拉格朗日乘数法共8页文档
拉格朗日乘数法介绍
拉格朗日乘数法在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
目录定义用“拉格朗日乘数法”求极值条件极值点的必要条件解应用问题举例拉格朗日乘数法举例拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用定义用“拉格朗日乘数法”求极值条件极值点的必要条件解应用问题举例拉格朗日乘数法举例拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用展开定义设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。
求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即L＇x(x,y)=ƒ＇x(x,y)+λφ＇x(x,y)=0，L＇y(x,y)=ƒ＇y(x,y)+λφ＇y(x,y)=0，φ(x,y)=0由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。
用“拉格朗日乘数法”求极值求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值方法（步骤）是：1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数2.求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z)如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值可求.条件极值问题也可以化为无条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说,“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点.这就是优势.条件φ(x,y,z)一定是个等式，不妨设为φ(x,y,z)=m则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-mg(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z，则水箱容积V=xyz 焊制水箱用去的钢板面积为S=2xz+2yz+xy这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)-8页文档资料
第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
拉格朗日乘数法
§4条件极值 一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。
决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。
我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值22221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，求函数f 的极小值问题。
这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m mk x x x n k <== ϕ限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值.对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例1 由Vxyz =解出 xyV z =, 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy xyV y x F ++=)11(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有3221V z =, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243VS =.然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有)(='+=x g f f dxdz y x .代入),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,即 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使(x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+.0 , 0yy x x f f λϕλϕ三、 Lagrange 乘数法:由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
拉格朗日乘数法的完整证明
拉格朗日乘数法的完整证明拉格朗日乘数法是一种优化问题的解决方法，而它的核心思想就是将约束条件与目标函数融合在一起。
接下来，我们将深入探讨拉格朗日乘数法的证明，让我们一步步来看。
1. 拉格朗日乘数法的基本概念拉格朗日乘数法是一种优化方法，可以解决带约束条件的数学问题。
在具体的应用中，常常遇到要求函数在特定约束条件下的最优值。
比如说，在生产条件固定的情况下，如何使得产品利润最大化？这时候就需要我们运用拉格朗日乘数法来解决问题。
2. 拉格朗日乘数法的推导过程接下来我们来看拉格朗日乘数法的推导过程。
