离散数学试卷

大学2013—2014学年度第二学期期末考试《离散数学》试卷A第一部分 选择题（共20 分）一、单项选择题（本大题共10小题，每题只有一个正确答案，答对一题得2分共20分） 1、对任意集合A 、B 、和C ，下列论断中正确的是： 【 】A. 若A ∈B ，B ⊆C ，则A ∈CB. 若A ∈B ，B ⊆C ，则A ⊆CC. 若A ⊆B ，B ∈C ，则A ∈CD. 若A ⊆B ，B ∈C ，则A ⊆C2、设A={a,{a}},下列式子中正确的有： 【 】A. {a}∈ρ(A)B. a ∈ρ(A)C. {a}⊆ρ(A)D. 以上都不是3、P ：我将去镇上。

Q ：我有时间。

命题“我将去镇上，当且仅当我有时间”符号化为：【 】A. P →Q B. Q →P C. P ↔Q D. Q ∨¬P4、命题公式：（P ∧（P →Q ））→Q 是 【 】A ．矛盾式 B. 可满足式 C. 重言式 D. 不能确定5、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中，量词x ∀的辖域是： 【 】A. ))()((y yR x P x ∃∨∀B. )(x PC. )(),(x Q x PD. )()(y yR x P ∃∨6、在如下各图中，哪一个是欧拉图？ 【 】7、设|V|>1，G= < V , E >是强连通图，当且仅当： 【 】A ．G 中至少有一条通路B ．G 中至少有一条回路C ．G 中有通过每个结点至少一次的通路D ．G 中有通过每个结点至少一次的回路8、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 ρ(S) 有多少个元素？ 【 】A ．3；B ．6；C ．7；D ．8 ；9、集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}上的关系R={<x, y> | x + y = 10}，则R 的性质为：【 】A ．自反的；B ．对称的；C ．传递的、对称的；D ．反自反的、传递的10、集合A 上的等价关系R ，其等价类集合{[ a]R | a ∈ A}称为： 【 】A ．A 与R 的并集，记作A ∪RB ．A 与R 的交集，记作A ∩RC ．A 与R 的商集，记作A /RD ．A 与R 的差集，记作A - R二、填空题(本大题共10小题，每题2分,共20分)11、已知集合A={φ,{φ}}，则A 的幂集为 。

12、已知序偶< x-2,18>=< 9,2x-y >，则x= ; y= 。

13、P 、Q 为两个命题，当且仅当 时，P →Q 的真值为0 14、（¬P ∧Q ）∨（¬P ∧¬Q ）可化简为： 。

15、设}整除，2被,121{Z x x x x M ∈≤≤=，}整除，3被,121{Z x x x x N ∈≤≤=则 M ∩N= ，M – N=16、个体域为自然数集，P （x ）：x 为奇数，Q （x ）：x 为偶数，则命题“不存在既是奇数又是偶数的自然数”形式化为： 。

17 、设R 为非空集合A 上的等价关系，其等价类记为〔x 〕R 。

x,y ∈A ，若〈x,y 〉∈R ，则〔x 〕R与〔y 〕R 的关系是__ ___，而若〈x,y 〉∉ R ，则〔x 〕R ∩〔y 〕R =______。

18．K n 为汉米顿图，当且仅当 。

19．设A 、B 为集合，|A|=n ，|B|=m ，则A 到B 的二元关系共有 个，A 上的二元关系共有个。

20．一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，它有个度数为1的结点？三、计算题 （本大题共6小题，其中21、22、23三题每题5分，24、25、26三题每题7分，共36分）21、某班有学生50人，有26人在第一次考试中得优，有21人在第二次考试中得优，有14人在两次考试都得优，那么两次考试中都没得优的学生有多少人？22、是否可以分别画出无向简单图，使各点的度与下面给出的序列一致。

如可能，画出符合条件的无向图，如不可能，说明原因。

（1）1，1，2，2，3 （2）1，1，2，2，223、给定个体域D={3，5，7}，P （x ）解释为“x 是素数”，求公式)(x xP ∀的真值。

24、设集合A={1,2,3}，A上关系R={<x , y>|x∈A ∧y∈A∧x +3y<8},关系S={ <2,3>,<4,2>}。

求Dom（R），Ran（R），RοS，R~，r（R）及s（R）25. 求公式q∧（p∨¬q）的析取式、合取式、主析取式，并根据主析取式直接确定公式的弄真指派和弄假指派。

26、对{2，3，6，12}集合上的整除关系画出哈斯图，并对子集{2，3，6}找出最大元素，最小元素，极大元素，极小元素。

四、证明题(3小题，每题5分，共15分。

)27、证明：A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)28、证明逻辑等价式∀x∀y(P(x)∨Q(y))⇔∀x P(x)∨∀y Q(y)。

（方法不限）五、应用题（本大题共1小题，9分）30、有七位客人入席，A只会讲英语；B会讲汉语；C会讲英语、意大利语及俄语；D会讲汉语及日语；E会讲意大利语及德语；F会讲法语，日语及俄语；G会讲德语和法语。

