第三章连续信源信息熵

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信源熵

I ( y j ) I ( y j | xi ) I ( y j )
19
条件互信息量
条件互信息量：在给定 zk 的条件下，xi 与 y j 之间的互信
I ( xi ; y j ) 0 后验概率先验概率，X 与 Y 统计独立
I ( xi ; y j ) 0 后验概率先验概率：由于信道受到干扰，信宿收到 y j 后不但未使 xi 的不确定度减少，反而增大了 xi 的不确定度两个消息之间的互信息不大于其中任一消息的自信息 I ( xi ; y j ) I ( xi ) I ( x i | y j ) I ( x i )
符号从平均意义上表征信源总体特性的一个量对于特定的信源其熵只有一个1log?niiipxpx????1logniiipxpx????信息熵的物理含义信源输出前表征信源的平均不确定度信源输出后表征信源发出的每个消息所能提供的平均信息量是一个统计量反映了随机变量x的随机性22统计热力学中熵是表示分子混乱程度的一个物理量在孤立系统中进行的自发过程总是沿着熵增加的方向进行它是不可逆的平衡态相应于熵取最大值的状态即熵增加原理香农借用热力学中熵来描述信源的平均不确定度在信息论中有用的信息熵只会减少不会增加所以信息熵也被称为负热熵ijxyxy
2
信源的分类
信源输出以符号形式出现的具体消息，其分类如下：按发送消息的时间和取值空间的分布离散信源单符号离散信源连续信源信源发出的按发出符号之间的关系消息是离散的、无记忆信源有限的或无限可列的符号，且一有记忆信源个符号代表一条按发送一条消息所需要的符号数完整的消息单个符号信源符号序列信源
三种表达形式等效
log log p( x i y j ) p( x i ) p( y j ) p( y j | x i ) p( y j )

信源及信源熵介绍

14
2.2.1 自信息量
2. 不确定度定义：随机事件的不确定度在数量上等于它的自信息量．
说明:
a. 两者的单位相同，但含义却不相同。 b. 具有某种概率分布的随机事件不管发生与否，都存在
不确定度，不确定度表征了该事件的特性，而自信息量是在该事件发生后给予观察者的信息量。
15
2.2.1 自信息量
22
2) 因为X中各符号xi的不确定度I（xi）为非负值，p（xi）也是非负值，且0 p（xi）1，故信源的平均不确定度H（X）也是非负量。
3) 平均不确定度H（X）的定义公式与热力学中熵的表示形式相同，所以又把H（X）称为信源X的熵。熵是在平均意义上来表征信源的总体特性的，可以表征信源的平均不确定度。
2
p(xi ) log 2 p(xi ) i 1
= 0.72比特/次说明：
1) 自信息量I（x1）和I（x2）只是表征信源中各个符号的不确定度，一个信源总是包含着多个符号消息，各个符号消息又按概率空间的先验概率分布，因而各个符号的自信息量就不同。所以自信息量不能作为信源总体的信息量。
=3 × 105 × 3.32 比特/画面
25
有一篇千字文章，假定每字可从万字表中任选，则共有不同的千字文 N=100001000=104000 篇仍按等概率1/100001000计算，平均每篇千字文可提供的信息量为 H（X）＝log2N ＝4 × 103 × 3．32
1．3 × 104 比特／千字文
离散消息的信源，如文字、数字、数据等符号都是
离散消息。
{ 离散信源
离散无记忆信源离散有记忆信源
{ {
5
发出单个符号的无记忆信源发出符号序列的无记忆信源发出符号序列的有记忆信源发出符号序列的马尔可夫信源

2.6连续信源的熵

2.6连续信源的熵所谓连续信源就是指其输出在时间上和取值上都是连续的信源。

见图2.6.1。

各采样值的概率可用其概率分布密度函数来确定。

图2.6.2表示一个连续信源输出的幅度和其概率分布密度的关系。

设各种采样值之间无相关性，信源熵可写成：])(log[)(dx x p dx x p i ii ∑[例2.6.1]一连续信源，其输出信号的概率分布密度如图2.6.3所示，试计算其熵。

