第2章经典最优化方法讲解
最优化方法讲义
最优化方法讲义
哇塞，最优化方法讲义啊，这可真是个超级有趣的东西呢！
那最优化方法到底是啥呢？简单来说，就是找到一个最好的解决方案。
这就好像你在一堆糖果中找那颗最甜的，或者在一群人里找到最合适的伙伴一起完成一项任务。
它有一些具体的步骤哦！首先得明确目标，就像你要知道自己到底要找什么样的糖果。
然后呢，建立数学模型，这就像是给找糖果这件事定个规则。
接着要选择合适的算法，这就像是选择用哪种工具去挑糖果。
在这个过程中，可得注意啦！目标一定要清晰明确，不能模模糊糊的，不然怎么知道自己要找啥呀。
模型也得合理，不能乱套呀。
算法的选择更是关键，选不好可就事倍功半啦！
在这个过程中，安全性和稳定性那也是相当重要的呀！就好比你走在钢丝上，要是不安全不稳定，那随时可能掉下去。
如果在最优化的过程中出了问题，那后果可能不堪设想。
所以一定要保证每一步都稳稳当当的，不能有丝毫马虎。
那最优化方法的应用场景可多了去啦！比如在工程领域，可以让设计更合理，更高效。
在经济领域，可以让资源分配更科学。
它的优势也很明显呀，能提高效率，节省成本，还能让结果更完美。
这就好像给你配备了一把神奇的钥匙，能打开各种难题的大门。
我给你说个实际案例哈，有家工厂在生产产品的时候，通过最优化方法来安排生产流程，结果呢，生产效率大大提高了，成本降低了不少，产品质量也更好了。
这效果，简直太棒啦！这不就充分说明了最优化方法的厉害之处嘛！
所以呀，最优化方法真的是个超级棒的东西，能让我们的生活和工作变得更加美好，更加高效！。
最优化方法第二章_线搜索算法_最速下降法
f x1 , x2 c, c>0,
2
改写为：
x12 2c 1
2 x2
2c 2
2
1
二、最速下降法
x2
这是以
2c
1
和
2c
2
为半轴的椭圆
2c
2c
2
2
从下面的分析可见 两个特征值的相对
x1
大小决定最速下降法的收敛性。
（1）当 1 2 时，等值线变为圆
2 2
4 f x , 2
2 x1 2 x2 4 f ( x) , 2 x1 +4x2
4 d = f x , 2
0 0
=40 2 20 3 令 0= ' ( ) 80 20, 得 0 =1/4,
一
一维搜索
二 三 四
下 降 算 法
五
最速下降法 Newton法 共轭梯度法
多尺度法 （拟Newton法）
二、最速下降法 假设 f 连续可微，取 线搜索方向
k
d f ( x )
k
步长k 由精确一维搜索得到。 从而得到第 k+1次迭代点，即
f ( x k k d k ) min f ( x k d k )
(推论)在收敛定理的假设下，若f (x)为凸函数，则最速下降 法或在有限迭代步后达到最小点；或得到点列 x k ，它的任 何聚点都是 f (x)的全局最小点。
二、最速下降法
最速下降法特征：相邻两次迭代的方向互相垂直。
令
( ) f ( x d ), 利用精确一维搜索，可得
最优化方法
最优化方法1. 简介最优化方法是一种通过调整变量值以最小化或最大化某个目标函数来优化系统性能的数学方法。
最优化方法广泛应用于各个领域，包括经济学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍最优化方法的基本概念、常用算法以及其在实际问题中的应用。
2. 最优化问题最优化问题可以分为无约束最优化和约束最优化问题。
无约束最优化问题是在没有任何限制条件的情况下，寻找使目标函数值最小或最大的变量值。
约束最优化问题则在一定的约束条件下寻找最优解。
在最优化问题中，目标函数通常是一个多元函数，而变量则是目标函数的输入参数。
最优化的目标可以是最小化或最大化目标函数的值。
常见的优化问题包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
