趣味数学061：一些特殊的幻方
神奇的幻方
神奇的幻方标签：杂谈相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常大肆泛滥。
洪水冲毁房舍，吞没田园，给两岸人民带来巨大的灾难。
于是，每当洪水泛滥的季节来临之前，人们都抬着猪羊去河边祭河神。
每一次，等人们摆好祭品，河中就会爬出一只大乌龟来，慢吞吞地绕着祭品转一圈。
大乌龟走后，河水又照样泛滥起来。
后来，人们开始留心观察这只大乌龟。
发现乌龟壳有9大块，横着数是3行，竖着数是3列，每一块乌龟壳上都有几个小点点，正好凑成从1到9的数字。
可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思。
有一年，这只大乌龟又爬上岸来，忽然，一个看热闹的小孩惊奇地叫了起来："多有趣啊，这些小点点不论是横着加，竖着加，还是斜着加，算出的结果都是15！"人们想，河神大概是每样祭品都要15份吧，赶紧抬来15头猪和15头牛献给河神……果然，河水从此再也不泛滥了。
这个神奇的故事在我国流传极广，甚至写进许多古代数学家的著作里。
乌龟壳上的这些点点，后来被称作是"洛书"。
一些人把它吹得神乎其神，说它揭示了数学的奥秘，甚至胡说因为有了"洛书"，才开始出现了数学。
撇开这些迷信色彩不谈，"洛书"确实有它迷人的地方。
普普通通的9个自然数，经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加和是15的8个算式，全都包含在一个图案之中，真是令人不可思议。
在数学上，像这样一些具有奇妙性质的图案叫做"幻方"。
"洛书"有3行3列，所以叫3阶幻方。
它也是世界上最古老的一个幻方。
构造3阶幻方有一个很简单的方法。
首先，把前9个自然数按规定的样子摆好。
接下来，只要把方框外边的4个数分别写进它对面的空格里就行了。
根据同样的方法，还可以造出一个5阶幻方来，但却造不出一个4阶幻方。
实际上，构造幻方并没有一个统一的方法，主要依靠人的灵巧智慧，正因为此，幻方赢得了无数人的喜爱。
历史上，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝的著名数学家杨辉。
(完整版)趣味数学-幻方
13 14 15 16 第四行和=58 多了24
第 第第 第 一 二三 四 对角线和=34 列 列 列 列 和 和和 和
对角线和=34
=40 =36 =32 =28
少6 少2 多2 多6
根据刚才的情况我们发现对角线上的 4个数和就是幻和，那么就让它们位置都不变。
1 2 34 56 78 9 10 11 12 13 14 15 16
数4个的请让数4它个的们分数4别个的交数换4个的吧!
和 和 和和
=
=
==
34 34 34 34
4个数和= 34
4个数和= 34 1.我先我变是个魔中师心, 点 4个我数可和是= 3有4 魔法的
现在我们来指引 24.个数每数字中你列和2心们的和=点去数334与相字把谁对每和关行相于等
3.数字5和9谁关于 中心点相对
把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 42 7 53 86
9
换位
9 42
三阶幻方有技巧,
3 5 7 3数斜着先排好,
86 1
上下左右要交换, 然后各自归位了!
