椭圆中的焦点弦问题
焦点弦公式
焦点弦公式引言焦点弦公式是解决椭圆、双曲线和抛物线相关问题的重要公式之一。
它通过求取曲线的焦点坐标和弦长以及焦点与弦的垂直距离的关系，为解决相关问题提供了便利。
本文将详细介绍焦点弦公式的推导过程以及应用场景，并给出一些实际问题的例子来帮助读者更好地理解焦点弦公式。
焦点弦公式的推导焦点弦公式的推导涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种常见曲线的方程及其性质。
在这里，我们以椭圆为例进行推导。
椭圆的定义和性质椭圆是一个平面上所有点到两个焦点的距离之和等于常数的轨迹。
设椭圆的焦点坐标分别为F1和F2，椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，则椭圆的方程可以表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1椭圆的焦点与直径的关系可以表示为：2ae = d其中e为离心率，d为焦点之间的距离。
焦点弦公式的推导过程我们考虑椭圆上一点P(x,y)到焦点F1的距离为r1，到焦点F2的距离为r2，焦点与弦的垂直距离为h，弦的长度为2c。
根据椭圆的定义，我们可以得到以下两个方程：r1 + r2 = 2ar1 - r2 = 2h通过解以上方程组，我们可以求解出r1和r2的值：r1 = a + hr2 = a - h根据勾股定理，可以得到焦点弦公式：c^2 = r1^2 - r2^2 = (a + h)^2 - (a - h)^2 = 4ah焦点弦公式的应用焦点弦公式在解决椭圆、双曲线和抛物线相关问题中有广泛的应用。
下面我们将介绍一些实际问题，展示焦点弦公式的具体应用。
问题一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为(x^2/4) + (y^2/9) = 1，求解焦点坐标。
根据椭圆的方程，可以得到a^2 = 4和b^2 = 9，因此a = 2，b = 3。
根据焦点与直径的关系，可以求得ae = 2ae = 4，因此e = 2，焦点之间的距离为d = 2ae = 4。
由于焦点到直径的距离等于焦点与弦的垂直距离，可以得到焦点与弦的垂直距离h = d/2 = 2。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
椭圆相互垂直的焦点弦倒数和
椭圆相互垂直的焦点弦倒数和全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一种重要的几何形状，具有许多有趣的性质和特点。
其中一个重要的特性是椭圆的焦点弦倒数和与椭圆的相互垂直。
本文将详细介绍椭圆的相关概念，并解释这一特性的证明过程。
让我们来回顾一下椭圆的定义：椭圆是一个平面上所有点到两个定点（称为焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个关键特性是其长轴和短轴的长度之比，称为离心率。
现在让我们来考虑一个椭圆，假设其两个焦点为F1和F2，中点为O，焦点与焦点之间的距离为2a，椭圆的长轴为2c。
我们选择椭圆上一点P和焦点F1和F2分别连线，分别得到两条直线PF1和PF2。
我们可以证明证明这两条直线PF1和PF2与椭圆是相互垂直的。
证明方法如下：我们可以将椭圆的方程表示为：(x^2) / (a^2) + (y^2) / (b^2) = 1其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的焦点到中心O 的距离为c，根据椭圆的定义，有a^2 = b^2 + c^2。
现在我们考虑椭圆上一点P的坐标为（x，y），点F1的坐标为（-c，0），点F2的坐标为（c，0）。
根据距离公式，我们可以得到：现在我们来考虑这两个点与椭圆的斜率，椭圆的切线斜率可以表示为dy/dx，即椭圆上一点P处的切线斜率，可以表示为：根据切线的定义，斜率的倒数即为法线的斜率。
我们分别计算PF1和PF2的斜率，即可得到直线PF1和PF2的斜率。
根据斜率乘积为-1即为垂直，我们可以证明PF1和PF2与椭圆是相互垂直的。
我们来计算椭圆焦点弦倒数和。
焦点弦是由横坐标为x1和x2的两点与焦点F1和F2构成的线段。
对于焦点弦的倒数和，可以表示为：我们可以通过对椭圆焦点弦的倒数和与椭圆的相关性进行更多的研究和推广。
椭圆是一个重要的几何形状，具有许多有趣的性质和特点，我们可以通过深入研究来更好地理解几何学的基本概念和原理。
希望通过本文的介绍，读者对椭圆焦点弦倒数和的概念有了更深入的了解。
椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值-概述说明以及解释
椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分应该总结并介绍该文的主题和背景。
以下是概述部分的一个可能内容：在数学几何学中，椭圆是一个引人注目的图形。
它有一些独特的性质，其中之一是焦点和弦的关系。
本文将重点研究椭圆焦点弦所分的两段焦半径倒数和的定值。
第一部分将提供一个概述和结构的介绍。
接下来，我们将进入正文部分，讨论椭圆的基本概念和性质。
然后，我们将逐步探究椭圆焦点弦的性质。
其中包括如何通过梯形法则计算焦点弦所分的焦半径倒数和，并证明这个和是一个定值。
