第二章基本初等函数复习学案

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新课标人教A版数学必修一第二章基本初等函数复习导学案

新课标人教A版数学必修1第二章基本初等函数复习导学案一、指数函数：1.指数与指数幕：(1)根式的概念：一般地，如果x" = a ,那么x叫a的n次方根，n>i且n € N*,当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，a的n次方根用符号n a表示，式子：a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数，当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们是互为相反数，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-n a表示，正的n次方根与负的n次方根可以合并成土n a ( a >0)，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作&0 =0。

当n是奇数时，、:a = a，当n是偶数时，，(2)分数指数m m幕：a n=Qa m(a >0，m,N*，n >1)，a_n=^=(a >0，m,n N*，n>1)，零的正分数指数幕为0,零的负分数指■n n a ■. a数幕没有意义，整数指数幕的运算性质可以推广到有理数指数幕，(3)实数指数幕的运算性质：(1) a r a s =a r卡(a x0,r，s己R)，(2) (a r)s = a rs (a a 0，r，SE R)，(3) (a b)r = a r，b r (a a 0,b a 0, r R)。

2.指数函数及其性质：(1)指数函数的概念：一般地，函数y二a x(a 0,且a=1)叫指数函数，x是自变量，函数的定义域为R，(2)指数函数的图象和性质：a>1) y a x(0y —( a (a y — a (u < i 1、1 1—'——向x轴正负方向无限延伸，函数的定义域为R,函数图象都在x轴上方，值域为(0,+辺)即R+图象关于原点和x轴及y轴都不对称，是非奇非偶函数，函数图象都过定点(0,1) , a°=1(a^0)在f (x) = a x中，总有f (0)=1 和f (1) = a图象从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降图象从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升增函数，当x > 0时y = a x：> 1,当x c 0时0 < y = a x c 1 减函数，当x > 0 时0 cy = a x c1,当xc0时y = a x>1 二、对数函数：1.对数：(1) 一般地，如果a x=N (a ・0,a =1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x = log a N(a叫底数，N 叫真数，log a N叫对数式),a x = N log a N = x ,两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数lg N ,②自然对数：以无理数e=2.71828… 为底的对数ln N ,(2)对数的运算性质：①log a(M N)=log a M log a N,② log a M^log a M -log a N,③ log a M n=n log a M (n R),④换底公式：log a b二誥(a 0 且a=1 , c 0 且c=1, b 0),(1) log a m b^^log a b,(2) log a b=g-a,2.对数函数：(1)对数函数的概念：函数y = log a x(a 0且a=1)叫对数函数，x是自变量，函数的定义域是(0,+ g ),对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，y=2log 2 x, y二log5 5都不是对数函数，只能称其为对数型函数,(2)对数函数的图像和性质：函数图象都在y轴右侧，函数的定义域为(0, ),向y轴正负方向无限延伸，函数的值域为R函数图象关于原点和x轴及y轴都不对称，是非奇非偶函数，函数图象都过定点(1,0), log a 1 = 0在f(x)=log a x中，总有f(1)=0和f(a)=1增函数，图像从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降减函数，图像从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升当x >1时，y = log a x >0 ,当0 £x 时，y = log a x v0 当0 £x £1时，y = log a x > 0 ,当x a 1时，y=log a x £0三、幕函数:1.定义：一般地，形如y =X〉(a • R)的函数称为幕函数，：•为常数。

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第二章基本初等函数(Ⅰ)本章复习学习目标①复习巩固指数、对数的运算性质,进一步熟练地运用指数函数、对数函数及幂函数的性质解决一些问题;②在学生对教材知识掌握的基础上,引导学生利用所学的知识解决问题,提高学生分析问题与解决问题的能力.合作学习一、复习回顾,承上启下1.n次方根的定义:n次方根:如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.2.n次方根的性质(1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,记为;(2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,记为;(3)负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.3.4.有理数指数幂的运算性质a n=(n∈N*);a0=1(a≠0);a-n=(a≠0,n∈N*).(1)a m·a n=a m+n(m,n∈Q);(2)(a m)n=a mn(m,n∈Q);(3)(ab)n=a n·b n(n∈Q).其中a m÷a n=a m·a-n=a m-n,()n=(a·b-1)n=a n·b-n=.5.对数:如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作.其中a 叫做对数的底数,N叫做真数.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,a x=N⇔x=log a N(符号功能)——熟练转化; 常用对数:以10为底log10N写成;自然对数:以e为底log e N写成(e=2.71828…). 6.对数的性质(1)在对数式中N=a x>0(负数和零没有对数);(2)log a1=0,log a a=1(1的对数等于0,底数的对数等于1);(3)如果把a b=N中的b写成,则有=N(对数恒等式).7.对数的运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)log a(M·N)=;(2)log a=;(3)log a M n=;(4)log a b=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)(换底公式);(5)log a b=;(6)lo b n=.8.指数函数的性质函数名指数函数称定义函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数a>1 0<a<1图象定义域值域过定点图象过定点,即x=0时,y=1奇偶性非奇非偶单调性在R上是函数在R上是函数函数值的变化情况y>1(x>0),y=1(x=0),0<y<1(x<0) y>1(x<0),y=1(x=0),0<y<1(x>0)a变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越高,越靠近y轴;在第二象限内,a越大图象越低,越靠近x轴在第二象限内,a越小图象越高,越靠近y轴;在第一象限内,a越小图象越低,越靠近x轴9.对数函数的性质函数名称对数函数定义函数y=log a x(a>0且a≠1)叫做对数函数图象a>1 0<a<1定义域值域过定点图象过定点,即x=1时,y=0奇偶性单调性在(0,+∞)上是函数在(0,+∞)上是函数函数值的变化情log a x>0(x>1)log a x=0(x=1)log a x<0(0<x<1)log a x<0(x>1)log a x=0(x=1)log a x>0(0<x<1)况a变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越低,越靠近x轴,在第四象限内,a越大图象越高,越靠近y轴在第一象限内,a越小图象越低,越靠近y轴,在第四象限内,a越小图象越高,越靠近x轴10.反函数(1)反函数概念函数y=a x(x∈R)与对数函数y=log a x(x∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数.(2)反函数的性质互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.11.幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限;②过定点:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);③单调性:如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞)上为增函数.如果α<0,则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴;④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当α=(其中p,q互质,p和q∈Z),若p为奇数q为奇数时,则y=是奇函数,若p为奇数q为偶数时,则y=是偶函数,若p为偶数q为奇数时,则y=是非奇非偶函数;⑤图象特征:幂函数y=xα,x∈(0,+∞),当α>1时,若0<x<1,其图象在直线y=x下方,若x>1,其图象在直线y=x上方;当α<1时,若0<x<1,其图象在直线y=x上方,若x>1,其图象在直线y=x下方.二、典例分析,性质应用1.指数、对数运算熟练掌握指数的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则.公式是指数、对数函数及其一切运算赖以施行的基础.【例1】计算下列各式的值.(1)(0.027-()-2+(2-(-1)0;(2)lg5(lg8+lg1000)+(lg)2+lg+lg0.06.【例2】设4a=5b=100,求2()的值.【例3】(选讲)已知f(x)=,且0<a<1,(1)求f(a)+f(1-a)的值;(2)求f()+f()+f()+…+f()的值.说明:如果函数f(x)=,则函数f(x)满足f(x)+f(1-x)=1.2.指数函数、对数函数、幂函数的图象熟悉指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是熟练求解指、对、幂问题的关键.【例4】已知c<0,下列不等式中成立的一个是( )A.c>2cB.c>()cC.2c<()cD.2c>()c【例5】方程2x-x2=2x+1的解的个数为.【例6】0.32,log20.3,20.3这三个数之间的大小顺序是( )A.0.32<20.3<log20.3B.0.32<log20.3<20.3C.log20.3<0.32<20.3D.log20.3<20.3<0.32【例7】方程log3x+x=3的解所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)【例8】函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是( )3.指数函数、对数函数的性质【例9】比较下列每组中两个数的大小.(1)2.10.32.10.4;(2)()1.3()1.6;(3)2.10.3()-1.3;(4)log51.9 log52;(5)log0.70.2log0.52;(6)log42log34.【例10】求下列函数的定义域.(1)y=;(2)y=;(3)y=lo(3x-2);(4)y=.【例11】求下列函数的值域.(1)y=1-2x,x∈[1,4];(2)y=3+log2x,x∈[1,+∞).【例12】解下列不等式.(1)<2x-1<4;(2)log0.7(2x)<log0.7(x-1).变式:设函数f(x)=若f(x0)<2,求x0的取值范围.4.指数、对数型复合函数的单调性指数、对数函数的单调性应用十分广泛,可以用来比较数或式的大小,求函数的定义域、值域、最大值、最小值,求字母参数的取值范围等.对复合函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在(c,d)上是增函数,那么复合函数在(a,b)上为增函数.可推广为下表(简记为同增异减):【例13】如果函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,求实数a的取值范围.【例14】求下列函数的单调区间.(1)f(x)=(;(2)y=log5(x2-2x-3).变式:求下列函数的单调区间.(1)y=;(2)y=log0.1(2x2-5x-3).【例15】函数y=log a(x-4)的单调增区间是(4,+∞),求实数a的取值范围.【例16】(选讲)求函数y=4x+2x+1+3在区间[0,1]上的最大值与最小值.【例17】求函数y=2lo x-lo x2+1(≤x≤4)的值域.5.探究问题【例18】课本P75习题2.2B组第5题.(1)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a·b)=f(a)+f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?(2)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)·f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?三、作业精选,巩固提高1.计算下列各式的值.(1)lo(3+2);(2)lg25+lg2×lg50;(3)log6[log4(log381).2.求下列函数的定义域.(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)y=log a(x-1)2(0<a≠1);(5)y=log(x+1)(16-4x).3.求下列函数的值域:(1)y=()x+2,x∈[-1,2];(2)y=log2(x2-4x-5).4.求函数y=log2·log2(x∈[1,8])的最大值和最小值.5.函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求实数a的值.6.求下列函数的单调区间.(1)f(x)=;(2)f(x)=log4(2x+3-x2);(3)f(x)=(0<a≠1).7.(1)y=lo x是减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围;(3)已知函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,求实数a的取值范围;(4)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,求实数a的取值范围.8.求不等式log a(2x+7)>log a(4x-1)(a>0,且a≠1)中x的取值范围.9.已知f(x6)=log2x,求f(8).10.判断函数f(x)=lg(-x)的奇偶性.11.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求不等式f(x)>0的解集.参考答案一、复习回顾,承上启下2.(1)-(2)±5.x=log a N lg N ln N6.(3)log a N7.(1)log a M+log a N(2)log a M-log a N(3)n log a M(5)(6)log a b8.R(0,+∞) (0,1) 增减9.(0,+∞) R(1,0) 非奇非偶增减10.(2)y=x11.(1)y=xα二、典例分析,性质应用【例1】(1)-45;(2)1.【例2】2.【例3】(1)1;(2)500.【例4】解析:在同一坐标系中分别作出y=x,y=()x,y=2x的图象(如图),显然x<0时,x<2x<()x,即c<0时,c<2c<()c,故选C.答案:C【例5】解析:原方程即2x=x2+2x+1,在同一坐标系中画出y=2x,y=x2+2x+1的图象,由图象可知有3个交点.答案:3【例6】解析:如图,在同一坐标系中作出函数y=2x,y=x2及y=log2x的图象.观察图象知当x=0.3时,log20.3<0.32<20.3.选C.答案:C【例7】解析:直接解方程是无法实现的,而借助数形结合思想作出图象,则问题易于解决.设y1=log3x,y2=-x+3,在同一坐标系中画出它们的图象(如图),观察可排除A,D.其交点P 的横坐标应在(1,3)内.又x=2时,y1=log32<1,而y2=-x+3=1,且知y1是增函数,y2是减函数,所以交点P的横坐标应在(2,3)内,故选C.答案:C【例8】解析:f(x)的图象过点(1,1),g(x)的图象过点(0,2),只有C符合,故选C.答案:C【例9】(1)<;(2)>;(3)<;(4)<;(5)>;(6)<.【例10】(1)(-∞,)∪(,+∞);(2)[0,+∞);(3)(,+∞);(4)(5,6].【例11】(1)[-15,-1];(2)[3,+∞).【例12】(1)(0,3);(2)(1,+∞).变式:(-1,1)【例13】(-,-1)∪(1,)【例14】(1)减区间:(3,+∞),增区间:(-∞,3);(2)增区间:(3,+∞),减区间:(-∞,-1).变式:(1)增区间:(1,+∞),减区间:(-∞,1);(2)减区间:(,3),增区间:(-).【例15】(1,+∞)【例16】最大值为11,最小值为6.【例17】解:令lo x=u,∵≤x≤4,∴-2≤u≤2,函数变为y=2u2-2u+1=2(u-)2+(-2≤u≤2).∴当u=时,y min=;当u=-2时,y max=13.由u=得,x=,由u=-2得,x=4.∴x=时,函数取最小值,x=4时,函数取最大值13,∴函数的值域为[,13].【例18】(1)y=log2x,y=log0.3x;(2)y=3x,y=0.1x.三、作业精选,巩固提高1.(1)2;(2)1;(3)0.2.(1)(-∞,0];(2)(-,-];(3)(1,4)∪(4,+∞);(4)(-∞,1)∪(1,+∞);(5)(-1,0)∪(0,2).3.(1)[,5];(2)R.4.y min=-,y max=2.5.6.(1)减区间:(1,+∞),增区间:(-∞,1);(2)增区间:(-1,1),减区间:(1,3);(3)a>1时,增区间:(-1,+∞),减区间:(-∞,-1);a<1时,增区间:(-∞,-1),减区间:(-1,+∞).7.(1)(-,-1)∪(1,);(2)(-4,4];(3)(1,2);(4)().8.a>1时,x的取值范围为(,4);0<a<1时,x的取值范围为(4,+∞).9.10.奇函数11.(1)(-1,1);(2)奇函数;(3)a>1时,(0,1);0<a<1时,(-∞,0)∪(1,+∞).。

