.4:9D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：（ ）A.24πcm 2，12πcm 3B.15πcm 2，12πcm 3C.24πcm 2，36πcm 3D.以上都不正确7一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是（ ） Ａ、８Лｃｍ２ Ｂ、１２Лｃｍ２ Ｃ、１６Лｃｍ２ Ｄ、２０Лｃｍ２8、已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）Ａ、９００ Ｂ、４５０ Ｃ、６００ Ｄ、３００9、一个棱柱是正四棱柱的条件是 （ ） A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C 、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱 10.下列四个命题① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行； ② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行； ③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直. 其中错误．．的命题有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个11．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是（ ） A. 3 B. 23 C. 43 D. 8312．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ）A 、23B 、76C 、45D 、56二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）651．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.2.如图：四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为度⊥，平行则四边形3. 已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC BDABCD一定是 .4．有下列命题：（m，n是两条直线，α是平面）○1若m║α，n║α，则m║n ○2若m║n ，n║α，则m║α○3若 m║α则m平行于α内所有直线○4若m平行于α内无数直线，则m║α以上正确的有个三、解答题（共66分）1、将圆心角为1200，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.2．如图，在四边形ABCD中，，，，，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.3.作图（不要求写出作法，请保留作图痕迹）（１）画出下图几何体的三视图（尺寸自定）；（7分）（２）画出一个底面直径为４ｃｍ，高为２ｃｍ的圆锥的直观图（6分）4、空间四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，且ＡＣ＝ＢＤ，判断四边形ＥＦＧＨ的形状，并加以证明。
最新北师大版高中数学必修二测试题全套含答案解析
最新北师⼤版⾼中数学必修⼆测试题全套含答案解析最新北师⼤版⾼中数学必修⼆测试题全套含答案解析章末综合测评(⼀)⽴体⼏何初步(时间120分钟，满分150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.下列推理错误的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lαB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.l?/α，A∈l?A?αD.A∈l，lα?A∈α【解析】若直线l∩α＝A，显然有l?/α，A∈l，但A∈α，故C错.【答案】 C2.下列说法中，正确的是()A.经过不同的三点有且只有⼀个平⾯B.分别在两个平⾯内的两条直线⼀定是异⾯直线C.垂直于同⼀个平⾯的两条直线是平⾏直线D.垂直于同⼀个平⾯的两个平⾯平⾏【解析】A中，可能有⽆数个平⾯；B中，两条直线还可能平⾏、相交；D中，两个平⾯可能相交.【答案】 C3.已知⽔平放置的△ABC是按“斜⼆测画法”得到如图1所⽰的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的⾯积是()图1 A. 3 B.2 2C.32 D.34【解析】由题图可知，原△ABC的⾼为AO＝3，∴S△ABC ＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故选A.【答案】 A4.下列四个命题判断正确的是()A.若a∥b，a∥α，则b∥αB.若a∥α，bα，则a∥bC.若a∥α，则a平⾏于α内所有的直线D.若a∥α，a∥b，b?/α，则b∥α【解析】A中b可能在α内；B中a与b可能异⾯；C中a可能与α内的直线异⾯；D 正确.【答案】 D5.已知⼀个圆锥的展开图如图2所⽰，其中扇形的圆⼼⾓为120°，底⾯圆的半径为1，则该圆锥的体积为()图2A.22π3 B.2π3C.2π3 D.3π【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，⾼为22，所求体积V＝1 3×π×12×22＝22π3.【答案】 A6.如图3所⽰，在正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】CE平⾯ACC1A1，⽽BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平⾯ACC1A1，所以BD⊥CE.【答案】 B7.正⽅体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成⾓的余弦值是()A.12 B.33 D.62【解析】连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是异⾯直线AD1与EF所成的⾓.∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝AD1BD1＝63.【答案】 C8.如图4所⽰，则这个⼏何体的体积等于()图4 A.4 B.6C.8D.12【解析】由三视图得⼏何体为四棱锥，如图记作S -ABCD ，其中SA ⊥平⾯ABCD ， SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直⾓梯形，∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A. 【答案】 A9.如图5，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正⽅体，下⾯结论错误的是( )图5A.BD ∥平⾯CB 1D 1B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平⾯CB 1D 1D.异⾯直线AD 与CB 1所成的⾓为60°【解析】由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平⾯CB 1D 1；连接AC ，易证BD ⊥平⾯ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平⾯CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的⾓，此⾓为45°，故D 错.【答案】 D10.圆柱被⼀个平⾯截去⼀部分后与半球(半径为r )组成⼀个⼏何体，该⼏何体三视图中的主视图和俯视图如图6所⽰.若该⼏何体的表⾯积为16＋20π，则r ＝( )图6D.8【解析】如图，该⼏何体是⼀个半球与⼀个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底⾯半径为r，⾼为2r，则表⾯积S＝12＋2×4πrπr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.⼜S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.【答案】 B11.如图7，以等腰直⾓三⾓形ABC的斜边BC上的⾼AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平⾯后，某学⽣得出下列四个结论：图7①BD⊥AC；②△BCA是等边三⾓形；③三棱锥D-ABC是正三棱锥；④平⾯ADC⊥平⾯ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】由题意知，BD⊥平⾯ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直⾓三⾓形斜边BC上的⾼，平⾯ABD⊥平⾯ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三⾓形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，⼜由②知③正确；由①知④错.故选B.【答案】 B12.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球⾯上，△ABC 是边长为1的正三⾓形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22【解析】由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底⾯都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的⾼是三棱锥O -ABC ⾼的2倍，所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所⽰， S △ABC ＝34×AB 2＝34，⾼OD ＝12－? ??332＝63，∴V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26. 【答案】 A⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.设平⾯α∥平⾯β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平⾯α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.【解析】由⾯⾯平⾏的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD ，解得SD ＝9. 【答案】 914.如图8所⽰，将等腰直⾓△ABC 沿斜边BC 上的⾼AD 折成⼀个⼆⾯⾓，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个⼆⾯⾓⼤⼩是________.图8【解析】连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三⾓形，设AD ＝a ，则B ′D ＝DC ＝a ，B ′C ＝AC ＝2a ，所以∠B ′DC ＝90°.【答案】 90°15.若⼀个底⾯边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在⼀个球⾯上，则此球的体积为________.【解析】球的直径等于正六棱柱的体对⾓线的长.设球的半径为R ，由已知，可得2R ＝62×22＋(6)2＝23，R ＝ 3. 所以球的体积为43πR 3＝4π3×(3)3＝43π. 【答案】 43π16.将正⽅形ABCD 沿对⾓线BD 折成直⼆⾯⾓A -BD -C ，则异⾯直线AB 与CD 所成的⾓等于________.【解析】如图所⽰，分别取BC ，AC 的中点G 、F ，连接EG ，GF ，EF ，则EG ∥CD ，GF ∥AB ，∴∠EGF 就是AB 与CD 所成的⾓. 由题意EG ＝GF ＝EF ＝a2，∴△EFG 是等边三⾓形，∴∠EGF ＝60°. 【答案】 60°三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本⼩题满分10分)如图9所⽰，四棱锥V -ABCD 的底⾯为边长等于2 cm 的正⽅形，顶点V 与底⾯正⽅形中⼼的连线为棱锥的⾼，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积.图9 【解】连接AC，BD相交于点O，连接VO，∵AB＝BC＝2 cm，在正⽅形ABCD中，求得CO＝ 2 cm，⼜在直⾓三⾓形VOC中，求得VO＝14 cm，∴V V－ABCD＝13S ABCD·VO＝13×4×14＝4314(cm3).故这个正四棱锥的体积为4314cm3.18.(本⼩题满分12分)如图10所⽰，P是?ABCD所在平⾯外⼀点，E，F分别在P A，BD 上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平⾯PBC.图10【证明】连接AF延长交BC于G，连接PG.在?ABCD中，易证△BFG∽△DF A，∴GFF A＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG.⽽EF?/平⾯PBC，PG平⾯PBC，∴EF ∥平⾯PBC .19.(本⼩题满分12分)如图11，长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平⾯α与此长⽅体的⾯相交，交线围成⼀个正⽅形.图11(1)在图中画出这个正⽅形(不必说明画法和理由)； (2)求平⾯α把该长⽅体分成的两部分体积的⽐值. 【解】 (1)交线围成的正⽅形EHGF ，如图：(2)作EM ⊥AB ，垂⾜为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正⽅形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长⽅体被平⾯α分成两个⾼为10的直棱柱，所以其体积的⽐值为97? ????79也正确.20.(本⼩题满分12分)如图12所⽰，在长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点.证明：平⾯ABM ⊥平⾯A 1B 1M .图12【证明】由长⽅体的性质可知A1B1⊥平⾯BCC1B1，⼜BM平⾯BCC 1B1，所以A1B1⊥BM.⼜CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，⼜B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从⽽BM⊥B1M.⼜A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平⾯A1B1M，因为BM平⾯ABM，所以平⾯ABM⊥平⾯A 1B1M.21.(本⼩题满分12分)如图13，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底⾯ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.图13(1)求证：AE⊥平⾯PCD；(2)求⼆⾯⾓A-PD-C的正弦值.【解】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，因P A⊥底⾯ABCD，CD平⾯ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平⾯P AC，⼜AE平⾯P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.⼜PC∩CD＝C，∴AE⊥平⾯PCD.(2)过点E作EM⊥PD，垂⾜为M，连接AM，如图所⽰.由(1)知，AE⊥平⾯PCD，AM在平⾯PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.因此∠AME是⼆⾯⾓A-PD-C的平⾯⾓.由已知，可得∠CAD＝30°.22.(本⼩题满分12分)⼀个空间⼏何体的三视图及部分数据如图14所⽰.图14(1)请画出该⼏何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平⾯AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平⾏于平⾯AB1C1，并证明你的结论.【解】(1)⼏何体的直观图如图.四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正⽅形，且垂直于底⾯BB1C1C，∴其体积V＝12×1×3×3＝32.(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平⾯ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正⽅形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平⾯AB1C1.(3)当E为棱AB的中点时，DE∥平⾯AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平⾯AB1C1，EF?/平⾯AB1C1，∴EF∥平⾯AB1C1.∵FD∥B1C1，∴FD∥平⾯AB1C1，⼜EF∩FD＝F，∴平⾯DEF∥平⾯AB1C1.⽽DE平⾯DEF，∴DE∥平⾯AB1C1.章末综合测评(⼆)解析⼏何初步(时间120分钟，满分150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A.6B.7C.8D.9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2.过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜⾓是45°，则m 的值是( ) A.－1 B.3 C.1D.－3【解析】由k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，解得m ＝1.【答案】 C3.过点(－1,3)且平⾏于直线x －2y ＋3＝0的直线⽅程为( ) A.x －2y ＋7＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x －2y －5＝0D.2x ＋y －5＝0【解析】∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的⽅程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.【答案】 A4.已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2【解析】 l 1的斜率为a ，l 2的斜率为a ＋2，∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1，∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A 5.如图1，在正⽅体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A.(2,2,1)B.? ?2，2，23 C.? ?2，2，13 D.? ?2，2，43【解析】∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. ⼜E 在B 1B 上，∴E 的坐标为? ?2，2，43.【答案】 D6.若以点C (－1,2)为圆⼼的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.? ????0，255 B.? ????0，355 C.(0，5)D.(0,25)【解析】设圆⼼到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则05，故选A.【答案】 A7.已知直线l 1的⽅程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的⽅程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )A.2B.－2C.±2D.与A 有关【解析】在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0).∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8.若a ，b 满⾜a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.? ????－12，－16 B.? ????12，－16 C.? ??12，16 D.? ??－12，16 【解析】令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线⽅程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为? ??12，－16，此即为直线所过的定点.故选B.【答案】 B9.已知平⾯内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满⾜条件的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4【解析】由题知满⾜题意的直线l在线段AB两侧各有1条，⼜因为|AB|＝5，所以还有1条为过线段AB上的⼀点且与AB垂直的直线，故共3条.【答案】 C10.若圆⼼在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O 的⽅程是()A.(x－5)2＋y2＝5B.(x＋5)2＋y2＝5C.(x－5)2＋y2＝5D.(x＋5)2＋y2＝5【解析】设圆⼼O(a,0)，(a<0)，则5＝|a|1＋22，∴|a|＝5，∴a＝－5，∴圆O的⽅程为(x＋5)2＋y2＝5.【答案】 D11.直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为()A.2 2B.2C. 2D.与k的取值有关【解析】由于圆x2＋y2＝2的圆⼼在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，⼜其半径为2，故截得的弦长为2 2.【答案】 A12.已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上⼀动点，PM与PN是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN 的最⼩⾯积为()A.43 B.23。