结论部分将对前面的讨论进行总结，并强调椭圆焦点弦的重要性。
我们将强调此定值可以应用于实际问题中的几何、物理和工程等领域。
最后，我们将提供对进一步研究的建议，以进一步探索椭圆焦点弦的应用和相关性质。
通过这篇文章，我们希望读者能够加深对椭圆焦点弦性质的理解，并认识到它在数学和实际应用中的重要性。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章的结构主要包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开头部分，主要是对整篇文章的概述和背景进行介绍。
在概述部分，可以简单说明文章所要探讨的问题和目标。
例如，本文主要讨论椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值。
在文章结构部分，可以简要介绍文章的组织结构和各个部分的内容安排。
正文部分是文章的核心部分，展开论述和分析问题。
在本文的正文部分，第一个要点可以是对椭圆的基本性质和定义进行介绍，包括椭圆的焦点、焦半径和弦的相关概念。
然后，可以详细论述椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值的推导和证明过程。
第二个要点可以是对该定值的应用和意义进行讨论，例如在几何问题中的应用或者其他领域中的实际应用。
结论部分是文章的结尾部分，对整篇文章的内容进行总结和归纳。
在本文的结论部分，可以简要概括椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值，并强调其重要性和实际应用价值。
同时，也可以提出一些可能的研究方向和问题，以期引起读者的思考和进一步研究。
与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导
与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一道椭圆焦点弦问题的7种解法
得 (+
,
即k2(4c2a2-b4)=b4，⑤
(
− )，
+
=
(
+ ),
+
−
− ) (+ + )＝ + ，
得− = ，④
22＝32 ，即 − , − = Βιβλιοθήκη − , ,由①④得： =
−
，
+
−
由③⑤得 ＝ − ，
=
2
2 2
2
，代入②得：a =(25c -a )m ,
+
··
得5b2=6am.②
−
=
(4a2- 5b2)( + ) =
4a2=5b2=5(a2-c2)
a2=5c2
.
=
①
.
引例
已知椭圆C：
+
= > > 的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直
− = ,
③
− ( + ) + =0
④
−
把①②代入④，得：· + -3c·+ +a2=0,
即c2(k2c2-b2)-6c2a2k2+a2(b2+a2k2)=0,
即k2(c4-6c2a2+a4)=-b4
椭圆焦点弦的最小值
椭圆焦点弦的最小值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在文章的概述部分，需要对所研究的问题进行简要介绍。
针对椭圆焦点弦的最小值这一问题，概述应包括以下内容：椭圆是一种经典的几何形状，在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将重点研究椭圆的焦点弦的最小值问题，即在给定椭圆的情况下，如何确定一条弦使得该弦的长度达到最小值。
为了解决这个问题，我们将首先介绍椭圆的定义与性质。
椭圆的特点在于其形状呈现出长轴和短轴的差异，这使得焦点与焦距的概念对椭圆的研究至关重要。
因此，我们将在接下来的部分详细探讨焦点与焦距的关系。
接着，我们将引入对弦的定义与性质的讨论，明确弦在椭圆中的几何特征。
根据对弦的理解，我们将探索如何找到椭圆焦点弦的最小值的求解方法。
通过分析弦的长度与各个参数的关系，我们可以确定最小弦的具体条件和求解过程。
最后，在结论部分，我们将总结本文的主要研究内容，并给出一些重要的结论。
这些结论将进一步丰富对椭圆焦点弦最小值问题的理解，并为相关领域的研究提供有益的参考。
通过对椭圆焦点弦最小值问题的深入探讨，本文旨在为读者提供了解椭圆几何性质和求解相关问题的基础知识。
同时，本文也为椭圆焦点弦最小值问题的研究提供了新的思路和方法，为相关领域的研究者提供了有价值的参考。
1.2 文章结构在本文中，我们将通过以下几个部分来讨论椭圆焦点弦的最小值问题。
首先，我们会在引言部分中给出本文的概述，简要介绍椭圆焦点弦的最小值问题以及我们的研究目的。
接下来，在正文部分的第2.1节，我们会详细介绍椭圆的定义与性质。
我们将探讨椭圆的几何特征，如长轴、短轴、焦点等，并介绍椭圆的数学表示形式。
在第2.2节，我们将讨论焦点与焦距的关系。
我们将介绍焦点和焦距的概念，并探讨它们之间的重要性和联系。
第2.3节将专注于弦的定义与性质。
我们将定义弦，并讨论弦的长度、位置以及与椭圆焦点的关系。
最后，在第2.4节，我们将详细介绍椭圆焦点弦的最小值求解方法。
余弦定理巧解椭圆中的焦点弦问题
点 A 为椭圆上的一动点 ( 非长轴端点 )，AF2 的延长线与椭圆交 于 B 点，AO 的 延 长 线 与 椭 圆 交 于 C 点， 求 ΔABC 面 积 的 最 大值 .