第二章基本初等函数(I)复习课

(2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
(3) 2 2, (2) 2, （ 2） 2.
4 4 4 4 4 4
结论:an开偶次方根,则有 n a n | a | .
式子
n
a 对任意a ∊ R都有意义.
n
公式1.
a
n
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.
第二章基本初等函数复习课
整数指数幂
定义
有理指数幂
无理指数幂
指数
对数
运算性质
定义
定义
指数函数
图象与性质
对数函数
图象与性质
幂函数
1.整数指数幂的运算性质 (1)am· an=am+n (m,n∈Z) (2)am÷an=am-n (a≠0,m,n∈Z) (3)(am) n =amn (m,n∈Z) (4)(ab)n=anbn (n∈Z) 2.根式
*
(1)ar· as=ar+s (a＞0，r,s∈Q)； (2)ar÷as=ar-s (a＞0，r,s∈Q)； (3)(ar)s=ars (a＞0，r,s∈Q)； (4)(ab) r=arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)
*一般地，当a>0且是一个无理数时,也是一个确定的实数,故以上运算律对实数指数幂同样适用.
；
x
x
5
4.5
4
3.5
fx = 1.7x
2.5 2 1.5 1
3
1.7
2. 5
<
1 .7
3
0.5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-0.5

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)本章复习学案设计新人教A版必修1

第二章基本初等函数(Ⅰ)本章复习学习目标①复习巩固指数、对数的运算性质,进一步熟练地运用指数函数、对数函数及幂函数的性质解决一些问题;②在学生对教材知识掌握的基础上,引导学生利用所学的知识解决问题,提高学生分析问题与解决问题的能力.合作学习一、复习回顾,承上启下1.n次方根的定义:n次方根:如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.2.n次方根的性质(1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,记为;(2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,记为;(3)负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.3.4.有理数指数幂的运算性质a n=(n∈N*);a0=1(a≠0);a-n=(a≠0,n∈N*).(1)a m·a n=a m+n(m,n∈Q);(2)(a m)n=a mn(m,n∈Q);(3)(ab)n=a n·b n(n∈Q).其中a m÷a n=a m·a-n=a m-n,()n=(a·b-1)n=a n·b-n=.5.对数:如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作.其中a 叫做对数的底数,N叫做真数.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,a x=N⇔x=log a N(符号功能)——熟练转化;常用对数:以10为底log10N写成;自然对数:以e为底log e N写成(e=2.71828…).6.对数的性质(1)在对数式中N=a x>0(负数和零没有对数);(2)log a1=0,log a a=1(1的对数等于0,底数的对数等于1);(3)如果把a b=N中的b写成,则有=N(对数恒等式).7.对数的运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)log a(M·N)=;(2)log a=;(3)log a M n=;(4)log a b=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)(换底公式);(5)log a b=;(6)lo b n=.8.指数函数的性质函数名称指数函数定义函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数图象a>1 0<a<1定义域值域过定点图象过定点,即x=0时,y=1奇偶性非奇非偶单调性在R上是函数在R上是函数函数值的变化情况y>1(x>0),y=1(x=0),0<y<1(x<0) y>1(x<0),y=1(x=0),0<y<1(x>0)a变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越高,越靠近y轴;在第二象限内,a越大图象越低,越靠近x轴在第二象限内,a越小图象越高,越靠近y轴;在第一象限内,a越小图象越低,越靠近x轴9.对数函数的性质函数名称对数函数定义函数y=log a x(a>0且a≠1)叫做对数函数图象a>1 0<a<1定义域值域过定点图象过定点,即x=1时,y=0奇偶性单调性在(0,+∞)上是函数在(0,+∞)上是函数函数值的变化情况log a x>0(x>1)log a x=0(x=1)log a x<0(0<x<1)log a x<0(x>1)log a x=0(x=1)log a x>0(0<x<1)a变化在第一象限内,a越大图象越低,越靠在第一象限内,a越小图象越低,越靠对图象的影响近x 轴,在第四象限内,a 越大图象越高,越靠近y 轴近y 轴,在第四象限内,a 越小图象越高,越靠近x 轴10.反函数(1)反函数概念函数y=a x(x ∈R )与对数函数y=log a x (x ∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数.(2)反函数的性质互为反函数的两个函数的图象关于直线对称. 11.幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数. (2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限;②过定点:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);③单调性:如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞)上为增函数.如果α<0,则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴;④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当α=(其中p ,q 互质,p 和q ∈Z ),若p 为奇数q 为奇数时,则y=是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则y=是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则y=是非奇非偶函数;⑤图象特征:幂函数y=x α,x ∈(0,+∞),当α>1时,若0<x<1,其图象在直线y=x 下方,若x>1,其图象在直线y=x 上方;当α<1时,若0<x<1,其图象在直线y=x 上方,若x>1,其图象在直线y=x 下方.二、典例分析,性质应用 1.指数、对数运算熟练掌握指数的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则.公式是指数、对数函数及其一切运算赖以施行的基础.【例1】计算下列各式的值.(1)(0.027-()-2+(2-(-1)0;(2)lg5(lg8+lg1000)+(lg)2+lg +lg0.06.【例2】设4a=5b=100,求2()的值.【例3】(选讲)已知f(x)=,且0<a<1,(1)求f(a)+f(1-a)的值;(2)求f()+f()+f()+…+f()的值.说明:如果函数f(x)=,则函数f(x)满足f(x)+f(1-x)=1.2.指数函数、对数函数、幂函数的图象熟悉指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是熟练求解指、对、幂问题的关键.【例4】已知c<0,下列不等式中成立的一个是( )A.c>2cB.c>()cC.2c<()cD.2c>()c【例5】方程2x-x2=2x+1的解的个数为.【例6】0.32,log20.3,20.3这三个数之间的大小顺序是( )A.0.32<20.3<log20.3B.0.32<log20.3<20.3C.log20.3<0.32<20.3D.log20.3<20.3<0.32【例7】方程log3x+x=3的解所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)【例8】函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是( )3.指数函数、对数函数的性质【例9】比较下列每组中两个数的大小.(1)2.10.32.10.4;(2)()1.3()1.6;(3)2.10.3()-1.3;(4)log51.9 log52;(5)log0.70.2log0.52;(6)log42log34.【例10】求下列函数的定义域.(1)y=;(2)y=;(3)y=lo(3x-2);(4)y=.【例11】求下列函数的值域.(1)y=1-2x,x∈[1,4];(2)y=3+log2x,x∈[1,+∞).【例12】解下列不等式.(1)<2x-1<4;(2)log0.7(2x)<log0.7(x-1).变式:设函数f(x)=若f(x0)<2,求x0的取值范围.4.指数、对数型复合函数的单调性指数、对数函数的单调性应用十分广泛,可以用来比较数或式的大小,求函数的定义域、值域、最大值、最小值,求字母参数的取值范围等.对复合函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在(c,d)上是增函数,那么复合函数在(a,b)上为增函数.可推广为下表(简记为同增异减):u=g(x) 增增减减y=f(u) 增减增减y=f[g(增减减增x)]【例13】如果函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,求实数a的取值范围.【例14】求下列函数的单调区间.(1)f(x)=(;(2)y=log5(x2-2x-3).变式:求下列函数的单调区间.(1)y=;(2)y=log0.1(2x2-5x-3).【例15】函数y=log a(x-4)的单调增区间是(4,+∞),求实数a的取值范围.【例16】(选讲)求函数y=4x+2x+1+3在区间[0,1]上的最大值与最小值.【例17】求函数y=2lo x-lo x2+1(≤x≤4)的值域.5.探究问题【例18】课本P75习题2.2B组第5题.(1)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a·b)=f(a)+f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?(2)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)·f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?三、作业精选,巩固提高1.计算下列各式的值.(1)lo(3+2);(2)lg25+lg2×lg50;(3)log6[log4(log381).2.求下列函数的定义域.(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)y=log a(x-1)2(0<a≠1);(5)y=log(x+1)(16-4x).3.求下列函数的值域:(1)y=()x+2,x∈[-1,2];(2)y=log2(x2-4x-5).4.求函数y=log2·log2(x∈[1,8])的最大值和最小值.5.函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求实数a的值.6.求下列函数的单调区间.(1)f(x)=;(2)f(x)=log4(2x+3-x2);(3)f(x)=(0<a≠1).7.(1)y=lo x是减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围;(3)已知函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,求实数a的取值范围;(4)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,求实数a的取值范围.8.求不等式log a(2x+7)>log a(4x-1)(a>0,且a≠1)中x的取值范围.9.已知f(x6)=log2x,求f(8).10.判断函数f(x)=lg(-x)的奇偶性.11.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求不等式f(x)>0的解集.参考答案一、复习回顾,承上启下2.(1)-(2)±5.x=log a N lg N ln N6.(3)log a N7.(1)log a M+log a N(2)log a M-log a N(3)n log a M(5)(6)log a b8.R(0,+∞) (0,1) 增减9.(0,+∞) R(1,0) 非奇非偶增减10.(2)y=x11.(1)y=xα二、典例分析,性质应用【例1】(1)-45;(2)1.【例2】2.【例3】(1)1;(2)500.【例4】解析:在同一坐标系中分别作出y=x,y=()x,y=2x的图象(如图),显然x<0时,x<2x<()x,即c<0时,c<2c<()c,故选C.答案:C【例5】解析:原方程即2x=x2+2x+1,在同一坐标系中画出y=2x,y=x2+2x+1的图象,由图象可知有3个交点.答案:3【例6】解析:如图,在同一坐标系中作出函数y=2x,y=x2及y=log2x的图象.观察图象知当x=0.3时,log20.3<0.32<20.3.选C.答案:C【例7】解析:直接解方程是无法实现的,而借助数形结合思想作出图象,则问题易于解决.设y1=log3x,y2=-x+3,在同一坐标系中画出它们的图象(如图),观察可排除A,D.其交点P 的横坐标应在(1,3)内.又x=2时,y1=log32<1,而y2=-x+3=1,且知y1是增函数,y2是减函数,所以交点P的横坐标应在(2,3)内,故选C.答案:C【例8】解析:f(x)的图象过点(1,1),g(x)的图象过点(0,2),只有C符合,故选C.答案:C【例9】(1)<;(2)>;(3)<;(4)<;(5)>;(6)<.【例10】(1)(-∞,)∪(,+∞);(2)[0,+∞);(3)(,+∞);(4)(5,6].【例11】(1)[-15,-1];(2)[3,+∞).【例12】(1)(0,3);(2)(1,+∞).变式:(-1,1)【例13】(-,-1)∪(1,)【例14】(1)减区间:(3,+∞),增区间:(-∞,3);(2)增区间:(3,+∞),减区间:(-∞,-1).变式:(1)增区间:(1,+∞),减区间:(-∞,1);(2)减区间:(,3),增区间:(-).【例15】(1,+∞)【例16】最大值为11,最小值为6.【例17】解:令lo x=u,∵≤x≤4,∴-2≤u≤2,函数变为y=2u2-2u+1=2(u-)2+(-2≤u≤2).∴当u=时,y min=;当u=-2时,y max=13.由u=得,x=,由u=-2得,x=4.∴x=时,函数取最小值,x=4时,函数取最大值13,∴函数的值域为[,13].【例18】(1)y=log2x,y=log0.3x;(2)y=3x,y=0.1x.三、作业精选,巩固提高1.(1)2;(2)1;(3)0.2.(1)(-∞,0];(2)(-,-];(3)(1,4)∪(4,+∞);(4)(-∞,1)∪(1,+∞);(5)(-1,0)∪(0,2).3.(1)[,5];(2)R.4.y min=-,y max=2.5.6.(1)减区间:(1,+∞),增区间:(-∞,1);(2)增区间:(-1,1),减区间:(1,3);(3)a>1时,增区间:(-1,+∞),减区间:(-∞,-1);a<1时,增区间:(-∞,-1),减区间:(-1,+∞).7.(1)(-,-1)∪(1,);(2)(-4,4];(3)(1,2);(4)().8.a>1时,x的取值范围为(,4);0<a<1时,x的取值范围为(4,+∞).9.10.奇函数11.(1)(-1,1);(2)奇函数;(3)a>1时,(0,1);0<a<1时,(-∞,0)∪(1,+∞).。

