导数运算法则PPT课件(1)
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导数的计算(共42张PPT)

为 y'=n·xn-1.
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
4
x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
1
1
2
x
2
1
1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
课前预习导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
1.2
导数的计算
问题导学
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
课前预习导学
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
4
x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
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x
2
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1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
课前预习导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
1.2
导数的计算
问题导学
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
课前预习导学
导数的运算法则与四则运算PPT教学课件

北美驯鹿是可爱的动物,它们在广阔的 草原上生活。可是,它们经常受到狼的威 胁。于是,人们为保护驯鹿,捕杀草原上 的狼,驯鹿的家族繁盛起来。
可是,过了一些年,人们发现草原被驯 鹿糟蹋的很厉害,而且北美驯鹿有时成批 死亡。是什么原因呢?
科学家研究以后发现,北美驯鹿失去了天 敌狼之后,种群扩大了。草场不足,草原被破 坏,而且那些老弱病残的鹿不能被淘汰,加剧 了草场不足的困难。而且,没有狼的追杀,驯 鹿的运动少了,体质下降,因病而死数量增加。
解: (1) y f ( x2 ) ( x2 ) 2xf ( x2 );
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)]
[ f (sin2 x)] [ f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
于是,人们又把狼“请”了回来。狼还是吃
鹿,为了避免让狼捉到,狼一来鹿就跑,在这 种相互竞争中,鹿的数目不但没有减少,反而 更强壮了。
g(x)
[ g ( x)]2
(上导乘下,下导乘上,差比下方)
三、例题分析
例1 求函数 y x3 2x 3的导数
例2.求下列函数的导数:
(1) y x3 sin x cosx
(2) y tan x
(3) y (x 1)(x 2)
(4) y x 1 x 1
(5) y x5
x sin x x2
[ f (x) g(x)]' f '(x) g '(x)
[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g(x) '
可是,过了一些年,人们发现草原被驯 鹿糟蹋的很厉害,而且北美驯鹿有时成批 死亡。是什么原因呢?
科学家研究以后发现,北美驯鹿失去了天 敌狼之后,种群扩大了。草场不足,草原被破 坏,而且那些老弱病残的鹿不能被淘汰,加剧 了草场不足的困难。而且,没有狼的追杀,驯 鹿的运动少了,体质下降,因病而死数量增加。
解: (1) y f ( x2 ) ( x2 ) 2xf ( x2 );
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)]
[ f (sin2 x)] [ f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
于是,人们又把狼“请”了回来。狼还是吃
鹿,为了避免让狼捉到,狼一来鹿就跑,在这 种相互竞争中,鹿的数目不但没有减少,反而 更强壮了。
g(x)
[ g ( x)]2
(上导乘下,下导乘上,差比下方)
三、例题分析
例1 求函数 y x3 2x 3的导数
例2.求下列函数的导数:
(1) y x3 sin x cosx
(2) y tan x
(3) y (x 1)(x 2)
(4) y x 1 x 1
(5) y x5
x sin x x2
[ f (x) g(x)]' f '(x) g '(x)
[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g(x) '
湘教版高中数学选修1-1:导数的运算法则_课件1(1)

题型二 求导的综合应用
【例2】 利用导数求和: Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠1,且x≠0,n∈N+).
解 ∵x≠0,且x≠1时,
x+x2+x3+…+xn=
数
得(x+x2+x3+…+xn)′=x-1-xnx+1′, 即Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=1-n+11-xxn+2 nxn+1.
D.x-y+1=0
解析 ∵y′=(x2+x+1)′=2x+1,∴y′x=0 =1. ∴切线为y-1=x-0,∴x-y+1=0.
答案 D
3.函数y=x+x12的导数为________. 解析 y′=x+x12′=(x)′+x12′=1-x23. 答案 1-x23
4.函数y=sincxo+s 2cxos x的导数为________. 解析 y=csoins2xx+-csoins2xx=cos x-sin x, ∴y′=-sin x-cos x.
答案 -sin x-cos
要点阐释 1.掌握复合函数的求导方法 求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问 题转化为基本函数的导数来解决.(1)分析清楚复合函数是由哪些 基本函数复合而成的,适当选定中间变量;(2)分步计算中的每一 步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量 的关系;(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则,求出各 函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数;(4)复合函数的 求导过程掌握以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合 过程,对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数,可以直接 应用公式和法则,从最外层开始由外及里逐层求导.
导数的运算法则
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和四 则运算求简单函数的导数. 3.了解复合函数的概念,理解复合函数的求导法则. 4.能求简单的复合函数的导数(仅限于形如f(ax+b)的导 数).
导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)