点和右顶点，且
，离心率
. ( Ⅰ ) 求椭圆 C 的
方程；( Ⅱ ) 设经过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，求
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3.2 指导借方贷方 簿记当中一些术语的含义与实际生活中的差异比较大，例 如“借方”、“贷方”与实际生活的“借贷”含义相距甚远，初 学者由于生活中的观念根深固蒂，容易受到影响和干扰。教师 可以先举出一些实际例子来对这些差异进行说明，但是不能够 因为担心学生会混淆而避之不谈。学生要想学好簿记知识，对 于专业术语的学习是不可避免的。因此，在对簿记逐渐深入地 学习过程中，还是需要对“借方”、“贷方”进行分析和解释。 但是教师也应该了解，“借方”、“贷方”这一专业术语并没有根 本性质的解释和说明 [6]。因此，在实际中可以将“贷方”理解 为原因，“借方”看做是结果，这样便于学生理解。 3.3 指导分录 在簿记教学当中，分录具有重要作用。日式簿记中，对贸 易进行分录是最为基础的环节，但是其作用又至关重要，因此 学生要利用大量的时间进行学习。学生要做到能够随时对会计 科目进行正确的分录，如果不能够掌握，日式簿记的学习将很 难继续进行。因此投入大量的时间成本来实现这一目标是必要 的。很多簿记课程教师在进行分录讲解时，要指导学生学会学 习簿记的基本方法，在对一些专业术语进行讲解时，可以不需 要详细说明其渊源和根本意义，只需要告诉学生将其当做符号 能够使用即可。高校日语专业学生开设日式簿记课程只是为了 让其掌握技能，学习会计的操作流程，如果背景和理论知识等 枯燥的内容过多，学生的学习兴趣会下降。因此，在教学过程 中，培养学生掌握技能的同时，还要对教学的方式和内容进行 相应的调整。 3.4 指导决算整理 在簿记教学中，决算整理也是其中一项重要的内容。在学 习时要注重以下几个方面：①要对学生的数感进行培养。“数感” 是指比较数量大小或者估计运算结果等对于数字的感觉。学生 数感灵敏在运算的过程中就能够预判自己计算结果和真实结果 之间的差异。一旦产生差距会及时进行更正，节省精力和时间； ②在进行账簿登记时，要求学生能够学会现金出纳账，这是账 簿的基础工作；③在精算表的学习过程中要多做题目，做到熟 能生巧。
焦点弦公式推导过程
焦点弦公式推导过程1. 椭圆焦点弦公式推导。
- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)-b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
- 设直线与椭圆交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程y = k(x - c)代入椭圆方程frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1，得到：- frac{x^2}{a^2}+frac{k^2(x - c)^2}{b^2} = 1。
- 展开并整理得(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2ck^2x+a^2(c^2k^2-b^2) = 0。
- 根据韦达定理，x_1+x_2=frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2}，x_1x_2=frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 弦长| AB|=√(1 + k^2)| x_1-x_2|。
- 先求(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2。
- 将x_1+x_2和x_1x_2的值代入可得：- (x_1-x_2)^2=(frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2})^2-4frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 化简得(x_1-x_2)^2=frac{4a^2b^4(1 + k^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}。
- 所以| AB|=√(1 + k^2)·frac{2ab^2}{a^2k^2+b^2}。
- 当直线斜率不存在时，直线方程为x = c，代入椭圆方程得y=±frac{b^2}{a}，此时弦长| AB|=frac{2b^2}{a}。
2. 双曲线焦点弦公式推导（以焦点在x轴为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)+b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
椭圆焦点弦的定理证明及应用
椭圆焦点弦的定理证明及应用椭圆焦点弦定理是应用数学中的一种定理，这个定理规定在一个椭圆中，由任意两个焦点投射出的射线之间的弦距离等于从第一个焦点出发的射线与从第二个焦点出发的射线的对比例。
它是一个关于椭圆的重要定理。
一、定理的证明1. 假设图形上有一个椭圆，它的焦点为F1，F2，距离焦点F1长度为a，距离焦点F2长度为b。
2. 用P表示在椭圆上的任意一点，称这点到F1的距离为x，称它到F2的距离为y。