2019-2020学年度最新北师大版必修2阶段质量检测(一)Word版含解析
2019-2020学年度最新北师大版必修2阶段质量检测（一）Word版含解析（时间：90分钟满分：120分）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．(陕西高考)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为()2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．异面B．相交C．相交或异面D．平行或异面3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1D14．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10π C．11πD．12π5．设a，b是两条直线，α、β是两个平面，则下列命题正确的是()A ．若a ∥b ，a ∥α，则b ∥αB ．α∥β，a ∥α，则a ∥βC ．若α⊥β，a ⊥β，则a ⊥αD ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β6．如图，设P 是正方形ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，则平面PAB 与平面PBC 、平面PAD 的位置关系是( )A ．平面PAB 与平面PBC 、平面PAD 都垂直 B ．它们两两垂直C ．平面PAB 与平面PBC 垂直，与平面PAD 不垂直 D ．平面PAB 与平面PBC 、平面PAD 都不垂直7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π8．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶59．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A.316B.916C.38D.93210．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝( )A．2∶1 B．3∶1C．3∶2 D．4∶3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有________个．12．(安徽高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．13．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S球________S正方体(填“>”、“<”或“＝”)．14．(湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)三、解答题(本大题共有4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤)15．(本小题满分12分)在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，CD，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上．16.(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE ＝BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BC；(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE.18．(本小题满分14分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．答案1. 解析：选B左视图中能够看到线段AD1，画为实线，看不到线段B1C，画为虚线，而且AD1与B1C不平行，投影为相交线．2. 解析：选C如图所示，l1与l2为异面直线，直线AB、CD均与l1、l2相交，则AB 与CD的位置关系为相交或异面．3. 解析：选B∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1C1C.又CE平面AA1C1C，∴CE⊥BD.4. 解析：选D该几何体下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，上面是一个半径为1的球，其表面积是2π×1×3＋2×π×12＋4π×12＝12π.5. 解析：选D A 中，b 有可能在α内；B 中，a 有可能在β内；C 中，a 有可能在α内．6. 解析：选A ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC . 又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ， ∵BC 平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PAB .由AD ⊥PA ，AD ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，得AD ⊥平面PAB . ∵AD 平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB . 由已知不能推出平面PBC 与平面PAD 垂直． 7. 解析：选C 设正四棱柱的底边长为a ，则 V ＝a 2·h ，∴16＝a 2×4，∴a ＝2.由球和正四棱柱的性质可知，球的直径为正四棱柱的对角线． ∴R ＝1222＋22＋42＝6，∴S ＝4πR 2＝24π.8. 解析：选C 设上底面积为S ，则下底面积为4S ，再设台体高为h ， ∴V 台＝13h (S ＋4S ＋S ·4S )＝73Sh ，又∵ VCEF －A 1B 1C 1＝Sh ，∴两部分的比为Sh ∶⎝⎛⎭⎫73Sh －Sh ＝3∶4. 9. 解析：选A 如图所示，设球的半径为R ，由题意，知OO ′＝R 2，OF ＝R ，∴r ＝32R .∴S 截面＝πr 2＝π⎝⎛⎭⎫32R 2＝3π4R 2. 又S 球＝4πR 2， ∴S 截面S 球＝3π4R24πR 2＝316. 10. 解析：选A 如图，由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a ，A ′B ＝3a . ∴在Rt △BB ′A ′中得A ′B ′＝a ， ∴AB ∶A ′B ′＝2∶1.11. 解析：由面面垂直的判定知，作过此直线的任一平面都符合题意． 答案：无数12. 解析：根据该几何体的三视图可得其直观图如图所示，是底面为直角梯形的直四棱柱，且侧棱AA 1＝4，底面直角梯形的两底边AB ＝2，CD ＝5，梯形的高AD ＝4，故该几何体的体积V ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋52×4＝56.答案：5613. 解析：设球的半径为R ，正方体的棱长为a ， 则43πR 3＝a 3，∴a ＝ 343π·R ， ∴S 正方体＝6a 2＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫343π·R 2＝4·36π2·R 2>4πR 2， 即S 球<S 正方体． 答案：<14. 解析：圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V ＝13πh ·(r 2中＋r 2下＋r 中r 下)＝π3×9×(102＋62＋10×6)＝588π，降雨量为V 142π＝3×196π196π＝3. 答案：315. 证明：因为AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是一个平面图形，即AB，CD确定一个平面β，则ABβ，ADβ，因为E∈AB，所以E∈β.因为H∈AD，所以H∈β.又因为E∈α，H∈α，所以α∩β＝EH.因为DCβ，G∈DC，所以G∈β.又因为G∈α，所以点G在α与β的交线EH上．同理，点F在α与β的交线EH上，所以E，F，G，H四点共线．16. 解：(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.17. 证明：(1)因为BM⊥平面ACE，AE平面ACE，所以BM⊥AE.因为AE⊥BE，且BE∩BM＝B，BE、BM平面EBC，所以AE⊥平面EBC. 因为BC平面EBC，所以AE⊥BC.(2)法一：取DE中点H，连接MH、AH.因为BM⊥平面ACE，EC平面ACE，所以BM⊥EC.因为BE＝BC，所以M为CE的中点．所以MH为△EDC的中位线，所以MH12DC.因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC AB.故MH12AB.因为N为AB的中点，所以MH AN.所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH.因为MN平面ADE，AH平面ADE，所以MN∥平面ADE.法二：如图，取EB的中点F，连接MF、NF.因为BM⊥平面ACE，EC平面ACE，所以BM⊥EC.因为BE＝BC，所以M为CE的中点，所以MF∥BC.因为N为AB的中点，所以NF∥AE，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC.所以MF∥AD.因为NF、MF平面ADE，AD、AE平面ADE，所以NF∥平面ADE，MF∥平面ADE.因为MF∩NF＝F，MF、NF平面MNF，所以平面MNF∥平面ADE.因为MN平面MNF，所以MN∥平面ADE.18. 解：(1)几何体的直观图如图．四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其体积V＝12×1×3×3＝3 2.(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1. (3)当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.∵FD∥B1C1，∴FD∥平面AB1C1，又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.。
北师大版必修2数学测试题及答案
新课标数学必修2测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）Ａ．有且只有一个Ｂ．可能有一个也可能不存在Ｃ．有无数多个Ｄ．一定不存在2. 若方程22(62)(352)10a a x a a y a --+-++-=表示平行于y 轴的直线，则a 的值是（ ） Ａ．23Ｂ．12- Ｃ．1 Ｄ．不存在 3. 若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 的位置关系是（ ） Ａ．相交、平行或异面 Ｂ．相交或平行Ｃ．异面 Ｄ．平行或异面4. 满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ）（１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２）Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３）5. 坐标平面内一点到两个坐标轴和直线2x y +=的距离都相等，则该点的横坐标为（ ）1 Ｂ．１ Ｃ．12 Ｄ．非上述答案6. 与直线2360x y +-=关于点(11)-，对称的直线方程是（ ） Ａ．3220x y -+=Ｂ．2370x y ++= Ｃ．32120x y --= Ｄ．2380x y ++=7. 若圆220x y Dx Ey F ++++=与x 轴切于原点，则（ ）Ａ．0D =，0E =，0F ≠ Ｂ．0F =，0D ≠，0E ≠Ｄ．0D =，0F =，0E ≠ Ｄ．0E =，0F =，0D ≠8. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ）Ａ．第三象限Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限9. 已知过点(2)A m -，和(4)B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）Ａ．8- Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．1010. 直线1l 与2l 关于直线0x y +=对称，1l 的方程为y ax b =+，那么2l 的方程为（ ） Ａ．x b y a a =- Ｂ．x b y a a=+ Ｃ．1x y a b =+ Ｄ．x y b a=+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．11. 若ABC △面积等于3，且(11)A ，，(36)B ，，则C 所在直线方程为 ． 12. (13)P -，在直线l 上的射影为(11)Q -，，则直线l 的方程是 ．13. 在y 轴上截距为3-，且与y 轴成60þ角的直线方程是 ．14. 经过点(41)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，共30分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．15.(本小题5分) 已知直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=．求（１）交点A ，B 的坐标；（２）AOB △的面积；（３）圆心角AOB 的度数．16.(本小题5分) 已知圆P 与圆2220x y x +-=外切，并且与直线:30l x y +=相切于点(3,3)Q -，求圆P 的方程．17.(本小题5分) 如图，正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，求这个几何体的棱长．18.(本小题5分) 已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线10l kx y k --=：． （１）若1l 与圆交于两个不同点P ，Q ，求实数k 的取值范围；（２）若PQ 的中点为M ，(10)A ，，且1l 与2240l x y ++=：的交点为N ，求证：x y zBAM AN 为定值．19.(本小题5分) 已知点(2,3)P --和以Q 为圆心的圆22(4)(2)9x y -+-=． （１）画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆22(4)(2)9x y -+-=．（２）作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ，直线PA ， PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？（３）求直线AB 的方程．20.(本小题5分) 求经过点(3,1)M -，且与圆22:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)N 的圆的方程．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 Ｂ6-10 DCCAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 11. 5230x y -+=或5290x y --=． 12. 230x y --=．13. 3y =-． 14. 40x y -=，或50x y +-= 三、解答题：本大题共6小题，共30分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．15.(本小题5分) 解：（１）解方程组2225050x y x y --=⎧⎨+=⎩，得55x y =-⎧⎨=-⎩或71x y =⎧⎨=⎩，所以，直线:250l x y --=与圆2250x y +=的交点是(5,5)A --，(7,1)B ．（２）过圆心O 作直线l 的垂线，垂足为D ，则圆心O 到直 线l 的距离OD ==在直角三角形AOD中，OA =AD ==所以AB = AOB △的面积111522AOB S AB OD ==⨯=△．（３）在AOD △中，cos 0.3162OD AOD OA ∠==≈.用计算器算得，71.57AOD ∠=þ．所以，2143.13AOB AOD ∠=∠=þ．16.(本小题5分) 解：设圆心(,)P a b ，PQ l ⊥∵，1PQ l k k =-g ∴，即(133b a +-=--，即3120a -= ①，又∵圆2220x y x +-=的圆心为(1,0)，半径为１，又由外切1=②，由①、②得4a =，0b =或0a =，b =-．这时半径分别为２，６．∴圆的方程为22(4)4x y-+=或22(36x y ++=．17.(本小题5分) 解：由已知，点E ，F ，P ，M 的坐标是,,22a a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,,22a a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,22a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,22a a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,22a a Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 这个几何体是正八面体，棱长2PQ a ==．（１）18.(本小题5分) 解：圆心(34)，到已知直线的距离小于半径４，由点到直线的距离公式得2340k k +>，43k <-∴，或0k >； （２）证明：由2400x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩得245()2121k k N k k --++，， 再由22(3)(4)16y kx k x y =-⎧⎨-+-=⎩，；得2222(1)(286)890k x k k x k k +-+++++=，21222861k k x x k +++=+∴，22224342()11k k k k M k k +++++∴，， AM AN ∴== 10=为定值．19.(本小题5分)解：（１）因为(2,3)P --，(4,2)Q 是以Q '为圆心的圆的直径的两个端点，所以以Q '为圆心的圆的方程是(2)(4)(3)(2)0x x y y +-++-=．即222140x y x y +-+-=．（２）PA ，PC 是圆22(4)(2)9x y -+-=的切线．因为点A ，B 在圆222140x y x y +-+-=上，且PQ 是直径， 所以PA AQ ⊥，PB BQ ⊥．所以，,PA PB 是圆22(4)(2)9x y -+-=的切线．（３）两方程22(4)(2)9x y -+-=，222140x y x y +-+-=相减，得65250x y +-=． 这就是直线AB 的方程．20.(本小题5分) 解：把圆C 的方程222650x y x y ++-+=化成标准形式，得22(1)(3)5x y ++-=．圆C 的圆心坐标是(1,3)-AN 的方程为250x y +-=．MN 的中点坐标是1(2,)2，斜率是32-．线段MN 的垂直平分线的方程是12(2)23y x -=-，即4650x y --=． 联立250x y +-=与4650x y --=解得207x =，1514y =． 这是所求圆的圆心F 的坐标． 又因为22201584512714196FN ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 经过点(3,1)M -，且与圆22:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)N 的圆的方程是222015845714196x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式练习(含解析)北师大版必修2
