旋转矢量表示法B版
合集下载
旋转矢量表示法B版
现以坐标和速度为坐标轴定义一 个平面, 称为相平面. 系统的一个运 动状态对应于相平面上的一个点, 称 为相点. 当系统的运动状态发生变化 时, 相点在相平面内运动, 相点的轨 迹则称为相图.
旋转矢量表示法
五、相图法研究弹簧振子
旋转矢量表示法
间.
解: 设
x Acost
旋转矢量表示法
由已知条件: 得
2π 2π π
T 42
将初始条件
x0 xt0 0.04m
代入方程得
即 π
3
0.04 0.08cos
由旋转矢量法由旋转矢量法 π
由应取旋应转取矢应量取法应由旋取转矢3π量法
3
舍去舍去舍去舍去
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x= 0.04 m 处, 向 x负轴方向运动, 求
大学物理
振动学基础
第3讲 旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
一、旋转矢量表示法(参考圆法)
是研究简谐运动规律时所采用的直观的几何描述方法.
自 Ox轴原点作矢量轴原点作 矢量轴原点作矢量轴原点作矢量 AAAA,其模等其模等其模等其模等于 振幅. A绕 O点逆时 针旋转点逆时 针旋转点逆时针旋转点逆 时针旋
(1) 2 1,,同相位同
相位同相位同相位;;
(2) 21 π ,,反相位反
相位反相位反相位..
旋转矢量表示法
A22
2 A1
1x
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x= 0.04 m 处, 向 x负轴方向运动, 求
(1)t=1.0 s 时, 物体所处的位置; (2)由起始位置运动到 x= -0.04 m 处所需要的最短时
旋转矢量表示法
五、相图法研究弹簧振子
旋转矢量表示法
间.
解: 设
x Acost
旋转矢量表示法
由已知条件: 得
2π 2π π
T 42
将初始条件
x0 xt0 0.04m
代入方程得
即 π
3
0.04 0.08cos
由旋转矢量法由旋转矢量法 π
由应取旋应转取矢应量取法应由旋取转矢3π量法
3
舍去舍去舍去舍去
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x= 0.04 m 处, 向 x负轴方向运动, 求
大学物理
振动学基础
第3讲 旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
一、旋转矢量表示法(参考圆法)
是研究简谐运动规律时所采用的直观的几何描述方法.
自 Ox轴原点作矢量轴原点作 矢量轴原点作矢量轴原点作矢量 AAAA,其模等其模等其模等其模等于 振幅. A绕 O点逆时 针旋转点逆时 针旋转点逆时针旋转点逆 时针旋
(1) 2 1,,同相位同
相位同相位同相位;;
(2) 21 π ,,反相位反
相位反相位反相位..
旋转矢量表示法
A22
2 A1
1x
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x= 0.04 m 处, 向 x负轴方向运动, 求
(1)t=1.0 s 时, 物体所处的位置; (2)由起始位置运动到 x= -0.04 m 处所需要的最短时
8-3旋转矢量表示法
x Acos(t )
旋 转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
第八章 机械振3 动
8-3 旋转矢量表示法
思考
例 用旋转矢量法求初相位
t0 x0 v0
v
x
A O
Ax
π
2
x
A
o
A
o
Tt
T 2
第八章 机械振4 动
8-3 旋转矢量表示法
思考 例 一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置
x 0.5cos(πt 1 π)m
3
M
第八章 机械振6 动
8-3 旋转矢量表示法
(2) 物体从x 0.25m处向Ox轴负向运动，到平
衡位置所需的最短时间。
δ ππ 5π
M
32 6
A
2δ
O
(ωt2 ) (ωt1 )
x (t2 t1) Δt
N
Δt
δ
5π 6s
0.833s
π
第八章 机械振7 动
向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大
位移处这段路程所需要的时间为
（A）T/4 （B）T/12
（C）T/6 （D）T/8
π 3 t
2π 2π T
A
t T 6
A 2 Ab x
O
A
Aa
第八章
机械振5 动
8-3 旋转矢量表示法
例8-2 一物体沿Ox 轴作简谐运动，振幅为0.5m ，周
8-3 旋转矢量表示法
当t 0时
A
o
旋 转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
第八章 机械振3 动
8-3 旋转矢量表示法
思考
例 用旋转矢量法求初相位
t0 x0 v0
v
x
A O
Ax
π
2
x
A
o
A
o
Tt
T 2
第八章 机械振4 动
8-3 旋转矢量表示法
思考 例 一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置
x 0.5cos(πt 1 π)m
3
M
第八章 机械振6 动
8-3 旋转矢量表示法
(2) 物体从x 0.25m处向Ox轴负向运动，到平
衡位置所需的最短时间。
δ ππ 5π
M
32 6
A
2δ
O
(ωt2 ) (ωt1 )
x (t2 t1) Δt
N
Δt
δ
5π 6s
0.833s
π
第八章 机械振7 动
向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大
位移处这段路程所需要的时间为
（A）T/4 （B）T/12
（C）T/6 （D）T/8
π 3 t
2π 2π T
A
t T 6
A 2 Ab x
O
A
Aa
第八章
机械振5 动
8-3 旋转矢量表示法
例8-2 一物体沿Ox 轴作简谐运动，振幅为0.5m ，周
8-3 旋转矢量表示法
当t 0时
A
o
大学物理B(Ⅱ)旋转矢量
2
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0
A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0
A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
旋转矢量演示
6.1.5谐振动的旋转矢量法*
O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A ，并使矢量A 在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
圆周运动小球
位置
x 轴投影
坐标
t 时刻
t = 0 时刻
x
t+
o
x
x A cos( t )
半径 振幅
圆周运动小球
角速度
角频率
相位
谐振动物体
A 与x 轴夹角
t0
A
x0
o
x
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点是 弹簧振子的位 置.