3. 则有：a/b=x/(y+b)b/a=y/(x+a)联立上面式子得x/(y+b)=y/(x+a)即xy=ax+by+ab（*）4. 当椭圆上的点P，P1，P2在y轴上的坐标分别为y1，y2，y3的时候，由（*）可得ay1+by1+ab=ay2+by2+ab=ay3+by3+ab又由x1=a-y2x2=a-y1x3=a-y3可得ax1+by1+ab=ax2+by2+ab=ax3x+by3+ab即x1y1=x2y2=x3y3由此得证：对于任意两点P1，P2，在椭圆上，距离F1的长度比距离F2的长度的比例等于距离P2的长度和距离P1的长度的比例。
即椭圆福焦点弦定理得证。
二、椭圆焦点弦定理的应用1. 椭圆焦点弦定理可以实现经济分析：由于在椭圆图中，到达椭圆的给定点的距离对比是两个廊的长度的对比，所以椭圆焦点弦定理可以用来研究经济分析中两个变量间的关系，例如生产成本与产品价格之间的关系。
2. 椭圆焦点弦定理可以用来研究月亮的运行轨迹：由于月球运动的轨道是一个椭圆，所以它的焦点可以用椭圆焦点弦定理来研究，从而了解月球运行轨迹的特点。
3. 椭圆焦点弦定理可以用来研究太阳能系统：椭圆焦点弦定理可以用于设计太阳能系统，例如太阳能集热器的安装及放射器的优化，由椭圆焦点弦定理可以精准的确定各个部位放射器的位置，以充分的利用太阳的能量。
4. 椭圆焦点弦定理可以用来研究动态平衡：常见的二轮平衡车或三轮平衡车的几何结构是一个椭圆，那么椭圆焦点弦定理可以应用于理解动态平衡车的原理及动态模型，可以有效的实现准确的控制，保证车辆稳定运行。
椭圆焦点弦的八大结论
椭圆焦点弦的八大结论
1.点P 处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角。
2. PT 平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点。
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离。
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。
5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是。
6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是。
7.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N 两点，则MF⊥NF。
8.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF ⊥NF。
初中数学-圆锥曲线焦半径体系-公式与证明-
规定半通径p =b 2a圆锥曲线焦半径体系1.椭圆的焦点弦：若过焦点的直线与椭圆相交于两点A 和B ，∠AF1F 2为α，则称线段AB 为焦点弦。
AF 1 =b 2a −c cos α=p 1−e cos αBF 1 =b 2a +c cos α=p 1+e cos α1AF 1 +1BF 1=2p ①如图，当焦点弦过左焦点时，焦点弦的长度AB =2ab 2a 2−c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α；当焦点弦过右焦点时，焦点弦的长度AB =2ab 2a 2−c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α．② 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为AB =2b 2a．③4a 体:过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点F 1的弦AB 与右焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是4a ；证明：(1)AF 1 +AF 2 =2a ;BF 1 +BF 2 =2a ，故AB +AF 2 +BF 2 =4a ；(2)设AF 1 =m ;BF 1 =n ;AF 2 =2a -m ;BF 2 =2a -n ;由余弦定理得m 2+2c 2-2a -m 2=2m ⋅2c cos α；整理得AF 1 =b 2a -c cosα=p 1−e cos α同理：n 2+2c 2-2a -n 2=2n ⋅2c cos 180°-α ；整理得BF 1 =b2a +c cos α=p 1+e cos α两式相加得，则过焦点的弦长：AB =m +n =2ab2a 2-c 2cos 2α=2p 1−e 2cos 2α2.双曲线的焦点弦问题：双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，弦AB 过左焦点F 1(A 、B 都在左支上)，AB =l ，则△ABF 2的周长为4a +2l (如下图左)AF 1 =b 2a −c cos α=p 1−e cos αBF 1 =b 2a +c cos α=p 1+e cos α1AF 1 +1BF 1=2p 焦半径公式：当AB 交双曲线于一支时，与椭圆公式一样。
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ222221cos 2c a ab F F -=。
上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设XPF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦点弦长公式θ222221c o s 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αc o s ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。
例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。