归位
5：如何填幻方（幻方的构成） 2）三阶幻方构成方法之二 画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4
2
7
5
3
8
6
三、四阶幻方
五阶幻方
六阶幻方
3、探究幻方的规律（1）：
49 2 35 7 8 16
1、所有行、列、对角线上的数 之和均为15；
2、偶数位于角上，奇数在中间；
3、5位于中心点，相对的两个端 点数和为10。因为9个数之和是45， 所以中间的数的5。
3、探究幻方的规律（2）：
奇妙的幻方
64 3678 120 92 134 50 10622 19 15 21 2 13 9 17 23 25 16 8 4 1 22 14 10 5 6 12 18 20 7 11 24 19 15 2 23 25 16 8 4 1 22 14 10 6 12 18 19 15 21 2 13 9 25 168 1 2214 20 7 319 15 2 25 16 8 1 2214 3 A B C D1 234 5 67 89 ⑵ ⑴ 8 6 1 3 75 4 29 56幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格．一般地，在n ×n （n 行n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n ×n 个连续的自然数（注意，这n ×n 个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做n 阶幻方（标准幻方）．其中，相等的和叫做幻和，n 叫做阶．幻和＝幻方内所有数字之和÷阶数，奇数阶幻方的中心数＝幻和÷阶数．非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方．幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方．偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（4K 型的数叫做双偶数，4K ＋2型的数叫做单偶数）．幻方具有对称性．如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性．同一曲线所串连的四个数的和都相等，并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和．这就是幻方的对称性．幻方具有轮换性．如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移动也行）．这样，随你怎样选取5×5的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮换性． 幻方的构造方法： 1．奇数阶幻方的构造方法：⑴ 杨辉三阶幻方构造法：我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”．“九子斜排”，即以右图中A 、B 、C 、D 任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图中以A 处为起点，从向右向下方向），将1～9这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A 处与C 处，B 处与D 处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置．这样，一个三阶幻方就编排完了．训练⑴① 用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少？② 用“杨辉三阶幻方构造法”及3～11编排一个三阶幻方，填入右图中．③ 如右图⑴的3×3的阵列中填入1～9九个自然数，构成了我们熟知的三阶幻方．现有一个3×3的阵列如右图⑵，请选择九个不同的自然数填入这九个方格中，使得其中最大数为20，最小数大于5，而且每一行、每一列及每条对角线上的三个数的和都相等．④ 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中．⑤ 如右图所示，在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36． ⑥ 把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少？14 11 61 8 7 151012 1332 4 5 9 16 14 11 61 8 7 151012 13 3 245 9 16 14 11 61 87 151012 13 3 2 4 5 9 16 14 11 618 7 151012 13 3 24 5 9 1614 11 61 8 7 151012 13 3 2 4 5 9 16 14 11 61 8 7 151012 13 3 2 4 5 9 16 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹4 ⑺ 将九个连续自然数填人右图中三行三列的九个方格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上的三个数之和都等于51．⑻ 在右图中的空格中填入不大于18而且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行、每列和对角线上三个数之和都等于30．⑼ 把1～9这九个数字填入3×3的方格中，这样，每一行的三个数字组成一个三位数，如果要使第二行的三位数是第一行的2倍，第三行的三位数是第一行的3倍，应怎样填数？