x0 A cos
t t
A
x
x A cos( t )
t
o
三、旋转矢量法
t 时刻
A
x
t
A
t = 0 时刻
o
x
x A cos(t )
O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A ，并使矢量A 在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
圆周运动小球
位置
x 轴投影
坐标
t 时刻
t = 0 时刻
x
t+
o
x
x A cos( t )
半径 振幅
圆周运动小球
角速度
角频率
相位
谐振动物体
A 与x 轴夹角
t0
A
x0
o
x
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点是 弹簧振子的位 置.
x0 A cos
t t
A
x
x A cos( t )
t
o
三、旋转矢量法
t 时刻
A
x
t
A
t = 0 时刻
o
x
x A cos(t )
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法高中物理的运动学、动力学大都以矢量表示，为了简单起见，通常采用“合矢”表示。
将有关运动矢量的矢量和分解成两个平行四边形，并指明两个平行四边形的夹角。
地球绕太阳的公转、卫星绕地球的公转、行星绕太阳的公转等都可用旋转矢量表示，但需要说明的是：所谓“公转”只不过是相对于观测者来说的，从一个观测者看来，地球上的每一点都在自西向东转动；而相对于地球的观测者来说，则是自东向西转动。
所以，由于地球上各点的位置在一年之中都不变，故“公转”也叫“平移”，它与“自转”同属角速度概念，并称为角动量的两个基本分量。
如果把太阳看作质点，则太阳绕地球公转的轨道平面就是以地球为焦点的双曲面。
根据动能定理，若把这一双曲面上的某一点P看作质点，则可得到太阳绕地球公转的轨道平面的另一种表达式——椭圆，其离心率为，为行星的半径，故称太阳为椭圆轨道的半长轴，称太阳轨道的长轴为太阳轨道的周期。
还可以证明：太阳的质量为，半径为，周期为地球的轨道平面与椭圆轨道的切线在赤道处的夹角称为地球的公转角速度。
通常以地球轨道的半长轴作为地球的周期，也就是说，地球绕太阳公转一周的时间称为年。
一般在电工学中经常遇到的情况是利用欧姆定律、焦耳定律、楞次定律或其他类似的定律。
电阻两端的电压u与通过导体横截面的电流i成正比，即，式中，是导体的电阻率，是材料的电阻率。
U是导体的内电压，是电源电动势，它决定于电流的参考方向和导体的电阻率，它是表示电源特征的一个物理量。
欧姆定律又称电功定律，是表示电流做功快慢的物理量。
焦耳定律是表示电流通过导体所消耗的热量多少的物理量。
下面介绍两种常用的方法，前者是由V=ir求欧姆定律，后者是由热功当量求焦耳定律。
前者可以直接由V=ir求出，然后再利用欧姆定律得到I，而后者必须先求出热功当量，然后根据热量、功、温度的关系（即热量=功×温度）求出。
另外，若需要知道闭合电路的欧姆定律或焦耳定律的微分形式，只要将公式略作变换，即可分别求出它们的微分形式。
简谐运动的旋转矢量描述法
π
4
A g a'*
h' * g'* *
t f O b*' T T f'* 3T T 5T
e
c' 4* 2*e' 4
4
-A
d*'
T 2 （旋转矢量旋转一周所需的时间）
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
二、旋转矢量法对相位的表示
若某时刻t，测得质点的位移为x =A/2，向OX轴负方
简谐运动的旋转 矢量表示法
一、简谐运动的旋转矢量表示法
P
t=t
t+
o
A t=0
A
x·
x
x Aco（s t ）
x Aco（s t ）
旋 转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
x Acos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x
Ah
a
bO
c -Ad
x
x Acos(t )
向运动
M
A
O 3P
X
M
三、旋转矢量法对相位差的表示
A2
A1
O
相位差 2 1 2kπ
x
(k 0，1， 2,)
两个振动同相，步调相同
A1
O
A2
相位差 2 1 (2k 1)π
x
(k 0，1,)
两个振动反相，步调相反
例题 两个同方向、同频率的谐振动，频率为2s-1，
当第一个振子从平衡位置向正向运振动的相位差。
解：
2 1
A 2
t
o
9-2旋转矢量
v
0.08 0.04
x/m
o
0.04
0.08
24
π π π π x 0.08 cos( t ) 0.04 0.08 cos( t ) 2 3 2 3 1 π arccos( ) 2 2 3 t 0.667 s π2 3
v
0.08 0.04
x/m
o
代数法;
o
x/m
0.04
0.08
21
旋转矢量法;
2 π π 1 解 A 0.08 m s T 2 t 0，x 0.04 m
代入 x A cos(t )
v0 0 v0 A sin( ) 0
π 3
3
简谐运动方程：
x 0.08 cos( t ) 2 3
O
A
第一象限： x 0, v 0
第二象限： x 0, v 0
x
x A cos(t )
x 0, v 0 第三象限：
第四象限： x 0, v 0
7
用旋转矢量直观描述简谐振动：
t 确定, 振动状态确定
O
A
O X X
初相位：=/3
判断： t = 0, 振子的初位移、初速度 x0=A/2, v0<0（向x轴负方向运动）
!注
A2
o
2 1
2
1
A1