假设我们有一个带有n个变量的函数f(x)，需要满足m个约束条件g(x)≥ 0。
根据一般的函数极值的求法，我们需要使用偏导数来解求问题，而在满足条件的前提下，我们可以将目标函数和约束条件写成这样的形式：L(x) = f(x) - λg(x)。
其中，λ是所谓的拉格朗日乘数，可以看作对约束条件g(x)的权重。
在这个形式下，我们对目标函数求偏导数，并强制使其等于0，得到如下的式子：▽L(x) = ▽f(x) - λ▽g(x) = 0同时，我们也需要满足所有的约束条件，因此：g(x) ≥ 0我们可以将上述公式进一步变形为：▽f(x)/▽x = λ▽g(x)/▽x这个公式的意思就是，当目标函数的一阶偏导数的比值与拉格朗日乘数的一阶偏导数的比值相等时，函数达到了最优解，并且此时满足约束条件。
这样，我们就得到了拉格朗日乘数法的推导公式。
3. 拉格朗日乘数法的证明过程现在，我们可以开始拉格朗日乘数法的证明过程。
首先，我们有一个实函数f(x)，其中x是指所有的n个变量，可以看成：f(x) = f(x1, x2, ..., xn)定义一个实函数L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm)，其中λ1, λ2, ..., λm 是所谓的拉格朗日乘数，我们将一个m个条件的约束问题，变成了一个 (n+m) 维的函数。
第八章_拉格朗日乘子法
应用力学研究所
第10页
§8.1 Lagrange第一类方程
例8-2 质量为m1的质点A，放在倾角为α、质量
y
B( x2 , y2 )
m1g
A( x1 , y1 )
为m2的三角形楔块的斜边上，楔块又可在水平面
上滑动。不计摩擦，适用Lagrange第一类方程求 质点和楔块的加速度以及它们所受的约束力。 解：系统的约束方程
应用力学研究所 李永强 第6页
§8.1 Lagrange第一类方程
Fi mi i A ,i 0 x
1
d g
i 1, 2,
,3 n
这就是LagrangeΒιβλιοθήκη 一类方程3 解法：联合
d g x Fi mi i A ,i 0 1 f x1 , x2 , , x3n , t 0 3n A ,i xi D 0 i 1
系统为完整系统。
应用力学研究所 李永强 第9页
2
2
2
§8.1 Lagrange第一类方程
小球A受到的主动力为重力，沿负x2轴方向，即有
F1 = F3 = 0，F2 = -mg
系统的完整约束的个数 d = 2，
A ,i f xi
代入Lagrange第一类方程
1,2, , d
4 Lagrange乘子的物理意义
假设质点系仅受一个含时间的几何约束， f x1 , x2 ,, x3n , t 0
则Lagrange第一类方程写成
Fi mi i x f 0 xi
i 1, 2, ,3n
如上述约束所引起的对第 i 个质点的约束反力为Ni ，则由达朗伯原理，存在:
拉格朗日数乘法
拉格朗日乘数法专门用来解决带有限制条件的多元函数极值。
我们有连续可导二元函数z=f(x,y)并且有限制条件ϕ(x,y)=0那么我们要求的是z=f(x,y)在该限制条件下的极值。
首先构造函数gg(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)现在问题变成了类似于我要对g(x,y)求极值，因此就变成了∂g(x,y)∂x=0∂g(x,y)∂y=0∂g(x,y)∂λ=0整理可得{Fx′=fx′(x,y)+λϕx′(x,y)=0Fy′=fy′(x,y)+λϕy′(x,y)=0Fλ′=ϕ(x,y)=0三个方程组联立，就得到了限制条件下的z的极值。
那么问题来了，为什么这种方法是奏效的？推导过程假设我们有函数f(x)，并且存在一个限制函数g(x)=0，我们要找f(x)的最大值。
这里x是D维向量。
x=[x1,x2,...,xD]那么限制方程g(x)=0，就是一个D-1维的限制曲面。
（很好理解吧？自由度少了1）考虑在限制曲面上的点x，以及同样位于这个限制曲面上的另一个临近点x+ϵ。
在x处对这个曲面上的临近点进行泰勒展开，则有g(x+ϵ)≈g(x)+ϵT∇g(x)* 一阶泰勒展开就简单理解为物理学的匀速运动方程，s1=s0+vt* ϵT：就是临近点的微小偏移，并且跟x一样是D维的，之所以有转置符号，是为了和后面的梯度做点乘，记住g是一个数* ∇ g(x)：我是对g(x)作泰勒展开，这个就是一阶导，即梯度那么我们首先应该注意到，g(x)=0，所以显然g(x)=g(x+ϵ)那么显然ϵT∇g(x)≈0在极限条件||ϵ||→0的情况下，我们有ϵT∇g(x)=0也就是说这俩向量垂直。
由于ϵ平行于限制曲面，那么∇g只能正交(垂直)于曲面。
接下来寻找限制曲面的一点x∗，使得f(x)最大。
那么我们假想一下，如果我们找到了这个x∗，在这个平面上f(x)是最大的，那么在这一点上，∇f(x)一定也正交于此限制曲面。
如果这个性质不满足，那么就余地让x∗稍微沿着梯度上升方向再挪那么一点，使得f(x)更大。
(完整word版)拉格朗日乘数法.doc