高中语文《第二章基本初等函数(Ⅰ)小结》411教案教学设计讲

第二章基本初等函数复习主备人：西交康桥府谷县第三中学高一数学组郭利华三维目标1.梳理基本初等函数知识结构；2.利用基本初等函数知识解决实际问题；3.掌握数形结合、分类讨论等主要数学思想在实际问题中的应用．教学重点基本初等函数概念和性质.教学难点基本初等函数概念和性质.学情分析本班基础薄弱，学生做图能力差，不会用数形结合、分类讨论等主要数学思想，故在教学过程中以学生为主体，设法调动学生学习的主动性，体会数学美.教学方法:讲练结合法教学过程：一．知识梳理1.指数函数（1）指数方根根式分数指数幂运算性质（2）指数函数图象与性质2.对数函数（1）对数定义运算性质换底公式（2）对数函数图象与性质3.幂函数（1）定义（2）五个今具体幂函数的图象与性质二．专题训练专题一：指数对数的有关计算问题.1.计算：.2.已知4=2lg,xx，则3.已知试求的值.4.3xlog41,44xx若求的值专题二：指数函数对数函数幂函数的定义域和值域的应用.1.求函数的定义域.2.解方程（1）25543240(2)(log)2log30xxxx专题三：函数图象的应用.1.方程22logxx的实数解的个数为2.图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是（）．A．B．C．D．3.函数lnyx的图象可能是（）4.图中曲线分别表示f(),(),(),()xxxxxagxbhxcqxd 的图象，则，，，的关系是（）．A．B．C．D．5．函数(0,1)xfxaaaa的图象可能是()专题四：指数函数对数函数幂函数单调性的应用.1.已知0.225,.xx求实数的取值范围2.函数636xy的定义域是3.比较大小（1）33(0.21)与(-0.23)（2）log5.1log5.2aa与(3)0.250.2711())33与(（4）10.23121log3,(),23abc专题五：函数性质的应用.1.已知函数22()log(1-log(1)fxxx）(1)()fx求函数的定义域；（2）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由.2.对于函数2()()21xfxaaR(1)探索函数f(x)的单调性.(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)学案新人教A版必修1