⑽ 诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）．为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？⑵ 罗伯法（用于编排奇数阶连续自然数幻方）：这是由法国人罗伯总结出的构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法．具体方法如下：先把1（或最小的数）放在第一行正中；然后按以下规律排列剩下的12 n 个数：① 每一个数放在前一个数的右上一格； ② 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； ③ 如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； ④ 如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； ⑤ 如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同④．根据这个规则，可以编一个编排奇数阶连续自然数幻方的口诀：㈠ 横向叫行竖叫列，从1开始连续写，1写首行下中间，右列沉底将2写；㈡ 数顺右上方向走，碰到边框猛回头，上行最左写后数，再沿右上方向走； ㈢ 若碰有数下一格，方向不变继续走，碰顶向右掉到底，再按前面规则走。
趣味数学游戏——幻方
趣味数学游戏——幻方当你还是个小学生的时候，也许就玩过这样一种数学益智游戏，就是把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填在3×3的方格里，使之横、竖、对角线的数字相加都等于15（如下图），这样的“填数”的问题，在数学语言里就叫“幻方”。
而填在3×3方格里的，就叫3阶幻方。
3阶幻方是最简单的幻方。
历代数学家们，都喜欢研究幻方，现在的幻方种类很多，有平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等，平面幻方又分三角幻方，六角幻方（蜂窝幻方）等。
这里要重点介绍的，还是平面正方形幻方，3阶正方形幻方的等值是15，,这个等值是不可改变的，即是说你永远都无法设计出等值是14或者16的3阶幻方，对于4阶、5阶幻方乃至n阶幻方都一样，其等值都是唯一的、确定的。
其中4阶幻方的等值是34，5阶幻方的等值是65，对于任意n阶幻方，其等值为（n3+n）÷2。
其实，任意阶幻方构造法,任意维幻方构造法,任意次幻方构造法,数学家们都早已找到，不存在最大阶幻方的世界纪录之类的说法。
对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)1、N 为奇数时，最简单(1)将1放在第一行中间一列;(2)从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按45°方向行走，如向右上，每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3)如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。
2、N为4的倍数时采用对称元素交换法。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。
北师大版七年级上册数学第二章有理数及其运算趣味数学之探寻神奇的幻方教学设计
（此作业旨在激发学生的探究兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。）
4.合作作业：以小组为单位，共同探讨幻方在其他领域的应用，如计算机编程、艺术创作等，并将研究成果以PPT或展板的形式展示。
二、学情分析
七年级学生对有理数的概念和运算已有了初步的认识，具备了一定的数学基础。但在实际运用中，对有理数运算的熟练程度和问题解决能力仍有待提高。此外，学生对幻方这一数学游戏充满好奇，但对其内在规律和构造方法了解不足。因此，在本章节的教学中，教师应关注以下几点：
1.注重对学生有理数运算能力的巩固和提升，引导学生在实际问题中灵活运用。
4.通过导入环节，激发学生的好奇心和求知欲，为新课的学习打下基础。
（二）讲授新知，500字
1.教师简要介绍幻方的定义和基本性质，如幻方的行、列、对角线之和相等等。
2.教师示范构造一个3×3幻方，并讲解构造过程，强调有理数运算的运用。
3.教师引导学生通过观察、猜想、验证等方法，探索幻方的构造规律。
4.教师讲解幻方中涉及的有理数运算，如加减乘除、括号运用等，帮助学生巩固有理数运算知识。
4.各小组展示讨论成果，教师点评并总结幻方的构造方法和性质。
5.通过小组讨论，培养学生的合作精神、交流能力和解决问题的能力。
（四）课堂练习，500字
1.教师布置课堂练习题，包括基础题和提高题，涵盖幻方的构造、性质和有理数运算等方面。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解题过程和方法。
3.教师选取部分学生的解答进行展示，分析解题思路和技巧，强调有理数运算的运算趣味数学之探寻神奇的幻方教学设计
《有趣的小学数学—幻方问题》
幻方知识点：1、幻方：在一个正方形中，将其分为n n 个（九个、十六个、二十五个、三十六个……）小方格，填上给定的数（九个、十六个、二十五个、三十六）个数字，使每一横行、每一竖行以及每一斜行上的n 个数相加的和都相等。
像这样的正方形，我们把它叫做n 阶幻方。