1．5 平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式 (1)数轴上：一般地，数轴上两点A ，B 对应的实数分别是x A ，x B ，则|AB |＝|x B －x A |. (2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A ，B 对应的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，则d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，两条直线间的距离记为d ，即d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.判一判1.原点O 到点P (x ，y )的距离为|OP |＝x 2＋y 2.(√) 23．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是|C 1－C 2|.(×)5．原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是|C |A 2＋B2.(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√) 7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8想一想1. 提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等． 3．两条平行直线间距离有哪几种求法？ 提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②当两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？ 提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A (3,7)，B A ．5 B. 5 C ．3 D ．29 答案：B2．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上 答案：D3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．3 2 B.22C ．3 D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 答案：A5．直线l 1：x ＋y ＝0与直线l 2：2x ＋2y ＋1＝0间的距离是________．答案：24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A (2，m )与点B (m,1)间的距离是13，则实数m ＝( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或1 解析：∵|AB |＝m －22＋1－m 2＝13，∴m 2－3m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝4. 答案：C2．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10. 答案：10知识点二 求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．± 2解析：由题意，得|a －1＋1|12＋－12＝1，即|a |＝2， 所以a ＝± 2.故选D. 答案：D4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A.10 B ．2 2 C. 6 D ．2解析：由题意可知|OP |的最小值即原点(0,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝2 2.知识点三 两条平行直线间的距离5.12b ＋c 等于( )A ．－12B ．48C ．36D ．－12或48解析：将l 1：3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b ＝8. 由|10－c |62＋82＝3，解得c ＝－20或c ＝40.所以b ＋c ＝－12或48.故选D. 答案：D6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313C.51326 D.71326解析：由两直线平行可知36＝2m ≠－31，故m ＝4.又方程6x ＋4y ＋1＝0可化简为3x ＋2y ＋12＝0，∴平行线间的距离为|12－－3|22＋32＝71326.故选D. 答案：D知识点四 对称问题7.直线y ＝3xA ．y ＝3x －10B ．y ＝3x －18C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4,2)，由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0(C ≠－6)．在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. 故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案：D综合知识 距离公式的综合应用9.已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线方程的一般式； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为k BC ＝3－－24－3＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k ＝－15.所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)．即x ＋5y ＋3＝0.(2)BC 的直线方程为：y ＋2＝5(x －3)． 即5x －y －17＝0，点A 到直线BC 的距离为|2×5－－1－17|52＋－12＝626. 又因为|BC |＝3－42＋－2－32＝26，所以△ABC 的面积S ＝12×626×26＝3.10．已知直线l 1经过点A (0,1)，直线l 2经过点B (5,0)，且直线l 1∥l 2，l 1与l 2间的距离为5，求直线l 1，l 2的方程．解析：∵直线l 1∥l 2，∴当直线l 1，l 2垂直于x 轴时，直线l 1的方程为x ＝0，直线l 2的方程为x ＝5， 这时直线l 1，l 2之间的距离等于5，符合题意． 当直线l 1，l 2不垂直于x 轴时，可设其斜率为k ， 依题意得，直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，直线l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k |1＋k2＝5， 解得k ＝125.∴直线l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，直线l 2的方程为12x －5y －60＝0.综上，符合题意的直线l 1，l 2的方程有两组：l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.基础达标一、选择题1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )A ．3 B.53C ．1 D.22解析：点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 答案：B2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )A ．0 B.34C ．3D ．0或34解析：点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.答案：D3．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为( ) A.1310 B.135 C.72 D.235解析：直线3x ＋4y －12＝0，即直线6x ＋8y －24＝0，根据直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0平行，可得a ＝6，故两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为|－24－11|36＋64＝72. 答案：C4．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点．则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b .又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)，原点O (0,0)到直线x ＋y －b ＝0(b >0)的距离为|0＋0－b |12＋12＝1，解得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 答案：A6．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)，B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形解析：因为k AC ＝32a a 2＋a ＝33，k BC ＝32a a2－a＝－3，k AC ·k BC ＝－1，所以AC ⊥BC ，又|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3|a |. |BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02＝|a |，|AC |≠|BC |. 所以△ABC 为直角三角形．答案：C7．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 C. 2 D ．4解析：由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.答案：A 二、填空题8．已知点A (－1,2)，B (3，b )的距离是5，则b ＝________.解析：根据两点间的距离公式，可得3＋12＋b －22＝5，解得b ＝5或b ＝－1. 答案：5或－19．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4， ∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或17310．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋n ＝0平行且距离为10，则m ＋n ＝________. 解析：因为两直线平行，所以m ＝2， 由两平行线的距离公式知⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－n 232＋12＝10， 解得n ＝14或n ＝－26.所以m ＋n ＝16或m ＋n ＝－24. 答案：16或－2411．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 所以k ＝2或k ＝－23.所以所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝012．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：求x 2＋y 2的最小值，就是求2x ＋y ＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝522＋12＝ 5. 答案： 5 三、解答题13．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P 点垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，存在过点P 且到原点距离最大为5的直线，因此不存在过点P 到原点距离为6的直线．14．已知直线l 1：x ＋3y －3m 2＝0和直线l 2：2x ＋y －m 2－5m ＝0相交于点P (m ∈R )． (1)用m 表示直线l 1与l 2的交点P 的坐标；(2)当m 为何值时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3m 2＝0，2x ＋y －m 2－5m ＝0，得x ＝3m ，y ＝m 2－m ，∴直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(3m ，m 2－m )．(2)设点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离为d ，d ＝|3m ＋m 2－m ＋3|2＝|m 2＋2m ＋3|2＝|m ＋12＋2|2＝m ＋12＋22，∴当m ＝－1时，即P 点坐标为(－3,2)时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短，最短距离为 2.能力提升15.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P . (1)使|PA |＋|PB |最小； (2)使||PA |－|PB ||最大．解析：(1)可判断A ，B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1，y 1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由直线的两点式方程得直线A 1B 的方程为y －1－95－1＝x －4－25－4，即y ＝711(x －4)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝711x －4＋1得直线A 1B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫5625，－325，由平面几何知识可知，此时|PA |＋|PB |最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB 的方程为y －31－3＝x －24－2，即x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x ＋y －5＝0得直线AB 与l 的交点为P (8，－3)，此时||PA |－|PB ||最大．16．已知三条直线l 1：mx －y ＋m ＝0，l 2：x ＋my －m (m ＋1)＝0，l 3：(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，它们围成△ABC .(1)求证：不论m 取何值时，△ABC 中总有一个顶点为定点； (2)当m 取何值时，△ABC 的面积取最值？并求出最值． 解析：(1)证明：设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m m ＋1＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m m 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫mm 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ， ∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋m ＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m m ＋1m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1m ＋12＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－12≤1m ＋1m <0或0<1m ＋1m≤12，∴14≤S <12或12<S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。
2019-2020学年北师大版高中数学必修二质量检测1 Word版含解析
姓名，年级：时间：质量检测(一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2π B．π C．2 D．1［解析］所得旋转体是底面半径为1,高为1的圆柱，其侧面积S侧＝2πRh＝2π×1×1＝2π。
[答案] A2．教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面[解析] 当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．[答案] B3．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是（) A．1∶1 B．2∶1C．3∶2 D．4∶3[解析］∵圆柱的底面直径与高都等于球的直径,设球的直径为2R，则圆柱的全面积S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2,球的表面积S2＝4πR2，∴错误!＝错误!.[答案] C4．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面,则下列命题正确的是（）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m、n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面［解析］A项，α、β可能相交，故错误；B项,直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．[答案] D5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2,则V1∶V2＝( )A．1∶3 B．1∶1 C．2∶1 D．3∶1［解析] V1∶V2＝（Sh)∶错误!＝3∶1。
2019-2020学年高中北师大版数学必修2精练：第一章 水平测试 Word版含解析
第一章水平测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三视图表示的几何体是()A．圆台B．棱锥C．圆锥D．圆柱答案A解析由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又左视图和主视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台．2．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．三边中有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形解析 根据“斜二测画法”可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝ 3.故原△ABC 是一个等边三角形．3．已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.40003 cm 3B.80003 cm 3 C ．2000 cm 3 D ．4000 cm 3 答案 B解析 由三视图得该几何体为四棱锥，则其体积为V ＝13×20×20×20＝80003cm 3.4．已知一个圆锥的展开图如右图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为( )A.22π3B.2π3C.2π3 D.3π解析 由底面圆的半径为1，可知扇形的弧长为2π，又扇形的圆心角为120°，所以圆锥母线长为2π120180π＝3，高为32－12＝22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.5. 如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．6C ．4 2D ．4 答案 B解析 该多面体是如下图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E －CC 1D 1(其中E 为BB 1的中点)，其中最长的棱为D 1E ＝(42)2＋22＝6.6．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3 C ．22π D ．42π 答案 B解析 由题意，该几何体可以看作两个底面半径和高都为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.7．正方体ABCD－A1B1C1D1如下图所示，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°答案D解析对于A，由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；对于B，连接AC，易证BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD；对于C，因为BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1；对于D，因为BC∥AD，所以∠B1CB即AD与CB1所成的角，此角为45°，故D错．8．如下图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°答案D解析取BC的中点H，连接EH、FH，则∠EFH为所求的角，可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，∴sin∠EFH＝EHFH＝12，∴∠EFH＝30°.9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，则EF 与平面BB 1D 1D 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．EF ⊂平面BB 1D 1D D ．无法判断 答案 A解析 取B 1C 1中点H ，连接EH ，FH ，∵E 、F 、H 分别为BC 、D 1C 1、B 1C 1中点， ∴FH ∥D 1B 1，EH ∥BB 1， ∴平面EFH ∥平面BB 1D 1D ∵EF平面EFH ，∴EF ∥平面BB 1D 1D .10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′，若S △A ′B ′C S △ABC ＝949，则P A ′AA ′＝( )A.43B.349C.78D.34答案 D解析 由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′，从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△P AB ∽△P A ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝949，所以P A ′P A ＝37，所以P A ′AA ′＝34，故选D. 11．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D解析 由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则交线平行于l ，故选D.12．已知平面ABC 外一点P ，且PH ⊥平面ABC 于点H .给出下列四个说法：①若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则点H 是△ABC 的垂心；②若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则点H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，则P A ＝PB ＝PC ；④若P A ＝PB ＝PC ，则点H 是△ABC 的外心．