A. y′=2xcosx-x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业:
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为:
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux,
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为( )
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业:
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为:
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux,
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为( )
2. 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1课件

=15x5′-43x3′+(3x)′+( 2)′=x4-4x2+3. (2) 解 法 1 : y′ = (3x5 - 4x3)′(4x5 + 3x3) + (3x5 -
4x3)(4x5+3x3)′=(15x4-12x2)(4x5+3x3)+(3x5-4x3)(20x4
+9x2)=60x9-48x7+45x7-36x5+60x9-80x7+27x7-36x5
3.复合函数及其求导法则
一般地,对于两个函数y=f(u)和u 复合函 =g(x),如果通过变量u,y可以表 数的概 示成 x的函数 ,那么称这个函数
念 为y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记 作 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y
=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
(4)y′=(2x)′=2xln2. (5)y′=2sin2xcos2x′=(sinx)′=cosx.
• 求下列函数的导数: • (1)y=x-2;(2)y=cosx;(3)y=log3x;(4)y=e0. • [解析] 由求导公式得
(1)y′=-2·x-3=-x23. (2)y′=(cosx)′=-sinx.
(2)y′=(x·tanx)′=xcsoisnxx′ =(xsinx)′coscxo-s2xxsinx(cosx)′ =(sinx+xcocsxo)sc2oxsx+xsin2x=sinxccooss2xx+x;
• (3)解法1:y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′ • =[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ • =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x
yx′= 于
yu′·ux′.即y对x的导数等
. y对u的导数与u对x的导数的乘积
导数的运算法则 课件

例2 求下列函数的导数: (1)y=(2x-1)4;(2)y= 1-1 2x;(3)y=sin(-2x+π3);
(4)y=102x+3.
解 (1)原函数可看作y=u4,u=2x-1的复合函数,
则yx′=yu′·ux′=(u4)′·(2x-1)′=4u3·2=8(2x-1)3.
(2)y=
1-1 2x=(1
2
x)
1
2可看作y=
u
1 2
,u=1--2x1 1-2x.
1 2
u
3
2·(-2)= 1
2
x
3 2
(3)原函数可看作y=sin u,u=-2x+π3的复合函数, 则yx′=yu′·ux′=cos u·(-2)=-2cos(-2x+3π) =-2cos(2x-π3). (4)原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数,
问题2 对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系? 答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函 数的过程.在分析时可以从外向里出发,先根据最外层 的主体函数结构找出y=f(u); 再根据内层的主体函数结构找出函数u=g(x),函数y=f(u) 和u=g(x)复合而成函数y=f(g(x)).
问题3 在复合函数中,内层函数的值域A与外层函数的定 义域B有何关系? 答 A⊆B.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法 则
一般地,对于两个函数y=f(u)和u
=g(x),如果通过变量u,y可以表 复合函数
示成_x的__函__数__,那么称这个函数为y 的概念
=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作 _y_=__f_(g_(_x_)_) _.
复合函数 的求导法 则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y =f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=__yu_′__·_u_x′___.即y对x的导数等 于_y对__u_的__导__数__与__u_对__x_的__导__数__的__乘__积_.
高等数学PPT课件:函数的求导法则

1 x x I x dy
因
y
f 1( x) 连续,
故 lim y
x0
0,
[
f
1
(
x)]
lim y
x0x
lyim01x
1. f ( y)
y
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
9
函数的求导法则
例
求函数
y
反函数
arcsin
x 的导数.
[ f 1( x)] 1 f ( y)
( x)
1
3 x 2
3
sin
x
3
x cos x,
当x 0时,
0,
当x 0时, 8
函数的求导法则
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x f ( y)在 I y内单调、可导 且f ( y) 0 , 反函数 y f 1( x)在对应I x内可导 ,
[ f 1( x)]
f
1 (
y)
或
dy dx
因变量对自变量求导,等于因变量对中间
变量求导,乘以中间变量对自变量求导.
12
函数的求导法则
定理3 如果 u g( x)在x可导 , y f (u)在u可导 , 则 y f [g( x)]在 x可导,dy f (u) g( x) dx
证 y f (u)在点u可导 , lim y f (u), u0 u
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv dx du dv dx
例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dx
dy du
du dx
1 u
cos x
导数的基本公式与运算法则PPT优秀课件