分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2222=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32+=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。
解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13)1(4)4(22=-+-y x 。
例3、已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的52，求椭圆C 的方程。
椭圆中焦点弦长定比问题
椭圆中焦点弦长定比问题是一个常见的几何问题，涉及到椭圆的性质以及焦点和弦长的关系。
假设椭圆的标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a和b是椭圆的半长轴和半短轴，c 是焦点到原点的距离，满足 c^2 = a^2 - b^2。
焦点弦是指通过椭圆两个焦点的线段，其长度记为2p。
在椭圆中，焦点弦长与椭圆的长轴和短轴之间存在定比关系。
这个定比关系可以通过椭圆的性质推导出来。
根据椭圆的定义，任意一点P到椭圆两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长，即 |PF1| + |PF2| = 2a。
当点P在椭圆上时，|PF1|和|PF2|分别表示点P到两个焦点的距离。
由于焦点弦通过两个焦点，因此焦点弦的长度2p等于 |PF1| + |PF2|。
所以，焦点弦长2p与椭圆的长轴长2a之间存在定比关系，即 2p = 2a。
这个定比关系表明，无论焦点弦在椭圆上的位置如何变化，其长度始终等于椭圆的长轴长。
焦点弦长定比问题在椭圆几何中具有重要的应用价值，可以用于解决与椭圆相关的其他问题，如求解椭圆的离心率、判断点是否在椭圆上等。
以上，是椭圆中焦点弦长定比问题的基本解释和推导。
椭圆焦点弦公式推导
椭圆焦点弦公式推导
对于焦点△f1pf2，设∠f1pf2=θ，pf1=m，pf2=n；则m+n=2a，由余弦定理：（f1f2）^2=m^2+n^2-2mncosθ ，即4c^2=（m+n）^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn（1+cosθ），所以mn=2b^2/（1+cosθ）。
在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类
似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形；
在椭圆的顶焦点三角形中存有许多与椭圆焦点三角形二者相似的几何特征，蕴涵着椭
圆很多几何性质，在全国各地的中考演示试卷及低考试题中，都曾发生如在“顶上焦点三
角形”为载体的问题；本文对椭圆的顶焦点三角形的性质予以概括与剖析。
论文椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用江西省上犹中学 刘鹏关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用 摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即212=1AB k x x +-或者2112=1+()k AB y y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴2424222221122222222222244(1)=1+()1()1()kmcb b a b m AB y y mm b m a b m a b m a +-=+-+=++++∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有：()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②.（2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a=++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-. 解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()aA B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-. 上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=，过椭圆焦点且斜率为3的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB .例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN AB P ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n ，则222AB m n =+，设倾斜角为θ，则22cos m m nθ=+，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4ab m n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4.例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值. 解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+min 99142()8f t -=,此时2t =，即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
