十字相乘法(八年级数学精品课件)
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十字相乘法课件
人教版数学教材八年级上
第14章 整式的乘法与因式分解
十字相乘法因式分解
观察与思考
( （1） x 2)( x 3) x 3x 2 x 3 2
2
x 2 5x 6
x +2 x +3 +3x+2x
反之
x 2 5 x 6 ( x 2)( x 3)
同样
(5)
b2-b-2 =(b+1)(b-2)
把下列各式分解因式 =(x+1)(x-8) (1) x2-7x-8 (2) m2-3m-10 =(m+2)(m-5) =(y+2)2 (3) y2+4y+4 2-2a-8 (4) a =(a+2)(a-4)
(5)
b2-2b-3 =(b+1)(b-3)
把下列各式分解因式 =(x-1)(x-4) (1) x2-5x+4 (2) m2-5m-6 =(m+1)(m-6) =(y-4)2 (3) y2-8y+16 2+4a-21 (4) a =(a-3)(a+7)
小结: 由多项式乘法法则
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
反过来用就得到一个因式分解的方法
∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
x x
p
q
这个方法也称为十字相乘法
2+mx+n的 即:只要一个形如x
二次三项式的常数项可以分解 成两个有理数相乘,且这两个有 理数的和恰好等于一次项的系 数,这个多项式就能用十字相乘 法分解因式
(a 4)(a 1) a 2 a 4a 4 (1) （2）
第14章 整式的乘法与因式分解
十字相乘法因式分解
观察与思考
( （1） x 2)( x 3) x 3x 2 x 3 2
2
x 2 5x 6
x +2 x +3 +3x+2x
反之
x 2 5 x 6 ( x 2)( x 3)
同样
(5)
b2-b-2 =(b+1)(b-2)
把下列各式分解因式 =(x+1)(x-8) (1) x2-7x-8 (2) m2-3m-10 =(m+2)(m-5) =(y+2)2 (3) y2+4y+4 2-2a-8 (4) a =(a+2)(a-4)
(5)
b2-2b-3 =(b+1)(b-3)
把下列各式分解因式 =(x-1)(x-4) (1) x2-5x+4 (2) m2-5m-6 =(m+1)(m-6) =(y-4)2 (3) y2-8y+16 2+4a-21 (4) a =(a-3)(a+7)
小结: 由多项式乘法法则
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
反过来用就得到一个因式分解的方法
∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
x x
p
q
这个方法也称为十字相乘法
2+mx+n的 即:只要一个形如x
二次三项式的常数项可以分解 成两个有理数相乘,且这两个有 理数的和恰好等于一次项的系 数,这个多项式就能用十字相乘 法分解因式
(a 4)(a 1) a 2 a 4a 4 (1) （2）
人教版八年级数学上册因式分解十字相乘法精品课件PPT
x2 3x 18 x2 17x 30 x2 13x 42
x 6x 3 x 15 x 2 x 6x 7
人教版八年级数学上册14.3：因式分 解---十 字相乘 法
人教版八年级数学上册14.3：因式分 解---十 字相乘 法
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
❖
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
感谢观看，欢迎指导！
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
1、由常数项的符号确定分解的两数的符号
2、由一次项系数确定分解的方向
3、勿忘检验分解的合理性
人教版八年级数学上册14.3：因式分 解---十 字相乘 法
人教版八年级数学上册14.3：因式分 解---十 字相乘 法
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
人教版八年级数学上册14.3：因式分 解---十 字相乘 法
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
怎 因么为结它果还 与 可刚以才继不续 一 因样式呢分？解
= (x+1)(x4+2x2+1–x2) = (x+1)[(x2+1)2–x2] = (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)
人教版初中八年级数学上册14.3.2因式分解的(十字相乘法)ppt课件
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x
–2y
5x
4y
4xy – 10xy = –6xy
∴5x2–6xy–8y2 =(x– 2y)(5x+4y)
简记口诀： 首尾分解，交叉 相乘，求和凑中。
十字相乘法3随堂练习：
1）2(x2+y2)+5xy
先讨论交流，后分解因式。
=x2+3x+2
(2) (x+2)(x-1) =X2+x-2
(3) (x-2)(x-1) =x2-3x+2
(4) (x+2)(x+3)
一般地,
=x2+5x+6
(x+p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq
x2+(p+q)x+pq
= (x+p)(x+q)
x2 + 3x + 2 =(x+1)(x+2)
x
-4
练习一：分解因式
-4x-2x=-6x
(1) x2-2x-15
=(x-5)(x+3)
(2) －y2 －4y＋12