连续信源的熵不再具有非负性，这与离散信源显然不同。

同样可以定义两个连续变量的联合熵：⎰⎰-=dxdy xy lbp xy p XY H )()()(以及定义两个连续变量的条件熵；⎰⎰-=dxdy y x lbp xy p Y X H )/()()/( ⎰⎰-=dxdy x y lbp xy p X Y H )/()()/(连续信源的共熵、条件熵、单独熵之间也存在如下关系：)()()(Y H X H XY H +≤2.6.1三种特定连续信源的最大熵与离散信源不同，求连续信源的最大熵需要附加条件，常见的有三种。

1．输出幅度范围受限（或瞬时功率受限）的信源2．输出平均功率受限的信源 3．输出幅度平均值受限的信源 (1)限峰值功率的最大熵定理若代表信源的N 维随机变量的取值被限制在一定的范围之内，则在有限的定义域内，均匀分布的连续信源具有最大熵。

设N 维随机变量∏=∈Ni iib a X 1),( iia b>其均匀分布的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∉-∈-=∏∏∏===Ni i i Ni i i Ni i i a b x a b x a b x p 111)(0)()(1)(除均匀分布以外的其他任意概率密度函数记为)(x q ，并用[]X x p H c),(和[]X x q H c),(分别表示均匀分布和任意非均匀分布连续信源的熵。

在1)()(11112121==⎰⎰⎰⎰N b a b a N b a b a dx dx dxx q dx dx dxx p N NN N的条件下有[]⎰⎰-=1112)(log)(),(b a Nb ac dx dx x q x q X x q H NN⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙=111111121212)()(log)()(log)()()()(1log )(b a Nb a b a N b a b a Nb a dx dx x q x p x q dx dx x p x q dx dx x p x p x q x q NNNNN N令0,)()(≥=z x q x p z显然运用著名不等式1ln -≤z z 0>z 则]),([11)(log1)()()()(1log)(]),([1211121111X x p H a bdx dx x q x p x q dx dx a bx q X x q H c Ni i ib a Nb a b a N Ni i ib ac N N NN=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--≤∏⎰⎰⎰∏⎰==则证明了，在定义域有限的条件下，以均匀分布的熵为最大。

信息论第3章信源及信息熵

举例
数学描述
离散信源（数字信源）
连续信号
文字、数据、离散化图象
离散随机变量序列
跳远比赛的结果、语音连续随机变量
信号抽样以后
序列
波形信源（模拟信源）
语音、音乐、热噪声、图形、图象
不常见
随机过程
表3.1 信源的分类
3.1 信源的分类及其数学模型
我们还可以根据各维随机变量的概率分布是否随时间的推移而变化将信源分为平稳信源和非平稳信源，根据随机变量间是否统计独立将信源分为有记忆信源和无记忆信源。
定义3.2 随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求平
均：
HN
(X)
1 N
H ( X1X 2
XN)
称为平均符号熵。如果当N
时上式极限存在，则
lim
N
H
N
(X)
称为熵率，或称为极限熵，记为
def
H
lim
N
H
N
(
X
)
3.3.1 离散平稳无记忆信源
离散平稳无记忆信源输出的符号序列是平稳随机序列，并且
H(X ) H(X1X2 XN ) H ( X1) H ( X2 | X1) H ( X3 | X1X 2 ) H ( X N | X1X 2 X N1)
定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论：
（1）条件熵 H (X N | X1X 2 X N1) 随N的增加是递减的；
（2）N给定时平均符号熵大于等于条件熵，即
s1
si p(s j
| si )
s q
m
状态空间由所有状态及状态间的状态转移概率组成。通过引
入状态转移概率，可以将对马尔可夫信源的研究转化为对马尔可夫链的研究。

信源熵的原理及应用

信源熵的原理及应用1. 介绍信源熵是信息论中一个重要的概念，它描述了一个随机信源所具有的信息量的平均度量。

信源的熵越大，表示信息的不确定性越高，需要更多的信息来描述。

本文将介绍信源熵的原理，并探讨其在通信、数据压缩以及密码学等领域的应用。

2. 信源熵的定义信源熵是正信息论中一个重要概念，它用来度量一个随机信源所具有的信息量的平均度量。

对于一个离散随机变量X，它的概率分布为P(X)，则信源的熵定义如下：equationequation其中，xi是随机变量X的取值，P(xi)是xi对应的概率。

3. 信源熵的性质•信源熵的取值范围：信源的熵是非负的，即H(X) ≥ 0。

•最大熵原理：对于一个离散信源，当它的概率分布均匀时，即每个xi的概率相等时，信源熵达到最大值。

•如果一个信源越复杂，即其概率分布越不均匀，那么它的熵就越小。

4. 信源熵的应用4.1 通信系统在通信系统中，信源熵可以用来度量信道所传输信息的平均编码长度。

根据香农定理，信道传输的平均编码长度L与信源熵H(X)满足以下关系：equationequation当信道编码满足L = H(X)时，信道编码称为最优编码，即编码的平均长度等于信源熵。