3. 常用最优化算法3.1 梯度下降法梯度下降法是最常用的最优化算法之一。
它通过计算目标函数相对于变量的梯度（即偏导数），以负梯度方向更新变量值，逐步接近最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，但可能收敛速度较慢，且容易陷入局部最优解。
3.2 牛顿法牛顿法是一种基于目标函数的二阶导数（即海森矩阵）信息进行更新的最优化算法。
相较于梯度下降法，牛顿法的收敛速度更快，并且对于某些非凸优化问题更具优势。
然而，牛顿法的计算复杂度较高，且可能遇到数值不稳定的问题。
3.3 共轭梯度法共轭梯度法是一种用于解决线性方程组的最优化算法。
它利用共轭方向上的信息以减少最优化问题的迭代次数。
共轭梯度法适用于大规模线性方程组的求解，并且在非线性优化问题中也得到了广泛应用。
3.4 遗传算法遗传算法是一种通过模拟生物进化过程寻找最优解的优化算法。
它通过交叉、变异等操作生成新的解，并通过适应度评估筛选出优秀的解。
遗传算法适用于搜索空间较大、复杂度较高的优化问题。
4. 最优化方法的应用最优化方法在各个领域都有广泛的应用。
在经济学领域，最优化方法可以用于优化生产资源的配置、最小化成本或最大化利润等问题。
它可以帮助决策者制定最优的决策方案，提高效益。
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
第2章 优化方法的数学基础
X ∈ D 对满足 ,
F ( X ) ( X X * ) ≥ 0
*
T
注意: 注意:
不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中, 不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中,要证明一个 优化问题是否为凸规划,一般比较困难, 优化问题是否为凸规划,一般比较困难,有时甚至比求解优化问题本 身还要麻烦.尤其对一些工程问题,由于其数学模型的性态都比较复 身还要麻烦.尤其对一些工程问题, 杂,更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解,从中选择目标函 数值最好的解. 数值最好的解.
2 2
设: 则有
cos θ1 s≡ 为单位向量. 为单位向量. cos θ 2 F = F ( x0 )T s = F ( x0 ) cos(F , s ) x s 0
梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模 梯度方向是函数值变化最快的方向, 就是函数变化率的最大值 .
x2 x0
-f(x0) 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 上升方向 f(x 0) 最速上升方向
凸规划的一些性质: 凸规划的一些性质: 1)可行域 D = X g j ( X ) ≤ 0
{
j = 1, 2, , m
}
为凸集; 为凸集;
2)凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 为凸规划问题 最优解的充分必要条件 规划问题的 可微, 3 ) 若 F ( X ) 可微 , 则 X* 为凸规划问题的 最优解的充分必要条件 为: 对任意
0
第2章经典最优化方法
0为n*n阶矩阵； 3.BT X＝B 式中B为n维常向量；
X为n维变向量； BT X为标量 4.(XT X)＝2X； 5.(XT QX)＝2QX； 6.X=I；
第十一页，编辑于星期一：十六点 五十三分。
凸集与凸函数
第十二页，编辑于星期一：十六点 五十三分。
第三十二页，编辑于星期一：十六点 五十三分。
变分学中求极值
我们可以得到
F
u
d dx