椭圆中焦点弦长度公式
椭圆中焦点弦长度公式椭圆是数学中一种常见的几何形状，具有许多独特的特性和性质。
其中一个有趣的性质是椭圆中焦点弦长度的计算公式。
在本文中，我们将探讨这个公式，并解释它的含义和应用。
在椭圆中，焦点是椭圆的重要元素之一。
焦点是指椭圆内部到椭圆上各点的距离之和相等的两个点。
当我们在椭圆中画一条弦时，我们可以通过计算这条弦的长度来确定与这条弦相关联的焦点。
焦点弦长度公式可以用以下方式表示：焦点弦长度 = 2a * sqrt(1 - e^2 * sin^2(θ))在这个公式中，a 是椭圆的半长轴的长度，e 是椭圆的离心率，θ 是焦点弦与椭圆长轴的夹角。
sqrt 表示平方根的符号。
离心率 e 描述了椭圆的形状。
当 e 等于 0 时，椭圆就是一个圆，而当 e 大于 0 时，椭圆的形状将变得更加扁平。
夹角θ 是焦点弦与椭圆长轴的夹角，它决定了焦点弦的方向。
椭圆中焦点弦长度公式的意义在于，它可以帮助我们计算椭圆中任意弦的长度。
通过测量焦点弦的夹角和椭圆的半长轴长度，我们可以准确地计算出焦点弦的长度。
这个公式在许多领域中都有重要的应用。
例如，在天文学中，椭圆轨道被用来描述行星和卫星的运动。
通过计算椭圆中焦点弦的长度，我们可以确定行星或卫星的轨道参数，从而更好地了解它们的运动规律。
在工程学和建筑学中，椭圆的焦点弦长度公式也有广泛的应用。
例如，在设计椭圆形建筑结构时，我们可以使用这个公式来计算椭圆窗户的弦长，以便更好地安排材料和构造。
椭圆中焦点弦长度公式是一种重要的数学工具，可以帮助我们计算椭圆中任意弦的长度。
它在天文学、工程学和建筑学等领域都有广泛的应用。
通过理解和应用这个公式，我们可以更好地理解和利用椭圆的特性。
椭圆焦点弦结论
椭圆焦点弦结论
椭圆焦点弦结论：第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
1、以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）2、1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。
4、如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2
第五类是1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。
第六类是当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。
第七类是如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2。
第八类是如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。
椭圆相互垂直的焦点弦倒数和
椭圆相互垂直的焦点弦倒数和全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一种常见的几何形状，是平面上一点到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的所有点的集合。
椭圆在数学和物理学中有着广泛的应用，而它与焦点之间的关系更是数学家们的研究对象之一。
在椭圆中，焦点是椭圆的一个重要特征，它与椭圆上的所有点都有一定的关系。
如果把椭圆看作一个圆，那么焦点就是在圆上的两个点。
在椭圆中，焦点的位置是非常特殊的，它和椭圆的形状密切相关。
椭圆通常有两个焦点，我们可以将这两个焦点分为主焦点和副焦点。
主焦点是椭圆长轴上的两个焦点中距离较大的那个，而副焦点则是距离较小的那个。
焦点之间的距离是椭圆的一个重要特征，不同大小的焦点距离会导致椭圆形状的变化。
在研究椭圆时，数学家们发现了一个有趣的现象：椭圆的主焦点和副焦点之间的弦的倒数是一个常数。
这个常数被称为椭圆的焦点弦倒数和，是一个固定的数值，不随椭圆的形状而变化。
椭圆的焦点弦倒数和可以用数学公式来表示。
设椭圆的主焦点为F1（x1，y1），副焦点为F2（x2，y2），椭圆上任意一点P（x，y），则椭圆的焦点弦倒数和为：1/ PF1 + 1/ PF2 = 常数椭圆的焦点弦倒数和是一个有趣的数学性质，它揭示了椭圆的内在规律和结构。
这个性质在数学研究和实际应用中都具有重要的意义，能够帮助我们更深入地理解和应用椭圆这一几何形状。
第二篇示例：椭圆是一种重要的几何形状，由具有不同焦点和不同轴的两个焦点组成。
椭圆与一根通过其两个焦点的线段形成了两个相互垂直的焦点弦。
在本文中，我们将讨论椭圆相互垂直的焦点弦的倒数和。
让我们来回顾一下椭圆的定义。
椭圆是一个闭合曲线，其上所有点到两个焦点的距离之和等于一个常数的图形。
椭圆由一个水平轴和一个垂直轴组成，焦点位于水平轴上。
椭圆的形状由其长轴和短轴的长度决定。
让我们考虑一个简单的椭圆，其短轴长度为2，长轴长度为4。
这个椭圆的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)。
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（2）
y
B F2
法一：以AB作为底
A ox
F1
法二：以F1F2作为底，将三角形分成两个
例题精讲
变式3已知椭圆E: x2 + y2 =1(a b 0)的右焦点为F（3,0）， a2 b2
过点F的直线交椭圆于A,B两点，若AB的中点坐标为 M(1,-1),求椭圆E的方程.