= - (y+6)(y-2)
对于二次项系数为1的二次三项式分解的方法是 “拆常数项，凑一次项”
例2 分解因式 3x －10x2＋3
解：3x －210x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1)
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
十字相乘ppt课件免费
中等难度实例解析
总结词
中等难度实例涉及稍微复杂的因式分 解和乘法运算。
详细描述
例如，将3x^3 - 9x^2 + 6x分解为(x - 2)(3x^2 - 3x + 2)，这个过程需要 更深入的理解因式分解的概念，并掌 握更复杂的乘法运算。
高难度实例解析
总结词
高难度实例涉及复杂的因式分解和乘法运算，需要较高的数学技巧。
教师可设计多样化的练习题目，让学生充分练习 和掌握十字相乘法的技巧，提高解题能力。
教师还应关注学生的反馈和表现，及时给予指导 和帮助，促进学生的学习进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
总结词
求解一元一次方程
详细描述
最后，我们将交叉相乘的结果相加或相减，得到一元一次方程的解。如果一元一次方程有两个解，则原多项式方 程也有两个解。
04 实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例主要涉及基本的因式分解和 乘法运算。
详细描述
例如，将2x^2 - 4x + 2分解为(2x 2)(x - 1)，这个过程需要理解因式分解 的概念，并掌握基本的乘法运算。
= b，则这两个数就是方程的两个根。
通过这种方法，我们可以将原方程转化为两个一元一 次方程，从而求解出方程的根。
这种方法的关键在于找到合适的 m 和 n，使得它们满 足上述条件。
Hale Waihona Puke 原理的数学表达如果 ax^2 + bx + c = 0 是我们要解的 一元二次方程，那么我们可以通过以下 步骤找到它的根
对学生的建议
学生应熟练掌握十字相乘法的步骤和技巧，通过多练习来提高自己的解题能力。
在学习过程中，学生应积极思考和探索，尝试不同的方法和思路，以培养自己的数 学思维和创新能力。
十字相乘法优秀课件
3.先阅读学习，再求解问题： 材料：解方程：x2+3x-10=0
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0
∴ x+5=0或 x-2=0 ∴ x=-5 或 x=2
解方程：x2-2x-3=0
解：原方程可化为: （x+1）（x-3）=0 ∴ x+1=0或 x-3=0 ∴ x=-1或 x=3
或 -6 .
作业：分解因式： ⑴ x2+5x+6 (3) x2+5x-6
2 （2）x2-2x-8
12
=（x+2）（x+5） 1
5 =（x+2）（x-4） 1
-4
（3）y2-7y+12 1
-3 （4）x2+7x-18 1
-2
=（y-3）（y-4） 1
-4 =（x-2）（x+9） 1
9
对于二次项系数为1:“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个 同 号因数的积，因式的符号与一 次项系数的符号43;32 （4）原式= 2a（ x2+3x+2 ） x
=（x-3）2
= 2a（x+1）（x+2）x
1 2
精讲精练：
练一练：利用十字相乘法分解因式： （数学书121页 ）
（1）x2+7x+10
（2）x2-2x-8
（3）y2-7y+12
（4）x2+7x-18
解：（1） x2+7x+10 1
⑵ x2-5x+6 (4) x2-5x-6
思考：分解因式：2x2-7x+3
知识要 点
分组分解法分解因式：
如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0
∴ x+5=0或 x-2=0 ∴ x=-5 或 x=2
解方程：x2-2x-3=0
解：原方程可化为: （x+1）（x-3）=0 ∴ x+1=0或 x-3=0 ∴ x=-1或 x=3
或 -6 .
作业：分解因式： ⑴ x2+5x+6 (3) x2+5x-6
2 （2）x2-2x-8
12
=（x+2）（x+5） 1
5 =（x+2）（x-4） 1
-4
（3）y2-7y+12 1
-3 （4）x2+7x-18 1
-2
=（y-3）（y-4） 1
-4 =（x-2）（x+9） 1
9
对于二次项系数为1:“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个 同 号因数的积，因式的符号与一 次项系数的符号43;32 （4）原式= 2a（ x2+3x+2 ） x
=（x-3）2
= 2a（x+1）（x+2）x
1 2
精讲精练：
练一练：利用十字相乘法分解因式： （数学书121页 ）
（1）x2+7x+10
（2）x2-2x-8
（3）y2-7y+12
（4）x2+7x-18
解：（1） x2+7x+10 1
⑵ x2-5x+6 (4) x2-5x-6
思考：分解因式：2x2-7x+3
知识要 点
分组分解法分解因式：
如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
十字相乘法课件18页PPT
练习：1. x45x236
2. (x2 3 x)2 8 (x2 3 x) 20
思考1：
我们现在所研究的都是二次项系数是1的二 次三项式用十字相乘法进行因式分解，那 么当二次项的系数不是1，而是其他数字时 又该如何进行分解呢？
例如： 3x22x1
分解因式：
（1） x4-3x3 -28x2 (2) 2x2-7x+3 (3) 5x2+6xy-8y2
寻找的两数a和b的符号是如何确定的？
x2pxq(xa)x (b)
当q>0时，a、b（ 同号 ），且a、b的符号和p 的符号（ 相同 ）.