F ( u '
)
d2 dx2
F ' ( u''
)
0
F u'
d dx
(
F u ''
)
u'
x2 x1
0
F u ''
u'
x2 x1
0
上面第一个为给定问题的基本方程，也称欧拉－拉格朗日方程，
另外两个为边界条件。
第三十三页，编辑于星期一：十六点 五十三分。
第三十一页，编辑于星期一：十六点 五十三分。
变分学中求极值
变分学是研究确定泛函的极值或者说驻值的学科。而泛函定义为一个函数或数个函数的 函数。因此，变分学可用于求解隐函数及其动态优化问题，此外，变分学在求解某些力学， 光学及最优控制中也很有用。 无约束的变分理论中的一个简单问题可叙述如下： 求函数u(x)以使极小化泛函
不等式约束最优化问题
由于引入的松弛变量是以v2的形式出现，这就保证了引入项为非负值， 能使不等式转化为等式，于是，对新构成的拉格朗日函数可列出其极值条件
L x1
＝
f x1
g x1
0
L x2
最优化第二章解析PPT课件
例2.6 考虑例2.5中的线性规划关于 B0 [a4,a2] 的
G-J方程组
x1 2x3 x4 1
x1 x2 x3 4 试把 a1 [1,1]T 和 a3 [2,1]T分别引入基，求新的基本
容许解。
ⅱ）下降性条件
新解 x x x N B b 1 , ,b k 1 ,0 ,b k 1 , ,b m ,0 , ,0 ,b k ,0 , ,0 T 。x N
那么，B 是容许基，且关- 于 B 的基本容许解的 7
目标函数值小于关于 B 的基本容许解的目标函数值。 定理2.12 在标准线性规划（2.21）中，假设： ⅰ）B[a1,a2, ,am ]是容许基；
ⅱ）非基本变量 x l 的判别数 l 0 ；
ⅲ）al B1al 0。 那么线性规划（2.21）存在可以使目标函数值任意减小的 容许解。
-
13
3. 初始基本容许解的产生
对于标准线性规划
m in c T x
s .t. A x b
（2.54）
x
0
,
引入 m 个人工变量 u1,u2, ,um，求解辅助线性规划——
一个典范线性规划
其中 e1,1,
m in e T u
s.t. Iu A x b
u
0,
x
0
,
,1T。
（2.55）
a1lxl
a1nxn b1
a2m1xm1 a2lxl a2nxn b2 （2.29）
xmamm1xm1 a- mlxl amnxn bm.
2
（2.29）称为关于基 B 的Gauss-Jordan方程组（G-J方程组）
典范线性规划的主约束即是一个G-J方程组。
G-J方程组的性质：
优化设计第2章 优化设计
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则
多变量最优化
1.提出问题-变量
问题1中的全部变量包括：
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
1.提出问题-常量
给出：若 在Sf 的某个点内 (x1,L达,x到n)极大值或极小
值，设 在这点f 可微，则在这个点上
。f也就0 是说
，在极值点有
f x1
(x1,
L
,
xn)
0
f xn
(x1,
L
,
xn)
0
（2-1）
据此我们可以在求极大或极小点时，不考虑那些在S内
部使 f 的某一个偏导数不为0的点。因此，要求极大或
极小点，我们就要求解方程组(2-1)给出的n个未知数、
图2.1 彩电问题的利润y关于19英寸彩电的生产量s和 21英寸彩电的生产量t的3维图象
图2.2 彩电问题中关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的利润函数有的水平集图
5.回答第一步中提出的问题
简单来说，这家公司今年可以通过生产4735台19 英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年 获得的净利润为553641美元。