x
2
o
1
A2
A1
x
x2振动超前x1
x1振动超前x2
2 1
2 1
16
2 1
旋转矢量
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
第九章 振 动
11
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
已知 m 0.01kg, A 0.08 m,T 4 s
t 0, x 0.04 m, v0 0 求（1）t 1.0 s, x, F
解 A 0.08 m 2 π π s1
第九章 振 动
4
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第九章 振 动
5
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
讨论 相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos(t1 )
x Acos(t )
2
2
(t ) (t )
(A) 0～π/2之间． (B) π/2～π之间． (C) π～3π/2之间． (D) 3π/2～2π之间。
解：位移向下为正。当小盘处在最低位置时刻有一个小
物体落到盘上，则振子系统向下还是向上运动？
考虑到新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于 原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。采用旋转矢量 法可知初相位在第四象限。
物理学
第五版
选择进入下一节：
本章目录
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
9-2 旋转矢量
9-3 单摆和复摆
9-4 简谐运动的能量
9-5 简谐运动的合成
* 9-6 阻尼振动 受迫振动 共振
第九章 振 动
19
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
v x/m
9-2旋转矢量
上的投影点的
运动为简谐运
动.
第九章 振 动
4
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
y
vm t π
2
t an
A
O a v x
vm A v A cos(t )
an A 2
x Acos(t )
a A2 cos(t )
第九章 振 动
5
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第九章 振 动
6
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos(t1 ) x2 Acos(t2 )
(t2 ) (t1 )
t
t2
t1
第九章 振 动
7
物理学
第五版
x
Aa
A2
b
o A v
9-2 旋转矢量
法二
9-2 旋转矢量
t 时刻
t
起始时刻
π3
π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
t π π rad s1 t 2 0.667 s
3
3
第九章 振 动
16
F kx m 2x 1.70 103 N
m 0.01 kg
0.08 0.04
v
o 0.04
x/m
0.08
第九章 振 动
13
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
运动为简谐运
动.
第九章 振 动
4
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
y
vm t π
2
t an
A
O a v x
vm A v A cos(t )
an A 2
x Acos(t )
a A2 cos(t )
第九章 振 动
5
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第九章 振 动
6
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos(t1 ) x2 Acos(t2 )
(t2 ) (t1 )
t
t2
t1
第九章 振 动
7
物理学
第五版
x
Aa
A2
b
o A v
9-2 旋转矢量
法二
9-2 旋转矢量
t 时刻
t
起始时刻
π3
π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
t π π rad s1 t 2 0.667 s
3
3
第九章 振 动
16
F kx m 2x 1.70 103 N
m 0.01 kg
0.08 0.04
v
o 0.04
x/m
0.08
第九章 振 动
13
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
11-1简谐振动旋转矢量表示法
例 一质点沿x轴作简谐运动，振幅 A=0.12 m，周期T=2 s，当t=0时，质点对平衡 位置的位移x0=0.06m.此时刻质点向x正向运动。 试求：
（1）此简谐运动的表达式
解 A 0.12 m 2 π s1
T
t 0，x0 0.06 m
代入 x Acos(t )
v A sin(t )
相位 (位相) (t) t
初相位 t 0时，(t)
相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振动状态
（相貌）. 物体经一周期的振动，相位改变 2π .