在幻方中这个相等的和就叫做幻和。
2、三阶幻方：如果一个3×3的方阵中，每一横行、每一竖列及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为三阶幻方（又叫九宫格或九宫图），这个相等的和叫做幻和，填在幻方中心位置的数称为中间数或中心数。
3、三阶幻方的性质：（1）幻和=中心数×3；中心数=幻和÷3； （2）幻和=填入的所有数总和÷3； （3）“斜T 法”：在三阶幻方中，四个角上的数，等于它对角上相邻两旁两个数的平均数(例如：i 位置的数=（b 位置的数+d 位置的数）÷2；a 和f 、h 位置也有此规律)。
（4）在三阶幻方中，最大与最小的数不能填在对角线上；（5）一个三阶幻方，经过翻折，或者旋转90°以后，仍为幻方.例题1：下面是幻方吗？是的在括号里打“√”，不是在括号里打“×”。
( )123456789( )191817161514131211【答案】×；√；【分析】要求每行、每列、两条对角线上的和都相等。
例题2：在下图中，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示【分析】我们知道幻和是中心数的三倍，因此6+12=18是中心数的2倍，由此可知，中心数为：18÷2=9，幻和为：9×3=27。
接着一一填出各个空格中的数。
例题3：如图，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示 【分析】先根据斜T 法算出右下角（27+15）÷2=21；中心数=（17+21）÷2=19；幻和=19×3=57。
趣味数学061：一些特殊的幻方
一些特殊的幻方由我国古代数学瑰宝“洛书”所开创的“幻方”，不仅以其特有的奇妙性质，受到世界各国数学爱好者的青睐，也成为数学文化中一个饶有兴味的课题。
对此，前面在多篇文章中，已经做过一些介绍，这里再撷取几个比较特殊的幻方，供网友们玩赏。
这些幻方的奇妙性质更加扑朔迷离，兴味无穷。
一、间隔幻方1 35 24 54 43 9 62 326 40 19 49 48 14 57 2747 13 58 28 5 39 20 5044 10 61 31 2 36 23 5322 56 3 33 64 30 41 1117 51 8 38 59 25 46 1660 26 45 15 18 52 7 3763 29 42 12 21 55 4 34这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260。
如果，把这些数同时按行和列隔一个取一个，竟然可以组成两个四阶幻方：1 24 43 62 35 54 9 3247 58 5 20 13 28 39 5022 3 64 41 56 33 30 1160 45 18 7 26 15 52 37它们每行、每列、每条对角线上4个数的和相等，都是130。
所以，这个幻方叫做“间隔幻方”。
16 41 36 5 27 62 55 1826 63 54 19 13 44 33 81 40 45 12 22 51 58 3123 50 59 30 4 37 48 938 3 10 47 49 24 29 6052 21 32 57 39 2 11 4643 14 7 34 64 25 20 5361 28 17 56 42 15 6 35这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260，而且每行、每列、每条对角线上8个数的平方和也相等，都是11180，所以，这个幻方叫做“多重幻方”。
三、双料幻方46 81 117 102 15 76 200 20319 60 232 175 54 69 153 78216 161 17 52 171 90 58 75135 114 50 87 184 189 13 68150 261 45 38 91 136 92 27119 104 108 23 174 225 57 30116 25 133 120 51 26 162 20739 34 138 243 100 29 105 152这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是840，而且每行、每列、每条对角线上8个数的积也相等，都是2058068231856000，所以，这个幻方叫做“双料幻方”。
趣味数学课件-幻方
神龟背洛书
神龟背洛书
在公元前23世纪，大 禹治水的时侯，在黄 河支流洛水中，有一 天忽然浮现出一个大 乌龟，当时，大禹与 治水士兵正在河 边观
察洛河水情，商议治理黄河大计，遇 到乌龟在河里上下翻腾十分奇怪。只 见此龟行走水面，游来游去，身形庞 大，甲背平圆。近处仔细观看，
甲背上有9种花点的图案， 大禹让士兵们将图案中的 花点记了下来，带回去作 了认真的研究,他惊奇地 发现9种花点数正巧是， 1—9这9个数，各数的位置排列也相 当奇巧，各线上三数之和皆为15， 既均衡又对称，奇偶交替变化之中似 有一种周转运动之妙，大禹受到启发 ，用此原理治理黄河，获得成功。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁 才第一次提起幻方。我国不仅拥用 幻方的发明权，而且是对幻方进行 深入研究的国家。公元13世纪的数 学家杨辉已经编制出3－10阶幻方， 记载在他1275年写的《续古摘厅算 法》一书中。在欧洲，直到574年， 德国著名画家丢功才绘制出了完整 的4阶幻方。
一般地, 将1,2,3...n 2填入到一个n n的表格中 使得 , 每行, 列以及两对角线上的 个数字之和相等 称这 n , 样数表为n阶幻方.