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 对于①，易知AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，所以点H 是△ABC 的垂心；对于②，易知PB ⊥平面P AC ，所以PB ⊥AC ，同理，P A ⊥BC ，由①可知点H 是△ABC 的垂心；对于③，∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，所以HA ＝HC ＝HB ，又∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，所以P A ＝PB ＝PC ；对于④，∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，所以HA ＝HB ＝HC ，即点H 是△ABC 的外心．①②③④都正确，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．下列说法正确的是________．(填序号)①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面；④圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长．答案④解析本题主要考查空间几何体的结构特征．根据圆柱母线的定义，①说法错误；以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台，以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台，故②说法错误；圆锥只有—个底面，故③说法错误；根据圆锥母线的定义，④说法正确．14．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案6解析设大铁球的半径为R cm，由43πR3＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝⎛⎭⎪⎫1023，得R3＝216，得R＝6.15．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面中，与直线CE平行、相交的平面个数分别为m，n，则m＋n＝________.答案5解析CE与正方体上底面平行，且在正方体下底面所在的平面内，而与它相交的平面分别是前、后、左、右四个平面，即m＝1，n＝4，因此m＋n＝5.16．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)答案 ①④解析 ①中，记点B 正上方的顶点为C ，连接AC ，则易证平面ABC ∥平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；④中AB ∥NP ，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB ∥平面MNP ；②③中，AB 均与平面MNP 相交．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1P ＝2P A 1，C 1Q ＝2QA 1.求证：直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．证明 如图，连接PQ .由B 1P ＝2P A 1，C 1Q ＝2QA 1， 得PQ ∥B 1C 1，且PQ ＝13B 1C 1.又BC 綊B 1C 1，∴四边形BCQP 为梯形，∴直线BP ，CQ 相交，设交点为R ，则R ∈BP ，R ∈CQ . 又BP平面AA 1B 1B ，CQ平面AA 1C 1C ，∴R ∈平面AA 1B 1B ，且R ∈平面AA 1C 1C ，∴R 在平面AA 1B 1B 与平面AA 1C 1C 的交线上，即R ∈AA 1， ∴直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．18．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示(不考虑接触点)．(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．解 (1)由三视图，知该几何体由两部分组成，上部分是直径为1的球，下部分是底面边长为2，高为3的正三棱柱．表面积S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12×2×3×2＋2×3×3＝π＋23＋18.(2)体积V ＝12×2×3×3＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝33＋π6.19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥AC .D ，E 分别是BB 1，A 1C 1的中点．(1)求证：DE ∥平面A 1BC ；(2)若AB ⊥BC ，求证：A 1B ⊥平面ABC ；(3)在(2)的条件下，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，求三棱锥A 1－BCC 1的体积．解 (1)证明：取A 1C 的中点F ，连接BF ，EF ， ∵E 是A 1C 1的中点， ∴EF ∥CC 1，且EF ＝12CC 1. 又CC 1∥BB 1，D 是BB 1的中点， ∴EF ∥DB ，且EF ＝DB ， ∴四边形BDEF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，而DE ⊆/ 平面A 1BC ，BF 平面A 1BC ，∴DE ∥平面A 1BC .(2)证明：∵AA 1⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩AA 1＝A ， ∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥A 1B . 又A 1B ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ， ∴A 1B ⊥平面ABC .(3)由(2)的结论，得A 1B ⊥AB ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面A 1BC . ∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面A 1BC . 由B 1C 1∥BC ，可知B 1C 1∥平面A 1BC . ∵A 1B 1＝AB ＝1，BB 1＝2， ∴A 1B ＝1，∴三棱锥A 1－BCC 1的体积V A 1－BCC 1 ＝V C 1－A 1BC ＝V B 1－A 1BC ＝13S △A 1BC ·A 1B 1＝13×12×BC ×A 1B ×A 1B 1 ＝13×12×1×1×1＝16.20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝BB 1，M ，N 分别是A 1B 1，AC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面BCC 1B 1；(2)平面MAC 1⊥平面ABC 1.证明 (1)取BC 1的中点D ，连接B 1D ，ND ，∵D ，N 分别是BC 1，AC 1的中点，∴ND ∥AB ，ND ＝12AB .又M 为A 1B 1的中点，AB ∥A 1B 1，∴ND 綊B 1M ，∴MNDB 1为平行四边形，∴MN ∥B 1D .又B 1D 平面BCC 1B 1，MN ⊆/ 平面BCC 1B 1，∴MN ∥平面BCC 1B 1.(2)由题可知AB ⊥B 1D ，B 1D ⊥BC 1.又AB 平面ABC 1，BC 1平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1D ⊥平面ABC 1.又B 1D ∥MN ，∴MN ⊥平面ABC 1.又MN 平面MAC 1，∴平面MAC 1⊥平面ABC 1.21．(本小题满分12分)如图，已知二面角α－MN －β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB⊥平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．解(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.连接BD，由题设，知△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．由(1)，知AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α－MN－β的平面角，从而∠DEO＝60°.不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝ 3.在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝3 2.连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为3 4.22．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．解(1)证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C 为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，而AO∩BO＝O，故B1C⊥平面ABO.由于AB平面ABO，故B1C⊥AB.(2)如图，作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又BC＝1，可得OD＝3 4.由于AC⊥AB1，所以OA＝12B1C＝12.由OH·AD＝OD·OA，且AD＝OD2＋OA2＝74，得OH＝2114.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为21 7.故三棱柱ABC－A1B1C1的高为21 7.。
2019-2020学年高中北师大版数学必修2精练：综合水平测试 Word版含解析
综合水平测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间有四个点，如果其中任意三点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面()A．可能有3个，也可能有2个B．可能有3个，也可能有1个C．可能有4个，也可能有3个D．可能有4个，也可能有1个答案D解析四点可能共面，四点中可能任意三点确定一平面，此时平面个数为四个．2．过原点且与圆(x－2)2＋y2＝3相切的直线方程是()A．y＝－2x或y＝2xB．y＝－3x或y＝3xC．y＝－2x＋2或y＝2x－2D．y＝－3x＋2或y＝3x答案B解析设直线方程为y＝kx，则|2k|1＋k2＝3，解得k＝±3.3．如图，点M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则异面直线AD和MN所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析由异面直线的定义可知AD与MN所成角即为∠NMC＝45°，故选B.4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝5B．(x－1)2＋(y＋1)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5答案C解析直线方程即为a(x＋1)－x－y＋1＝0，恒过直线x＋1＝0与直线－x－y＋1＝0的交点，即C(－1,2)．故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选C.5．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直答案B解析经过直线m有且只有一个平面与平面α垂直．6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.13cm3 B.23cm3 C.43cm3 D.83cm3答案C解析由三视图可知，此几何体为三棱锥，三棱锥体积V＝13×12×23＝43(cm3)．7．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a 的值为()A．－1 B．1 C．±1 D．－3 2答案C解析本题考查两条直线垂直的条件．由题意可知(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a ＋3)＝0，解得a＝±1.8．过直线y＝x上的一点P作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y＝x对称时，则∠APB＝() A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的圆心(5,1)，过(5,1)与y＝x垂直的直线方程x ＋y－6＝0，它与y＝x的交点N(3,3)，N到(5,1)的距离是22，∴∠APB＝60°.9．侧棱长为a的正三棱锥P－ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.2πa2B．2πa2 C.3πa2D．3πa2答案D解析将三棱锥补形为一正方体，正方体的体对角线即为球的直径，即R＝32a，故表面积为3πa2.10．m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中真命题的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案A解析 根据相关线面关系，可得①③.11．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 中点到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．42答案 A解析 解法一：所求最小值即为与l 1，l 2平行且到l 1，l 2距离相等的直线x ＋y －6＝0到原点的距离，即|－6|2＝3 2. 解法二：所求最小值即为l 1，l 2到原点距离的平均数．12．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 C ．[－3，3]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 答案 A解析 由题意知圆的圆心为(2,3)，半径为r ＝2，所以圆心到直线的距离d满足，d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22，又|MN |≥23，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k －3＋3|k 2＋12≤22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322，解得－33≤k ≤33，选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a ，b ，a ∥α，b ∥β，a ∥β，b ∥α；④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.其中可以推出α∥β的是________．(填序号)答案 ①④解析 本题考查线面基本关系的应用．对于②③，平面α与β还可以相交，不一定能推出α∥β，所以②③不可以推出α∥β；易知①④可推出α∥β.14．从点P(m,3)向圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案26解析本题主要考查圆的切线长度的计算．由题意得圆心坐标为(－2，－2)，半径为 1.设切线长为l，则l＝(m＋2)2＋(3＋2)2－1＝(m＋2)2＋24≥24＝26，所以当m＝－2时，切线长最小，最小值为2 6.15．在空间直角坐标系中，已知M(2,0,0)，N(0,2,10)，若在z轴上有一点D，满足|MD|＝|ND|，则点D的坐标为________．答案(0,0,5)解析本题主要考查空间直角坐标系及空间中两点间的距离公式．由点D 在z轴上，可设D(0,0，t)，再由空间两点间的距离公式得|MD|＝(2－0)2＋(0－0)2＋(0－t)2，|ND|＝(0－0)2＋(2－0)2＋(10－t)2，因为|MD|＝|ND|，所以t＝5，故D(0,0,5)．16．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．答案x＋y－3＝0解析本题主要考查直线与圆的位置关系．点M在圆C内，当∠ACB最小时，弦AB的长最小，所以AB⊥CM，k CM＝4－23－1＝1，所以k l＝－1，从而直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，C点在直线3x －y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．解|AB|＝(3＋1)2＋(2－5)2＝5.∵S△ABC＝10，∴AB边上的高为4，即点C到直线AB的距离为4.设C(a，b)．∵直线AB的方程为3x＋4y－17＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b ＋3＝0，|3a ＋4b －17|5＝4，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝53，b ＝8.∴点C 的坐标为(－1,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫53，8. 18．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点A (5,0)到直线l 的距离的最大值．解 (1)由⎩⎨⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1. 所以交点坐标为(2,1)．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，则点A 到直线l 的距离|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43， 所以l 的方程为4x －3y －5＝0；当l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2 ，符合题意．故直线l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)设直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点为P ，由(1)可知P (2,1)，过点P 任意作直线l (如图所示)，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时，等号成立)，由两点间的距离公式可知|P A |＝10.即所求的距离的最大值为10.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)求三棱锥E －ABC 的体积V .解 (1)证明：在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD .又AD 平面P AD ，EF ⊆/ 平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .(2)过点E 作EG ∥P A ，交AB 于点G ，如图所示，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2，∴AP ＝AB ＝2，∴EG ＝22.又S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，∴三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.20．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0.(1)求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0.由⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1)．∵圆心C(1,2)，∴|AC|＝5<5，∴点A在圆C内，∴直线l与圆C恒交于两点．(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，l⊥AC，∵k AC＝－12，∴k l＝2，∴所求的直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.21．(本小题满分12分)如图，多面体EF－ABCD中，已知ABCD是边长为4的正方形，EF＝2，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD.(1)若M，N分别是AB，CD的中点，求证：平面MNE∥平面BCF；(2)若在△BCF中，BC边上的高FH＝3，求多面体EF－ABCD的体积V.解(1)证明：∵M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴MN∥平面BCF.又EF∥AB，EF＝2＝12AB，∴EF綊MB，∴四边形BMEF是平行四边形，∴ME∥BF，∴ME∥平面BCF.又∵MN⊆/平面BCF，ME⊆/平面BCF，且MN∩ME＝E，∴平面MNE∥平面BCF.(2)∵平面FBC⊥平面ABCD，FH⊥BC，AB⊥BC，∴FH⊥平面ABCD，AB⊥平面BCF，∴FH是四棱锥E－AMND的高，MB是三棱柱BCF－MNE的高．∴多面体EF－ABCD的体积V＝V E－AMND＋V BCF－MNE＝13S AMND·FH＋S△BCF·MB＝13×4×2×3＋12×4×3×2＝20.22．(本小题满分12分)设圆C：x2＋y2－4x＝0，点M(1,0)．(1)求圆C关于点M对称的圆E的方程；(2)若直线l过点N(2,4)且与圆E相切，求l的方程．解(1)由题知，圆C的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，易知点C(2,0)关于点M(1,0)的对称点为O(0,0)，∴圆E的方程为x2＋y2＝4.(2)设直线l的方程为m(y－4)＝x－2，即x－my＋4m－2＝0，∵直线l与圆E相切，∴点O到直线l的距离等于圆的半径，即|4m－2|m2＋1＝2，解得m＝0或m＝43，∴所求l的方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.。