1. 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：（1） f ( , )x 2y 2,若 x y 1 0;x y（2） f ( x, y, z,t ) x y z t, 若 xyzt c 4 （其中 x, y, z,t , 0, c 0 ）；（3） f ( x, y, z) xyz ，若 x 2 y 2 z 21, x y z0 .解 (1) 设 L( x, y,) x 2 y 2( x y 1) 对 L 求偏导数 ,并令它们都等于 0,则有L x 2x 0, L y 2 y0,L zx y 1 0.解之得x y 1 , 1.由于当 x, y时 ,f.故函数必在唯一稳定点处2 1 1 1取得极小值 , 极小值 f ( ,2 ) .2 2(2) 设 L (x, y, z, t,) x y zt( xyzt c 4 ) 且L x 1 yzt 0, L y 1xzt 0, L z1 xyt 0, L t 1xyz 0,Lxyzt c 40,解方程组得 x y z t c. 由于当 n 个正数的积一定时 ,其和必有最小值 ,故 f 一定存在唯一稳定点 (c, c ,c, c)取得最小值也是极小值 ,所以极小值 f(c, c ,c, c)=4c .(3) 设 L( x, y, z, ,u)xyz( x 2 y 2z 2 1) u( xy z) ,并令L x yz 2 x u 0, L y xz 2 y u 0, L z xy 2 z u 0,L x 2 y 2z 2 10,L ux y z 0,解方程组得x, y, z 的六组值为 :1 2 1 1 1 x1 xxxxx66 6 6 6 61 12 1 , y2 2 y , y , y , yy.6 6 66662 1 1 2 1 z1 zz z z z6666 66又 f (x, y, z) xyz 在有界闭集{( x, y, z) | x 2 y 2 z 21, x y z0}上连续 ,故有最值 .因此 ,极小值为f ( 1 , 1,2 ) f (2 , 1 , 1 )3 1 ,6 666666极大值为f (1 , 1 ,2 ) f ( 2, 1 , 1 ) 3 1 .66666662.(1) 求表面积一定而体积最大的长方体； （2）求体积一定而表面积最小的长方体。
拉格朗日乘数法几何解释
拉格朗日乘数法几何解释
嘿，你知道拉格朗日乘数法不？这玩意儿可神奇啦！就好像是在一个复杂的几何迷宫里找到最优解的钥匙。
比如说吧，想象一下你在一个满是山峰和山谷的地形图上，你要找到最高的那座山峰，这时候拉格朗日乘数法就派上用场啦！
它就像是一个超级向导，能带着你在那些弯弯绕绕的条件和限制中穿梭，精准地找到那个最特别的点。
好比说你想要在一个给定的区域内，找到能让某个函数达到最大值或最小值的点，拉格朗日乘数法就能帮你做到。
咱再具体点说，就像你要装饰一个房间，你有预算的限制，又有对各种物品的需求，拉格朗日乘数法就能帮你决定怎么分配资源才能达到最好的效果。
这多厉害呀！
那它到底是怎么工作的呢？其实啊，它通过引入一个新的变量，就像给这个几何迷宫加了一道特殊的光，让那些关键的点一下子就凸显出来了。
你想想看，在一个充满各种线条和曲面的空间里，它能准确地指出那个最优的位置，这不是很神奇吗？难道你不觉得这超级酷吗？
而且哦，拉格朗日乘数法可不是只在数学里有用，在很多实际问题中都能大展身手呢！比如工程设计、经济决策等等。
总之啊，拉格朗日乘数法就是这么一个厉害又有趣的东西，它就像
一把神奇的钥匙，能打开几何世界里那些隐藏的宝藏！我的观点就是，拉格朗日乘数法真的是非常了不起，值得我们好好去研究和理解呀！。
拉格朗日乘数法
朗格朗日乘数法一、基本步骤：目标函数条件f 以及约束条件g ，1.构造拉格朗日函数：F f g λ=+⋅2.多元求导'0x F ='0y F =……3.联立求解：,,x y == 4.判断最值。
二、实例（以2020学军中学3月模拟第15题为例）（2020学军中学3月模拟15）已知正实数,x y 满足2342xy x y ++=，则54xy x y ++的最小值为______．方法一、消元【详解】∵正实数,x y 满足2342xy x y ++=，∴42203x y x -=>+，0x >，解得021x <<． 则()4221654342342333133x xy x y x y x x x x -⎡⎤++=++=++=+++⎢⎥++⎣⎦33155≥⨯=，当且仅当1,10x y ==时取等号． ∴54xy x y ++的最小值为55．方法二、拉格朗日乘数法令()(),54,,2342f x y xy x y g x y xy x y =++=++-构造朗格朗日函数：()()(),,,,F x y f x y g x y λλ=+即：()(),,542342F x y xy x y xy x y λλ=+++++-求导：'52x F y y λλ=+++'43y F x x λλ=+++'2342F xy x y λ=++-解方程： '0'0'0x y F F F λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩得：()1,107x y x ==⎧⎪⎨=-⎪⎩舍 代入，得(),54=55f x y xy x y =++.三、拉格朗日乘数法原理：能够碰到极大极小值点的必要条件是： 梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间方向有分量，在流形上沿分量方向走，函数值会增加，沿反方向走，函数值会减少，不可能为局部极小或者极大值点。
拉格朗日乘数法 柯西乘数法
拉格朗日乘数法柯西乘数法
拉格朗日乘数法和柯西乘数法是求解约束最优化问题中常用的
方法。
拉格朗日乘数法是在等式约束条件下最优化问题的求解方法，它利用拉格朗日函数将等式约束条件和目标函数合并成一个新的函数，并通过求导等于零来求解最优解。
柯西乘数法则是在不等式约束条件下的最优化问题的求解方法，它利用拉格朗日函数和松弛变量将不等式约束条件转化成等式约束条件，并使用拉格朗日乘数法求解最优解。
两种方法都有其适用范围，需要根据具体问题选择合适的方法。
- 1 -。
(完整word版)拉格朗日乘数法
（2）设长方体的长、宽、高分别为 ，体积为 ,则表面积 ,
限Hale Waihona Puke 条件: .设并令 解得
故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.
