2022届高考数学复习题：函数模型及其应用

2022届高考数学复习题：函数模型及其应用1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是()

A．v＝

1

100·e

x B．v＝100ln x

C．v＝x100D．v＝100×2x

答案：A

2．用长度为24(单位：米)的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()

A．3米B．4米

C．6米D．12米

解析：设隔墙的长为x(0＜x＜6)米，矩形的面积为y平方米，则y＝x×24－4x

2

＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y取得最大值．

答案：A

3．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()

A．4 B．5.5

C．8.5 D．10

解析：由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.

答案：C

4．某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到()

A．200只B．300只

C．400只D．500只

解析：∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝a log3(x＋1)，这种动物第2年

有100只，

∴100＝a log3(2＋1)，∴a＝100，

∴y＝100log3(x＋1)，

∴当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.

答案：A

5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()

A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14

解析：由三角形相似得24－y

24－8

＝

x

20，

得x＝5

4(24－y)，由0＜x≤20得，8≤y＜24，

所以S＝xy＝－5

4(y－12)

2＋180，

所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.

答案：A

6．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x之间关系的是()

A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100

解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．

答案：C

7．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式的电话费相差__________．

解析：依题意可设S A(t)＝20＋kt，S B(t)＝mt.

又S A(100)＝S B(100)，

∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，

于是S A(150)－S B(150)＝20＋150k－150m

＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式的电话费相差10元．

答案：10元

8．(2021·模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元？

解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元．

依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.

化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.

因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，

所以函数f(x)在(3,4)上应有一个零点．

故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．

答案：4

9．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积

至少要保留原面积的1

4，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的

2

2.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为

鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的 全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；

(3)当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6 000元？( 工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)

解析：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，

则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)，因此，当一次订购量为550个时，每个零件

的实际出厂价格恰好降为51元．

(2)当0≤x ≤100时，p ＝60；

当100＜x ＜550时，

p ＝60－0.02(x －100)＝62－x 50；

当x ≥550时，p ＝51.

所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60(0≤x ≤100)，62－x 50(100＜x ＜550)，(x ∈N *)，

51(x ≥550).