（新课标同步辅导）2016高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）学案新人教A版必修1 2．1指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2.理解整数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化．(重点、易混点)3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质．(重点)4.通过具体实例了解实数指数幂的意义．一、根式1．根式及相关概念(1)a的n次方根的定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：x＝⎩na，n为奇数，±na，（a＞0）n为偶数.(3)根式．2．根式的性质(n ＞1，且n ∈N *) (1)n 为奇数时，n a n＝a ． (2)n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.(3)n0＝0．(4)负数没有偶次方根．二、分数指数幂1．规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． 3．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．三、有理数指数幂的运算性质 1．a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)．2．(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)． 3．(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．四、无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)（3－π）2＝π－3( )(2)分数指数幂a m n 可能理解为m n个a 相乘．( ) (3)0的任何指数幂都等于0.( )【解析】 (1)∵（3－π）2＝|3－π|＝π－3. ∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错．【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2．(1)5a －3化为分数指数幂为________．(2)a －23(a ＞0)用根式表示为________．【解析】 (1)5a －3＝a －35.(2)a －23＝1a 23＝13a 2.【答案】 (1)a －35 (2)13a23．求值：(1)3（－2）3＝________，（－2）2＝________，（x －1）2＝________． (2)若10a＝3，10b＝5，则10a －b＝________．【解析】 (1)3（－2）3＝－2，（－2）2＝|－2|＝2，（x －1）2＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x ＜1.(2)10a －b＝10a10b ＝35. 【答案】 (1)－2 2 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x ＜1. (2)354．化简(a 34·b －23)6＝________(a ＞0，b ＞0)．【解析】原式＝(a 34)6·(b －23)6＝a 34×6·b －23×6＝a 92·b －4. 【答案】 a 92·b －4预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1 问题2 问题3 问题4利用根式的性质化简或求值(1)(2014·河北唐山一中期中)当a ＞0时，－ax 3＝( ) A ．x ax B ．x －ax C ．－x －ax D ．－x ax (2)求下列各式的值： ①（a －b ）2.②3－22＋(31－2)3.③(a －1)2＋（1－a ）2＋3（1－a ）3.【解析】 (1)∵a ＞0，∴x ＜0，－ax 3＝|x |－ax ＝－x －ax ，故选C. 【答案】 C(2)①（a －b ）2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b （a ≥b ），b －a （a ＜b ）.②因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2，所以3－22＋(31－2)3＝（2－1）2＋1－2＝2－1＋1－2＝0. ③由题意，首先有a －1≥0，即a ≥1.(a－1)2＝a－1, （1－a）2＝|1－a|＝a－1，3（1－a）3＝1－a.∴(a－1)2＋（1－a）2＋3（1－a）3＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．注意正确区分na n与(na)n.根式与分数指数幂的互化(1)3a2·a3(a＞0)；(2)13x（5x2）2；(3)(4b－23)－23(b＞0)．【思路探究】应熟练应用na m＝amn.含有多重根号时，需自里向外用分数指数幂写出，再用性质化简．【解】(1)原式＝a23·a32＝a23＋32＝a136.(2)原式＝13x（x25）2＝13x·x45＝13x95＝1（x95）13＝1x35＝x－35.(3)原式＝[(b－23)14]－23＝b－23×14×⎝⎛⎭⎪⎫－23＝b19.1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝amn的两点说明：(1)根指数n↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a＞0，但像(－a)12＝－a中的a则需要a≤0.特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．计算a2a3a2(a＞0)的结果是( )A.6a 5B ．a 65C ．a －15D ．a【解析】a 2a 3a 2＝a 2a 12·a 23＝a 2－12－23＝a 56＝6a 5.【答案】 A利用分数指数幂化简、求值计算(或化简(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )(a ＞0，b ＞0，c ＞0)； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3(a ＞0，b ＞0)．【思路探究】进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，以便于进行乘、除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的．【解】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝(－1)－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43.1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，并注意运算的顺序． 2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．(2014·黑龙江哈尔滨三中期中)化简a 23b 12(－3a 12·b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56(a ＞0，b ＞0)的结果为( )A ．9aB ．－9aC ．9bD ．－9b【解析】原式＝(－3)×3a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9ab 0＝－9a .【答案】 B指数式的条件求值问题已知a 12＋a －12＝3，求下列各式的值．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【思路探究】从已知条件中解出a 的值；然后再代入求值，这种方法太繁琐，是不可取的，应设法寻找要求值的式子与条件a 12＋a －12＝3的联系，进而整体代入求值．【解】 (1)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，故a ＋a －1＝7.(2)将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，故a 2＋a －2＝47.1．在条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的变形，或先对条件加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．若条件不变，试求a 12－a －12的值．【解】 ∵(a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2a 12·a －12＝(a ＋a －1)－2＝7－2＝5， ∴|a 12－a －12|＝5，∴a 12－a －12＝± 5.1.na m＝amn(a＞0)可以实现分数指数幂与根式的互化，但要注意根指数是分数指数的分母．2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．忽视被开方数的符号致误(2014·山东日照一模)若－1＜x＜2，化简x2－4x＋4－x2＋2x＋1.【易错分析】解答本题易忽视被开方数的符号致误．【防范措施】为使开偶次方后不出现符号错误，开方时先带着绝对值符号，然后再根据取值范围去掉绝对值符号进行化简．【解】原式＝（x－2）2－（x＋1）2＝|x－2|－|x＋1|.∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0，∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.——[类题尝试]—————————————————计算3（1＋2）3＋4（1－2）4.【解】3（1＋2）3＋4（1－2）4＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.课时作业(十二) 指数与指数幂的运算[学业水平层次]一、选择题 1．化简⎣⎡⎦⎤3（－5）234的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5 【解析】 ⎣⎡⎦⎤3（－5）234＝(352)34＝(523)34＝512＝ 5.故选B.【答案】 B 2．根式1a 1a(a ＞0)的分数指数幂形式为( )A ．a －43B ．a 43C ．a －34D ．a 34【解析】1a 1a＝a －1·（a －1）12＝a －32＝(a －32)12＝a －34.【答案】 C3．下列各式中正确的个数是( )(1)na n＝(na )n＝a (n 是奇数且n ＞1，a 是实数)；(2)na n＝(na )n＝a (n 是正偶数，a 是实数)； (3)3a 3＋b 2＝a ＋b (a ，b 是实数)． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】由于n 是大于1的奇数，故(1)正确；由于n 是正偶数，故na n中a 可取任意实数，而(na )n中a 只能取非负数，故(2)错误；b 2＝|b |，故(3)错误．【答案】 B4．(2014·湖北孝感期中)若x ＋x －1＝4，则x 12＋x －12的值等于( )A ．2或－2B ．2 C.6或－ 6 D. 6【解析】 (x 12＋x －12)2＝x ＋2＋x －1＝6.∵x 12≥0，x －12＞0，∴x 12＋x －12＝ 6. 【答案】 D 二、填空题5．x 4＝3，则x ＝________．【解析】 ∵x 4＝3，∴x ＝±43. 【答案】 ±436．(2014·广西桂林中学段考)2723＋16－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23＝________．【解析】原式＝(33)23＋(42)－12－22－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233－23＝32＋4－1－4－94＝3. 【答案】 37．若10x＝3，10y＝4，则102x －y＝________．【解析】 ∵10x＝3，10y＝4，∴102x －y＝102x 10y ＝324＝94. 【答案】 94三、解答题8．(2014·合肥高一检测)求使等式（x －2）（x 2－4）＝(2－x )x ＋2成立的x 的取值范围．【解】因为（x －2）（x 2－4）＝（x －2）2（x ＋2）＝(2－x )x ＋2，所以2－x ≥0且x ＋2≥0，故－2≤x ≤2.9．化简下列各式：(1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 3125b 34·327b a 6(a ＞0，b ＞0)； (2)5x －23y 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 12y 16(x ＞0，y ＞0)．【解】 (1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 3125b 34·327b a 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 3125b 346·⎝ ⎛⎭⎪⎫27b a 613＝（23）23a 3×23（53）23b 3×23·（33）13b 13a 2＝425b 2·3b 13＝1225b －53. (2)原式＝245×5×x －23＋1－12×y 12－13－16＝24x 13－12y 0＝24x －16.[能力提升层次]1．如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 为( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1 D.xx －1【解析】由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，∴y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.【答案】 D2．化简(－3a 13b 34)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 23·b 14÷(－6a 512·b 712)(其中a ＞0，b ＞0)的结果是( )A.14a 712·b 512 B ．4a 712·b 512 C.14a 512·b 712 D ．－14a 712·b 512【解析】原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－3）×12÷（－6）a 13＋23－512·b 34＋14－712＝14a 1－512·b 1－712 ＝14a 712·b 512. 【答案】 A3.a 43－8a 13b 4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a ＝________．【解析】原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a 13（a 13－2b 13）（a 23＋2a 13b 13＋4b 23）4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13·a 13·a 13 ＝a . 【答案】 a4．已知a 12－a －12＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)a 2－a －2.【解】 (1)将a 12－a －12＝5两边平方，得a ＋a －1－2＝5，则a ＋a －1＝7.(2)由a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，则a 2＋a －2＝47.(3)设y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝472－4＝2 205，所以y ＝±215，即a 2－a －2＝±21 5.2．1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质[学习目标] 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)一、指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.二、指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域 (0，＋∞)过定点 (0，1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) (2)当a ＞1时，对于任意x ∈R 总有a x＞1.( ) (3)函数f (x )＝2－x在R 上是增函数．( )【解析】 (1)∵对任意x ∈R，a x(a ＞0，且a ≠1)＞0，∴(1)正确． (2)∵2－1＝12＜1，∴(2)错．(3)∵f (x )＝2－x在R 上是减函数，∴(3)错．【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2．下列函数中是指数函数的是( ) A ．y ＝5x ＋1B ．y ＝x 4C．y＝3－x D．y＝2·3x【解析】形如y＝a x(a>0且a≠1)的函数是指数函数．只有C选项符合，故选C.【答案】 C3．函数y＝a x－1(a>0且a≠1)的图象一定过点________．【解析】当x－1＝0，即x＝1时，y＝1，∴图象一定过点(1，1)．【答案】(1，1)4．已知函数y＝(a－1)x是指数函数，且当x<0时，y>1，则实数a的取值范围是________．【解析】∵x<0时y>1，∴0<a－1<1即1<a<2.【答案】(1，2)预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4指数函数的概念(1)已知函数f (x )是指数函数，且f ⎛⎪⎫－3＝5，则f (x )＝________．(2)若函数y ＝(4－3a )x是指数函数，则实数a 的取值范围为________． (3)指出下列函数哪些是指数函数？①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝－4x ；④y ＝(－4)x ；⑤y ＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞12，且a ≠1；⑥y ＝4－x.【解析】 (1)设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠0)，又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，得a －32＝525，所以a ＝5，故f (x )＝5x.(2)y ＝(4－3a )x是指数函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧4－3a >0，4－3a ≠1，解得a <43且a ≠1，故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <43且a ≠1. 【答案】 (1)5x(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <43且a ≠1(3)②不是指数函数，因自变量不在指数位置上；③是－1与4x的乘积，故不是指数函数；④因－4＜0，故不是指数函数；①⑤⑥是指数函数．1．指数函数具有形式上的严格性，在指数函数的定义表达式中，要牢牢抓住四点：(1)幂的系数是1；(2)底数a＞0，且a≠1；(3)指数是单个自变量“x”且处在指数的位置；(4)指数函数不会是多项式，如y ＝2x＋1不是指数函数．2．求指数函数的解析式常用待定系数法．指数函数的图象与性质(1)函数y＝3－x(2)函数y＝a x－1－3(a＞0)的图象恒过定点坐标是( )A．(1，－3) B．(1，－2)C．(2，－3) D．(2，－2)【思路探究】 (1)可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x. (2)令x －1＝0，求出y 值，可得定点坐标．【解析】 (1)y ＝3－x即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，在(－∞，∞)上是减函数，且过定点(0，1)，故选B. (2)令x －1＝0，得x ＝1，此时y ＝a 0－3＝1－3＝－2， ∴函数y ＝ax －1－3恒过定点(1，－2)．故选B.【答案】 (1)B (2)B1．可用指数函数的图象过定点(0，1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题． 2．要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点． 3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x＋b 的图象必定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】函数y ＝a x(0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0，1)，所以函数y ＝a x＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0，1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0，1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．【答案】 A指数函数的定义域与值域(1)y ＝21x －4；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2. 【思路探究】【解】 (1)由x －4≠0，得x ≠4， ∴定义域为{x |x ∈R，且x ≠4}． ∵1x －4≠0，∴21x －4≠1， ∴y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)由x －2≥0，得x ≥2. ∴定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0，又0<13<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的值域为{y |0<y ≤1}．1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． 2．函数y ＝af (x )的值域的求法如下：(1)换元，令t ＝f (x )；(2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t的单调性求y ＝a t，t ∈M 的值域．求函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域和值域．【解】 ∵x 应满足1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，即x ≥0， ∴y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为{x |x ≥0}．∵x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞0，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1， ∴0≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1，即0≤y ＜1.∴y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的值域为{y |0≤y ＜1}．1．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a＞0，且a≠1)这一结构形式．2．指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的单调性取决于底数a，分底数a＞1，0＜a＜1两种情况．3．由于指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝a f(x)(a＞0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．4．求函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；(2)求t＝f(x)的值域t∈M；(3)利用y＝a t的单调性求y＝a t在t∈M上的值域．对指数函数的概念理解不清致误函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，求实数a .【易错分析】解答本题易忽视对底数a 的约束条件或幂的系数值致误．【防范措施】形如f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的函数是指数函数，在用题设条件求出a 的值后，应检验是否满足①幂的系数是1；②底数a ＞0，且a ≠1；③指数位置上是单个自变量x .【解】 ∵函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，∴由指数函数的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋4＝1，a >0且a ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝3，a >0且a ≠1，∴a ＝3.——[类题尝试]————————————————— 已知函数y ＝(a 2－3)a x是指数函数，求a 的值．【解】根据指数函数的定义可知a 2－3＝1，解得a ＝2或a ＝－2.因为指数函数y ＝a x 中要求a ＞0，且a ≠1，故a ＝－2舍去，即a ＝2.课时作业(十三) 指数函数的图象及性质[学业水平层次]一、选择题1．函数y＝2x－1的定义域是( )A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)【解析】由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.【答案】 C2．函数f(x)＝3x＋1的值域为( )A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，1) D．[1，＋∞)【解析】∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数的值域是(1，＋∞)．【答案】 B3．(2014·重庆高考)下列函数为偶函数的是( )A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x【解析】四个选项中函数的定义域均为R.对于选项A ，f (－x )＝－x －1≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，故该函数为非奇非偶函数；对于选项B ，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，故该函数为非奇非偶函数；对于选项C ，f (－x )＝2－x－2x ＝－(2x －2－x)＝－f (x )，故该函数为奇函数；对于选项D ，因为f (－x )＝2－x＋2x ＝2x ＋2－x＝f (x )，故该函数为偶函数，故选D. 【答案】 D4．(2014·安徽师大附中高一期中)函数y ＝2|x |的图象是( )【解析】 ∵y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x（x ≥0），⎝ ⎛⎭⎪⎫12x （x ＜0），故选B.【答案】 B 二、填空题 5．函数y ＝ax －3＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点________．【解析】因为指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝ax －3＋3的图象过定点(3，4)．【答案】 (3，4)6．函数y ＝(k ＋2)a x＋2－b (a >0，且a ≠1)是指数函数，则k ＝________，b ＝________．【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2＝1，2－b ＝0，∴k ＝－1，b ＝2. 【答案】－1 2 7．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则a 的值为________．【解析】 ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0，即13－x＋1＋a ＋13x ＋1＋a ＝0， ∴2a ＝－13x ＋1－13－x ＋1＝－3x＋13x ＋1＝－1，∴a ＝－12.【答案】 a ＝－12三、解答题8．(2014·无锡高一检测)求函数f (x )＝3－x－1的定义域、值域．【解】因为f (x )＝3－x－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，所以函数f (x )＝3－x－1的定义域为R.由x ∈R 得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1>－1，所以函数f (x )＝3－x－1的值域为(－1，＋∞)．9．(2014·潍坊高一检测)设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象．(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？【解】 (1)函数f (x )，g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π，f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．[能力提升层次]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，g （x ），x ＞0.若f (x )是奇函数，则g (2)的值是( )A ．－14B ．－4 C.14 D ．4【解析】当x ＞0时，－x ＜0，∴f (－x )＝2－x，即－f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，∴g (x )＝f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因此有g (2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14. 【答案】 A2．(2014·湖北教学合作体期末)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如下图211所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象( )图211【解析】由题图可知0＜a ＜1，b ＜－1，则g (x )是一个减函数，可排除C ，D ；再根据g (0)＝1＋b ＜0，可排除B ，故选A. 【答案】 A3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．【解析】由已知，得f (1)＝2；又当x ＞0时，f (x )＝2x＞1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a ＜0， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 【答案】－34．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图212(1)所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图212(2)所示，求a ，b 的取值范围； (3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．(1) (2)图212【解】 (1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3.(2)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)，又f (0)＝1＋b <0，∴b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)由图(1)可知y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图可知使|f (x 1)|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小，解不等式．(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)指数函数单调性的应用(1)(2014·泰安高一检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 (2)比较下列各组数的大小： ①1.52.5和1.53.2；②0.6－1.2和0.6－1.5；③1.50.3和0.81.2.【解析】 (1)因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为(－∞，＋∞)上的减函数，且⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，所以2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.【答案】 B(2)①∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.②∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.③由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.1．比较幂大小的方法(1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来判断．2．指数型不等式a f(x)＞a g(x)(a＞0，且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．指数函数的综合应用(1)函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．(2)已知定义域R 的函数f (x )＝b －2xa ＋2x是奇函数．①求a ，b 的值；②用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；③若对于任意t ∈R，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，求k 的取值范围．【思路点拨】 (1)分a ＞1，0＜a ＜1两种情况求解．(2)①可利用f (x )为R 上的奇函数，则有f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，求出a ，b 再进行检验． ③可结合②，由于该函数在定义域上是减函数，故可得t 2－2t ＞k －2t 2，转化为恒成立问题．【解析】 (1)若a ＞1，则函数f (x )＝a x 在[1，2]上单调递增，∴a 2－a ＝a 2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)．若0＜a ＜1，则函数f (x )＝a x在[1，2]上单调递减，∴a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)．综上，所求a 的值是12或32.【答案】 12或32(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.经检验a ＝1，b ＝1符合题意． ②任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝（1－2x 1）（2x 2＋1）－（1－2x 2）（2x 1＋1）（2x 1＋1）（2x 2＋1）＝2（2x 2－2x 1）（2x 1＋1）（2x 2＋1），因为x 1＜x 2，所以2x 2－2x 1＞0，又(2x 2＋1)(2x 1＋1)＞0，故f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x )为R 上的减函数．③因为t ∈R，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，由f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，所以k ＜－13.1．指数函数y ＝a x(a ＞1)为单调递增函数，在闭区间[m ，n ]上存在最大值和最小值，并且当x ＝m 时有最小值a m，当x ＝n 时有最大值a n.2．指数函数y ＝a x(0＜a ＜1)为单调递减函数，在闭区间[m ，n ]上存在最大值和最小值，并且当x ＝n 时有最小值a n，当x ＝m 时有最大值a m.3．对于函数y ＝af (x )，x ∈D ，其最值由底数a 和f (x )的值域确定．求指数函数的最值时要注意函数定义域．题(2)③中的“若对于任意t ∈R”改为“若对于t ∈[1，2]”，其他条件不变，又如何求解？【解】对于t ∈[1，2]，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，由f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t恒成立，即问题转化为当t ∈[1，2]求3t 2－2t 的最小值，令M (t )＝3t 2－2t ，而M (t )＝3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13在t ∈[1，2]内是增函数，故M (t )＝3t 2－2t 的最小值为M (t )min ＝M (1)＝1.故k ＜1.所以k 的范围为k ＜1.指数函数的实际应用(1)试写出该市人口总数y (万人)与经过时间x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该市人口总数(精确到1万人)；(3)计算多少年以后该市人口将达到120万人(精确到1年)．(参考数据：1.01210≈1.127，1.01211≈1.140，1.01212≈1.154，1.01213≈1.168，1.01214≈1.182，1.01215≈1.196，1.01216≈1.210)【思路探究】本题考查有关增长问题，即设原有人口为N ，年平均增长率为p ，则对于经过x 年后的总人口y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．【解】 (1)1年后该市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，2年后该市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，3年后该市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3，…x年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127＝112.7≈113(万人)．∴10年后该市人口总数约为113万人．(3)依题意，得100(1＋1.2%)x＝120，即1.012x＝1.2，解得x≈15.∴约15年以后，该市人口将达到120万人．此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．【答案】191．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n. 2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x＞a y的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0＜a ＜1和a ＞1两种情况进行讨论． (2)形如a x＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解． (3)形如a x＞b x的不等式，可借助图象求解．换元时忽视中间变量的范围致误求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的值域．【易错分析】用换元法解答本题，易忽视中间变量的范围致误．【防范措施】用换元法解题时，一定要利用原变量的范围确定中间变量的范围，这样才可达到等价变换的效果．【解】令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34.因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋122＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)．——[类题尝试]————————————————— 求函数y ＝9x ＋2·3x－2的值域．【解】设3x＝t ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －2＝(t ＋1)2－3. ∵上式中当t ＝0时，y ＝－2，又t ＝3x＞0，∴y ＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)．课时作业(十四) 指数函数及其性质的应用[学业水平层次]一、选择题 1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1) 【解析】 ∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.【答案】 D2．下列判断正确的是( )A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83C．π2＜π 2 D．0.90.3＞0.90.5【解析】∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.【答案】 D3．(2014·湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x【解析】A中f(x)＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．【答案】 A4．已知函数f(x)＝(a2－1)x，若x＞0时总有f(x)＞1，则实数a的取值范围是( )A．1＜|a|＜2 B．|a|＜2C．|a|＞1 D．|a|＞ 2【解析】由题意知a2－1＞1，解得a＞2或a＜－2，故选D.【答案】 D 二、填空题 5．不等式0.52x>0.5x －1的解集为________(用区间表示)．【解析】 ∵0<0.5<1，∴由0.52x>0.5x －1得2x <x －1，即x <－1.【答案】 (－∞，－1)6．函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的和为6，则a 的值为________．【解析】由于函数在[1，2]上必定单调，因此最大值与最小值都在端点处取得，于是必定有a ＋a 2＝6，又a ＞0，解得a ＝2.【答案】 27．若2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，则x 的取值范围为________．【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5＝2－0.5，又y ＝2x在R 上是增函数，∴2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5⇔2x >2－0.5⇔x >－0.5.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 三、解答题8．(2014·广州高一检测)已知f (x )的图象与g (x )＝2x的图象关于y 轴对称，且f (2x －1)＞f (3x )，求x 的取值范围．【解】因为f (x )的图象与g (x )＝2x的图象关于y 轴对称，。