利用计算机代数系统求解问题有几项优点：它 可以提高效率，结果更准确。
4.利用第二步确定的标准过程求解
图2.2给出了函数P的3维图象，图象显示，y在内部达到 最大值；图2.3给出了P的水平集图，从中我们可以估计出y的 最大值出现在x1=5000,x2=7000附近。函数y是一个抛物面， 其最高点为方程组的唯一解。
第2章 最优化的基本理论和基本方法 最优性条件 2.2 一般约束优化 库塔定理和库塔条件
作业 1. 求K-T点：min x12 + x22 -14x1 - 6x2 -7 st x1 + x2 2 x1 + 2x2 3 是否可求出最优解？ 2. 8.6, p264, 薛毅。请验证给出x*是否为K-T点。 （其余部分不要求）。
练习，求K-T点：
min ( x 3) 2 st 3 x 5
看两个例子：不等式约束。
例1
min f(x) = x1 + x2
st
c1(x) = x12 + x2 2 - 2 ≤ 0
例1 min f(x) = x1 + x2 st c1(x) = x12 + x2 2 - 2 ≤ 0 1. 由图解法， x*为最优解， 当然也是局部解。 2. 局部解x*在D的边界上， 约束C1起作用: c1(x*) = 0。 f(x*) + λ* c1(x*) =0 λ* > 0 λ* c1(x*) = 0
对于一般约束问题(2-1)，设x=x*为问题的局部解。 又设f(x)、 ci(x)在x*处有连续偏导数，n维向量组 ci(x*), iE∪I(x*) 线性无关。则存在常数向量* =(1*, 2*, …, l+m*)T，使如下条件成立：
x L( x*, *) f ( x*) i * ci ( x*) 0
L ( x, ) 2 2 2 x1 x2 ( x1 x2 9) ( x1 x2 1)
K-T点：（0，-3）T
1. λ=μ=0，矛盾方程。 2. λ=0，必须μ=-1，不满足非负条件。 3. λ≠0，μ≠0，由松弛互补条件可解得—见书p253， 这时让2L =0的两个式子相减，可见总是λ<0 ，不 满足非负条件。
第二章 最优化-线性规划概要
10
凸 函 数
定义2.1.4 设函数f (x)定义在凸集D Rn上,若
对任意的x,y ∈D,及任意的a ∈ [0,1]都有
f (a x+(1-a)y) ≤ a f(x)+(1-a) f (y)
则称函数f (x)为凸集D上的凸函数.
11
凸 函 数
定义2.1.5 设函数f (x)定义在凸集D Rn上,若 对任意的x,y∈D,x≠y,及任意的a ∈(0,1)都有 f (a x+(1-a)y) < a f(x)+(1-a) f (y) 则称函数f (x)为凸集D上的严格凸函数.
x1 2 x2 3x3 8 x1 2 x2 3x3 x4 8
29
一般形式转化为标准型
(iv)若某个约束方程右端项 bi 0 ，则在约束 方程两端乘以（-1），不等号改变方向，然 后再将不等式化为等式。
(v) 若变量xj无非负约束，则引入非负变量 xj’≥0, xj’’≥0, 令xj=xj’-xj”.
8
极 点
定义2.1.3 设D为凸集, x∈D.若D中不存在两 个相异的点y,z及某一实数a∈(0,1)使得 x=ay+(1-a)z 则称x为D的极点. 凸 集 极点 凸 集 极点
9
极 点
例 D={x ∈Rn| ||x||≤a}(a>0),则||x||=a上的点 均为极点 证明:设||x||=a,若存在y,z ∈D及a∈(0,1),使得 x=ay+(1-a)z.则 a2=||x||2≤a2||y||2+(1-a)2||z||2+2a (1-a)||y||||z||≤a2 不等式取等号,必须||y||=||z||=a, 容易证明y=z=x,根 据定义可知,x为极点.