26 21 22 7 12 13 111
19 23 27 10 14 18 111
24 25 20 15 16 11 111
84 84 84 138 138 138
六阶幻方填法
35 3 31 8 30 4 111 35 4 1 32 9 28 5 36 111 32 5 6 7 2 33 34 29 111 2 33 26 21 22 17 12 13 111 17 22 19 23 27 10 14 18 111 14 23 24 25 20 15 16 11 111 11 24 111 111 111 111 111 111 111 111
探寻神奇的幻方数学课题
探寻神奇的幻方数学课题
幻方是一种神秘而神奇的数学结构，它们在数学界和古代文化
中都引起了广泛的兴趣。
幻方是一个n×n的方阵，其中包含1至
n^2的连续整数，使得每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
这些特殊的性质使得幻方成为了数学家们和艺术家们的宝贵研究对象。
幻方的历史可以追溯到古代，早在公元前650年，古代中国文
献中就有了对幻方的描述。
随后，幻方的研究在印度、中东和欧洲
等地也得到了发展。
著名的意大利数学家和艺术家莱昂纳多·斐波
那契曾经对幻方进行过深入的研究，并将其运用到了他的艺术作品中。
幻方不仅仅是一种数学结构，它还具有许多神秘的数学特性。
例如，幻方中心的数字一定是n的中值，而且一些特殊的幻方还可
以展现出对称性和周期性。
此外，幻方还可以通过不同的方法和技
巧来构造，这些构造方法涉及到了数论、代数和组合数学等领域。
在现代数学中，幻方的研究也得到了广泛的关注。
数学家们利
用抽象代数、线性代数和群论等工具来研究幻方的性质和结构，从
而揭示了幻方背后的深刻数学原理。
同时，幻方的应用也不仅仅局限于数学领域，它还在密码学、图像处理和信息安全等领域中发挥着重要作用。
总之，幻方是一种神奇而神秘的数学结构，它不仅具有丰富的历史和文化内涵，还蕴含着许多深刻的数学原理。
对于数学爱好者来说，探寻幻方的奥秘无疑是一次充满乐趣和挑战的数学之旅。
奇妙的幻方
奇妙的幻方
据说很早以前，夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。
后人称之为"洛书"或"河图"。
如果把图形改成现在通行的阿拉伯数字，就成了下图的样子。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
我们注意到左面的图形中，九个数字正好是从1到9，既无重复，也没有遗漏，但它们并不是按递增或递减顺序来排列。
按照左图的排法，到底有何奥妙呢？
原来，图中任意一横行、一纵列及一条对角线上的三个数字之和全都相等，等于。
具有这种性质的图表称为"幻方"或"纵横图"。
上面这个三行三列的幻方就称"三阶幻方"，15是三阶幻方的常数。
古代又称三阶幻方为"九宫"。
古书上记载："九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，载九履一，五居中央。
"
把上面的九宫图旋转90°、180°与270°，再把它们与原图一起画在透明纸上，从反面来观察，这样一共可以得到八个图，但它们并无实质上的不同。
现已证明：三阶幻方只有一种构造方法。
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
杨辉还介绍了四阶幻方的构造法，并列出了4，5，……，10各阶幻方图。
摘自《趣味数学辞典》。
趣味数学—数阵图与幻方讲课教案
趣味数学—数阵图与幻方三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
《趣味数学幻方》课件
游戏设计中的应用
数字游戏
以幻方为基础设计的数字游戏，如“数独”、“魔方”等， 具有挑战性和趣味性，能够吸引玩家进行思考和探索。
解谜游戏
幻方也可以作为解谜游戏的关卡设计元素，通过设置不同难 度级别的幻方谜题，让玩家在游戏中挑战自己的思维极限。
PART 05
幻方的未来发展
幻方与人工智能的结合
人工智能在幻方领域的应用
利用人工智能算法，可以高效地解决幻方问题，进一步推动幻方的发展。
人工智能在幻方设计中的应用
通过机器学习技术，可以自动生成各种不同类型和规模的幻方，为研究者提供 更多选择。
幻方在数学研究中的价值
幻方在数学理论中的应用
幻方作为一种数学模型，可以用于解决各种数学问题，如矩阵理论、图论等。
幻方在数学教育中的应用
数学公式法
通过数学公式计算出每个 格子的数字，确保每一行 、每一列和对角线的数字 之和相等。
四阶幻方的制作
十六宫格
数学公式法
将1-16的数字填入4x4的十六宫格中 ，使每一行、每一列、两条对角线以 及两条主对角线的数字之和都相等。
通过数学公式计算出每个格子的数字 ，确保每一行、每一列、两条对角线 以及两条主对角线的数字之和相等。