补充例题: 求下列函数的导数:
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1, 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4), (5cos x) = 5(cos x),又(x4) = 4x3,(cos x) = - sin x, (ex) = ex, (1) = 0,
1 y ' sin( x 2 y 2 ) (2 x 2 yy ')
1 y ' 2 x sin( x 2 y 2 ) 2 y sin( x 2 y 2 ) y '
[1 2 y sin( x 2 y 2 )] y ' 1 2 x sin( x 2 y 2 )
练 习 : 求 下 列 函 数 的 导 数 ( 课 堂 练 习 ) ( 1 ) y ( 1 x 2 ) 3 ; ( 2 ) y c o s 3 x ; ( 3 ) y x 2 3 x 2 ; ( 4 ) l g c o s ( 3 2 x 2 )
解: (1) y ' 6x(1 x2)2
2.2.3 高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导,
所得到的一个新函数,称为函数 y = f(x) 的二阶导数,
记作 f (x) 或 y 或
d2y dx2 .
如对二阶导数再求导,则
称三阶导数,记作
f
(x)
或
d d
3y x3
.
四阶或四阶以上导
数记为 y(4),y(5),···,y(n) 或 d 4 y , ···,d n y ,
(4)y2x33xsinxe2
解:
导数的运算法则PPT教学课件

• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点:导数的四则运算及其运用.
• 本节难点:导数的四则运算法则的推导.
• 1.可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则,也是进一步学 习导数的基础,因此,必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵,注意挖掘知识的内 在联系及规律,通过对知识的重新组合, 以达到巩固知识、提升能力的目的.
• 6 . 函 数 y = xsinx - cosx 的 导 数 为 __________________.
• [答案] 2sinx+xcosx
• [解析] y′=(xsinx)′-(cosx)′=2sinx+xcosx.
• 三、解答题
• 7.函数f(x)=x3-x2-x+1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B,象的在斜在区率x=间kABa(=0处,-1的)1内,切f′求线(x实)=平数3行x2a-,于2x使直
(f(x)±g(x))′=
;
• (f(x2.)·设g函(x数))′=f(x)、g(x)是可导函数,且 g(x)≠0.,gf((xx))′
=
f′(x)·g(x)-f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数:
• •
((12))(yy3)= =y=(x1xx2++sinx212x+);2x3(3x;-1);
• 2.利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则,以及常见函数的导数公式 之后,对一些简单函数的求导问题,便可 直接应用法则和公式很快地求出导数,而
• 3.应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时,在可能的情况下, 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则,应 在求导之前,先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简,然后再求导,这样可以 减少运算量,提高运算速度,避免差错.
• 本节重点:导数的四则运算及其运用.
• 本节难点:导数的四则运算法则的推导.
• 1.可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则,也是进一步学 习导数的基础,因此,必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵,注意挖掘知识的内 在联系及规律,通过对知识的重新组合, 以达到巩固知识、提升能力的目的.
• 6 . 函 数 y = xsinx - cosx 的 导 数 为 __________________.
• [答案] 2sinx+xcosx
• [解析] y′=(xsinx)′-(cosx)′=2sinx+xcosx.
• 三、解答题
• 7.函数f(x)=x3-x2-x+1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B,象的在斜在区率x=间kABa(=0处,-1的)1内,切f′求线(x实)=平数3行x2a-,于2x使直
(f(x)±g(x))′=
;
• (f(x2.)·设g函(x数))′=f(x)、g(x)是可导函数,且 g(x)≠0.,gf((xx))′
=
f′(x)·g(x)-f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数:
• •
((12))(yy3)= =y=(x1xx2++sinx212x+);2x3(3x;-1);
• 2.利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则,以及常见函数的导数公式 之后,对一些简单函数的求导问题,便可 直接应用法则和公式很快地求出导数,而
• 3.应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时,在可能的情况下, 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则,应 在求导之前,先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简,然后再求导,这样可以 减少运算量,提高运算速度,避免差错.
数学人教A版选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则课件(1)