最优化方法第二章_非线性最小二乘
k 0.75, 0.25 k 0.75, k 0.25,
T
从而，求解该问题的牛顿法为
xk 1 xk ( J ( xk )T J ( xk ) s ( xk )) 1 J ( xk )T r ( xk )
上式局部二阶收敛，但计算量大！
二、Gauss-Newton法 Gauss-Newton法 忽略难于计算的高阶项 s ( xk )
1 mk ( x) r ( xk )T r ( xk ) ( J ( x)T r ( xk ))T ( x xk ) 2 1 ( x xk )T ( J ( xk )T J ( xk ))( x xk ) 2
二、Gauss-Newton法 Gauss-Newton法的优缺点 对于零残量问题(即 r ( x* ) 0 )，具有局部二阶收敛速度。
对于小残量问题(即残差较小，或者接近于线性 )，具
有较快的局部收敛速度。 对于线性最小二乘问题，一步达到极小值点。 对于不是很严重的大残量问题，有较慢的收敛速度。
r ( x) r ( xk ) J ( xk )( x xk ) M k ( x)
从而求解线性最小二乘问题
1 min M k ( x) 2
由线性最小二乘理论知
2
xk 1 xk ( J ( xk ) J ( xk )) J ( xk ) r ( xk )
T T
1
xk d k
如果雅克比矩阵不满秩，下降方向取为最速下降方向。
采用带阻尼的G-N法，保证函数值下降(方法总体收敛)。
xk 1 xk k ( J ( xk ) J ( xk )) J ( xk ) r ( xk )
最优化方法第2章
第2章 无约束优化计算的基本原理(Fundamental principle ofnon-constrained optimization computation )无约束优化问题 Δmin f (X )注：ma 是目标函数(objective function)x f (X )min(f (X ))=−*X 是f (X )的一个局部极小(值)点(local minimal point)Δ>*f (X )f (X )（*X (X )∀∈Ω开邻域(open neighborhood)）*X 是f (X )的一个全局最小(值)点(global minimal point)Δ*f (X )f (X )≥（n X R ∀∈）§2.1最优性条件(Optimality conditions )一、必要条件对于一元可微函数()f x 在极小值点*x 有*()0′=f x ，类似的对多元函数有： 定理2-1-1 连续可微，)(X f *X 极小点⇒0)(*=∇X f ⇒≠∇0)(*X f 取)()()()()(****λλλo p X f X f p X f X f p T +∇+=+⇒−∇=2*****()()()()()()(T )f X f X f X o f X f X o λλλ=−∇⋅∇+=−∇+λ⇒当0>λ且充分小，有***()()()()*X p X f X p f X λλ+∈Ω⇒+≥可行域内 ⇒22**()()()00()0o f X o f X λλλλ−∇+≥⇒≤∇≤→⇒与∇矛盾*()0f X ≠注：①*X 是的驻点(stationary point))(X f Δ0)(*=∇X f②对满足3312)x x =−在0(0,0)T X =定理2-1-2 二阶连续可微, )(X f *X 是极小点⇒, 半正定(semi-definite)0)(*=∇X f )(*2X f ∇⇒)(X f 二阶连续可微可微⇒)(X f ⇒0)(*=∇X f )(*2X f ∇非半正定⇒, 0p ∃≠∋0)(*2<∇p X f p T ⇒)()(**X f p X f =+λ)()()()(22*2*22λλλo X f <o p X f p T ++∇+⇒λ充分小，有与)()(**X f p X f <+λ⇒*X 极小点矛盾。
第2章 最优化的基本理论和基本方法 最优性条件 2.2 有约束优化(第5次课 等式约束优化,作业问题讲解)
11
2x1 2x2
1
0
c1(x) = 2 - x12 - x2 2 = 0 解得x1=-1，x2 =-1，λ1=-1/2；
x1=1，x2 =1，λ1=1/2 。它们是可能的局部解。
图解：
c1(x)
O
c1(x*)
f(x*) x*
f(x)
f(x) = x1 + x2 = -2
先满足 一阶 必要 条件
i 1
如果对所有 z Z(x*),z 0 有 zT x2L(x*,*)z 0
则 x=x*为问题的局部解。
例 min f(x) = x1 + x2
st c1(x) = 2 - x12 - x2 2 = 0
已经求出了 可能的局部解
2 f (x) 0
2c1(x)
i，i= 1, 2, ..., l为拉格朗日乘子（或乘数）。
拉格朗日乘子法
l
xL(x, ) f (x) i ci (x) 0
i 1
ci(x) = 0, i=1, 2, ..., l 。 空格
解上述方程组，得x*即是可能的局部解。
（式一是L(x, λ)对各个xi 的偏导数为0， λ视为常数）
zTx2L(x*,*) z 0
【这里
l
2 x
L(
x*,
*)
2
f
(
x*)
i* 2ci (x*)
i 1
】
Z(x*) {z | z Rn,ci (x*)T z 0,i 1,2, ,l}
局部解的充分条件 (选学)
定理 对于等式约束最优化问题
第二章 优化设计
l 。这是一个合理选择 d 和 l
Fl w 0.1d 3
T 3 0.2d
②刚度条件：
挠度表达式
Fl 3 64 Fl 3 f f 3EJ 3Ed 4