4.2 数据压缩信源熵还可以应用于数据压缩领域。

数据压缩的目的是使用更少的位数来存储或传输数据。

通过统计一个数据源的概率分布，可以将出现概率低的数据编码为较长的二进制位，而出现概率高的数据编码为较短的二进制位。

信源熵提供了压缩算法的理论基础。

4.3 密码学在密码学中，信源熵用于度量消息或密码的随机性。

如果一个密码是完全随机的，并且每个密钥都是等概率选择的，那么这个密码的熵将达到最大值。

信源熵可以用来评估一个密码系统的安全性，以及密码生成算法的随机性。

5. 总结本文介绍了信源熵的原理及其应用。

信源熵是衡量信息量的重要度量指标，它在通信、数据压缩以及密码学等领域具有多种应用。

通过明确信源熵的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它。

第3章_信源及信源熵_修改

第三章：信源及信源熵
信源分类
单符号信源
多符号信源连续信源
4. 马尔可夫信源
(1) 定义 (2) 熵率
(3) 马尔可夫信源
(4) 马尔可夫链
马尔可夫链
第三章：信源及信源熵
信源分类
单符号信源
多符号信源连续信源
4. 马尔可夫信源（续1）
(1) 定义
实际的有记忆信源，符号间的相关性可以追溯到很远，使得熵率的计算比较复杂。
离散多符号信源可以用随机矢量/随机变量序列来描述，即

一般来说，信源的统计特性随着时间的推移而有所变化。为了便于研究，我们常常假定在一个较短的时间段内，信源是平稳信源。
第三章：信源及信源熵
信源分类
单符号信源
多符号信源连续信源
1. 预备知识（续1）
定义1：对于离散随机变量序列，若任意两个不同时刻i和j (大于1的任意整数) 信源发出消息的概率分布完全相同，即对于任意的，和具有相同的概率分布。也就是
怎样确定信源产生的信息量、产生信息的速率 √
信源编码
（第五章）
根据信源输出消息在时间和取值上是离散或连续分类：
时间（空间）离散取值信源种类举例消息的数学描述
离散
离散信源（数字信源）
文字、数据、离散化图象
离散随机变量序列
离散连续
连续连续
连续信源波形信源（模拟信源）语音、音乐、热噪声、图形、图象不常见
第三章：信源及信源熵
一：信源的分类及其数学模型
1. 预备知识二：离散单符号信源 2. 离散平稳无记忆信源三：离散多符号信源 3. 离散平稳有记忆信源 4. 马尔可夫信源 5. 信源的相关性和剩余度

第三章信源及信源熵

3.3.1 离散平稳信源
P(Xi) P(Xj )
推论1
P(Xi Xi1) P(Xj Xj1)
PXi1Xi PXj1Xj P(Xi Xi1
XiN) P(Xj Xj1
XjN )
PX XX X iN i i1
iN1
PXjNXjXj1 XjN1
离散平稳信源的条件概率分布与时间起点无关，只与关联长度N有关。
第19页，共60页。
3.3.2 离散平稳无记忆信源
熵率
H lN iH m NX lN iN 1 m NX H H X
离散平稳无记忆信源的熵率等于单符号离散信源熵。
例1
离散无记忆信源为：X:{a1,a2,a3}；P(X):{1/4, 1/2, 1/4}，试求：
12））该写信出源该的信熵源；的二次H 扩(展X 信)源，1并.5 求b其it概率分布；
均为离散平稳信源
中文自然语言文字
离散平稳信源又分为无记忆信源和有记忆信源。
第11页，共60页。
3.3 离散多符号信源
离散平稳无记忆信源信源发出的各个符号彼此是统计独立的。对于多符号信源X=(X1 X2 …XN)，各随机变量Xi(i=1,2, …,N)之
间是统计独立的，即：称该多符号信源为离散无记忆信源的N次扩展信源。
3）根据2）中结果求该信源二次扩展信源的信源熵及熵率。
第20页，共60页。
3.3.2 离散平稳无记忆信源
2）写出该信源的二次扩展信源，并求其概率分布；
解：
二次扩展信源为：信源符号为：
X 2 ：{A1…A9}
A1=a1a1 A4=a2a1 其概率分A布7=为a3：a1
A2=a1a2 A5=a2a2 A8=a3a2