幻方作为一种有趣的数学问题，可以激发学生学习数学的兴趣，提高数学思维能 力。
幻方在科学探索中的应用
幻方在物理学中的应用
在物理学中，幻方可以用于描述量子 力学、统计力学的现象和规律。
幻方在化学中的应用
在化学中，幻方可以用于描述分子结 构和化学反应的过程。
2023-2026
END
THANKS
感谢观看
幻方的种类繁多，其中最经典的幻方是3x3的奇数阶幻方，其原理是利用数字的奇偶 性和对称性来构建。
有趣的幻方
n阶幻方是由前nxn个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各 列及两条对角线所含的n个数的和均相等。例如三价幻方就是 由3x3＝9，即前九个自然数字：1、2、3……、9 组成的方阵， 而其各行、各列及两条对角线所含的3个数的和均等于15。
4
填数方法：从1开 始下降一行、右移 一列填2，再下降 一行、右移一列填 3…，如果已被填 数，则填到同一列 上一行的空格里。
上页的排列 与本页的第 2、3、4的 排列是外圈 数组逆时针 每转90度而 形成的。
2 9 4 4
7
6
6 7
2
1
8
8 1
3
3
4
5 1
3 8 4 9
5
5 3
9 4 8 3
6
5 9
7 2 6 1
7
本页的第6、7、 8的排列是“5” 的外圈数组逆 时针每转90度 而形成的。而 5是1的左右列 互换而成的。
九阶幻方
方阵的一种 幻和=369
16 08 38 71 53 11 28 76 68 24 20 12 40 51 26 72 64 60 39 37 35 33 41 49 47 45 43 58 62 70 56 31 42 10 18 22 66 74 54 09 29 73 44 06 14 78 52 05 17 27 65 77 46 02 50 01 13 21 25 61 69 81 48 5/8
35
7 21 36 46
16
13 30 27 48
24
19 32 40 3
334
37 20 11 44
15
43 29 14 28
偶数幻方
六阶幻方
幻和=111
趣味数学-幻方
泛对角线幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条泛 对角线上的数字之和相等。
正交幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条正 交线上的数字之和相等。
03 幻方的数学原理
数学基础
代数基础
幻方是在一定规则下，将数字填 入一个正方形网格中，每个数字 代表一个坐标，通过代数运算找
出对应的数字。
04 幻方的应用与拓展
幻方在游戏中的应用
数独
这是一种基于幻方原理的数字游戏，玩家需要将数字1-9填入一个3x3的格子中， 使得每行、每列以及每个3x3的子格中都包含这9个数字。
棋盘游戏
一些棋盘游戏如井字游戏（Tic Tac Toe）和连珠（Gomoku）也可以视为幻方 在游戏中的应用，玩家需要在棋盘上放置棋子，使得满足特定的排列规则。
趣味数学-幻方
目录
• 幻方简介 • 制作幻方的方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的应用与拓展 • 趣味数学与幻方
01 幻方简介
幻方的定义
01
幻方是一种将数字、图形或符号 按照特定规则排列在正方形网格 中的数学游戏。
02
幻方要求每一行、每一列以及对 角线上的数字或符号之和都相等 ，或者遵循特定的数学关系。
偶数阶幻方的构造公式
将n阶幻方看作是一个n×n的矩阵，矩 阵中的元素可以用坐标表示，通过代数 运算和矩阵变换，可以得出偶数阶幻方 的构造公式。
幻方的数学证明
奇数阶幻方的。
偶数阶幻方的证明
通过数学归纳法和代数运算，可 以证明偶数阶幻方的构造方法是 正确的。
幻方的历史与起源
幻方最早可以追溯到中国的洛书， 据传为黄帝时期的大臣洛所创。
在中世纪，幻方逐渐传播到欧洲， 成为数学家和哲学家们研究的对
神秘的幻方-组合数学
42
48 29 35 36 67 73 54 60 61 42 48 29 35 36
49
30 31 37 43 74 55 56 62 68 49 30 31 37 43
26
32 38 44 50 51 57 63 69 75 26 32 38 44 50
33
39 45 46 27 58 64 70 71 52 33 39 45 46 27
• 是不是挺简单的，大家可以试一试！
• 下图是按照这一法则建立的11阶幻方：
2、双偶阶幻方
•