3.求空间一点 到平面 的最短距离.
解:由题意,相当于求 在条件 下的最小值问题.由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在.
设 且
由(1),(2),(3)得 , , .
1.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：
（1） 若
（2） 若 （其中 ）；
（3） ，若 .
解(1)设 对L求偏导数,并令它们都等于0,则有
解之得 由于当 时, .故函数必在唯一稳定点处取得极小值,极小值
(2)设 且
解方程组得 由于当n个正数的积一定时,其和必有最小值,故f一定存在唯一稳定点(c, c ,c, c)取得最小值也是极小值,所以极小值f(c, c ,c, c)=4c .
(3)设 ,并令
解方程组得 的六组值为:
, , , , .
又 在有界闭集
上连续,故有最值.因此,极小值为
极大值为
2.(1)求表面积一定而体积最大的长方体；
（2）求体积一定而表面积最小的长方体。
解：（1）设长方体的长、宽、高分别为 ，表面积为 ，
则体积为 ，限制条件为 。
设
并令
解得 。
因此求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值 。
代入(4)解得 .
所以
故 为所求最短距离.
4.证明:在 个正数的和为定值条件 下,这 个正数的乘积 的最大值为 .并由此结果推出 个正数的几何中值不大于算术中值 .
证:设 ,
, ,
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的偏导数，并使之为0.即联立方程组：00L x L yL λ⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩由这个方程组解出,x y 及λ，这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.例1. 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三条棱长分别为,,x y z ，则问题转化为求在条件2(,,)2220x y z xy yz xz a ϕ=++−=下，函数(0,0,0)V xyz x y z =>>>的最大值.作拉格朗日函数2(,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λ=+++−对,,x y z 和λ分别求偏导数，有22()02()02()02220x y z L yz y z L xz x z L xy x y L xy yz xz a λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++−=⎩ 解得6x y z a ===这是唯一可能的极值点.所以，表面积为2a 的长方体中，体积最大的长方体的体积为336a . 例2. (2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)曲线22231x xy y −−=上的点到坐标原点的距离的最小值为 .解 作拉格朗日函数2222(,)(231)L x y x y x xy y λ=++−−−对,,x y λ分别求偏导数并令其等于0，有22222022602310x y L x x y L y x y L x xy y λλλλλ⎧=+−=⎪=−−=⎨⎪=−−−=⎩ 由前两个式子可以得到，3x y x y x y−=+，即2240x xy y +−=，再因式分解，得[(2][(2]0x y x y ++=即(2x y =−+①或2)x y =−②①式代入条件222310x xy y −−−=，有22221(104y x y y +=⇒+=+= ②式代入条件，有20y =< 这显然不可能，故(,)f x y 有唯一可能的极值点00(,)x y ，且满足220014x y += 故曲线22231x xy y −−=.。
拉格朗日乘数法系数
拉格朗日乘数法系数拉格朗日乘数法是一种数学方法，可用于求解约束条件下的最优化问题。
它的名字来自于法国数学家拉格朗日，他在18世纪提出了这个方法。
在解决最优化问题时，我们常遇到一个约束条件的情况，这会限制我们的解空间。
而拉格朗日乘数法则可以在考虑这个约束条件的同时，找到最优解。
它的核心思想是通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将问题转化为无约束的优化问题。
假设我们要最小化一个函数f(x)，同时满足一组约束条件g(x) = 0。
那么拉格朗日乘数法会构建一个新的函数L(x,λ) = f(x) +λg(x)，其中λ称为拉格朗日乘子。
然后我们需要找到x和λ的值，使得L(x,λ)取得最小值。
如果我们找到了这样的x和λ，那么就可以得到原始问题的最优解。
通过求解L(x,λ)对x和λ的偏导数，我们可以得到一组方程，称为拉格朗日方程组。
解这个方程组就可以得到最优解。
值得注意的是，拉格朗日乘数法的主要思想是以一种对称的方式同时考虑了目标函数和约束条件，从而找到最优解。
拉格朗日乘数法有广泛的应用。
它可以用于求解经济学模型、物理学问题、工程优化问题等等。
它的优势在于将约束条件转化为目标函数的一部分，这样我们就可以使用无约束优化算法来找到最优解。
而且拉格朗日乘数法是一种数学上严格的方法，可以提供可靠的解决方案。
然而，拉格朗日乘数法也有一些限制。
首先，它要求约束条件满足一定的光滑性条件，否则可能无法找到最优解。