③结构尺寸边界条件： l lmin 8 cm 将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，可归纳为 如下数学模型：
3
例2-2 现用薄钢板制造一体积为5 m ，长度不小于4m的无上盖 的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 宽和高的尺寸。 解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。 设货箱的长、宽、高分别为 x1 , x2 , x3，货箱的表面积为S，则 该问题的物理表达式为： (1) 货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：
设计变量：
X [ x1 x2 ]T
1 1 ) x2 x1
目标函数的极小化： min f ( X ) x1 x2 2( x1 x3 x2 x3 ) x1 x2 10(
约束条件：
g1 ( X ) 4 x1 0 g 2 ( X ) x2 0 h( X ) 5 x1 x2 x3 0
例2-3 某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材 料9kg、3个工时、4kw电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材 料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg， 有300个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天 可能获得的利润最大。 解：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又 使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。 设每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1 , x2 件，每天获得的利润可 用函数 f ( x1 , x2 ) 表示，即
第二章 最优化 线性规划
优点：简单易行，适用于各种线性规划问题，特别是大规模问题。
缺点：对于某些问题，可能存在计算量大、时间长、易陷入局部最优解等问题。
改进方向：研究更高效的算法，如内点法、梯度法等；结合启发式算法，如遗传算法、模拟退火算法等，以寻找更好的解。
章节副标题
线性规划的应用案例
生产计划问题
具体案例：以某企业为例，通过线性规划的方法制定生产计划，实现了生产效率的提高和成本的降低。
最优化问题面临的挑战与未来发展前景
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未来发展前景：利用人工智能技术、优化算法改进、拓展应用领域等 最优化问题的实际应用与挑战
最优化问题的实际应用与挑战
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挑战：处理大规模问题、考虑各种约束条件、处理不确定性等 最优化与线性规划
最优化与线性规划
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线性规划问题定义：在给定约束条件下，寻找一组变量的最优解，使得目标函数为线性函数
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最优化与线性规划的应用：生产计划、资源分配、物流优化、金融投资等
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线性规划问题中的约束条件是等式或不等式约束。
章节副法的基本原理
线性规划问题的定义和求解目标
单纯形表和最优解的确定方法
单纯形法的收敛性和计算效率
单纯形法的基本思路和迭代过程
单纯形法的算法步骤
确定初始基本可行解
确定最优解所在的迭代方向
确定迭代步长
更新基本可行解
单纯形法的优缺点及改进方向
资源分配问题的数学模型和求解方法
最优化理论与算法 第2章 凸分析
集合,记为coneS. 若S凸,则 coneS=K(S) ∪{0}
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最优化理论
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2. 凸集与凸函数
Df 2.5 非空凸集中的点 x 称为极点,若 x=x1+(1-)x2 ,
(0,1) , x1 ,x2 S, 则 x=x1=x2.换言之,x不能表示成S中两个不
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2. 凸集与凸函数
m
Df 2.2 给定m个向量, x1,..., xm Rn,以及满足 i 1的 i1
非负实数i R,i 1,.., m,称向量1x1 ... mxm 为 {x1,..., xm}的凸组合.
Th2.1 集合S Rn是凸集,当且仅当S包含其中任意有限个 元素的凸组合,即对m R {1, 2,...},任意的x1,..., xm Rn,
则 P conv{xk | k K} cone{d j | j J}
x
R
n
x k xk jd j
kK
jJ
k 1, k 0, k K , j 0, j J
kK
(3)指标集J是空集当且仅当P是有界集合,即多胞形.