基本初等函数复习学案(陈庆安)

水平测试复习----基本初等函数一、考点概述1. b a N =指数式：，写成对数式：_______________.2. 指数运算性质与对数运算性质对比：3. 若0,1a a >≠，则0___a =，log 1____,log ____a a a ==，log a Na=_______.10e log ____,log N ____e N ≈简记为：简记为：（其中 2.718）6. 反函数：指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称. 如：（1）对数函数x y 3log =的反函数为 ___；（2）与函数xe y =的图象关于直线y=x 对称的函数是 . 7. 零点：对于函数()yf x =，使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.零点存在定理：若连续函数()y f x =在区间[],a b 内，满足_________________________，则函数()y f x =在区间(,)a b 内存在零点，即()0f x =有解.8.幂函数（1）基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数.（2）常用幂函数：y x =，2y x =，3y x =，12y x =，1y x -=（3）性质：a.当α>0时，图象过定点_____；在(0,)+∞上是_____函数.(增、减)b.当α<0时，图象过定点______；在(0,)+∞上是____函数；(增、减二、自我反馈1. 已知实数3log 4a =，015b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.8c =，则a ，b ，c A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<2. 函数12log (32)y x =-的定义域为____________3.计算： lg100+9log 59=______________ =+--343031)2()54(8____________ 4. 函数2()2xf x x =-的零点所在区间是（）. A. (1,0)- B. (0,1) C. (2,3) D. (1,2) 5．函数)1,0(1)(2≠>+=-a a ax f x 的图象必过下列中的哪一个定点( )A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2,2)6. 已知幂函数()y f x =的图象过点,其解析式为__________________三、能力应用例1、()=log (+1)-log (1-)(a>0,a 1).a a f x x x ≠已知且(1)()2)()f x f x 求函数的定义域；（证明函数为奇函数。

高中数学必修一+第二章+基本初等函数复习学案

第五课时函数的概念和图象例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ；（3）1()2f x x=-．例2: 已知函数2361y x x =-+，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域：（1）[1,2]x ∈-；（2）[4,0]x ∈-；（3）[2,5]x ∈．追踪训练一1．已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322x x x x x ，x(1)画出函数图象；(2)求f{f[f(－2)]}(3)求当f(x)= －7时，x 的值；第六课时函数的表示方法1．二次函数的形式：（1）一般式：()c bx ax x f ++=2()0,,,≠∈a R c b a ；（2）交点式：()()()21x x x x a x f --= ，其中，21,x x 分别是()x f 的图象与x 轴的两个交点的横坐标；（3）顶点式：()()121y x x a x f +-=，其中()11,y x 是抛物线顶点的坐标；例1: 已知2211()1f x x x x-=++，求函数()f x 的解析式。

例2：（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +；（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．例3．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图象过原点，求()g x ；（3）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；1．下列函数中，与2(2)y x x =->相同的函数是（）A ．2-=x yB ．2-=x yC ．22--=x x yD ．2)22(--=x x y 2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的是（）第七课时函数的单调性1．单调增函数的定义：2．单调减函数的定义：3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是图像；而函数在其单调减区间上的图像是的图像。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)本章复习教学设计新人教A版必修1

第二章根本初等函数〔Ⅰ〕本章复习整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律重要数学模型，面对纷繁复杂变化现象，我们还可以根据变化现象懂得对不同特征进展分类研究．而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界变化规律三类重要且常用根本初等函数，本章学习了这三类根本初等函数概念与性质，因此我们对这一些根本知识与三类根本初等函数学完前提下，综合复习所学知识，进展知识梳理与整合，同时通过进展知识梳理与整合，使学生形成知识网络，强化数学思想与方法运用，通过复合函数与抽象函数复习，提高学生综合能力．三维目标1．理解指数与对数，指数函数与对数函数及幂函数概念与联系，通过提问，提高学生认知水平，为学生塑造良好数学认知构造．2．让学生熟悉，能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关问题，培养学生数形结合思想观念及抽象思维能力．3．对复合函数，抽象函数有一个新认识，培养学生分析、解决问题与交流以及分类讨论能力．重点难点教学重点：指数函数、对数函数及幂函数图象与性质．教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题．课时安排1课时教学过程应用例如思路11计算： (1)20.52130.25323435(0.008)(0.2)0.062 589---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅+÷÷ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；(2)2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 0.36lg 0.122⋅+--. 活动：学生观察、思考，学生观察式子特点，特别是指数与真数特点，教师引导学生考虑题目思路，对有困难学生及时提示，组织学生讨论交流，并对学生作及时评价．解：(1)原式＝()()()23()21133()()420.532437()0.20.20.523⨯-⨯--⨯⨯⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫49×73＋52÷5÷0.5＝5627＋105＝56＋270527. (2) 2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 0.36lg 0.122⋅+--221lg(2310)lg(0.6)lg1022-⨯⨯--＝223lg 5lg 3lg 53(lg 2)3[lg 5lg 2(lg 5lg 2)]15lg 2lg 32lg 0.6lg 6lg 0.622⋅++++=++-+-+＝67. 点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序与灵活运用乘法公式，注意立方与立方差公式在分数指数幂当中应用.活动：学生思考，观察题目特点，教师引导学生考虑问题思路，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，1n a 与1na -具有对称性，它们积是常数1，为我们解题提供了思路，必要时给予提示． x 2－1＝－1＝＝＝.这时应看到x 2－1111||2n n a a -=-. 解：将x ＝代入x 2－1，得x 2－1＝11112211()1()44n n n n a a a a --+-=-.所以x 2－1111||2n n a a -=-，x ＋x 2－1＝111111()||22n n n n a a a a --++-＝所以(x ＋x 2－1)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >1，1a ，0<a <1.点评：运用整体思想与完全平方公式是解决此题关键，要深刻理解这种做法．3假设函数f (x )定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，求f (log 3x )定义域．活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你学习经历，回忆求一个函数定义域方法．抽象函数f (x )定义域，求抽象函数f [g(x )]定义域，要借助于f (x )定义域来求，由于函数f(x )定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，所以f (log 3x )中log 3x 范围就是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，从中解出x ，即为f (log 3x )定义域．解：因为函数f (x )定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，所以f (log 3x )中log 3x 范围就是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，即0.5＜log 3x ≤3，即3＜xf (log 3x )定义域为(3，27]．点评：求函数定义域就是求使函数解析式有意义自变量取值范围，对复合函数定义域要严格注意对应法那么.例1 求函数y ＝1－2x4x 定义域、值域与单调区间．活动：学生观察，思考交流，独立解题，教师要求学生展示自己思维过程．求函数定义域就是求使函数解析式有意义自变量取值范围；函数值域要根据定义域来求；求函数单调区间一般用定义法，有时也借助复合函数单调性．由于自变量处在指数位置上，分母是一个指数式，因此自变量取值无限制；值域转化为二次函数，单调区间用复合函数单调性确定．解：函数y ＝1－2x 4x 定义域是全体实数，因为y ＝1－2x 4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 2－12x ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －122－14≥－14，所以函数值域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－14，＋∞. 设u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，那么它在(－∞，＋∞)上单调递减，而二次函数y ＝u －122－14在u ≤12时是减函数，在u ≥12时是增函数，令⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ≤12，那么x ≥1，令⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ≥12，那么x ≤1，所以函数y ＝1－2x4x 在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数．点评：这里求函数值域方法是配方法，求单调区间是用复合函数单调性确定．例2 函数f(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －1＋12. (1)指出函数奇偶性，并予以证明；(2)求证：对任何x (x ∈R 且x ≠0)，都有f (x )＞0.(1)解：函数f (x )是偶函数，证明如下：因为f (x )定义域是不为0实数，关于原点对称，又f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－x －1＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2x －1－12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2x －1－1＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －1＋12＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)证明：当x ＞0时，2x ＞1，所以f (xx ＜0时，由f (x )为偶函数，有f (x )＝f (－x )＞0.所以对一切x ∈R ，x ≠0，恒有f (x )＞0.点评：利用函数奇偶性常可使解法简化，如此题，当x ＜0时，证明f (x )＞0较繁，假设注意到f (x )为偶函数，那么只需证明当x ＞0时，f (x )＞0，而这是显然．知能训练课本本章复习参考题A 组 1、3、4、6、8、10.拓展提升问题：过原点O 一条直线与函数y ＝log 8x 图象交于A 、B 两点，过A 作x 轴垂线，垂足为E ，过点B 作y 轴垂线，交EA 于C ，假设C 恰好在函数y ＝log 2x 图象上，试求A ，B ，C 三点坐标．活动：学生先仔细审题，理解题目含义，然后思考交流，教师适当时候提示指导．画出函数图象，设出点坐标，由图形间关系建立方程求解．解：先画出函数图象如图．图1设A (x 1，log 8x 1)、B (x 2，log 8x 2)，那么C (x 1，log 8x 2)．因为C 在函数y ＝log 2x 图象上，所以log 8x 2＝log 2x 1，即13log 2x 2＝log 2x 1.所以x 2＝x 31.又OE EA＝OF FB ，即x 1log 8x 1＝x 2log 8x 2，所以x 1log 8x 31＝x 31log 8x 1.所以3x 1log 8x 1＝x 31log 8x 1.由x 1＞1，所以log 8x 1≠0.从而有3x 1＝x 31.所以x 1＝3，x 2＝3 3.所以A ，B ，C 三点坐标分别为A (3，log 83)，B (33，log 833)，C (3，log 23)．课后作业课本本章复习参考题A 组 2,5,7,9.设计感想本堂课是对过去学过一章知识进展复习，目是构建知识体系，形成知识网络，总结解题方法规律与思想，以便综合运用这些知识，使学生能够见题想法，见题有法，能够做到一题多解，触类旁通，由于涉及知识点与方法思想较多，所以设计题目也较多，要注意解题方法总结与提炼，希望加快处理速度，提高课堂复习效果，做到以不变应万变，使全体同学在知识与技能上都有较大提高．备课资料【备用习题】1．函数y ＝log 2x －2定义域是( )A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞)C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2．函数f (x )＝a －12x ＋1，假设f (x )为奇函数，那么a ＝__________. 3．函数y ＝log 2x 2＋16值域是__________．4．函数y ＝2x 图象与y ＝f (x )图象关于直线y ＝x 对称，那么f (16)＝__________.5．假设函数y ＝log 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 2＋(a －1)x ＋14定义域为R ，那么a 取值范围是__________．参考答案：1．D 2．12 3．[2，＋∞) 4.4 5．3－52＜a ＜3＋52。