其次，它只能求解约束条件为等式形式的优化问题，对于不等式约束问题需要使用其他方法。
此外，当约束条件较多时，拉格朗日方程组的求解可能会变得非常复杂，导致计算困难。
在应用拉格朗日乘数法时，我们应该注意一些技巧。
首先，选取合适的拉格朗日乘子很重要，有时候不同的选取会导致不同的结果。
其次，我们需要判断最优解是否为临界点，以免求解得到局部最优解而不是全局最优解。
最后，当约束条件有特殊形式时，可以尝试使用其他的优化方法，而不是一味使用拉格朗日乘数法。
高中拉格朗日乘数法
高中拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种数学方法，常用于求解约束条件下的极值问题。
它是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，被广泛应用于经济学、物理学和工程学等领域。
在高中数学中，拉格朗日乘数法通常用于求解含有一个或多个约束条件的函数的极值问题。
这类问题常常涉及到多元函数，即函数的自变量有多个。
在这样的问题中，我们需要找到一个点，使得函数在该点附近的取值最大或最小。
拉格朗日乘数法的核心思想是将约束条件转化为一个等式，并将约束条件引入目标函数中，构造一个新的函数。
这个新函数称为拉格朗日函数。
通过对拉格朗日函数求偏导数，并令其为零，可以得到一组方程。
通过求解这组方程，可以得到函数在满足约束条件下的极值点。
具体来说，假设我们要求解函数f(x,y)在约束条件g(x,y)=0下的极值问题。
首先，我们构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，其中λ为拉格朗日乘子。
然后，对L(x,y,λ)分别对x、y和λ求偏导数，并令其为零。
求解这组方程，可以得到极值点的坐标和拉格朗日乘子的值。
拉格朗日乘数法的原理是基于极值点的必要条件，即极值点处的梯度向量与约束条件的梯度向量平行。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将约束条件纳入目标函数中，从而得到方程组。
这个方程组由目标函数的偏导数和约束条件的梯度向量组成，通过求解方程组，可以得到极值点的坐标。
虽然拉格朗日乘数法在高中阶段并不常见，但它是一种重要的数学工具，在研究约束条件下的最优化问题时发挥着重要作用。
通过运用拉格朗日乘数法，我们可以解决一些复杂的优化问题，为实际问题的求解提供了数学方法。
拉格朗日乘数法是一种用于求解约束条件下极值问题的数学方法。
它通过构造拉格朗日函数，求解方程组来得到极值点的坐标和拉格朗日乘子的值。
尽管在高中阶段并不常见，但拉格朗日乘数法在实际问题的求解中发挥着重要作用，是一种重要的数学工具。
拉格朗日乘数法证明
拉格朗日乘数法证明拉格朗日乘数法证明优美的自然界中有着一些物理问题，无法被常规方法所解决，比如优化问题与约束问题。
这种类型的问题涉及到拉格朗日乘数法，是数学物理学家Joseph-Louis Lagrange给我们留下的贡献。
这篇文章将详细讲解拉格朗日乘数法的证明过程，以帮助读者深入理解这个有趣的数学技巧。
在最小化函数中的约束条件下，通常会使用拉格朗日乘数法。
请注意，"约束条件"是我们将在该问题中应用的一组特殊条件。
它们是对问题进行的限制，使其不至于过于复杂或让答案变得不正确。
我们可以将拉格朗日乘数法概括如下：- 首先，我们需要有一个需要优化的函数f(x, y)。
- 其次，我们必须知道有一组条件限制，这些条件限制我们必须遵守。
我们可以将它们称为约束条件，约束条件可以由等式或不等式表示。
一般情况下，约束条件可以表示为g(x, y) = 0，其中g(x, y)表示约束条件的左侧。
- 最后，我们使用拉格朗日乘数来求解。
拉格朗日乘数是一个变量λ，在f(x,y)上面，g(x,y)下面，将它们加到一起得到L(x, y, λ)。
因此，我们要证明的是在努力优化函数f(x, y)时，这个方程L(x, y, λ)的值是对我们优化问题至关重要的。
现在，在我们继续前进之前，让我们回顾一下剧情发展，你是否已经掌握了所有重要的数学解决方法？如果是的话，那么就再跟我们走一会儿吧。
我们将x和y的一阶偏导数设为0，因为这是寻找函数f(x, y)的最小值所必须的条件。
我们使用拉格朗日乘数来反映这些条件g(x,y)。
拉格朗日乘数通过优化f(x, y)在g(x, y)的约束条件下求解。
假设我们希望最小化函数f(x, y)，并且我们有一组等式约束条件g1(x, y), g2(x, y), …, gi(x, y)。
拉格朗日乘数法告诉我们，我们可以在f(x, y)上面y下g(x, y)下加一个参数λ来获得新的拉格朗日函数L(x, y, λ)。
数学实验教程_实验17(拉格朗日乘数法)
实验17 拉格朗日乘数法实验目的通过二维情形Lagrange 乘数法的几何观察，帮助学生理解Lagrange 乘数法，并掌握利用数学软件求解带等式约束条件的极值问题。
预备知识条件极值、Lagrange 乘子法实验内容Lagrange 乘数法是解有约束最优化问题的一种方法。
问题的形式为：最大化（或最小化） (,)f x y ；约束条件 (,)0g x y =。
【步骤】：为了具体，我们考察如下问题：最大化（或最小化） 2(,)f x y y x =-；约束条件 22(,)10g x y x y =+-=。
【Step1】：画出约束曲线和2(,)f x y y x =-的一些等值线，观察可能的最优值：图 17-1 等值线与可行域图从图中观察，要得到最优值，需要寻找约束曲线和等值曲线相切时的等值曲线值和它们的交点。