2019-2020年北师大版数学必修二：第1章+§1+1.1+1.2+简单几何体及答案
§1 简单几何体 1．1 简单旋转体 1．2 简单多面体1．两个平面平行及直线与平面垂直的概念(1)两个平面平行：称无公共点的两个平面是平行的．(2)直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称为直线与平面垂直．2．简单的旋转体(1)定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．(2)球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：思考1：(1)圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？(2)过旋转体的轴的截面叫作轴截面，那么圆锥的轴截面是什么图形？(3)圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？(4)球能否由圆面旋转而成？提示：(1)圆柱的母线有无数条；它们之间相互平行．(2)等腰三角形．(3)一定．由于圆台可认为是由圆锥截得的，故两条母线所在的直线一定相交．(4)能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周所形成的旋转体即为球．3．简单的多面体(1)简单多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征思考2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？提示：不是．如图所示的几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱．1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①⑤B．①C．③④D．①④[答案] D2．长方体相对的两个侧面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．无法确定A[根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行，故选A.]3．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆面绕定直线旋转形成球体C．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的D[直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B错误；矩形绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C错误，所以应选D.]4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫作侧棱．①③[由棱柱的概念知①③正确．②④错误．(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台；(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；(4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转一周形成的几何体是球．A．0个B．1个C．2个D．3个B[(1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故(1)错；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故(2)错；(3)用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故(3)错；(4)正确．]1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．1．下列说法正确的是________．①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；③在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球．②[①错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．②正确．③错．应为球面．]①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱柱的侧面一定是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．②③④ [①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形； ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法： (1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱柱、棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：2．给出下列几个结论：①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ②多面体至少有四个面；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 其中，错误的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个A [①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以③是正确的．]1．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？提示：①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．2．若知道空间几何体表面上两点，如何求两点间最短的表面距离？提示：在几何体的表面上求两点间的最短表面距离问题，常转化为求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理．3．六棱锥P-ABCDEF的底面是边长为1 m的正六边形，侧棱长为2 m，M为P A的中点，从D点拉一条绳子，沿锥体侧面(不经过底面)到达M点．分组讨论，在什么情况下，绳子最短？提示：制作这样一个六棱锥观察实验，不难发现，当去掉底面，沿侧棱P A剪开，铺平后，两点D，M之间的距离即为最短绳长．【例3】如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面一周且由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？[思路探究]将圆柱体侧面展开，利用平面中两点之间线段最短求解．[解]把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.将例3中的圆柱体变为长方体如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求沿着长方体的表面从A到C1的最短距离．[解]将长方体相邻两个面展开，比较三个展开图，图①中AC1＝26，图②中AC1＝32，图③中AC1＝25，∴从A到C1的最短距离为3 2.在几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题，常转化为求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理.1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．棱柱、棱锥定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．3．球面、球体的区别和联系1．思考辨析(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．()(3)棱柱的侧面都是平行四边形．()(4)棱锥的侧面都是三角形．() [解析](1)×，若绕直角三角形斜边旋转得到的是两个同底圆锥．(2)×，两个截面与圆柱底面不平行时就不是圆柱．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④D[依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．] 3．下面几何体的截面一定是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台C[无论用怎样的平面去截球，截面一定是圆面，其他三个旋转体截面则不一定是圆面．]4．已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．3，2[设正三角形的边长为a，则34a2＝3，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为32a＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.]5．如图所示为长方体ABCD-A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′，C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．[解]截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′-CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′-DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．。
2019-2020学年高中数学北师大版必修2练习：第一章立体几何初步测评-附答案
第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.42.如图所示,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是()B.3C.6D.12OAB是直角三角形,其两条直角边的长分别是4和6,则其面积是12.3.若三个球的半径之比是1∶2∶3,则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的()A.4倍B.3倍C.2倍D.1倍a,2a,3a,V最大=π(3a)3=36πa3,V1+V2=πa3+π(2a)3=πa3=12πa3,最大=3.4.若一个圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,圆台的侧面积为400π,则该圆台的母线长为()A.10B.20C.12D.24r,则下底面半径、高分别为4r,4r,于是其母线l=-=5r,又侧面积为400π,所以π(r+4r)·5r=400π,解得r=4,于是母线长为20.5.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()根据题意,可得圆柱侧面展开图为矩形,长为2π×1=2π,宽为1,∴S=2π×1=2π.故选A.6.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1,由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得,S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以2+.7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于()B.BDC.A1DD.A1D1AC,由于BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,所以BD⊥平面ACC1A1.又因为CE⫋平面ACC1A1,所以CE⊥BD.8.已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥nA,∵α∩β=l,∴l⫋α,∵m∥α,∴m与l可能平行,也可能异面,故选项A不正确;对于选项B,D,∵α⊥β,m∥α,n⊥β,∴m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故选项B,D不正确.对于选项C,∵α∩β=l,∴l⫋β.∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.9.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B.16π C.9π D.,R2=(4-R)2+2,∴R2=16-8R+R2+2,∴R=,∴S表=4πR2=4π×π,选A.10.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出下列说法:①若l⊥α,α⊥β,则l⫋β②若l∥α,α∥β,则l⫋β③若l⊥α,α∥β,则l⊥β④若l∥α,α⊥β,则l⊥β其中说法正确的个数为()B.2C.3D.0①,若l⊥α,α⊥β,则l∥β或l⫋β,故①错误;对于②,若l∥α,α∥β,则l⫋β或l∥β,故②错误;对于③,若l⊥α,α∥β,则l⊥β,故③正确;对于④,若l∥α,α⊥β,则l⫋β或l∥β或l⊥β或l与β斜交,故④错误.11.(2018全国Ⅰ卷,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.3D.2,易知N为的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=CC'=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.在Rt△MCN中,MN==2.12.导学号91134033如图所示,在棱长均相等的三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA 的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAEPDE⊥平面ABCBC∥DF,易得BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点ABC上的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.6,设六棱锥的高为h,则V=Sh,∴×6h=2,解得h=1.设侧面高为h',则h2+()2=h'2,∴h'=2.∴正六棱锥的侧面积为6××2×2=12.14.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.,四棱柱高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积S=×(1+2)×1=,故四棱柱的体积V=S·h=.15.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°角;④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是.如图,①取BD的中点E,连接AE,CE,则BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC,AC⊂平面AEC,故AC⊥BD.故①正确.②设正方形的边长为a,则AE=CE= a.由①知∠AEC=90°是直二面角A-BD-C的平面角,∴AC=a,∴△ACD是等边三角形,故②正确.③由题意及①知,AE⊥平面BCD,故∠ABE是AB与平面BCD所成的角,而∠ABE=45°,∴③不正确.④分别取BC,AC的中点M,N,连接ME,NE,MN,则MN∥AB,且MN=AB=a,ME∥CD,且EM=CD=a,∴∠EMN是异面直线AB,CD所成的角.在Rt△AEC中,AE=CE=a,AC=a,∴NE=AC=a,∴△MEN是正三角形,∴∠EMN=60°,故④正确.16.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且,则的值是.r1,h1,r2,h2,则2πr1h1=2πr2h2,.又,所以,则.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2,AA1=3.(1)求证:AC⊥BA1;.AB⊥AC.因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AC.又AB∩AA1=A,所以AC⊥平面AA1B1B.因为BA1⫋平面AA1B1B,所以AC⊥BA1.Rt△ABC中,AB=2,AC=2,∠BAC=90°,所以BC=2.S侧=2π×3=6π.18.(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;:四边形EFGH是矩形.,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC.∴四面体体积V=×2×2×1=.BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH.∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形.又AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形.19.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面四边形ABCD为菱形,AB=2,BD=2,M,N分别是线段PA,PC的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD;MN与BC所成角的大小.AC,交BD于点O.因为M,N分别是PA,PC的中点,所以MN∥AC.因为MN⊈平面ABCD,AC⫋平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(1)知MN∥AC,故∠ACB为异面直线MN与BC所成的角.四边形ABCD为菱形,边长AB=2,对角线长BD=2,故△BOC为直角三角形,且sin∠ACB=,故∠ACB=60°.即异面直线MN与BC所成的角为60°.20.(本小题满分12分)(2018全国Ⅰ卷,文18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB⫋平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.作QE⊥AC,垂足为E,则QE DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-APB的体积为V Q-ABP=×QE×S△ABP=×1××3×2sin 45°=1.21.(本小题满分12分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.DG,CD,设CD∩GF=M.连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点.又H为BC的中点,所以HM∥BD,又HM⫋平面FGH,BD⊈平面FGH,所以BD∥平面FGH.DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⫋平面ABED,所以BD∥平面FGH.HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CF∥HE,又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⫋平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⫋平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.22.导学号91134034(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⫋平面ABC,所以AA1⊥BC.又由已知,AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC⊥平面ACC1A1.AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线.所以,MD AC,OE AC,因此MDOE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.因为直线DE⊈平面A1MC,MO⫋平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.。
2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆的一般方程练习(含解析)北师大版必修2