波形信源的熵

h( X i )
i 1 N
§4.1 连续性信源的熵
三、连续信源熵的性质
1 , p( x ) b a 1. 链式法则和独立界 0, h( XY ) h( X ) h(Y | X ) h(Y ) h( X | Y )
x [a , b] others
p( xi ) log p( xi ) p( xi ) log
N i 1 i 1
p( xi ) log p( xi ) log
i 1
N
当N ( 0)时, H ( X ) H ( X ) p( x )dx 1 p( Nx i )
2. 相对熵
h( X )
b a
1 p( x )log dx p( x )
R
或:h( X ) p( x )log p( x )dx
1 h( X Y ) p( xy )log dxdy p( x y ) 1 h(Y X ) p( xy )log dxdy p( y x ) h( XY ) p( xy ) log p( xy )dxdy
§4
波形信源与波形信道
§4.1 连续性信源的熵
连续信源的熵 §4.2 Shannon公式

波形信源的熵

连续信源熵的性质
§4.1 连续性信源的熵
一、连续信源的熵
X R p( x ) p( x )
X (a , b) p( x ) p( x )
§4.1 连续性信源的熵
二、波形信源的熵
令
波形信源熵
{ x( t )}为平稳的随机过程； X ( X 1 , X 2 ,..., X N ) 为平稳随机序列，

信源及信源熵课件

编码是将信息从一种形式或格式转换为另一种形式的过程。
编码的方式和格式取决于应用场景和需求。
编码的目的是为了便于信息的存储、传输和处理。
信源编码的原理
信源编码是对信源输出的符号或数据进行压缩编码，以减少存储空间和传输带宽。
信源编码的目标是在保证信息无损的前提下，尽可能地减小编码后的数据量。
差分编码
02
通过消除信号中的冗余信息，降低信号的复杂性，提高信号传
输的效率和可靠性。
深度学习在信源编码中的应用
03
利用深度学习算法对信源进行自动编码，提高编码的自适应性
和智能化水平。
信源熵的新应用
信息隐藏
利用信源熵将秘密信息隐藏在普通数据中，实现隐蔽通信和数据保护。
数据加密
通过改变数据熵值，增加数据破解的难度，保护数据的机密性和完整性。
LZ77编码
基于字典的压缩算法，通过查找已输出的字符串在字典中的匹配项，替换为较短的指针，实现数据压缩。
BWT编码
将信源输出按字节进行排序并连接成一个字符序列，通过游程编码和差分编码等技术实现数据压缩。
04
信源的应用
在通信系统中的应用
信源编码
通过将信源输出的消息转换为二进制或其它形式的数字信号，实现数字通信，提高通信系统的传输效率和可靠性。
信源编码的原理基于信息论和概率统计的知识，通过对信源输出的概率分布进行分析，采用适当的编码方式实现数据压缩。
常见信源编码方式
Huffman编码
基于信源符号出现概率的编码方式，通过为出现概率高的符号分配较短的码字，实现数据压缩。
算术编码
将信源输出区间划分为若干个子区间，每个子区间对应一个符号，通过小数形式的码字表示输出区间的范围，实现高压缩比。