【程序】：Mathematica 程序constrainpic=Plot[{Sqrt[1-x^2],-Sqrt[1-x^2]},{x,-1,1},AspectRatio Automati实验17 拉格朗日乘数法 - 99 -c,Axes True,PlotStyle {{Thickness[0.01],RGBColor[0,0,1]}}];f[x_,y_]:=y-x^2;fpic=ContourPlot[f[x,y],{x,-1.4,1.4},{y,-1.4,1.4},ContourShading False]; Show[{constrainpic,fpic}]【Step2】： 寻找曲线之间相切的点由于(,)g x y 的梯度是垂直于约束(,)0g x y =的（因为(,)0g x y =是(,)g x y 的等值曲线），而且2(,)f x y y x =-的梯度是垂直于2(,)f x y y x =-的等值曲线的，因此当两个梯度互为倍数关系时，这两条曲线就相切了。
我们要做的就是解关于变量,,x y λ的方程组：(,)(,)(,)0f x yg x y g x y λ∇=∇⎧⎨=⎩ 我们可以利用Mathematica 来解这个方程组。
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§4 条件极值(一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．(二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．基本要求：(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．(2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为xy yz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数),,(z y x S 在xyz V = 限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件)(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <==ΛΛϕ限制下，求函数 ),,,(21n x x x f Λ 的极值 条件极值与无条件极值的区别条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。
请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
二. 条件极值点的必要条件设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有 0)(='+=x g f f dxdzy x . 代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,( 以下x f 、y f 、x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ϕ—y f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ ,y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f ,y f ) + λ(x ϕ,y ϕ)0=.亦即⎩⎨⎧=+=+. 0 , 0y yx x f f λϕλϕLagrange 乘数法 :由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,(, 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x因此，解决条件极值通常有两种方法 1）直接的方法是从方程组（１）,,,2,1,0),,,(21m k x x x n k ΛΛ==ϕ中解出 m x x x ,,,21Λ 并将其表示为m k x x x g x n m m k k ,,2,1,),,,(21ΛΛ==++代入 ),,,(21n x x x f Λ 消去 m x x x ,,,21Λ 成为变量为 n m x x ,,1Λ+的函数 ),,(),,,,,(),,(1111n m n m m n x x F x x g g f x x f ΛΛΛΛ++== 将问题化为函数 ),,(1n m x x F Λ+ 的无条件极值问题；2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 m x x x ,,,21Λ 来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。
通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求 ),(1n x x f Λ的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数∑=+=mk n k k n m n x x x x f x x L 11111),,(),,(),,;,,(ΛΛΛΛϕλλλ的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。