问主人能否把七位客人安排在一圆桌上，使每一位客人与左右邻不用翻译便可交谈。

若能安排，请给出一个方案。

大学2013至2014学年第第二学期期末考试{离散数学} 试题A标22、(1)不符合握手定理，所以不能画出图（2）符合条件的无向图为：23、主析取式：(¬P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧R)∨(P∧Q∧¬R)∨(P∧Q∧R)或者主析取式=m1∧m3∧m6∧m7成真赋值为：001，011，110，111 成假赋值为：000，010，100，10124、dom（R）=A，Ran(R)={1,2},RοS={<1，3>}，R-1={<1,1>，<2,1>，<1,2>，<1,3>}r(R)={<1,1>，<1,2>，<2,1>，<3,1>，<2,2>，<3,3>}s（R）={<1,1>，<1,2>，<2,1>，<3,1>，<1,3>}25、不会打这三种球的人数为：X=10A、B、C为会打篮球、排球、网球的人的集合，则有：|S|=30|A|=16,|B|=14,|C|=11,|A∩B|=10,|A∩C|=8,|B∩C|=8,|A∩B∩C|=5 X=|S|-(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)-|A∩B∩C|=1026、R={<1,1>,<1,3>,<1,5>,<1,9>,<1,15>,<1,45>,<3,3>,<3,9>,<3,15>,<3,45>,<9,9>,<9,45>,<15,15>,<15,45>,<45,45>}根据R中元素，可知R是偏序关系，其哈斯图为：最大元：45，最小元：1，极大元：45，极小元：1四、证明题(2小题，每题5分，共10分。

)27、28、证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)五、综合应用题（本题共2小题，每题7分，共14分）29、[解] 能安排，其方案为：H=（A，C，B，E，D，G，F，A）将每个人作为一个项点，如果两个人会讲同一种语言，就在代表他们的二个项点间连一条边，边上标明二人公用的语言，这样就可得一简单无向图G。

所求问题转化为图G中有无Hamilton回路问题。

而上边指出的回路H正好是图G的一条Hamilton回路，因此问题得到解决。

30、令p：他是计算机系本科生q：他是计算机系研究生r：他学过DELPHI语言s:他学过C++语言t:他会编程序前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t结论：p→t证①p P(附加前提)②p∨q T①附加规则③(p∨q)→(r∧s) (前提引入)④r∧s T②③假言推理规则⑤r T④花间规则⑥r∨s T⑤附加规则⑦(r∨s)→t (前提引入)⑧t T⑤⑥假言推理规则大学2013—2014学年度第二学期期末考试《离散数学》试卷A一、单项选择题（本大题共10小题，每题只有一个正确答案，答对一题得2分共20分） 1、设P={x| (x+1)2≤4}, Q={x | x 2+16≥5x} ，则下列各式中成立的是： 【 】A. Q ⊂PB. Q ⊆PC. P ⊂QD. P ⊆Q2、}}2,1{,1,{Φ=S ,下列式子中正确的有： 【 】 A. {1}∈ρ(S) B. 1∈ρ(S) C. {1}⊆ρ(S) D. 以上都不是3、P ：你努力，Q ：你失败。

“虽然你努力了，但还是失败了”符号化为： 【 】A. P →QB. Q →PC. P ∧QD. P ∨¬Q4、设论域E={a, b }，且P(a,a)=T ， P(a,b)=F ， P(b,a)=T ， P(b,b)=F ； 则在下列公式中真值为T的是： 【 】 A ．∃x ∀yP (x,y) B ．∀x ∀yP (x,y) C ．∀xP(x,x) D ．∀x ∃yP (x,y)5、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中，变元x 是： 【 】A ．自由出现B ．约束出现C ．既是约束出现，又是自由出现D ．以上都不是6、.一个连通的无向图G ，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条： 【 】A ．汉密尔顿回路B ．欧拉回路C ．汉密尔顿通路D ．初级回路7、设|V|>1，G= < V , E >是强连通图，当且仅当： 【 】A ．G 中至少有一条通路B ．G 中至少有一条回路C ．G 中有通过每个结点至少一次的通路D ．G 中有通过每个结点至少一次的回路8、由5个结点构成的根树中，其边数m 最多为： 【 】A ．2；B ．3；C ．5；D ．4 ；9、设A={1，2，3}，A 上二元关系S={<1，1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，则S 具有的性质是：【 】A ．自反关系B ．传递关系C ．对称关系D ．反自反关系10、集合A 上的等价关系R ，决定了A 的一个划分，该划分就是： 【 】A ．A 与R 的并集A ∪RB ．A 与R 的交集，记作A ∩RC ．A 与R 的商集，记作A /RD ．A 与R 的差集，记作A - R二、填空题(本大题共10小题，每题2分,共20分)11、已知集合A={{1}，{1，2}}，则A 的幂集为 。