第三章4连续信源及信源熵

(1) 均匀分布的连续信源的熵
一维连续随机变量X在[a,b]区间内均匀分布时的熵为 Hc(X)=log2(b-a)
若N维矢量X=(X1X2…XN)中各分量彼此统计独立，且分别在[a1,b1][a2,b2] …[aN,bN]的区域内均匀分布，即
1
N
p(x)
(N
x (bi ai ) i 1
若一维随机变量X的取值区间是[0,∞)，其概率密度函数为
p(x)
1 m
e
x m
(x 0) m是X的均值
E[X ] m
xp(x)dx
0
0
x
1 m
e
x m
dx
m
指数分布连续信源的熵为
Hc ( X ) 0 p(x) log2 p(x)dx
0
p(x) log2
1 m
e
x m
dx
随机变量X的方差E[( X m)2 ] E[ X 2 ] m2 P2 m2 2
当均值m 0时，平均功率P 2
对平均功率和均值的限制就等于对方差的限制；
把平均功率受限的问题变成方差受限的问题来讨论；
把平均功率受限当成是m=0情况下，方差受限的特例。
定义高斯分布的连续信源的熵记为Hc[p(x),X] 定义任意分布的连续信源的熵记为Hc[q(x),X] 已知Hc[p(x),X]=(1/2)log2(2πeσσ) 任意分布的连续信源的熵为
Hc (XY ) p(xy) log2 p(xy)dxdy R2
两个连续变量的条件熵
Hc (Y / X ) p(xy) log2 p( y / x)dxdy R2
Hc (X / Y ) p(xy) log2 p(x / y)dxdy R2

第三章_信息论基础知识

激光
而生物技术、空间技术和海洋技术则是新材料、新能源和信息技术共
同派生出来的三门新技术。
新能源
至于光导纤维通信和计算机技术则是信息技术的具体分支.
10
新技术的关系结构
第三章信息论基础知识 3、信息技术与传统技术
中原工学院
机电学院
信息技术在当代整个技术体系中，担负着对传统技术进行补充、改造和更新的使命。例如，在改造传统工业方面，实现生产过程的自动化。
第三章信息论基础知识
中原工学院
机电学院
2、信息技术与新技术革命
信息技术向人类提供各种有用的知识，是现代技术的智慧和灵魂。在新的技术革命中扮演主要的角色.
通信传感信息计算机
微电子技术是由新材料技术和信息技术派生出来的一门新技术; 激光技术是新能源技术和信息技术派生出来的新技术;
微电子
空间海洋生物新材料
自动化防空体系自动化轧钢系统
4
第三章信息论基础知识 3、信息的基本性质
中原工学院
机电学院
（1）可以识别通过人的感官、各种探测工具。（2）可以转换例如，电信号、代码语言、文字、图像等（3）可以存储（4）可以传输此外，还具有可共享性和永不枯竭性。即信息经过传播可以成为全人类的财富；信息作为事物运动的状态和方式，是永不枯竭的，只要事物在运动，就有信息存在。
三、信息科学
1、信息科学
★ 信息科学以信息为主要研究对象；传统科学以物质和能量为研究对象。
★ 信息科学——是研究如何认识和利用信息的科学。认识信息方面：探讨信息的本质，建立信息问题的完整数学描述方法和定量度量方法，探明信息的产生、识别、提取、变换、传递、检测、存储、检索、处理和分析。利用信息方面：研究利用信息进行有效控制和组织最优系统的一般原理和方法。

连续信源熵

– 平均互信息的非负性，对称性，信息处理定理 Hc XY Hc X Hc Y | X Hc Y Hc X | Y Hc Y | X Hc Y , Hc XY Hc X Hc Y
Ic (X ;Y ) 0 Ic ( X ;Y ) Ic (Y ; X ) Ic (X ; Z) Ic(X ;Y )
u du a a
Su
1 a
pX

u a

log

1 a
pX

u a

log
a

du
pU u log pU u log a du
Su
Hc U log a
Hc aX log a
2.5 连续信源
离散信源
信源的数学模型
– 随机变量、随机序列
信源的信息测度
– 简单离散信源：H(X) – 离散无记忆信源：H ∞(X) = HL(X)=H(X) – 离散有记忆信源：H∞(X) ≤ HL(X) ≤ H(X)
连续信源的数学模型
输出消息取值上连续的信源，如语音，电视信源等，对应的数学工具为连续型随机变量或随机过程。
2
2
2 2

p(x) ln q(x)dx

p(
x)