一.用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离.例3求函数xyz z y x f =),,( 在条件)0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x 下的极小值. 并证明不等式 311113abc c b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛++-, 其中 c b a , , 为任意正常数 .现在就以上面水箱设计为例， 看一看拉格朗日乘数法求解条件极值的过程解： 这个问题的实质是求函数 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 在条件 0=-V xyz 下的最小值问题， 应用拉格朗日乘法，令 L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)'; dLdx=diff(L,'x') dLdy=diff(L,'y') dLdz=diff(L,'z') dLdv=diff(L,'v') dLdx =2*z+y+v*y*z dLdy =2*z+x+v*x*z dLdz =2*x+2*y+v*x*ydLdv =x*y*z-V令 Ｌ 的各偏导等零，解方程组求稳定点 s1='2*z+y+v*y*z'; s2='2*z+x+v*x*z'; s3='2*x+2*y+v*x*y'; s4='x*y*z-V';[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4) v =[-2*2^(2/3)/V^(1/3)][ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V] [ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V] x0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)] y0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)] z0 =[ 1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]这里显然只有实数解才有意义， 所以 Ｌ 的稳定点只有下面一个33221,2V z V y x ===又已知所求的问题确实存在最小值，从而解出的稳定点就是最小值点， 即水箱长宽与为高的２倍时用钢板最省。
下面再看一个条件极值求解问题例2 抛物面 z y x =+22 被平面 1=++z y x 截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长最短距离。
(x73)解 这个问题的实质是求函数 222),,(z y x z y x f ++=在条件 022=-+z y x 与 01=-++z y x 下的最大、最小值问题， 应用拉格朗日乘法，令L='x^2+y^2+z^2+v*(x^2+y^2-z)+h*(x+y+z-1)'; dLdx=diff(L,'x') dLdy=diff(L,'y') dLdz=diff(L,'z') dLdv=diff(L,'v') dLdh=diff(L,'h') dLdx =2*x+2*v*x+h dLdy =2*y+2*v*y+h dLdz =2*z-v+h dLdv =x^2+y^2-z dLdh =x+y+z-1 s1='2*x+2*v*x+h'; s2='2*y+2*v*y+h'; s3='2*z-v+h'; s4='x^2+y^2-z'; s5='x+y+z-1';[h,v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4,s5); x0,y0,z0 x0 =[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)][ 3/4+1/4*i*13^(1/2)] [ -1/2+1/2*3^(1/2)] [ -1/2-1/2*3^(1/2)] y0 =[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)] [ 3/4-1/4*i*13^(1/2)] [ -1/2+1/2*3^(1/2)] [ -1/2-1/2*3^(1/2)]z0 = -1/2， -1/2， 2-3^(1/2)， 2+3^(1/2) 即 L 的稳定点有两个32,23132,231222111+=--==-=+-==z y x z y x 因为函数 ),,(z y x f 在有界闭集 }1,|),,({22=++=+z y x z y x z y x 上连续，必有最大值和最小值，而求得的稳定点又恰是两个，所以它们一个是最大点， 另一个是最小，其最大 最小值为。
(x73)x1=-1/2+1/2*3^(1/2); x2=-1/2-1/2*3^(1/2); y1=-1/2+1/2*3^(1/2); y2=-1/2-1/2*3^(1/2); z1=2-3^(1/2); z2=2+3^(1/2);f1=(x1^2+y1^2+z1^2)^(1/2)f2=(x2^2+y2^2+z2^2)^(1/2)f1 = 0.5829 ; f2 = 4.2024希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
2、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。
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——丁玲。