第十一章 振 动
7
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
3
第十一章 振 动
14
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
将t=T/4=0.5s分别代入位移、速度、加 速度的公式，得：
x 0.104m v 0.188m / s
a 1.03m / s2
A
t 时刻
x/m
0.12 0.06 o π0.06 0.12
3
A
起始时刻
第十一章 振 动
vm A
v A sin(t )
an A 2
a A2 cos(t )
第十一章 振 动
5
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第十一章 振 动
6
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
相位 t
x A cos(t )
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
简谐振动的旋转矢量图示.ppt
角频率ω
A 与参考方向x 的夹角
振动相位ωt+φ0
3、两个谐振动的相位差
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
相位差为 (t 2 ) (t 1) 2 1
采用旋转矢量表示为：
A2
2
A1
1
O
x
例1、两个同频率的谐振动，它们都沿x轴振动，且振
幅相等，当t =0时质点1在x=A/2处向左运动,另一质点
F kx m 2x
(0.01kg)(π s1)2 (0.069m) 1.70103 N
2
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04m (0.08m) cos[(π s1)t π ]
x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
3 a 0.12 2 cos( 0.5 ) 1.03 m/s2
3
在t =T/4=0.5s时，可得
可得x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
sin0 0
0
3
简谐振动表达式 x 0.12cos( t ) m
3
因为
（2）由简谐振动的运动方程 x 0.12cos( t ) m
3
可得
v dx 0.12 sin( t ) m/s
dt
3
a dv 0.12 2 cos( t ) m/s2
9-2旋转矢量共29页文档
2 k m
11
（2）由起始位置运动到x = -0.04m处所需 要的最短时间.
v v0 v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
开 :t 始 0 ： x 0 0 .0 m ,4 v 0 0 最短时间t：x 0.0m 4,v0
12
（2）由起始位置运动到x = -0.04m处所需 要的最短时间.
开 :t 始 0 ： x 0 0 .0 m ,4 v 0 0 最短时间t： x0.0m 4,v0 法一: 代数法
由x： 0.08 coπst(π) 23
0.04 0.0c8oπst (π) 23
13
0.04 0.0c8oπst (π) cosπ(tπ)1 23 2 3 2
(πtπ)
23
3
?
由x0.08coπst(π) 23
vd/x d t0.0 8π 2siπ 2 nt (π 3)<0
sin(πt π) 0 23
(πtπ)
23
3
t
(
)
3
π 3
2 0.667s
π2
3
vx0,v0 v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
0 a v x
(t )
2
(t)
vvm vvmvrm xm civocmsA oit( sor2:)v
dx dt
vA si n t()
anr2A2
aaanniicos
or
:
a
dv dt
xAcots()
aA 2cots ()
5
3、旋转矢量法优 点
直观地表达谐振动的各特征量 便于解题, 特别是确定初相位 便于振动合成
旋转矢量法
2）简谐运动的动力学描述 d2 x 2 x
dt 2
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t ) v A sin(t )
4）加速度与位移成正比而方向相反 a 2 x
弹簧振子 k m
单摆 g l
复摆
mgl J
小 结：
一.简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
F kx
d2 x dt 2
A 在ox 上的投影 r A 端点速度在ox 上的投影 r A 端点加速度在ox 上的投影
简谐振动 符号或表达式
振幅 角频率 初相
A
ω
r
M
0O
A (ωt +0 )
x
振动周期 T=2/
相位
t+ 0
位移
x =Acos(t+ 0)
速度
v =- Asin(t+ 0)
加速度 a =- 2Acos(t+ 0)
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法优点： 便于解题, 特别是确定初相位
r便于振动合成 由 x、v 的符号确定 A所在的象限：
练习
教材P.410 13-6 / P.40 12-6
已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
四. 孤立谐振动系统的能量
不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼
不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
➢水平放置的弹簧振子
以平衡位置为坐标原点
{ x Acos(t 0)
Εp
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
0 )
v A sin(t 0)
简谐振动的旋转矢量图示法
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, December 13, 20201
3-Dec-2020.12.13
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1301:46:0113 December 202001:46
6.0t
3
OA
2
x
v 0.3sin( ) 0.3 3 0.26 m/s
3
2
(3) 由初始条件，t=0,v0=0.30m/s, x0=0.05m,可得
A
x02
v02
2
0.0707 m
0
arctan（
v0 ）= arctan（1）
x0
0
4
或
3
4
0.05
由旋转矢量
0
4
O
x
运动方程
x 0.0707 cos(6.0t ) m
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 01:46:0 101:46: 0101:4 6Sunda y, December 13, 2020
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1301:4 6:0101: 46:01D ecembe r 13, 2020
t2
3
3
2
t2 1.83s
因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间：
t t2 t1 0.83s
解法二(旋转矢量法）:
(1)
0
O
x = 0.06m x t=0时旋转矢量
0
5
3
或
3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2
⎞ ⎟ ⎠
−
π⎤
3
⎥ ⎦
=
2 π
⎡ 2π ⎢⎣ 3
−
π⎤ 3 ⎥⎦
=
2 3
=
0.667(s)
四、相图（phase diagram）
利用相图描述非线性动力学的方 法是19世纪末法国数学家亨利·庞加 莱（H.Poincare）发明的.