1 2
ln
2
2

(x m)2
2 2
dx
1 ln 2 2 1 1 ln 2 e 2
2
22

p(x) ln q(x)dx q(x) ln q(x)dx

2.4 连续信源的熵

−∞ ∞
约束条件
∫ ∫ ∫
ϕ 1 ( x , p( x ))dx = K 1 ; ⇐ −∞
∞
∞
∫
∞
−∞
p( x )dx = 1;
−∞
ϕ 2 ( x , p( x ))dx = K 2 ; ϕ m ( x , p( x ))dx = K m .
……………………
∞ −∞
通常考虑两种情况：信源的瞬时功率受限；通常考虑两种情况： (1) 信源的瞬时功率受限； (2) 信源的平均功率受限。信源的平均功率受限。 13
b a
且满足
∑ p(ξ )∆ = ∑ ∫
i =1 i =1
p( x )dx = ∫ p( x )dx = 1 .
~ 的熵为：离散信源 X 的熵为：
~ H ( X ) = − ∑ p(ξ i )∆ log [ p(ξ i )∆ ] .
i
6
第二章基本信息论
§2.4 连续信源的熵
二、连续信源的熵
第章基本信息论
§2.4 连续信源的熵二 §2.4 连续信源的熵
一、连续信源二、连续信源的熵三、连续信源的最大熵四、熵功率五、二元联合连续信源的共熵与条件熵
1
第二章基本信息论
§2.4 连续信源的熵
一、连续信源
1. 连续信源的概念连续信源输出的是连续( 连续信源输出的是连续(型)随机变量。随机变量。具体地说，连续信源在“任何” 具体地说，连续信源在“任何”时刻都按照某种概率在一定的取值范围内输出“任何” 在一定的取值范围内输出“任何”值。 x (t ) ∆
第二章基本信息论
§2.4 连续信源的熵

第三章：信源、熵率及冗余度

• 如果上述条件概率与时间起点i无关，即信源输出的符号序列可看成为时齐马尔可夫链，则此信源称为时齐马尔可信源。
信源建模
• 1. 各字母等概、字母间不相关（字符独立）
XFOML RXKHRJFFJUJ LPWCFWKCYFFJEYVKC QSGHYDQPAAMKBZAACIBZLHJQD.
• 2. 字母出现概率按照英文文本统计，字母间不相关（字符独立）
• 一般来说，信源输出的随机序列的统计特性比较复杂，分析起来也比较困难。为了便于分析，我们假设信源输出的是平稳的随机序列，也就是序列的统计性质与时间的推移无关。很多实际信源也满足这个假设。
离散信源－平稳信源的数学模型（二维）
➢ 最简单的离散平稳信源：二维平稳信源 X=X1X2 ➢ 每两个符号看做一组，每组代表信源X=X1X2的一个消息；
• 6.单词间存在相关性（依据语法）.
THE HEAD AND IN FRONTAL ATTACK ON AN ENGLISH WRITER THAT THE CHARACTER OF THIS POINT IS THEREFORE ANOTHER METHOD FOR THE LETTERS THAT THE TIME OF WHO EVER TOLD THE PROBLEM FOR AN UNEXPECTED.
离散信源－马尔可夫信源
• 表述有记忆信源要比表述无记忆信源困难得多。实际上信源发出的符号往往只与前若干个符号的依赖关系强，而与更前面的符号依赖关系弱。为此，可以限制随机序列的记忆长度。
• 当记忆长度为m+1时，称这种有记忆信源为m阶马尔可夫信源。也就是信源每次发出的符号只与前m个符号有关，与更前面的符号无关。
X 1 、X 2、…X8 ,均为单符号随机变量信源X={0,1}， P( X 1 X 2…X8 ) 与时间起点无关平稳 P( X 1 X 2…X8 ) ＝P(X 1)P(X 2)…P(X8 )无记忆信源