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2. 凸集与凸函数
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2. 凸集与凸函数
例2.1 超平面H {x pT x }为凸集，其中p为n维列 向量，为实数。此外,下面相对于法向量p的半空 间都是凸集 :
正的闭半空间H {x pT x } 负的闭半空间H - {x pT x } 正的开半空间H {x pT x } 负的开半空间H - {x pT x }
最优化理论与算法(第二章)(汇编)
第二章 一维搜索§2.1. 引言一、精确与非精确一维搜索如前所述，最优化算法的迭代格式为：1k k k k x x d α+=+因而算法的关键就是选择合适的搜索方向，然后再确定步长因子k α。
若设()()k k f x d ϕαα=+现在的问题是从k x 出发，沿k d 方向搜索，希望找到k α，使得()(0)k ϕαϕ<，这就是所谓的一维搜索或称为线搜索(line search )问题。
⑴ 若求得的k α，使目标函数沿方向k d 达到最小，即使得()min ()k k k k k f x d f x d ααα>+=+或 0()min ()k αϕαϕα>=，则称为最优一维搜索，或精确一维搜索。
相应的k α称为最优步长因子。
⑵ 如果选取k α，使目标函数获得可以接受的改善，即()()0k k k k f x f x d α-+>，则称之为近似一维搜索，或非精确一维搜索。
注：精确搜索与非精确搜索在最优化算法中均广泛应用，它们存在各自的优缺点。
二、一维搜索的基本框架一维搜索实际上是一元函数的极值问题，其基本的解决框架是： ⑴ 确定包含最优解的初始搜索区间；⑵ 采用某些区间分割技术或插值方法不断缩小搜索区间，最后得到解。
注：值得注意的是，这样得到的解大多数情况下均为近似解。
因此，即便采用精确一维搜索策略，只要应用了数值方法，最终得到的结果都不一定是真正数学意义上的最佳步长因子。
初始搜索区间的确定定义2.1 设:R R ϕ→，*[0,)α∈+∞是函数()ϕα的最小值点，即*()min ()αϕαϕα≥=。
若存在闭区间[,][0,)a b ⊂+∞，使 *[,]a b α∈，则称[,]a b 为一维极小化问题0min ()αϕα≥的搜索区间。
确定初始搜索区间的进退法基本思想：从一点出发，按一定步长探测，试图找到函数值呈高－低－高变化的三点。
具体地，从初始点0α出发，取初始步长为0h 。
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微分学中求极值
(3)赫森矩阵（Hesse）
定义：赫森矩阵，是二阶偏导数矩阵，且是2× 2对称方阵 ，用记号A代表 2 f A f (X ) X 2 性质：1.A是目标函数的二阶偏导数，是梯度的一阶偏导数。
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2.A是对称方阵。 3. A为正定的条件是：各阶主子式大于零。 4.若矩阵A正定，则二次型X T AX 0，若矩阵A负定，则二次型X T AX 0
微分学中求极值
由梯度与方向导数的概念，我们可以得到： 1.函数f ( X )在该点沿 方向的方向导数等于梯度g沿 方向的 投影。 2.梯度g在自身方向上的投影最大，最大值为 g .因而，函数 f ( x)沿梯度方向上升最快。 3.梯度g 在与自身垂直的方向上投影为0, 所以函数沿与梯度 垂直方向变化最慢，变化率为0； 4.与梯度成锐角方向，函数是上升的；与梯度成钝角方向， 函数是下降的。
第２章 经典最优化方法
内容介绍
微分学中求极值 无约束最优化问题 常用微分公式 凸集与凸函数 等式约束最优化问题 不等式约束最优化问题 变分学中求极值
微分学中求极值
• 一元函数的极值 1.一元函数极值的求法与判别 必要条件： 设函数 f ( x) 在点 x0 处具有导数，且在x0 处 f ( x)取得极值，则该函数 f ( x)在 x 处的导数 0
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数凸ຫໍສະໝຸດ 与凸函数凸集与凸函数凸集与凸函数
凸集与凸函数
等式约束最优化问题
等式约束最优化问题的数学模型式
minf ( X ) S .t.g i ( x ) 0
X En
T
微分学中求极值
(2)梯度与方向导数 f X 梯度g在x1方向上的投影，即g在x1方向上的分量，就是函数f ( X )在x1方向的偏导数， 梯度的定义：梯度是函数f ( X )的一阶偏导数组成的向量。记为：gf ( X ) 即函数在x1方向的变化率。
方向导数的定义：二元函数f ( X )沿任意方向取长度为X的点，该点的函数的极限 f ( x x1 , x2 x2 ) f ( x1 , x2 ) lim 1 0 存在，就称极限值为函数f ( X )在该点沿方向的方向导数
.