n为偶数，且能被4整除 (n=4 ，8，12，16，20……) (n=4k， k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义： 互补：如果两个数字的和， 等于幻方最大数和最小数的和， 即 n*n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字 从左到右、从上到下按顺序填写 ： 这个方阵的对角线，已经用蓝色 标出。将对角线上的数字，换成 与它互补的数字。 这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17； 把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换 完后就是一个四阶幻方。
99
80 81 87 93
76
82 88 94 10
83
89 95 96 0 77
90
91 97 78 84
42
48 29 35 36
49
30 31 37 43
26
32 38 44 50
33
39 45 46 27
40
41 47 28 34
17 23
24 5 6 12 18
1 7 13 19 25
8 14 20 21 2
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
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一些特殊的幻方
由我国古代数学瑰宝“洛书”所开创的“幻方”，不仅以其特有的奇妙性质，受到世界各国数学爱好者的青睐，也成为数学文化中一个饶有兴味的课题。
对此，前面在多篇文章中，已经做过一些介绍，这里再撷取几个比较特殊的幻方，供网友们玩赏。
这些幻方的奇妙性质更加扑朔迷离，兴味无穷。
一、间隔幻方
1 35 24 54 43 9 6
2 32
6 40 19 49 48 14 5
7 27
47 13 58 28 5 39 20 50
44 10 61 31 2 36 23 53
22 56 3 33 64 30 41 11
17 51 8 38 59 25 46 16
60 26 45 15 18 52 7 37
63 29 42 12 21 55 4 34
这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260。
如果，把这些数同时按行和列隔一个取一个，竟然可以组成两个四阶幻方：
1 24 43 6
2 35 54 9 32
47 58 5 20 13 28 39 50
22 3 64 41 56 33 30 11
60 45 18 7 26 15 52 37
它们每行、每列、每条对角线上4个数的和相等，都是130。
所以，这个幻方叫做“间隔幻方”。
16 41 36 5 27 62 55 18
26 63 54 19 13 44 33 8
1 40 45 1
2 22 51 58 31
23 50 59 30 4 37 48 9
38 3 10 47 49 24 29 60
52 21 32 57 39 2 11 46
43 14 7 34 64 25 20 53
61 28 17 56 42 15 6 35
这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260，而且每行、每列、每条对角线上8个数的平方和也相等，都是11180，所以，这个幻方叫做“多重幻方”。
三、双料幻方
46 81 117 102 15 76 200 203
19 60 232 175 54 69 153 78
216 161 17 52 171 90 58 75
135 114 50 87 184 189 13 68
150 261 45 38 91 136 92 27
119 104 108 23 174 225 57 30
116 25 133 120 51 26 162 207
39 34 138 243 100 29 105 152
这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是840，而且每行、每列、每条对角线上8个数的积也相等，都是2058068231856000，所以，这个幻方叫做“双料幻方”。
4 9 8 47 48 49 10
38 15 18 36 37 19 12
39 30 22 29 24 20 11
43 33 27 25 23 17 7
6 16 26 21 28 34 44
5 31 32 14 13 35 45
40 41 42 3 2 1 46
这个七阶幻方由1～49这49个数组成，每行、每列、每条对角线上7个数的和相等，都是175。
它的奇特之处在于：这个幻方的中部，由13～37这25个数，还组成了一个五阶幻方，每行、每列、每条对角线上5个数的和相等，都是125。
15 18 36 37 19
30 22 29 24 20
33 27 25 23 17
16 26 21 28 34
31 32 14 13 35
再靠近中心一点，由21～29这9个数，还组成了一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上3个数的和相等，都是75.