当q<0时，a、b（ 异号 ），且绝对值较大的因 数与p的符号（ 相同 ).
例：分解因式
1. x25xy4y2
2. x45x24
3. (2 xy)2 5 (2 xy) 4
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
十字相乘法课件
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
定义：
利用十字交叉线来分解系数,把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
2. (x2 3 x)2 8 (x2 3 x) 20
思考1：
我们现在所研究的都是二次项系数是1的二 次三项式用十字相乘法进行因式分解，那 么当二次项的系数不是1，而是其他数字时 又该如何进行分解呢？
例如： 3x22x1
分解因式：
（1） x4-3x3 -28x2 (2) 2x2-7x+3 (3) 5x2+6xy-8y2
寻找的两数a和b的符号是如何确定的？
x2pxq(xa)x (b)
当q>0时，a、b（ 同号 ），且a、b的符号和p 的符号（ 相同 ）.
当q<0时，a、b（ 异号 ），且绝对值较大的因 数与p的符号（ 相同 ).
例：分解因式
1. x25xy4y2
2. x45x24
3. (2 xy)2 5 (2 xy) 4
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
十字相乘法课件
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
定义：
利用十字交叉线来分解系数,把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
因式分解(十字相乘法) 课件 人教版数学八年级上册
2. 用合适的方法因式分解：
(1) x3 －4x2 +4x
(2) -2x2-6x+36
(3)
+
+
(4) (4)
(x+1) －4(x+1) +3
2
2
3x +5x-2
课堂小结
十字相乘法
1、适用于ax2+bx+c型的多项式分解.
2、口诀：拆两头，凑中间，横写因式.
3、一般地，各项系数要化整，二次项系数要化
正.
谢谢聆听！
新人教版数学八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解
温故知新
整式乘法
2
(x+1)(x -1)
2.因式分解：x -1=_________.
因式分解
注：因式分解与整式乘法是互逆变形.
温故知新
1.计算:
(3x-1)(x+2)
2.因式分解
2
3x +5x-2
新知探究
探究1：结合多项式的乘法，将下列因式分解补充完整：
(4)
2
2x -5x
-3.
课堂练习
1. 因式分解：
(1) x2 -x -6;
(2)
2
x
+ 5x +6;
(3) x2 -7xy+10y2;
(4)
2
2x +9x
-5;
(5) x2-6x+9.
精讲点拨
例2 若 x2+mx-8 能分解成两个整数系数的一次因式
的乘积，则符合条件的整数m的值有哪些？
课堂练习
(1) x3 －4x2 +4x
(2) -2x2-6x+36
(3)
+
+
(4) (4)
(x+1) －4(x+1) +3
2
2
3x +5x-2
课堂小结
十字相乘法
1、适用于ax2+bx+c型的多项式分解.
2、口诀：拆两头，凑中间，横写因式.
3、一般地，各项系数要化整，二次项系数要化
正.
谢谢聆听！
新人教版数学八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解
温故知新
整式乘法
2
(x+1)(x -1)
2.因式分解：x -1=_________.
因式分解
注：因式分解与整式乘法是互逆变形.
温故知新
1.计算:
(3x-1)(x+2)
2.因式分解
2
3x +5x-2
新知探究
探究1：结合多项式的乘法，将下列因式分解补充完整：
(4)
2
2x -5x
-3.
课堂练习
1. 因式分解：
(1) x2 -x -6;
(2)
2
x
+ 5x +6;
(3) x2 -7xy+10y2;
(4)
2
2x +9x
-5;
(5) x2-6x+9.
精讲点拨
例2 若 x2+mx-8 能分解成两个整数系数的一次因式
的乘积，则符合条件的整数m的值有哪些？
课堂练习
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解二次三 项式。
例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
x2 6x 7 (x 7)(x 1)
x
7
x 1
x7x 6x
因式分解：
(1) x2 14x 45= (x 5)(x 9) (2) x2 7 x 60= (x 12)(x 5)
(3) x2 29x 138= (x 23)(x 6)
(4) x2 14x 72= (x 4)(x 18) x2 (a b)x ab = (x a)(x b)
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
计算：
(1) (x 5)(x 9) x2 14x 45 (2) (x 12)(x 5) x2 7 x 60
(3) (x 23)(x 6) x2 29x 138
(4) (x 4)(x 18) x2 14x 72
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
x2-5x+6 x2-5x-6 X2+5x-6 X2+5x+6
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16