第二章 基本初等函数复习学案

第二章 基本初等函数复习学案

§2.1 一次、二次、反比例函数

【知识梳理】

一、掌握一次、二次、反比例函数的图象，并能理解图象、方程、不等式三者的关系.

【典例分析】

例1：（1）函数()lg[(1)2]f x a x =-+在[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 （2）函数2

()f x x ax =-在[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是

（3）在右侧坐标系中画出函数3()1

x

f x x -=-的图象； 例2. 已知函数2

()(2)f x a x a =-+在区间[0,1]上恒为正值，则a 的取值范围是 ．

例3.（1）二次函数2

()f x ax bx =+满足条件(1)(3)f f -=,且函数存在最大值,则不等

式2

0ax bx +>的解集是

（2）已知二次函数2

()2 5 (1)f x x ax a =-+>，若函数的定义域和值域都是[1,]a ，求实数a 的值.

例4．分析函数()1

ax

f x x =-的单调性．

§２.2 指数与指数函数

【知识梳理】

一．根式与分数指数幂

1. 若n x a =，则x 叫做a 的n

次方根，记为n >1，且n N *∈. n 次方根

（*1,n n N >∈且

）有如下恒等式：n a =

,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数

为偶数；

2.

规定正数的分数指数幂：m n

a =（0,,,1a m n N n *>∈>且）

3

。负分数指数幂：1m

n

m n

a

a

-=

=

（0,,,1a m n N n *>∈>且）

二、指数幂的运算律

m n a a = ()m n

a = m m

a b =

三、指数函数的性质

(1)x y a a => (01)x y a a =<<

图 像

定义域 值域 性 质

定点

单调性

值分布

典例分析】

例1 化简：（1）2115113366

22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-= （2）24

3

819⨯= 例2 (1)函数()x b

f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．1,0a b >< B 1,0a b >>C ．01,0a b <<> D ．01,0a b <<< （2）在同一坐标系下，函数,,,x

x

x

x

y a y b y c y d ====的图象则

,,,,1a b c d 之间从小到大的顺序是__________．

例3. 比较下列各题中两个值的大小（用“<”或“>”填空）： (1) 2.51.7 31.7； (2) 0.10.8- 0.20.8-； (3)0.31.7 3.10.9

例4. 求下列函数的值域

（1）1

()()42x f x -=-

(2) 1

93 5 [1,2]x x y x +=++∈

（3）2221()2x x y --= (4)解不等式： 111

3042

x x -+->

§2.3 对数与对数函数

【知识梳理】

一．对数的概念与运算律

1. 定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数记作 log a x N =

2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数10log N 简记为lg N

以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N （e=2.71828……）

3.对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.

4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a =

5.对数的运算法则：

log () a M N =，log a

M

N =

，log n a M =， 6. 对数的换底公式log log log b a b N

N a =. 如果令N=b ，则得到了对数的倒数公式

log a b =

log log m n a a n N N m

=

二、对数函数

1.定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数。

2.例1求下列各式的值：(1)91

log 52

9

-= (2) 21log 32.51

log 6.25lg

2100

+++= (3)3

3

(lg 2)(lg5)3lg 2lg5++= (4)已知log 2,log 3,a a m n ==则2m n

a +=

例2．（1）已知0x y z ≠，346x y z

==，求证

111

z

（2）已知18log 9,185b

a ==，用,a

b 表示36log 5例3．如右图是对数函数①log a y x =，②log b y =③log

c y x =，④log

d y x =的图象，则,,,a b c d 的大小关系是 例4．比较大小

（1）2log 3.4 2log 8.5（2）0.3log 1.8 0.3log 2.7 （3）6log 7 7log 6

（4）3log 2 2log 0.9（5）lg 0.1 ln 0.1 （6）30.4

0.4log 3 0.4 3

例5．求下列函数的值域:（1）2

lg(22)y x x =++；（2）()()1122

log 1log 3y x x =-++