高中数学第2章基本初等函数Ⅰ 章末复习课、章同步精品学案新人教A版必修1

章末复习课1．熟练地进行指数式与根式的互化，对含有指数式(或根式)的乘除运算要善于利用幂的运算法则，注意表达式中出现的数量之间的关系，利用分数指数幂进行根式运算的顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行运算．2．应用指数函数y＝a x的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意a>1还是0<a<1.3．比较大小问题：先判断幂与1的大小，然后分类比较．同底数的幂用指数函数单调性比较；同指数的幂用幂函数的单调性比较，也可以利用图象比较大小．4．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了对数计算的优越性．5．一般当给出的等式是指数形式时，通常对等式两边取对数，这是一种常用的解题技巧．6．应用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”．7．比较对数大小时，应先区分各对数值是正还是负，再区分是大于1的数还是小于1的正数，然后分类比较．同底数的对数大小比较，利用对数函数单调性；不同底数同真数的对数大小比较可取倒数，化为同底数比较，亦可使用图象；真数、底数都不同的对数比较大小要借助中介值或图象比较大小.一、比较大小的方法比较几个数的大小是幂、指数、对数函数的又一重要应用，常用的方法有：单调性法、搭桥法、图象法、特殊值法、作差法、作商法等．例1 比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小.分析根据三个数式的特点，选择y＝x2，y＝log2x，y＝2x三个函数的图象和性质加以比较．解方法一∵0.32<12=1，log20.3<log21=0,20.3>20=1， ∴log20.3<0.32<20.3.方法二作出函数图象如图所示，由图象即可看出log20.3<0.32<20.3.点评比较幂函数、指数函数、对数函数型的数值间的大小关系时要注意：(1)若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；(2)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；(3)若底数不同，指数也不同，以及一些对数函数型数值等，应寻找媒介数(常用0,1)进行比较；(4)作差比较和作商比较是常用技巧．二、换元法的应用研究函数除了几种基本初等函数外，还要研究由它们进行复合而形成的复合函数的性质，这些函数性质在研究时，常用换元的思路，使问题转化为已知的问题．例2 f (x )＝9x ＋12－3x＋a ，x ∈[1,2]的最大值为5，求其最小值．解 f (x )＝32x ＋1－3x＋a .设3x＝t ，则t ∈[3,9]．∴f (x )＝g (t )＝3t 2－t ＋a＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －162＋a －112，t ∈[3,9]．∴f (x )max ＝g (9)＝3·92－9＋a ＝5，∴a ＝－229， ∴f (x )min ＝g (3)＝24＋a ＝－205.点评利用换元法求值域必须先求出新元的取值范围作为新函数的定义域．三、数形结合思想的应用数学的本质是数与形的统一，数形结合的思想始终是数学研究中最重要的思想方法之一．研究和应用指数函数、对数函数的性质，图象是个有力的工具；并且，由于这两类函数的图象都比较单一，也容易画出，因此，利用它们的图象来进行比较大小，讨论方程根的情况等题目比较普遍．例3 方程a －x＝log a x (a >0且a ≠1)的实数解的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析本例可用数形结合法画出y ＝a －x与y ＝log a x 的图象，观察交点个数，要注意对a 分a >1与0<a <1两种情况讨论．当a >1时，在同一坐标系中画出y 1＝log a x 的图象和y 2＝a －x的图象如图(1)，由图象知两函数图象只有一个交点；同理，当0<a <1时，由图象(2)知，两图象也只有一个交点．因此，不论何种情况，方程只有一个实数解．四、分类讨论思想的应用指数函数与对数函数的性质渗透了分类讨论的数学思想方法．由于指数函数y ＝a x，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的性质都与a 的取值有密切的联系，a 变化时，函数的性质也随之改变；因此，在a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论．例4 若－1<log a 23<1，求a 的取值范围.解－1<log a 23<1，即log a 1a ＝－1<log a 23<1＝log a a .(1)当a >1时，有log a 23为增函数，1a <23<a .∴a >32，结合a >1，故a >32.(2)当0<a <1时，有log a 23为减函数，1a >23>a .∴a <23，结合0<a <1，故0<a <23.∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0<a <23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >32.点评解含参数的不等式或方程时常常要对参数进行讨论，讨论是自然产生的，不要为了讨论而讨论．还需明确的就是分类的目的是什么，分类之后就等于将整个一个大问题划分为若干个小问题，每个小问题可以解决了，整个大问题也就解决了.一、选择题1．已知集合A ＝{y |y ＝log a x ，x >0，a >0且a ≠1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ≥2，则A ∩B 等于( )A ．{x |x ≥－1}B ．{x |x ≤－1}C ．{x |x ≥0} D．{x |x >0} 答案 B解析 ∵A ＝R ，B ＝(－∞，－1]，B A ， ∴A ∩B ＝B ＝(－∞，－1]．2．设a >b >1,0<x <1，则有( )A ．x a >x bB ．b x >a xC ．log a x >log b xD ．log x a >log x b 答案 C解析画图象可知．3．若log m 2<log n 2<0，则实数m 、n 的大小关系是( ) A ．1<n <m B ．0<n <m <1 C ．1<m <n D ．0<m <n <1答案 B解析画图象可知．4．函数y ＝(|x |)12的图象可能是下列四个图中的()答案 D解析由y ＝(|x |)12知函数为偶函数，且0<x <1时，y >x .5．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B．(－∞，2) C ．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 C解析 x ≥1时，log 2 x ≥0，∴y ≥2. 二、填空题6．设f (x )＝(]()⎩⎨⎧+∞∈∞-∈-,1log 1,381xx x x ，则满足f (x )＝41的x 值为________．答案 3,解析 ∵f (x )＝41，当3－x＝41时，x ＝log 3 4∉(－∞，1]，,∴log 81 x ＝41，即x ＝4181＝()4143＝3∈(1，＋∞)，,综上可知，满足f (x )＝41的x 的值是3.7.1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+＝________.,答案－4, 解析原式＝()1215lg 2lg 5lg 32lg 3-⋅--+＝()215lg 2lg 2-+＝212-＝－4.8.已知a >1,0<x <1且a log b (1－x )>1，那么b 的取值范围是______________．答案 (0,1),解析 ∵a log b (1－x )>a 0，且a >1.,∴log b (1－x )>0.,又∵0<x <1，∴0<1－x <1.∴0<b <1., 三、解答题,9.证明f (x )＝x x -+12在其定义域内是减函数证明 ∵函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，设x 1，x 2为区间(－∞，＋∞)上任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝112122+-+x x －(x 2－x 1),＝1122212122+++-x x x x －(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)1111222122212122++++-+--x x x x x x∵x 2>x 1，∴x 2－x 1>0，且112221+++x x >0.,又∵对任意x ∈R ，都有x x x x ≥=>+||122，∴x －12+x <0，∴x 1－121+x <0，x 2－122+x <0，,∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．,所以，函数f (x )＝x x -+12在其定义域R 内单调递减．,10.若f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝log x 3x －log x 4＝log x43．,当0<x <1时，log x 43x >0，f (x )>g (x )；当x ＝34时，f (x )＝g (x )；,当1<x <34时，log x 43x <0，f (x )<g (x )．当x >34时，log x 43x >0，f (x )>g (x )．综上所述，当x ∈(0,1)∪（34，＋∞))时，f (x )>g (x )；,当x ＝34时，f (x )＝g (x )；,当x ∈（1，34)时，f (x )<g (x )．章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分),1.函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ), A.f (－4)＝f (1) B ．f (－4)>f (1) C.f (－4)<f (1) D ．不能确定, 答案 B,2.若幂函数的图象过点(3，33)，则该函数的解析式为( )A ．y ＝x 3B ．y ＝x 13C ．y ＝1x3 D ．y ＝x －1答案 B解析设幂函数为y ＝x α，则33＝3α，∴α＝13，y ＝x 13.3．若x log 23＝1，则3x ＋9x的值为( )A ．3 B.52 C ．6 D.12答案 C解析 x log 23＝1⇒21x＝3，∴3x ＝2,9x ＝(3x )2＝22＝4，∴3x ＋9x＝6.4．已知a >0且a ≠1，下列四组函数中表示相等函数的是( )A ．y ＝log a x 与y ＝(log x a )－1B ．y ＝a log a x 与y ＝xC ．y ＝2x 与y ＝log a a 2xD ．y ＝log a x 2与y ＝2log a x 答案 C解析对A ，解析式不同，定义域不同；对B ，定义域不同；对D ，定义域不同；对C ，是相等函数．5．若函数y ＝a x＋m －1 (a >0，a ≠1)的图象在第一、三、四象限内，则( ) A ．a >1 B ．a >1，且m <0 C ．0<a <1，且m >0 D ．0<a <1 答案 B解析由函数y ＝a x＋m －1 (a >0，a ≠1)的图象在第一、三象限知a >1.又过第四象限内，则有m <0.6．已知函数f (log 4x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 答案 D解析令log 4x ＝12，则x ＝412＝2.7．已知函数y ＝log a (3a －1)的值恒为正数，则a 的取值范围是( )A ．a >13 B.13<a ≤23C ．a >1 D.13<a <23或a >1答案 D解析由y >0得：⎩⎪⎨⎪⎧ a >13a －1>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <10<3a －1<1，解得a >1或13<a <23.8．函数f (x )＝x|x |·a x(a >1)的图象的大致形状是( )答案 B解析 f(x)=·ax=，故其图象为B.9．设a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则a a，log 12a ，a 12之间的大小关系是( )A ．a a >a 12>log 12aB ．a 12>log 12 a >a aC ．log 12a >a a>a 12 D ．log 12a >a 12>a a答案 C解析 ∵0<a <12，∴1>a a>a 12>0，log 12a >log 1212＝1，∴log 12a >a a >a 12. 10．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．y ＝－x 2C ．y ＝－x 3D ．y ＝log 3(－x ) 答案 C解析因为A 、D 不具有奇偶性，B 是偶函数，故选C. 11．若0<x <y <1，则( )A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y答案 C解析因为3x 为增函数，故3y >3x；由0<x <y <1和对数函数的图象性质可知log x 3>log y 3； log 4x 为增函数，故log 4x <log 4y ； ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 为减函数，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y . 12．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 B解析 ∵函数y ＝a x与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，∴函数f (x )的最大值、最小值应在[0,1]的端点处取得，由a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，得a ＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．函数y ＝lg(x ＋2)x －1的定义域是______________．答案 [－1,1)∪(1，＋∞)解析由⎩⎪⎨⎪⎧ lg(x ＋2)≥0x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥1x ≠1， ∴x ≥－1且x ≠1.14．已知log 3x ＝2，则x ＝________. 答案 81解析 log 3x ＝2⇒x ＝32⇒x ＝81.15．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )是奇函数，则a ＝________.答案 12解析方法一函数f (x )＝a －12x ＋1的定义域为R ，且为奇函数，∴f (0)＝0，即a －120＋1＝0，∴a ＝12.方法二 f (－x )＝a －12－x ＋1＝a －2x1＋2x ，∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，∴a －12x ＋1＝－a ＋2x1＋2x .∴2a ＝2x＋12x ＋1＝1，∴a ＝12.16．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≥4)f (x ＋1) (x <4)，则f (log 23)＝________.答案124解析 ∵log 23<4，∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)，∵log 224>4，∴f (log 224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝124. 三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)log 2.56.25＋lg 1100＋ln e ＋21＋log 23.解 (1)原式＝(－1)－23⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝log 2.52.52＋lg10－2＋lne 12＋2·2log 23＝2－2＋12＋2×3＝132.18．(12分)已知：x ，y ，z 均为正实数，且3x ＝4y ＝6z.求证：1z －1x ＝12y.证明设3x ＝4y ＝6z＝k ，则k >0， x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k . ∴1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2， 12y ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2， ∴1z －1x ＝12y. 19．(12分)若－3≤log 12x ≤－12，求f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 4的最大值和最小值．解 f (x )＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14. 又∵－3≤log 12x ≤－12，∴12≤log 2x ≤3.∴当log 2x ＝32时，f (x )min ＝f (22)＝－14；当log 2x ＝3时，f (x )max ＝f (8)＝2.20．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f (x )>0.(1)解由2x－1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)解由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12·(－x )3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x1－2x ＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明当x >0时，12x －1>0，x 3>0，∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.21．(12分)已知函数f (x )＝－2x 12，求f (x )的定义域，并证明在f (x )的定义域内，当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)．证明 ∵f (x )＝－2x 12＝－2x ，∴函数f (x )的定义域为[0，＋∞)，当0≤x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)＝－2x 121＋2x 122＝2(x 2－x 1)＝2x 2－x 1x 2＋x 1，∵0≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．22．(14分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，且a ≠1)，令F (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数y ＝F (x )的定义域； (2)判断函数y ＝F (x )的奇偶性；(3)证明：F (x )＋F (y )＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy .(1)解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1，故函数F (x )的定义域是(－1,1)．(2)解因为函数F (x )的定义域关于原点对称，且F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝log a 1－x1＋x＝－log a 1＋x1－x＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，所以F (x )是奇函数．(3)证明因为F (x )＋F (y )＝log a 1＋x 1－x ＋log a 1＋y1－y＝log a 1＋x ＋y ＋xy 1＋xy －x －y，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝loga1＋x ＋y 1＋xy 1－x ＋y 1＋xy ＝log a 1＋x ＋y ＋xy 1＋xy －x －y ，故F (x )＋F (y )＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy .。