由此可见： 当f ' x* 0时，函数f x 是单调上升；当f ' x* 0时，函数 函数f x 是单调上升； 当f ' x* ＝0时，若f '' x* 0，则x*为极小点，若f '' x* 0，则x*为极大点
微分学中求极值
• 二元函数的极值
i 1, 2,..., m
这里介绍两种比较常用的方法：消元法和拉格朗日乘子法。
等式约束最优化问题
1.消元法 消元法就是将等式约束最优化问题转化为无约束最优化问题的一种最为简单的方法， 这里以二维为例，对其方法加以说明： 已知问题的数学模型为 minf ( X )＝f ( x1 , x2 ) S .t.g ( x1 , x2 ) 0 先由约束方程g ( x1 , x2 )＝0，解出x2 h( x1 ), 即消去x2； 然后把所得的表达式代入目标函数中，便可得到无约束的极值问题 minf ( X ) min f ( x1 , h( x1 ))
(4)二元函数极值的充分条件 定理：二元函数f ( X )存在极值点的充分条件是：梯度g f ( X )＝0。且A 2 f ( X ) 正定，则有极小点。反之，则有极大点。
无约束最优化问题
• 由上一节可知，对于无约束最优化问题，其数学模型中只有目标函 数
minf ( X )
X En
f ' ( x) 0
这里有个前提，即函数 f ( x) 在设计区间要连续可导。凡是满足 上述的点都叫函数 f ( x) 的驻点。我们可知驻点并不完全是极值 点，它还有拐点，当然，极值点必定是驻点。因此，还必须有判 别函数极值的更充分条件。
微分学中求极值
充分条件： 当函数的一阶导数f '( x) 0, 二阶导数f '' x 0, 并且 1 ）f '' x 0时，函数f ( x)取极大值，有极大值点； 2）f '' x 0时，函数f ( x)取极小值，有极小值点； 找出函数的极值点，函数的极值自然容易计算出来。
微分学中求极值
2.在x*附近展成台劳极 f x f x* f ' x* x 1 '' * f x x 2 2! . 1 = f x* f ' x* x f '' x* x 2 2! = f x* f ' x* x
(1)二元函数的台劳展开式 1 f f ( X ) f ( X ) * X X T 2 X
* T
2 f X *2 X
其中 f f f g f ( X ) , 叫梯度，是一阶偏导向量。 X x1 x2 2 f 2 f x 2 , x x 2 f 1 1 2 A 2 f ( X ) 叫赫森矩阵，是二阶偏导向量，对称方阵。 X 2 2 f 2 f , 2 x x 1 2 x2 故台劳展开式也可写成 1 f ( X ) f ( X * ) g T X X T AX 2
采用解析法求解，其求解过程可以归结为一下三个步骤： 1.令梯度g=0，解出各个驻点。 2.计算各驻点的矩阵 A,判断矩阵A正定或负定，得到相对应的极小点 或极大点； 3.计算极值。
常用微分公式
对于多元函数，在求解运算过程中，常用到以下微分公式： 1.C＝0 式中C为常数； 0为n维0向量； 2.B＝0 式中B为n维常向量； 0为n*n阶矩阵； 3.BT X＝B 式中B为n维常向量； X为n维变向量； BT X为标量 4.(XT X)＝2X； 5.(XT QX)＝2QX； 6.X=I；