(3) y e x ln x;
(4) y ( x 2 x ) x ;
ln x
(5) y
;
x
(6) y tan x .
2
3
2
3
2
2
(1) y (2 x ) (3 x ) 4 2( x ) 3( x ) 6 x 6 x;
y ( x x ) ( x x ) ( x x )
因为
x
x
2
( x ) 2 x x x
x 2 x 1
x
y
所以[ f ( x ) g( x )] y lim
lim( x 2 x 1) 2 x 1,
2
100
x
(100
x
)
0 (100 x ) 5284 (1)
5284
.
2
2
(100 x )
(100 x )
5284
(1) 因为c(90)
52.84,
2
(100 90)
所以,净化到纯净度为90%时,净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
5284
(2) 因为c(98)
2
f ( x )与g( x )商的导数是否等于它们导数的商呢 ?
3
2
通过计算可知,[ f ( x ) g( x )] ( x ) 3 x , f ( x ) g ( x ) 2 x 1 2 x ,因此
f ( x)
f ( x )
[ f ( x ) g ( x )] f ( x ) g ( x ). 同样地,
人教版导数的四则运算法则PPT教学课件

已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)·…·(x-2015),则f′(0)= ________.
[答案] -(1×2×3×…×2015) [解析] 依题意,设g(x)=(x-1)(x-2)·…·(x-2015), 则f(x)=x·g(x),f′(x)=[x·g(x)]′=g(x)+x·g′(x), 故f′(0)=g(0)=-(1×2×3×…×2015).
(2)由f′(x)为一次函数知,f(x)为二次函数,设f(x)=ax2+ bx+c(a≠0),
则f′(x)=2ax+b.将f(x)、f′(x)代入方程得x2(2ax+b)-(2x -1)·(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.
要使方程对任意x都成立,则需要a=b,b=2c,c=1.解 得a=2,b=2,c=1.
• 求函数y=f(x)的导数的步骤是什么?
答案:(1)求函数改变量Δy=f(x+Δx)-f(x);
(2)求平均变化率ΔΔxy=fx+ΔΔxx-fx;
(3)取极限,得导数f′x)= lim Δx→0
fx+Δx-fx
Δx
.
一、导数的四则运算法则 1.函数和(或差)的求导法则 若f(x),g(x)是可导的,则(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x), (f(x)-g(x))′=f′(x)-g′(x). 注意:(1)设f(x),g(x)是可导的,则(f(x)±g(x))′= f′(x)±g′(x),即两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函 数的导数的和(或差). (2)对任意有限个可导函数,有(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′= f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x).
求下列函数的导数:
(1)y=cos3x-π6;(2)y=ln(2x2+3x+1). [解析] (1)设y=cosu,u=3x-π6,
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公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
作业:
• 作业: P93 2、3、4、5
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x )
1 ( 3) y ; 2 cos x
( 4) y
6x3 x 1 x
;
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?
新人教A版选修1-1全套课件
学校:福建省长泰一中
3.2.2《导数运 算法则》
教学目标
• 熟练运用导数的四则运算法 则,并能灵活运用 • 教学重点:熟练运用导数的 四则运算法则 • 教学难点:商的导数的运用
我们今后可以直接使用的基本初 公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 等函数的导数公式
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习:
P92 1、2
2题再加两题 : 1 (5). y 4 ; (6). y x x. x
例4:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x; (4) y (2 x 2 3) 1 x 2 ;
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
1 4 t 4
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
作业:
• 作业: P93 2、3、4、5
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x )
1 ( 3) y ; 2 cos x
( 4) y
6x3 x 1 x
;
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?
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3.2.2《导数运 算法则》
教学目标
• 熟练运用导数的四则运算法 则,并能灵活运用 • 教学重点:熟练运用导数的 四则运算法则 • 教学难点:商的导数的运用
我们今后可以直接使用的基本初 公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 等函数的导数公式
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习:
P92 1、2
2题再加两题 : 1 (5). y 4 ; (6). y x x. x
例4:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x; (4) y (2 x 2 3) 1 x 2 ;
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
1 4 t 4
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.