22 29 24
27 25 23
26 21 28
因为，这3个幻方有相同的中心，都是25，所以，这个幻方叫做“同心幻方”。
五、母子幻方
31 36 29 76 81 74 13 18 11
30 32 34 75 77 79 12 14 16
35 28 33 80 73 78 17 10 15
22 27 20 40 45 38 58 63 56
21 23 25 39 41 43 57 59 61
26 19 24 44 37 42 62 55 60
67 72 65 4 9 2 49 54 47
66 68 70 3 5 7 48 50 52
71 64 69 8 1 6 53 46 51
这个九阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上9个数的和相等，都是369。
它还包含9个三阶幻方（由粗线围成）。
每个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上3个数的和相等，分别是96、231、42、69、123、177、204、15、150，所以，这个幻方叫做“母子幻方”。
六、颠倒幻方
1 9 8 6
8 6 1 9
6 8 9 1
9 1 6 8
这个四阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上4个数的和相等，都是24。
由于数字的特点，如果把这个幻方上下颠倒过来，数字8还是8，数字1还是1，数字9变成了6，数字6变成了9。
结果变成：
6 1 9 8
9 8 6 1
8 9 1 6
1 6 8 9
还是四阶幻方，每行、每列、每条对角线上4个数的和相等，仍然是24。
所以，这个幻方叫做“颠倒幻方”。
七、质数幻方
47 113 17
29 59 89
101 5 71
这个三阶幻方中的9个数都是质数，每行、每列、每条对角线上3个数的和相等，都是177。
所以，这个幻方叫做“质数幻方”。
八、魔术“幻方”
125 191 248 169 116
48 114 171 92 39
136 202 259 180 127
69 135 192 113 60
64 130 187 108 55
这个形似幻方的数字方阵，并不具有幻方的一般特性。
它的奇妙之处在于：你可以任意圈出一个数，然后把与这个数同在一行和同在一列的其余的数划掉；再圈出一个没有划掉的数，然后把与这个数同在一行和同在一列的其余的数划
掉；……照这样进行下去，直到最后只剩下5个被圈出的数，它们的和一定等于666。
所以叫做“魔术‘幻方’”。
“666”可不是一个普通的数，它就是大名鼎鼎的“野兽数”，对此有兴趣的网友，可以看一下拙文“‘野兽数666’的来历和趣闻”。
九、反幻方
1 2 3 4 5
1 2 3 4 16 17 18 19 6
1 2 3 12 13 14 5 15 24 25 20 7
8 9 4 11 15 16 6 14 23 22 21 8
7 6 5 10 9 8 7 13 12 11 10 9
这三个形似幻方的方阵不仅没有幻方的一般特性，恰恰相反，它的每行、每列、每条对角线上那些数的和都不相等。
所以，这些“幻方”叫做“反幻方”。