F2
ox
B
1
SAF1B
2c 2
x1
x2
1 2c (b 3 3 c) 40
2
5
3… ②
由 ① ② 得a 10,b 5 3
法二：AB 10 c d 2bc
8
b2 c2
1
5
SAF1B
2
AB
d
8
c
2bc 40 3 … ③
b2 c2
巩固练习ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
法二：联立方程组
y-2 kx
消去y
(3 k 2 )x2 4kx 2 0
3x2 y2 6
y
x1
x2
4k 3 k2
,
x1x2
2 3 k2
B F2
AB 4a ( F1A F1B ) 4 63 6 6
A ox
F1
巩固练习
已知椭圆E：x a
例题精讲
变式1 已知椭圆E：3 x2 y2 6若直线L过椭圆E的上 焦点，且与椭圆E交于A、B两点，AB = 6，求 直线的斜率k.
例题精讲
变式2已知椭圆E:3x2 +y2 =6，若倾斜角为 的直线L过椭圆
4
的上焦点F2，与椭圆交于两点A,B.
（1）求 F1 AB的周长；2求 F1 AB的面积.
F2
法一：
x1
x2
4k 3 k2
,
x1x2
2 3 k2
A ox
F1A F1B x12 (y1 2)2 x22 (y2 2)2
F1
x12 (kx1 4)2 x22 (kx2 )2
(k 2 1)x12 8kx1 16 (k 2 1)x22 无法解出，怎么办？
恳请诸位老师多提宝贵意见!
知识回顾 Knowledge Review
a2 b2 1
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp
>0
方程组有两解
=0
方程组有一解
<0
方程组无解
两个交点 一个交点 无交点
相交 相切 相离
回例顾题旧精知讲
弦长公式：
设直线与椭圆交于A(
的斜率为 k ．
x1
,
y1
)
B(x2 , y2 )两点，直线
AB
AB 1 k 2 （x1 x2）2 4x1x2
分析：
法一：韦达定理法
法二：点差法 优点：计算量小！
改：已知椭圆E: x2 + y2 =1,直线L与椭圆交于A,B两点，若AB的
18 9 中点坐标为M(1,-1),求直线L的方程.
拓展巩固
已知椭圆E:3x2 +y2 =6，若直线L过椭圆 的上焦点F2，与椭圆交于两点A,B. 求 F1 AB的最大面积.
归纳小结:
椭圆中的弦
韦达定理法（通法） 点差法（中点弦问题）
思想方法
巩固练习
已知椭圆E：3 x2 y2 6若直线L过椭圆E的上焦点F2，且与
椭圆E交于A、B两点，若 F1 A + F1B =3 6，求 AB .
解：联立方程组
y-2 kx 消去y 3x2 y2 6
y (3 k 2 )x2 4kx 2 0 B
式求 AB
法二：带 AB 的弦长公式
优点：不用计 算出两根，计 算量小！
例题精讲
弦长公式：
设直线与椭圆交于A(
的斜率为 k ．
x1
,
y1
)
B(x2 , y2 )两点，直线
AB
AB 1 k 2 （x1 x2）2 4x1x2
1
1 k2
（y1
y2）2 4 y1y2
适用于任意二次曲线
（2）LAB : y 3(x c) a 2c …①
b2
a2
c2
3c
2设
x2 4c2
y2 3c2
1
巩固练习
y
y 3(x c)
x2 4c2
x1
y2 3c2
0, x2
1
5 8
消去y 5x2 8cx
c B(8 c, 3 3 c) 55
0
A
F1
2 2
+
y2 b2
=1,若直线L过右焦点F ，与上顶点A,且与 2
椭圆E交于B，F1AF2 =60.(1)求椭圆的离心率.(2)已知
SAF1B 40 3, 求a,b的值.
y
解：（1） F1AB 60
A
AF1F2为等边三角形，即a 2c e c 1
a2
F1
F2
ox
B
2014.11.14
A(3分)
B(3分)
C(2分)
D(1分)
Watch
bus
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回顾旧知
问题：椭圆与直线的位置关系？
相离
相切
相交
回顾旧知
如何判断直线和椭圆的位置关系？ 代数法
直线l : Ax By C
0与椭圆E：x a
2 2
y2 b2
1
Ax+By+C=0 由方程组： x 2 y2
1
1 k2
（y1
y2）2 4 y1y2
适用于任意二次曲线
回例顾题旧精知讲
椭圆的定义：
到两定点的距离之和为常数2a(大于两定点的距离2c) 的点的轨迹叫做椭圆
例题精讲
例1已知椭圆E：3x2 y2 6与直线L:y= x-2交于 A、B两点，求 AB .
分析： 法一：算出AB两点的坐标，再用两点间的距离公