2．2 圆的一般方程填一填二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形(1)变形：把方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.(2)结论：①当D 2＋E 2－4F >0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆．②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有一组解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－D 2，y ＝－E2，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.③当D 2＋E 2－4F <0时，方程无实数解，所以不表示任何图形．当D 2＋E 2－4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程.判一判1.2．圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．(√)3．若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)4．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×)5．圆x 2＋y 2＋ax －2ay ＝0过原点．(√)6．圆x 2＋y 2－Dx －Ey ＋F ＝0的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(×)7．若D 2＋E 2－4F <0，则方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形．(√)8．若直线l 将圆x 221)．(√)想一想1.提示：x 2＋y 2＋F ＝02．若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，需满足什么条件？提示：①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF >0. 3．待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？提示：(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. (2)根据已知条件，建立关于D ，E ，F 的方程组． (3)解此方程组，求出D ，E ，F 的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 4．求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些？提示：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 思考感悟：练一练1．若方程x 2＋y 2＋x －y ＋m ＝0表示的曲线是一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤12B ．m ＝12C ．m >12D ．m <12答案：D2．圆x 2＋y 2＋2x －3y ＝0的圆心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(2,3) D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－32 答案：A 3．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43 答案：B4．圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0的周长为________． 答案：22π5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2－4y ＋3＝0知识点一 二元二次方程与圆的关系1.(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)．解析：(1)D ＝1，E ＝0，F ＝1，D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3<0，所以方程(1)不表示任何图形．(2)D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，所以方程(2)表示点(－a,0)． 2．下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径．(1)2x 2＋y 2－7x ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋yt ＝0.解析：(1)不能表示圆，因为方程中x 2，y 2的系数不相同． (2)知识点二 求圆的一般方程3.与圆x 2A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.答案：B4．已知圆过A (2,2)，C (3，－1)，且圆关于直线y ＝x 对称，求圆的一般方程．解析：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，9＋1＋3D －E ＋F ＝0，－D 2＝－E 2，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝1，F ＝－12.所以所求的圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －12＝0.知识点三 求动点的轨迹方程(或轨迹)5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( ) A ．点 B ．直线 C ．线段 D ．圆解析：∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆． 答案：D 6.如图，经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q .求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.所以x 2＋2综合知识 圆的一般方程7.已知A 解析：方法一 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.所以△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 方法二 设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋2－b 2＝r 2，5－a2＋3－b2＝r 2，3－a2＋－1－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，r 2＝5.故所求的圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝5.8．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.基础达标一、选择题1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和4 B ．(3,2)和4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和19解析：由一般方程的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，易知圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1，半径为192.答案：C2．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( ) A ．圆内 B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：先化成标准方程(x －a )2＋(y －1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0－a )2＋(0－1)2＝a 2＋1>2a ，即原点在圆外．答案：B3．若动圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0解析：圆心M 的坐标(x ，y )应满足y ＝x 或y ＝－x ，等价于x 2－y 2＝0. 答案：D4．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(1,2) 解析：由题意圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，1在直线x ＋y －1＝0上，从而有－a2＋1－1＝0，所以a ＝0，所以圆C 的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5．下列四条直线中，将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4解析：由题知直线l 1，l 2过已知圆的圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，所以D ＋E ＝4.答案：D7．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2， 整理，得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 答案：A 二、填空题8．圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的圆心为________，半径为________．解析：圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2其圆心为(－a,0)，半径为|a |. 答案：(－a,0) |a |9．已知圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，则a ＝________.解析：圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心C (1,4)，因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，所以d ＝|a －4＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝43.答案：4310．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x 2－2x ＋1)＋(y 2＋2y ＋1)＝2，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB 的距离最小即可，k AB ＝2－00－－2＝1，直线AB ：y －2＝x ，所以线段AB ：y ＝x ＋2(－2≤x ≤0)，圆心(1，－1)到其距离d ＝|1＋2－－1|12＋12＝22， 所以圆上某点到线段AB 的距离最小值为22－2＝2，因为|AB |＝－2－02＋0－22＝22，所以S △ABC min ＝12|AB |×2＝12×22×2＝2.答案：211．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析：由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.答案：512．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m ＋22＝2m ＋1，y ＝2m2＝m ，整理得x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝0三、解答题13．判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．(1)x 2＋y 2－x ＋14＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4后，D 2＋E 2－4F 是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆．方法一 (1)将原方程转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝0，表示一个点，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(2)将原方程转化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2(a ≠0)， 表示圆，圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)将原方程转化为x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，表示圆，圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.方法二 (1)因为D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋02－4×14＝0，所以表示一个点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (2)因为D 2＋E 2－4F ＝4a 2＋0－0＝4a 2>0(a ≠0)，所以表示圆．又因为－D 2＝－a ，－E 2＝0，12D 2＋E 2－4F ＝12·4a 2＝|a |，所以圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)因为D 2＋E 2－4F ＝02＋(2a )2＋4＝4(1＋a )2>0， 所以表示圆．又因为－D 2＝0，－E2＝－a ，12D 2＋E 2－4F ＝1＋a 2， 所以圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.14．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程．解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，－5)．当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋5E ＋F ＝0，16－4D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－95，F ＝－16.所以圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0.当顶点坐标是(0，－5)时，同理可得圆的方程为x 2＋y 2＋95y －16＝0.综上，它的外接圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0或x 2＋y 2＋95y －16＝0.能力提升15.已知曲线C ：(1＋a )x (1)当a 取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点； (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，为一条直线；当a ≠－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 21＋a 2表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝－85.故C 过定点A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85.(3)因为圆恒过点A ，B ，所以以AB 为直径的圆面积最小，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－45.所以21＋a ＝85，解得a ＝14.16．已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．解析：(1)方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法二 同方法一得x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x－3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法三 设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．。
2019-2020学年高中数学北师大版必修2一课三测：1.5.2 平行关系的性质 含解析
5．2平行关系的性质填一填1.直线与平面平行的性质文字语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．图形语言符号语言a∥α，aβ，α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b判一判1.如果一条直线和一个平面平行,则这条直线只和这个平面内一条直线平行．（×）2．若a∥α，则在α内存在直线与a平行．(√）3．若平面α，β平行，γ∩α＝a，γ∩β＝b，在β中除了b之外还有无数条直线平行于直线a。
（√)4．平面α，β，γ满足γ∩β＝a，γ∩α＝b,则a∥b。
（×)5．若一条直线与平面平行，那么这条直线与这个平面没有公共点．（√)6．若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的直线互相平行．（×）7．若两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．（√)8．已知两个平面平行，想一想1.两个平面平行,那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？提示：不一定．因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点,它们平行或异面．2．两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？提示：平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点,则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点,所以它们平行．3．利用线面平行性质定理解题的步骤是什么？提示：4．应用平面与平面平行性质定理的基本步骤是什么?提示:思考感悟：练一练1.已知直线m，n及平面α，β有下列关系:①m，nβ②nα③m∥α④m∥n。
现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论,组成一个真命题是________．答案：①②③⇒④或①②④⇒③2．设有不同的直线a，b和不同的平面α,β，γ,给出下列三个命题，其中正确的命题有（)①若a∥α，b∥α,则a∥b②若a∥α，a∥β,则α∥β③若α∥β，aα，则a∥βA．0个B．1个C．2个D．3个答案：B3．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n,则m,n的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案：A4．如图，在三棱锥S －ABC 中,E ，F 分别是SB ，SC 上的点，且EF ∥平面ABC ,则（ )A ．EF 与BC 相交B ．EF ∥BCC ．EF 与BC 异面D ．以上均有可能 答案：B 5．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三顶点A 1，C 1，B 的平面与底面ABCD 所在的平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．答案：平行知识点一 直线与平面平行性质的应用1。
2019_2020学年高中数学综合质量检测1北师大版必修2