第三章连续信源的信息熵

a
H ( ) lim(log ) 0
n
def
§3. 2 连续变量的相对熵
在取极限的过程中由于n→∞ 相当于 →0，此时这个离散变量越来越逼近一个连续变量；而离散集合中的信息熵Hn(X)就分解为两项，其中一项与划分精度无关，趋于一个常量——Hc(X)。而另一项，随着 →0最终趋于一个无穷大的量。很显然这与取极限之前的离散熵差别很大，那么这种极限形式能否表达出信源平均不定度的概念吗？由于表达形式的不同，则它的物理意义也应有所不同。所以我们不能以离散熵的概念来理解上述表达式，特别是当某些离散熵的数学性质不在继续保持的情况下，如：非负性、对称性、扩展性等。但值得庆幸，上式中将熵函数中最能反映信源的固有属性的数学性质如可加性、极值性和上凸性仍旧依然保持着。因此有可能上述表达式的某些部分仍能代表连续信源的某些物理属性。（但我们要深入讨论离散向连续逼近时，物理属性的变化。）
Amplitude continuous
x ( ) Hc ( X )
所谓正交变换是一种数学处理手段，将在T时间内的受限于最高频率为F的随机过程，无失真地变换成2FT个随机变量。最理想的正交变换是： K—L expansion。
§3. 1 连续信源的离散化
因此任何复杂的统计对象，经多种处理后就可由浅入深地逐步解决问题。正如我们在离散信源中： ai X X X (t , ) 随机消息随机随机变量事件序列 H ( X ) 过程 HL (X ) H I (ai ) H (X ) H X (t , ) H m 1 自信息信息熵随机过程的熵任何处理过程总要丢失信息，最多保持不变。所以简化处理就 H1 H ( X ) 得付出代价即：容忍信息的丢失， H 0 log n

连续信源的最大熵与最大熵条件

青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。

2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。

3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。

资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。

2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。

3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。

4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。

发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。

关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。

2.3 连续信源的熵

2 2
p ( x )( log
2
2
)dx

p ( x ) log
2
e
dx

p ( x ) dx 1 1 2
2
上式
log
2
2
2
log
2
2
e p(x)
(x m) 2
2
2
dx
(x m)
p(x)
p ( x )dx
2
(x m) 2 1 2
,其熵为
H ( X ) p ( x ) log p ( x ) dx p ( x ) log
0
1
2

x m
e
dx e p(x) x m dx
m
2
log
2
m p ( x ) dx log E[ X ] m
2
xp ( x ) dx
2
H ( X ) log 2 m log log me
9
几种特殊连续信源的熵
均匀分布的连续信源的熵
X在[a,b]上均匀分布，其熵为
H ( X ) log 2 ( b a )
服从（m,б2）高斯分布的连续信源的熵
概率密度函数为正态分布，即 p ( x )
1 2
2 (xm ) 2
2 2
e
，其熵为
H (X )

p ( x ) log
设连续信源X 概率密度函数p(x) 则相对熵为：

H (X ) x ) dx
n
离散信源： H ( X ) p ( x i ) lo g 2 p ( x i )

连续随机变量信息熵

连续随机变量与信息熵引言在概率论和统计学中，随机变量是一个数值型的变量，它的取值是根据一定的概率分布来确定的。

随机变量可以分为两种类型：离散随机变量和连续随机变量。

本文将重点讨论连续随机变量及其与信息熵之间的关系。

连续随机变量连续随机变量是指在一定区间内取值的随机变量。

与离散随机变量不同，连续随机变量可以取无限个可能的取值。

对于一个连续随机变量X，它的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）表示了X落在某个区间内的概率。

概率密度函数概率密度函数f(x)用于描述连续随机变量X落在某个区间[a, b]内的概率，即P(a ≤ X ≤ b)。

概率密度函数具有以下性质： - f(x) ≥ 0，对于任意x -∫f(x)dx = 1，在整个定义域上的积分等于1累积分布函数累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）用于描述连续随机变量X小于等于某个值x的概率，即P(X ≤ x)。

对于连续随机变量X，其累积分布函数F(x)可以通过概率密度函数f(x)进行计算：F(x) = ∫[a,x]f(t)dt期望与方差对于连续随机变量X，期望（Expectation）和方差（Variance）是两个重要的统计量。

期望连续随机变量X的期望E(X)表示了X的平均值或中心位置。

对于一个具有概率密度函数f(x)的连续随机变量X，其期望可以通过以下公式计算： E(X) =∫xf(x)dx方差连续随机变量X的方差Var(X)衡量了X与其期望之间的离散程度。

对于一个具有概率密度函数f(x)和期望μ的连续随机变量X，其方差可以通过以下公式计算：Var(X) = ∫(x-μ)^2f(x)dx信息熵与连续随机变量信息熵（Entropy）是信息论中用来衡量不确定性或信息量的指标。

在离散情况下，信息熵可以直接通过概率分布来计算。

但在连续情况下，由于概率密度函数取值连续，直接计算的结果可能为无穷大。