高中数学第2章基本初等函数Ⅰ阶段复习课学案新人教A版必修1

第2章基本初等函数（Ⅰ）【例1】计算：(1)2log 32－log 39＋log 38－5log 53；(2)1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6 [解] (1)原式＝log 322×8329－3＝2－3＝－1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋234×214＋22×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．1.设3x ＝4y＝36，则2x ＋1y的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．1D [由3x＝4y＝36得x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364＝log 3636＝1.]aA B C D(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x. ①如图，画出函数f (x )的图象；②根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，log a 3＝1，所以a ＝3.A 项，函数解析式为y ＝3－x，在R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解析式为y ＝(－x )3＝－x 3，当x >0时，y <0，这与图象不符；D 项中函数解析式为y ＝log 3(－x )，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为y ＝x 3，与图象相符．故选B.](2)[解] ①先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．②函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手： (1)单调性：函数图象的变化趋势； (2)奇偶性：函数图象的对称性； (3)特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a 0＝1，log a 1＝0.2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1，1)B ．(1，0)C ．(2，1)D ．(2，0)C [把y ＝log 12x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y ＝1＋log 12(x－1)的图象，故其经过点(2，1)．]A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14yC [因为0<x <y <1，则对于A ，函数y ＝3x在R 上单调递增，故3x<3y，A 错误．对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0<a <1时，在x ∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x <y <1，所以log x 3>log y 3，B 错误．对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x <log 4y ，C 正确．对于D ，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在R 上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，D 错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．3.设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >aC [∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π<log 121＝0，c ＝π－2＝1π2，即0<c <1，∴a >c >b ，故选C.]A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)已知a >0，a ≠1且log a 3>log a 2，若函数f (x )＝log a x 在区间[a ，3a ]上的最大值与最小值之差为1.①求a 的值；②若1≤x ≤3，求函数y ＝(log a x )2－log a x ＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0，1)上为增函数，故f (x )在(0，1)上为增函数．](2)[解] ①因为log a 3>log a 2，所以f (x )＝log a x 在[a ，3a ]上为增函数．又f (x )在[a ，3a ]上的最大值与最小值之差为1，所以log a (3a )－log a a ＝1，即log a 3＝1，所以a ＝3. ②函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2＝(log 3x )2－12log 3x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 3x －142＋3116.令t ＝log 3x ，因为1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1，即0≤t ≤1.所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋3116∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52，所以所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52.1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u ＝log a x 或u ＝a x，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u 的取值范围．3(1)求该函数的定义域；(2)若该函数的图象经过点M (2，1)，讨论f (x )的单调性并证明．思路点拨：(1)分a >1和0<a <1两类分别解不等式a x－1>0； (2)借助单调性的定义求证．[解] (1)要使函数f (x )有意义，只需a x －1>0，即a x>1. ①当a >1时，解得x >0， ②当0<a <1时，解得x <0，故当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)． (2)由f (2)＝1得，log 3(a 2－1)＝1， ∴a 2＝4，即a ＝2.故函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．设x 2>x 1>0，则2x 2>2x 1>1，即2x 2－1>2x 1－1>0， ∴2x 2－12x 1－1>1， ∴log 32x 2－12x 1－1>log 31＝0，即f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．在解决底数中含字母参数的指数或对数函数问题时，常对底数进行分类讨论，一般分a >1与0<a <1两种情况．4.已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．[解] ①若a >1，则f (x )是增函数，∴f (x )在[1，2]上的最大值为f (2)，最小值为f (1)， ∴f (2)－f (1)＝a2，即a 2－a ＝a2，解得a ＝32.②若0<a <1，则f (x )是减函数，∴f (x )在[1，2]上的最大值为f (1)，最小值为f (2)， ∴f (1)－f (2)＝a2，即a －a 2＝a2，解得a ＝12.综上所述，a ＝12或a ＝32.。

基本初等函数复习学案-5页文档资料

基本初等函数一．【要点精讲】1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a nn =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。

（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a sr s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( Q ）。

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；3）1log =a a ；4）对数恒等式：log xa a x =，N a N a =log 。

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则1）N M MN a a a log log )(log +=；2）N M NMa a alog log log -=；3）∈=n M n M a n a (log log R ） ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a n a m log log =。