综合质量检测(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6[解析] 由直线方程可知，直线的斜率k ＝－33，由tan α＝－33，且0≤α<π可得α＝5π6. [答案] D2．直线l 1∥l 2，在l 1上取3个点，在l 2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为( )A ．5B ．4C ．9D ．1[解析] 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．[答案] D3．直线l 1：y ＝kx ＋b 和直线l 2：x k ＋y b＝1(k ≠0，b ≠0)在同一坐标系中，两直线的图形应为( )[解析] 在D 中，k >0，b >0，且两直线都过点(0，b )，适合l 1，l 2的方程． [答案] D4．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )A ．3034B ．6034C ．3034＋135D ．135[解析] 由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝3234，则这个棱柱的侧面积为4×3234×5＝3034. [答案] A5．已知α、β是两个平面，直线l ⊄α，l ⊄β，若以①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有 ( )A ．①③⇒②；①②⇒③B ．①③⇒②；②③⇒①C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①[解析] 因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m ，使m ⊥α， 又因为l ⊥α，所以l ∥m .又因为lβ，所以l ∥β，即①③⇒②；因为l ∥β，所以过l 可作一平面γ∩β＝n ，所以l ∥n ， 又因为l ⊥α，所以n ⊥α又因为n β，所以α⊥β，即①②⇒③. [答案] A6．已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34C ．2 5 D.655[解析] 该圆的圆心为A (2，－3)，半径长r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S ＝12×4×35＝655.[答案] D7．已知点A (1，－2)、B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是 ( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3.[答案] C8．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.324πR 3B.38πR 3 C.525πR 3D.58πR 3 [解析] 依题意，得圆锥的底面周长为πR ，母线长为R ，则底面半径为R 2，高为32R ，所以圆锥的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22×32R ＝324πR 3.[答案] A9．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是 ( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝0[解析] 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37即直线l 1、l 2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－197，37，由两点式可得所求直线的方程是3x＋19y＝0.[答案] C10．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( )A.5－5 B．5－ 5C．30－10 5 D．无法确定[解析] 设P(x，y)是圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点．配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为C(1，－2)，半径r＝5.所以x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，所以要使x2＋y2最小，则线段PO最短．如图，当点P，O，C在同一直线上时，|PO|min ＝|PC|－|OC|＝5－12＋(－2)2＝5－5，即(x2＋y2)min＝30－10 5.[答案] C11．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π [解析] 根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为22，所以该几何体的体积为13×1×1×1＋12×43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π. [答案] C12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ [解析] 因为y (y －mx －m )＝0，所以y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然C 2与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. [答案] B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为平面ABC 外一点，且PA ＝PB ＝PC ，则平面PBC 与平面ABC 的位置关系是________．[解析] ∵PA ＝PB ＝PC ，∴P 在△ABC 所在平面上的射影必落在△ABC 的外心上．又外心在BC 上，设为O ，则PO ⊥平面ABC .又PO 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC . [答案] 垂直14．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．[解析] 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.[答案] 2＋π215．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________． [解析] 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，b －1a －2＝－1，|a －b －1|2＝r解得⎩⎨⎧a＝3，b ＝0，r ＝2所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.[答案] (x －3)2＋y 2＝216．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．[解析] 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 即为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.① 又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②联系①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)． [答案] (2,4)三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)一个直角梯形的上底、下底、高的比为1∶2∶3，求由它旋转而成的圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比．[解] 如图，设上底面半径、下底面半径、高分别为x 、2x 、3x (x >0)，则母线长l ＝(2x －x )2＋(3x )2＝2x ，∴S 上底面＝πx 2，S 下底面＝π(2x )2＝4πx 2，S 侧＝π(x ＋2x )·2x ＝6πx 2， ∴圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比为1∶4∶6.18．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，且l 1与l 2互相垂直； (2)直线l 1与l 2平行，且坐标原点到l 1、l 2的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，① 即a 2－a －b ＝0.又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，且l 2的斜率为1－a ， ∴l 1的斜率也存在，即a b＝1－a ，b ＝a1－a. ∴l 1和l 2的方程可分别表示为(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0和(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0.∵坐标原点到l 1和l 2的距离相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(a －1)a ≠a1－a，4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.19．(本小题满分12分)如下图所示，△ABC 是边长为2的正三角形，AE ⊥平面ABC ，且AE ＝1，又平面BCD ⊥平面ABC ，且BD ＝CD ，BD ⊥CD .(1)求证：AE ∥平面BCD ； (2)求证：平面BDE ⊥平面CDE .[证明] (1)取BC 的中点M ，连接DM 、AM ，因为BD ＝CD ，且BD ⊥CD ，BC ＝2.所以DM ＝1，DM ⊥BC ，AM ⊥BC ，又因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以DM ⊥平面ABC ，所以AE ∥DM ，又因为AE平面BCD ，DM 平面BCD ，所以AE ∥平面BCD .(2)由(1)已证AE ∥DM ，又AE ＝1，DM ＝1，所以四边形DMAE 是平行四边形， 所以DE ∥AM .由(1)已证AM ⊥BC ，又因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ， 所以DE ⊥平面BCD .又CD 平面BCD ，所以DE ⊥CD . 因为BD ⊥CD ，BD ∩DE ＝D ，所以CD ⊥平面BDE . 因为CD 平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .20．(本小题满分12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线x －y ＋22＝0相切． (1)求圆O 的方程； (2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程． [解] (1)由题意知，圆心到直线x －y ＋22＝0的距离d ＝2212＋(－1)2＝2＝r ，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)若直线l 的斜率不存在，直线l 为x ＝1， 此时直线l 截圆所得弦长为23，符合题意； 若直线l 的斜率存在，设直线为y －33＝k (x －1)，即3kx －3y ＋3－3k ＝0， 由题意知，圆心到直线l 的距离为d ＝|3－3k |9k 2＋9＝1，所以k ＝－33，则直线l 为x ＋3y －2＝0.所以所求的直线l 的方程为x ＝1或x ＋3y －2＝0.21．(本小题满分12分)如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 的中点，G 为AC 上一动点．(1)求证：BD ⊥FG ；(2)确定点G 在线段AC 上的位置，使FG ∥平面PBD ，并说明理由．[解] (1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD 、AC 交于点E ，∴PA ⊥BD ，又∵AC ⊥BD ，PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，∵FG 平面PAC ，∴BD ⊥FG .(2)当G 为EC 的中点，即AG ＝34AC 时，FG ∥平面PBD ，理由如下： 连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG ∥PE而FG 平面PBD ，PE 平面PBD ，故FG ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．[解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4，设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为4105， |PM |＝4105， 所以△POM 的面积为165.。
2019-2020年北师大版数学必修二：第1章+§3+3.1+3.2+三视图及答案
§3三视图3．1简单组合体的三视图3．2由三视图还原成实物图1．组合体(1)定义：由基本几何体生成的几何体叫作组合体．(2)基本形式：有两种，一种是将基本几何体拼接成组合体；另一种是从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．2．三视图(1)三视图的特点：①空间几何体的三视图是指主视图、左视图、俯视图．②三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从正前方、正上方、正左侧观察同一个几何体，所画出的空间几何体的平面图形．③三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下方，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．(2)绘制三视图时的注意事项：①首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画三视图可能不同．②其次，简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置．③分界线和可见轮廓线都用实线画出；不可见轮廓线都用虚线画出．思考：三视图分别反映物体的哪些位置关系(上下、左右、前后)？哪些数量关系(长、宽)?提示：主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度．1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D2．一个圆柱的三视图中一定没有的图形是()A．圆B．矩形C．三角形D．正方形C[直立圆柱的主视图、左视图都是矩形，也可以是正方形，俯视图是圆．] 3．下列说法正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形[答案] C4．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．[答案]四棱台【例1】画出如图所示的空间几何体的三视图．(阴影面为主视面，尺寸不作严格要求)[解]三视图如下．1．在画三视图时，先要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，我们画的是影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，能看到的画实线，不能看到的画虚线．2．作三视图时，要遵循三视图的排列规则，即“长对正，高平齐，宽相等”．3．画完三视图草图后，要再对照实物图验证其正确性．1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()B[依题意，左视图中棱的方向是从左上角到右下角，故选B.]【例2】如图是将球放在圆筒上形成的组合体，画出它的三视图．[解]它的三视图如图所示：1．画组合体的三视图的步骤：(1)分析组合体的组成形式；(2)把组合体分解成简单几何体；(3)画分解后的简单几何体的三视图；(4)将各个三视图拼合成组合体的三视图．2．画三视图时要注意的问题：(1)先画主体部分，后画次要部分；(2)几个视图要配合着画，一般是先画主视图，再确定左视图和俯视图；(3)组合体的各部分之间要画出分界线．2．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()B[由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．]1．根据如图所给出的物体的三视图，请说出它们的名称．提示：从观察三视图的特征入手，联想简单几何体三视图，从而确定几何体的名称，所以①是圆锥，②是三棱柱．2．如图是某一几何体的三视图，你能想象几何体的结构特征，并画出几何体的直观图吗？提示：由几何体的三视图可知，几何体是一个倒立的三棱台，即上底面面积大，下底面面积小，直观图如图．【例3】根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．[思路探究]观察三视图时可将该几何体分解为上下两部分进行判断，易知该物体是由一个圆柱和一个长方体组合而成的．[解]由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个长方体组合而成，它的实物草图如图所示．1．例3中，若将俯视图改为如图所示的图形，试画出实物图．[解]由三视图可知，该几何体上方是一个直三棱柱，下方是长方体，其草图如图．2．例3中，若将主视图、俯视图改为如图所示的图形，试画出其实物图．[解]由三视图可知，该几何体下方是一个圆柱，上方是一个三棱柱，其草图如图．由三视图还原空间几何体的策略：(1)通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体.若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体.(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体.1．三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是主视图、俯视图长对正，主视图、左视图高平齐，俯视图、左视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．2．画组合体的三视图的步骤特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．1．思考辨析(1)画三视图时应保证光线与投射面垂直．()(2)同一个物体的主视图可能不同．()(3)画三视图时，被遮住的部分可不画．()(4)圆柱的三视图都是矩形．()[解析](3)×，被遮挡部分画成虚线．(4)×，其三视图中有一个是圆形．[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．如图，该几何体的上半部分为正三棱柱，下半部分为圆柱，其俯视图是()C[因为俯视图是从上往下看的，所以图中的几何体的俯视图是一个圆，且圆内有一个内接正三角形．]3．三视图如图所示的几何体是________．4．画出如图所示几何体的三视图．[解]三视图如图所示：。
2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步4.2公理4及等角定理练习(含解析)北师大版必修2
第二课时公理4及等角定理填一填1.公理4(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)符号表述：a∥b，b∥c⇒a∥c.2．两条直线的位置关系(1)共面直线①平行直线：特征：在同一平面内没有公共点．记法：直线m与直线n平行，记作m∥n.②相交直线特征：在同一平面内有且只有一个公共点．记法：直线m与直线n相交于点A，记作m∩n＝A.(2)异面直线：特征：不共面的两条直线，没有公共点．3．等角定理空间中，两个角的两条边分别对应平行，这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2结论这两条相交直线所成的锐角(或直角)即为异面直线a，b所成的角范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°特殊情况当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.判一判1.2．两条异面直线所成的角一定是锐角．(×)3．和两条异面都相交的两直线必是异面直线．(×)4．如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．(√)5．空间等角定理为定义异面直线所成的角提供了理论依据．(√)6．如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．(√)7．对于直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.(√)8．空间三条直线a c异面．(×)想一想1.空间中，没有公共点的两条直线一定平行吗？提示：不一定，在平面内没有公共点的两条直线平行，在空间没有公共点的两条直线可能平行，也可能异面．2．证明两条直线平行的方法有哪些？提示：(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．3．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法是什么？提示：(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．4．求两异面直线所成的角的三个步骤是什么？提示：(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.思考感悟：练一练1.空间任意两个角β为( )A．60° B．120°C．30° D．60°或120°答案：D2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )A．共面 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1与A1C1所成角的大小是________．答案：60°4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( )A．0°<α<90° B．0°<α≤90°C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°答案：B5．已知a，b，c是空间三条直线，则下列命题中正确命题的序号为________．①若a⊥b，b∥c，则a⊥c②若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交③若a，b平行，b，c平行，则a，c也平行答案：①③知识点一公理4及等角定理的应用1．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，若∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( ) A ．30° B．30°或150° C ．150° D．以上结论都不对解析：由空间等角定理，可知∠PQR 与∠ABC 相等或互补，故∠PQR ＝30°或150°. 答案：B2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱CC 1，BB 1及DD 1的中点，证明：∠BGC ＝∠FD 1E .证明：因为E ，F ，G 分别是正方体的棱CC 1，BB 1，DD 1的中点， 所以CE 綊GD 1，BF 綊GD 1.所以四边形CED 1G 与四边形BFD 1G 均为平行四边形． 所以GC 綊D 1E ，GB 綊D 1F .又∠BGC 与∠FD 1E 对应两边的方向相同， 所以∠BGC ＝∠FD 1E .知识点二 异面直线及所成的角3.如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD ，BC 所成角是( )A ．30° B．45° C ．60° D．120°解析：如图，取BD 的中点M ， 连接EM ，FM .因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，所以EM 綊12AD ，FM 綊12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD ，BC 所成的角． 因为AD ＝BC ＝2， 所以EM ＝MF ＝1，在等腰△MEF 中，过点M 作MH ⊥EF 于H ，在Rt△MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°， 则∠EMF ＝2∠EMH ＝120°.所以异面直线AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD ，BC 所成的角为60°.