现以坐标和速度为坐标轴定义一 个平面, 称为相平面. 系统的一个运 动状态对应于相平面上的一个点, 称 为相点. 当系统的运动状态发生变化 时, 相点在相平面内运动, 相点的轨 迹则称为相图.
A 端投影:
x = A cos(ωt + ϕ )
与简谐运动方程完全相同, 所以投影点的运动为简谐运动.
二、初相位
ϕ = π平衡位置 2
旋转矢量表示法
π <ϕ <π 2
ϕ
ϕ=π
负向最大
π 0<ϕ<
2
x ϕ=0
正向最大
π < ϕ < 3π 2
3π < ϕ < 2π 2
ϕ = 3π 平衡位置 2
初相位讨论
大学物理
振动学基础
第3讲 旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
一、旋转矢量表示法(参考圆法)
是研究简谐运动规律时所采用的直观的几何描述方法.
自 Ox 轴原点作矢量 A , 其模等 于振幅. A 绕 O点逆时针旋转, 角 速度为ω (其数值即为简谐运动的 角频率) , 则 A 称为旋转振幅矢量. 设初始时刻 t = 0 时 A 与 x 轴夹角 等于初相位 ϕ , 经过时间 t , A 与 x 轴夹角等于相位ω t +ϕ .
(1) t =1.0 s 时, 物体所处的位置;
(2)由起始位置运动到 x = -0.04 m 处所需要的最短时间.
所以运动方程为
x = 0.08cos⎜⎛ π t + π ⎟⎞(m)
⎝2 3⎠
(1)t =1.0 s 时, 物体所处的位置:
x
=
0.08 cos⎜⎛
π
×1.0
+
π
⎞ ⎟
=
−0.069(m)
解: 设
x = Acos(ωt + ϕ )
旋转矢量表示法
由已知条件:ห้องสมุดไป่ตู้得
2π 2π π ω= = =
T 42
将初始条件
x0 = x t=0 = 0.04m
代入方程得
即 ϕ=±π 3
0.04 = 0.08cosϕ
由旋转矢量法应取ϕ = π 舍去 − π
3
3
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x = 0.04 m 处, 向 x 负轴方向运动, 求
旋转矢量表示法
A2
ϕ2 ϕ1
A1
x
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x = 0.04 m 处, 向 x 负轴方向运动, 求
(1) t =1.0 s 时, 物体所处的位置;
(2)由起始位置运动到 x = -0.04 m 处所需要的最短时间.
⎝2
3⎠
旋转矢量表示法
(2)由起始位置运动到 x = -0.04 m 处所需要的最短时间.
− 0.04 = 0.08 cos⎜⎛ π t + π ⎟⎞ ⎝2 3⎠
cos ⎜⎛ π t + π ⎟⎞ = − 1 ⎝2 3⎠ 2
π π 2π
4π
t + = 舍去
233
3
得
t
=
2 π
⎢⎣⎡arccos⎜⎝⎛ −
旋转矢量表示法
初相位讨论
旋转矢量表示法
三、相位差
设两个振动的表达式分别为
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1) x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 )
则频率相同时它们的相位差为
∆ϕ = (ωt +ϕ2 ) − (ωt +ϕ1) = ϕ2 −ϕ1
(1) ϕ2 = ϕ1, 同相位; (2) ϕ2 − ϕ1 = π , 反相位.
旋转矢量表示法
五、相图法研究弹簧振子
旋转矢量表示法