2020学年高中数学第2章基本初等函数Ⅰ 章末复习课、章同步精品学案新人教A版必修1

章末复习课1．熟练地进行指数式与根式的互化，对含有指数式(或根式)的乘除运算要善于利用幂的运算法则，注意表达式中出现的数量之间的关系，利用分数指数幂进行根式运算的顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行运算．2．应用指数函数y＝a x的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意a>1还是0<a<1.3．比较大小问题：先判断幂与1的大小，然后分类比较．同底数的幂用指数函数单调性比较；同指数的幂用幂函数的单调性比较，也可以利用图象比较大小．4．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了对数计算的优越性．5．一般当给出的等式是指数形式时，通常对等式两边取对数，这是一种常用的解题技巧．6．应用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”．7．比较对数大小时，应先区分各对数值是正还是负，再区分是大于1的数还是小于1的正数，然后分类比较．同底数的对数大小比较，利用对数函数单调性；不同底数同真数的对数大小比较可取倒数，化为同底数比较，亦可使用图象；真数、底数都不同的对数比较大小要借助中介值或图象比较大小.一、比较大小的方法比较几个数的大小是幂、指数、对数函数的又一重要应用，常用的方法有：单调性法、搭桥法、图象法、特殊值法、作差法、作商法等．例1 比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小.分析根据三个数式的特点，选择y＝x2，y＝log2x，y＝2x三个函数的图象和性质加以比较．解方法一∵0.32<12=1，log20.3<log21=0,20.3>20=1， ∴log20.3<0.32<20.3.方法二作出函数图象如图所示，由图象即可看出log20.3<0.32<20.3.点评比较幂函数、指数函数、对数函数型的数值间的大小关系时要注意：(1)若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；(2)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；(3)若底数不同，指数也不同，以及一些对数函数型数值等，应寻找媒介数(常用0,1)进行比较；(4)作差比较和作商比较是常用技巧．二、换元法的应用研究函数除了几种基本初等函数外，还要研究由它们进行复合而形成的复合函数的性质，这些函数性质在研究时，常用换元的思路，使问题转化为已知的问题．例2 f (x )＝9x ＋12－3x＋a ，x ∈[1,2]的最大值为5，求其最小值．解 f (x )＝32x ＋1－3x＋a .设3x＝t ，则t ∈[3,9]．∴f (x )＝g (t )＝3t 2－t ＋a＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －162＋a －112，t ∈[3,9]．∴f (x )max ＝g (9)＝3·92－9＋a ＝5，∴a ＝－229， ∴f (x )min ＝g (3)＝24＋a ＝－205.点评利用换元法求值域必须先求出新元的取值范围作为新函数的定义域．三、数形结合思想的应用数学的本质是数与形的统一，数形结合的思想始终是数学研究中最重要的思想方法之一．研究和应用指数函数、对数函数的性质，图象是个有力的工具；并且，由于这两类函数的图象都比较单一，也容易画出，因此，利用它们的图象来进行比较大小，讨论方程根的情况等题目比较普遍．例3 方程a －x＝log a x (a >0且a ≠1)的实数解的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析本例可用数形结合法画出y ＝a －x与y ＝log a x 的图象，观察交点个数，要注意对a 分a >1与0<a <1两种情况讨论．当a >1时，在同一坐标系中画出y 1＝log a x 的图象和y 2＝a －x的图象如图(1)，由图象知两函数图象只有一个交点；同理，当0<a <1时，由图象(2)知，两图象也只有一个交点．因此，不论何种情况，方程只有一个实数解．四、分类讨论思想的应用指数函数与对数函数的性质渗透了分类讨论的数学思想方法．由于指数函数y ＝a x，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的性质都与a 的取值有密切的联系，a 变化时，函数的性质也随之改变；因此，在a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论．例4 若－1<log a 23<1，求a 的取值范围.解－1<log a 23<1，即log a 1a ＝－1<log a 23<1＝log a a .(1)当a >1时，有log a 23为增函数，1a <23<a .∴a >32，结合a >1，故a >32.(2)当0<a <1时，有log a 23为减函数，1a >23>a .∴a <23，结合0<a <1，故0<a <23.∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0<a <23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >32.点评解含参数的不等式或方程时常常要对参数进行讨论，讨论是自然产生的，不要为了讨论而讨论．还需明确的就是分类的目的是什么，分类之后就等于将整个一个大问题划分为若干个小问题，每个小问题可以解决了，整个大问题也就解决了.一、选择题1．已知集合A ＝{y |y ＝log a x ，x >0，a >0且a ≠1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ≥2，则A ∩B 等于( )A ．{x |x ≥－1}B ．{x |x ≤－1}C ．{x |x ≥0} D．{x |x >0} 答案 B解析 ∵A ＝R ，B ＝(－∞，－1]，B A ， ∴A ∩B ＝B ＝(－∞，－1]．2．设a >b >1,0<x <1，则有( )A ．x a >x bB ．b x >a xC ．log a x >log b xD ．log x a >log x b 答案 C解析画图象可知．3．若log m 2<log n 2<0，则实数m 、n 的大小关系是( ) A ．1<n <m B ．0<n <m <1 C ．1<m <n D ．0<m <n <1答案 B解析画图象可知．4．函数y ＝(|x |)12的图象可能是下列四个图中的( )答案 D解析由y ＝(|x |)12知函数为偶函数，且0<x <1时，y >x .5．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B．(－∞，2) C ．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 C解析 x ≥1时，log 2 x ≥0，∴y ≥2. 二、填空题6．设f (x )＝(]()⎩⎨⎧+∞∈∞-∈-,1log 1,381xx x x ，则满足f (x )＝41的x 值为________．答案 3,解析 ∵f (x )＝41，当3－x＝41时，x ＝log 3 4∉(－∞，1]，,∴log 81 x ＝41，即x ＝4181＝()4143＝3∈(1，＋∞)，,综上可知，满足f (x )＝41的x 的值是3.7.1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+＝________.,答案－4, 解析原式＝()1215lg 2lg 5lg 32lg 3-⋅--+＝()215lg 2lg 2-+＝212-＝－4.8.已知a >1,0<x <1且a log b (1－x )>1，那么b 的取值范围是______________．答案 (0,1),解析 ∵a log b (1－x )>a 0，且a >1.,∴log b (1－x )>0.,又∵0<x <1，∴0<1－x <1.∴0<b <1., 三、解答题,9.证明f (x )＝x x -+12在其定义域内是减函数证明 ∵函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，设x 1，x 2为区间(－∞，＋∞)上任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝112122+-+x x －(x 2－x 1),＝1122212122+++-x x x x －(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)1111222122212122++++-+--x x x x x x∵x 2>x 1，∴x 2－x 1>0，且112221+++x x >0.,又∵对任意x ∈R ，都有x x x x ≥=>+||122，∴x －12+x <0，∴x 1－121+x <0，x 2－122+x <0，,∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．,所以，函数f (x )＝x x -+12在其定义域R 内单调递减．,10.若f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝log x 3x －log x 4＝log x43．,当0<x <1时，log x 43x >0，f (x )>g (x )；当x ＝34时，f (x )＝g (x )；,当1<x <34时，log x 43x <0，f (x )<g (x )．当x >34时，log x 43x >0，f (x )>g (x )．综上所述，当x ∈(0,1)∪（34，＋∞))时，f (x )>g (x )；,当x ＝34时，f (x )＝g (x )；,当x ∈（1，34)时，f (x )<g (x )．章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分),1.函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ), A.f (－4)＝f (1) B ．f (－4)>f (1) C.f (－4)<f (1) D ．不能确定, 答案 B,2.若幂函数的图象过点(3，33)，则该函数的解析式为( )A ．y ＝x 3B ．y ＝x 13C ．y ＝1x3 D ．y ＝x －1答案 B解析设幂函数为y ＝x α，则33＝3α，∴α＝13，y ＝x 13.3．若x log 23＝1，则3x ＋9x的值为( )A ．3 B.52 C ．6 D.12答案 C解析 x log 23＝1⇒21x＝3，∴3x ＝2,9x ＝(3x )2＝22＝4，∴3x ＋9x＝6.4．已知a >0且a ≠1，下列四组函数中表示相等函数的是( )A ．y ＝log a x 与y ＝(log x a )－1B ．y ＝a log a x 与y ＝xC ．y ＝2x 与y ＝log a a 2xD ．y ＝log a x 2与y ＝2log a x 答案 C解析对A ，解析式不同，定义域不同；对B ，定义域不同；对D ，定义域不同；对C ，是相等函数．5．若函数y ＝a x＋m －1 (a >0，a ≠1)的图象在第一、三、四象限内，则( ) A ．a >1 B ．a >1，且m <0 C ．0<a <1，且m >0 D ．0<a <1 答案 B解析由函数y ＝a x＋m －1 (a >0，a ≠1)的图象在第一、三象限知a >1.又过第四象限内，则有m <0.6．已知函数f (log 4x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 答案 D解析令log 4x ＝12，则x ＝412＝2.7．已知函数y ＝log a (3a －1)的值恒为正数，则a 的取值范围是( )A ．a >13 B.13<a ≤23C ．a >1 D.13<a <23或a >1答案 D解析由y >0得：⎩⎪⎨⎪⎧ a >13a －1>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <10<3a －1<1，解得a >1或13<a <23.8．函数f (x )＝x|x |·a x(a >1)的图象的大致形状是( )答案 B解析 f(x)= ·ax= ，故其图象为B.9．设a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则a a，log 12a ，a 12之间的大小关系是( )A ．a a >a 12>log 12aB ．a 12>log 12 a >a aC ．log 12a >a a>a 12 D ．log 12a >a 12>a a答案 C解析 ∵0<a <12，∴1>a a>a 12>0，log 12a >log 1212＝1，∴log 12a >a a >a 12. 10．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．y ＝－x 2C ．y ＝－x 3D ．y ＝log 3(－x ) 答案 C解析因为A 、D 不具有奇偶性，B 是偶函数，故选C. 11．若0<x <y <1，则( )A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y答案 C解析因为3x 为增函数，故3y >3x；由0<x <y <1和对数函数的图象性质可知log x 3>log y 3； log 4x 为增函数，故log 4x <log 4y ； ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 为减函数，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y . 12．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 B解析 ∵函数y ＝a x与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，∴函数f (x )的最大值、最小值应在[0,1]的端点处取得，由a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，得a ＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．函数y ＝lg(x ＋2)x －1的定义域是______________．答案 [－1,1)∪(1，＋∞)解析由⎩⎪⎨⎪⎧ lg(x ＋2)≥0x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥1x ≠1，∴x ≥－1且x ≠1.14．已知log 3x ＝2，则x ＝________. 答案 81解析 log 3x ＝2⇒x ＝32⇒x ＝81.15．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )是奇函数，则a ＝________.答案 12解析方法一函数f (x )＝a －12x ＋1的定义域为R ，且为奇函数，∴f (0)＝0，即a －120＋1＝0，∴a ＝12.方法二 f (－x )＝a －12－x ＋1＝a －2x1＋2x ，∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，∴a －12x ＋1＝－a ＋2x1＋2x .∴2a ＝2x＋12x ＋1＝1，∴a ＝12.16．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≥4)f (x ＋1) (x <4)，则f (log 23)＝________.答案124解析 ∵log 23<4，∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)，∵log 224>4，∴f (log 224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝124. 三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)log 2.56.25＋lg 1100＋ln e ＋21＋log 23.解 (1)原式＝(－1)－23⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝log 2.52.52＋lg10－2＋lne 12＋2·2log 23＝2－2＋12＋2×3＝132.18．(12分)已知：x ，y ，z 均为正实数，且3x ＝4y ＝6z.求证：1z －1x ＝12y.证明设3x ＝4y ＝6z＝k ，则k >0， x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k . ∴1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2， 12y ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2， ∴1z －1x ＝12y. 19．(12分)若－3≤log 12x ≤－12，求f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 4的最大值和最小值．解 f (x )＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14. 又∵－3≤log 12x ≤－12，∴12≤log 2x ≤3.∴当log 2x ＝32时，f (x )min ＝f (22)＝－14；当log 2x ＝3时，f (x )max ＝f (8)＝2.20．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f (x )>0.(1)解由2x－1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)解由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12·(－x )3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x1－2x ＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明当x >0时，12x －1>0，x 3>0，∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.21．(12分)已知函数f (x )＝－2x 12，求f (x )的定义域，并证明在f (x )的定义域内，当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)．证明 ∵f (x )＝－2x 12＝－2x ，∴函数f (x )的定义域为[0，＋∞)，当0≤x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)＝－2x 121＋2x 122＝2(x 2－x 1)＝2x 2－x 1x 2＋x 1，∵0≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．22．(14分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，且a ≠1)，令F (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数y ＝F (x )的定义域； (2)判断函数y ＝F (x )的奇偶性；(3)证明：F (x )＋F (y )＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy .(1)解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1，故函数F (x )的定义域是(－1,1)．(2)解因为函数F (x )的定义域关于原点对称，且F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝log a 1－x1＋x＝－log a 1＋x1－x＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，所以F (x )是奇函数．(3)证明因为F (x )＋F (y )＝log a 1＋x 1－x ＋log a 1＋y1－y＝log a 1＋x ＋y ＋xy 1＋xy －x －y，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝loga1＋x ＋y 1＋xy 1－x ＋y 1＋xy ＝log a 1＋x ＋y ＋xy 1＋xy －x －y ，故F (x )＋F (y )＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy .。

高中数学(21基本初等函数2)复习学案新人教A版必修1 学案

对数函数、幂函数复习案姓名班级组号学号基础知识点1.对数的概念：一般的，如果)10(≠>=a a N a x且,那么数x 叫做以，记作，其中a 叫作对数的，N 叫作 . 2.指数式与对数式的互化：⇔=N a x 3.对数的性质：(1) N 的范围是______________(2) log 1____________a = log ____________a a = (3)对数恒等式： )010______(log >≠>=N a a aN a ，且复习自测题一、考察对数性质及运算：1．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：（1）lg()xyz （2）2lg xy z （3）3xy z2．求下列各式的值：（1）23log (279)y =⨯ （2）lg 0.00001 （3）33log 18log 2y =-（4）522log 253log 64- （5）22log (log 16) （6lg 27lg8lg 1000lg1.2+-3.已知x 的对数满足下列式子，求x : （1）lg lg lg x a b =+（2）log log log aa a x m n =-（3）1log log log 2a a a xbc =-4．函数log (32)(01)a y x a a =->≠且的图像恒过定点 5．如果(10)xf x =，则(3)f =6．已知lg 2,lg 3a b ==，试用a 、b 表示2log 12和457．若3log 41,44x x x -=+求的值。

8．已知二、考察函数的定义域1．下列各组函数中，表示同一函数的是（） A ．2222log log y x y x ==与 B ．lg 10lg10x x y y ==与C ．log x y x y x x ==与 D ．ln x y x y e ==与2．求下列函数的定义域1()lg ,,(1,1),()()()11x a bf x a b f a f b f x ab-+=∈-+=++求证：（1）31log (32)y x =- （2）y =（3）y =（4）(2)log (5)x y x -=-三、考察函数的值域1．函数0.52log (18)y x x =+≤<的值域是2．已知集合{}2|log ,1A y y x x ==>，1|,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（）A ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ． {}01y y <<C ．112y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．∅ 四、考察函数的单调性1.已知函数1211()log ,()()(2)42f x x f f f =则、、的大小关系是（）A ．11()()(2)42f f f >> B ． 11()()(2)42f f f << C ．11()(2)()42f f f >> D ． 11(2)()()42f f f >>2. 比较下列两个数的大小（1）log 5a log 3a （2）2log 0.7 3log 0.7 （3） 6log 7 7log 6 （4）0.50.80.50.9 （5）24.3- 23.3-3.已知下列不等式，比较正数,m n 的大小：（1）33log log m n < （2）0.30.3log log m n < （3）log log a a m n <4.不等式0.450.45log (2)log (1)x x +<-的解集为5.已知log (31)0,a a a -<则的取值范围是6.（1）求使2()log (21)0f x x =-≤的x 取值范围。