故选C.答案：C4．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角． 所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角． 因为直线AB 与CD 成60°角， 所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°. 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ， (1)若∠MPN ＝60°， 则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°. (2)若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综合知识公理4及等角定理5.如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解析：取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，所以EF ∥CD ，所以∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)．在Rt△EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE＝52. 在Rt△AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt△ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52. 在等腰△EBF 中，cos∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. 6．在四棱锥A －BCDE 中，底面四边形BCDE 为梯形，BC ∥DE .设CD ，BE ，AE ，AD 的中点分别为M ，N ，P ，Q .(1)求证：M ，N ，P ，Q 四点共面；(2)若AC ⊥DE ，且AC ＝3BC ，求异面直线DE 与PN 所成角的大小． 解析：(1)证明：∵CD ，BE ，AE ，AD 的中点分别为M ，N ，P ，Q ， ∴PQ 为△ADE 的中位线，MN 为梯形BCDE 的中位线． ∴PQ ∥DE ，MN ∥DE ，∴PQ ∥MN ，∴M ，N ，P ，Q 四点共面． (2)∵PN 为△ABE 的中位线， ∴PN ∥AB .又BC ∥DE ，∴∠ABC 即异面直线DE 与PN 所成的角． 又AC ⊥DE ， ∴AC ⊥BC ，在Rt△ACB 中，tan∠ABC ＝AC BC ＝3BCBC＝3，∴∠ABC ＝60°.∴异面直线DE 与PN 所成的角为60°.基础达标一、选择题1．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交 B．异面C．平行 D．异面或相交解析：由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．答案：D2.在三棱锥P－ABC中，PC与AB所成的角为70°，E，F，G分别为PA，PB，AC的中点，则∠FEG等于( )A．20° B．70°C．110° D．70°或110°解析：因为E，F，G分别为PA，PB，AC的中点，所以EF∥AB，EG∥PC，所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角，又AB与PC所成的角为70°，所以∠FEG为70°或110°.答案：D3．一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．相交或平行或异面解析：如图分别为相交、平行、异面的情形．答案：D4．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则EG与FH的位置关系是( )A．异面 B．平行C．相交 D．重合解析：由题意画出图后，易得EG，FH是平行四边形EF－GH的对角线．答案：C5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线不一定存在；过点P与l，m都异面的直线有无数条．答案：B6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图所示)，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列结论一定不可能的是( )A．l与AD平行B．l与AB异面C．l与CD所成的角为30°D．l与BD垂直解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，可得l∥B1C1，这与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD不平行．答案：A7.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为( ) A．90° B．60°C．45° D．0°解析：将三角形折成空间几何体，如图所示，HG与IJ是一对异面直线．因为IJ∥AD，HG∥DF，所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角，又∠ADF＝60°，所以HG与IJ所成的角为60°.答案：B二、填空题8．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是________．解析：如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，由图可知AC与A1C1可能平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面9.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点． (1)直线AB 1和CC 1所成的角为________； (2)直线AB 1和EF 所成的角为________． 解析：(1)因为BB 1∥CC 1，所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角，∠AB 1B ＝45°.(2)连接B 1C ，易得EF ∥B 1C ，所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角． 连接AC ，则△AB 1C 为正三角形， 所以∠AB 1C ＝60°.答案：(1)45° (2)60°10．在空间四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的形状是________．解析：如图，E ，F ，G ，H 分别为中点，所以EF 綊12AC ，GH 綊12AC ，所以EF 綊GH ，所以四边形EFGH 为平行四边形． 又AC ⊥BD ，所以FG ⊥GH .因为AC ＝BD ， 所以FG ＝GH ，所以EFGH 为正方形． 答案：正方形 11.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论： ①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．解析：由异面的定义判断可知③④正确．答案：③④12.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________．解析：还原成正方体如图所示，可知①正确．②AB∥CM，不正确．③正确．④MN⊥CD.不正确．答案：①③三、解答题13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问(1)AM和CN是否是异面直线？(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析：由于M，N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线．由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．(1)不是异面直线．理由：因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形．所以A1C1∥AC，得到MN∥AC，所以A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内，则B∈平面CC1D1D，C∈平面CC1D1D.所以BC平面CC1D1D，这与ABCD－A1B1C1D1是正方体相矛盾．所以假设不成立，故D 1B 与CC 1是异面直线．14．已知点A 是△BCD 所在平面外一点，AD ＝BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角．解析：如图，设G 是AC 的中点，连接EG ，FG .因E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故EG ∥BC ，且EG ＝12BC ，FG ∥AD ，且FG ＝12AD .由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD ，BC 所成的角，即∠EGF 为所求的角．由BC ＝AD 知EG ＝GF ＝12AD ，又EF ＝22AD ，由勾股定理可得∠EGF ＝90°，即异面直线AD和BC 所成的角为90°.能力提升15.如图，在三棱锥A －BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解析：取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ， 由O 为BD 中点知OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME 中，EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt△AOC 斜边AC 上的中线，所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连OH ， 则OH ⊥EM ， 在Rt△OEH 中，所以cos∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24. 16.如图，E ，F ，G ，H 分别是三棱锥A －BCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE EB ＝AH HD ＝λ，CF FB ＝CG GD ＝μ.(1)若λ＝μ，判断四边形EFGH 的形状；(2)若λ≠μ，判断四边形EFGH 的形状； (3)若λ＝μ＝12，且EG ⊥HF ，求AC BD的值． 解析：(1)因为AE EB ＝AH HD ＝λ，所以EH ∥BD ，且EH ＝λ1＋λBD .① 又因为CF FB ＝CG GD ＝μ.所以FG ∥BD ，且FG ＝μ1＋μBD .②又λ＝μ，所以EH 綊FG (公理4)．因此λ＝μ时，四边形EFGH 为平行四边形．(2)若λ≠μ，由①②，知EH ∥FG ，但EH ≠FG ，因为λ≠μ时，四边形EFGH 为梯形．(3)因为λ＝μ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又因为EG ⊥HF ，所以四边形EFGH 为菱形．所以FG ＝HG .所以AC ＝(λ＋1)HG ＝32HG ＝32FG ， 又BD ＝1＋μμFG ＝3FG ， 所以AC BD ＝12.。
2019-2020学年高中数学北师大版必修2一课三测：综合测评(二) 含解析
综合测评（二）（时间120分钟满分150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若α∥β，aα，bβ,则a与b的位置关系是（）A．平行或不共面B．相交C．不共面D．平行解析：满足条件的情形如下：答案：A2．直线(2m2＋m－3)x＋（m2－m）y＝4m－1在x轴上的截距为1,则m等于（)A．1 B．2C．－12D．2或－错误!解析：令y＝0，则（2m2＋m－3)x＝4m－1，所以直线在x轴上的截距为错误!＝1,所以m＝2或m＝－错误!.答案:D3．在空间直角坐标系中，点B是点A(1，2，3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点,则|OB|等于（)A.错误!B。
错误!C．2错误!D。
错误!解析：点A（1,2,3)在yOz坐标平面内的射影为B（0，2，3），∴｜OB｜＝02＋22＋32＝错误!。
答案：B4．点P(2，m)到直线l：5x－12y＋6＝0的距离为4,则m的值为( )A．1 B．－3C．1或错误!D．－3或错误!解析：利用点到直线的距离公式．答案：D5．空间四边形ABCD中,若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有（)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.又因为AD平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.答案:D6．动点P到点A（8，0）的距离是到点B（2,0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（) A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．（x－1）2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16解析：设P（x，y)，则由题意可得:2错误!＝错误!，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.答案：B7．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．1 B．2C．4 D．8解析：V＝错误!×错误!（1＋2)×2×2＝2.答案：B8．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③④C．①③ D．②④解析：①∵l⊥平面α,且α∥β，∴l⊥β.又m平面β，∴l⊥m.∴①正确．②若l⊥α，α⊥β,mβ，则l和m有可能平行、异面,故②不正确。
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2019-2020年北师大版数学必修2试题及答
案
参考公式： 球的表面积公式S
球
24R π=，其中R 是球半径．
锥体的体积公式V
锥体
1
3
Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积V
台体
1
()3
h S S '=+，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高． 球的体积公式V
球
34
3
R π=，其中R 是球半径． 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的 （ ）
2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）
A ． 相交
B ． 异面
C ． 平行
D ．异面或相交 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ）
A 、
11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角
4．正三棱锥的底面边长为6，高为3，则这个三棱锥的全面积为（ ） A.39 B.183 C.9(3+6) D.
6
5．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为 ( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：（ ）
A.24πcm 2，12πcm 3
B.15πcm 2，12πcm 3
C.24πcm 2
，36πcm 3
D.以上都不正确
7一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是（）
Ａ、８Лｃｍ２Ｂ、１２Лｃｍ２Ｃ、１６Лｃｍ２Ｄ、２０Лｃｍ２
8、已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，
则EF与CD所成的角为（）
Ａ、９００Ｂ、４５０Ｃ、６００Ｄ、３００
9、一个棱柱是正四棱柱的条件是（）
A、底面是正方形，有两个侧面是矩形
B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱
10.下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互垂直.
其中错误
．．的命题有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3 个
D. 4个
11．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是（）
A.B.C. D.
12．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（）
A、2
3
B、
7
6
C、
4
5
D、
5
6
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
1．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.
2.如图：四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面
都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为度
3.已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC BD
⊥，平行则四边形ABCD
一定是.
4．有下列命题：（m，n是两条直线，α是平面）
○1若m║α，n║α，则m║n ○2若m║n ，n║α，则m║α
○3若m║α则m平行于α内所有直线○4若m平行于α内无数直线，则m║α以上正确的有个
三、解答题（共66分）
1、将圆心角为1200，面积为3 的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.
2．如图，在四边形ABCD中，，，，，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
3.作图（不要求写出作法，请保留作图痕迹）
（１）画出下图几何体的三视图（尺寸自定）；（7分）
（２）画出一个底面直径为４ｃｍ，高为２ｃｍ的圆锥的直观图（6分）
4、空间四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是ＡＢ、ＢＣ、Ｃ
Ｄ、ＤＡ的中点，
且ＡＣ＝ＢＤ，判断四边形ＥＦＧＨ的形状，并加以证明。
（１０分）
5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１） C 1O ∥面11AB D ；
（2 ）1
AC ⊥面11AB D ． (14分)
6、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，
∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AF
AC AD λλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (14分)
数学必修二模块考试题参考答案
D 1
O
D
B
A C 1
B 1
A 1C
F
E
D
B
A
C
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．A 2．D 3．D 4．C 5．C 6. A 7.Ｂ 8. Ｄ 9 . D 10. B 11．C 12．D 二填空题。
（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 1. 15 2.６００
3.菱形
4. 0
解答题. （共66分） 三、
1解:l=3,R=1；S=4π；V=
3
22π
. 2．S=60π+4π2;V=52π-38π=3
148π
3（1）：如图：
3（2）：略；
4：解：四边形ABCD 是菱形；证明：EH ABD EH ∴∆的中位线，
是 ∥BD 且=2
1
BD ，同理FG ∥BD
且FG =
2
1
BD ∴四边形EFGH 是平行四边形，∴=∴=EF EH BD AC 又四边形ABCD 是菱形。
（1）连结11A C ，设11111AC B D O =
5证明：
1AO ， 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是
连结
平行四边形
11A C AC ∴且 11A C AC =
又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11
O C AO ∴且11O C AO =
11AOC O ∴是平行四边形
{
091720
187=++=--y x y x
111,C O AO AO ∴⊂面11AB D ，1C O ⊄面11AB D
∴1C O 面11AB D
（2）
1CC ⊥面1111A B C D 11!C C B D ∴⊥ 又
1111A C B D ⊥， 1111B D A C C ∴⊥面 1
11AC B D ⊥即 同理可证11A C AB ⊥， 又11
11D B AB B =
∴1A C ⊥面11AB D
6：证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，
∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 又),10(<<==λλAD
AF AC AE
∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===
AB BD
,722=+=∴BC AB AC 由AB 2
=AE ·AC 得,7
6,7
6==∴=AC
AE AE λ
故当7
6
=
λ时，平面BEF ⊥平面ACD.。