光的干涉与衍射(超经典)

第 14 章

干涉和衍射

14.1 波的叠加 (2)

14.2 杨氏双缝干涉实验 (4)

例14.1：双缝实验 (6)

14.3 光强分布 (6)

例14.2：三缝干涉的光强 (8)

14.4 衍射 (10)

14.5 单缝衍射 (11)

例14.3：单缝衍射 (12)

14.6 单缝衍射的光强 (12)

14.7 双狭缝衍射条纹的光强 (15)

14.8 衍射光栅 (16)

14.9 总结 (17)

14.10 附录：总电场的计算 (18)

14.11 解题 (21)

14.11.1 双缝实验 (21)

14.11.2 相位差 (21)

14.11.3 干涉增强 (22)

14.11.4 双缝干涉的光强 (23)

14.11.5 二级亮条纹 (23)

14.11.6 双缝衍射的光强 (24)

14.12 概念题 (26)

14.13 附加题 (26)

14.13.1 双缝干涉 (26)

14.13.2 干涉-衍射条纹 (26)

14.13.3 三缝干涉 (26)

14.13.4 双缝干涉的光强 (27)

14.13.5 二级极大 (27)

14.13.6 干涉-衍射条纹 (27)

干涉和衍射

14.1 波的叠加

考虑两个或多个波同时经过的空间区域。按照叠加原理，净位移可用矢量或由各个位移的代数和给出。干涉是基于同样的原理，由两个或多个波叠加组成的复合波。叠加原理的概念见图14.1.1。

图14.1.1 波的叠加原理。(b) 干涉相长；(c) 干涉相消。

假定我们有两个波：

叠加后的波为

如果),(t x ψ的振幅大于单个波的振幅（图14.1.1(b)），则干涉加强；反之则干涉相消（图14.1.1(c)）。

作为例子，我们来考虑下述两个波在t = 0时刻的叠加：

叠加后的波为

这里我们用了

以及

。进一步运用恒等式

以及

从而得到

其中

。波叠加的图像见图14.1.2。

图14.1.2 两支正弦波的叠加。

我们看到，在1)sin(=+φx 时，或φπ

−=

2

x 时，波有最大振幅。这时干涉增强。反之，在

61.2=−=φπx rad 时，干涉相消，此时0sin =π。

为了形成干涉条纹，入射光必须满足两个条件： (i) 光源必须是相干的。就是说，来自多个波源的平面波相互间必须保持固定的相位关系。例如，如果两支波完全不同相πφ=，那么这个相位差就不可能随时间保持不变。 (ii)

光必须是单色的。就是说，光是由单一波长k /2πλ=的波组成的。

白炽灯发出的光是不相干的，因为这种光由不同波长的波组成，它们之间无法保持固定的相位关系。因此观察不到干涉条纹。

图14.1.3 白炽灯光源

14.2 杨氏双缝干涉实验

1801年，托马斯·杨做了一个实验用来揭示光的性质。这个双缝实验的示意图见图14.2.1。

图14.2.1 杨氏双缝干涉实验

单色光源入射到装有狭缝S 0的第一个屏。透射的光入射到装有两平行狭缝S 1和S 2的第二个屏，它相当于两个相干光源。从这两个狭缝出来的光波发生干涉，并在观察屏上形成干涉条纹。亮条纹对应于干涉极大，暗条纹对应于干涉极小。图14.2.2显示了波叠加形成干涉增强和干涉相消的方式。

图14.2.2 干涉增强发生在 (a) P 点和 (b) P 1点；干涉相消发生在 (c) P 2点。

双缝干涉的几何图像见图14.2.3。

图14.2.3双缝干涉实验

考虑落到屏上距O 点距离为y 的P

点的光，双缝距屏的距离为L ，双缝间距为d 。由狭缝2出射的光在到达P 时要比狭缝1出射的光的行程多出12r r −=δ的距离。这个额外距离称为程差。由图13.2.3，利用余弦定理，我们有

和

用方程(14.2.2)减去方程(14.2.1)，得

在L >> d ，即屏到狭缝的距离远大于缝间距离的极限情形下，r 1与r 2之和可以近似为，这样程差变成

r r r 221≈+

在此极限下，两束光r 1与r 2基本上可视为平行束（见图14.2.4）

。

图14.2.4 在L >> d 极限下，两束光之间的程差

两束光是同相位还是不同相取决于δ的值。当δ为零或是波长λ的整数倍时，屏上出现的是干涉增

强：

这里m 称作干涉级数。零级（m = 0）极大对应于0=θ的中央亮条纹，一级极大（）是中央条纹两边的亮条纹。

1±=m 反之，当δ为半波长2/λ的奇整数倍时，到达P 点的波相位相差180°，导致干涉相消，因而屏上出现的是暗条纹。干涉相消的条件是：

在图14.2.5中，我们展示了2/λδ=（m = 0）程差如何引起干涉相消，以及λδ=（m = 1）

如何引起干涉增强的图像。

图14.2.5 (a) 干涉相消；(b) 干涉增强

为了确定条纹在屏上位置距O 点的垂直距离，除了条件L >>d 之外，我们还假定缝间距离d 远远大于单色光的波长，λ>>d 。这个条件意味着θ角非常小，故有

将上述两个表示干涉增强和干涉相消的条件分别代入方程(14.2.5)和(14.2.6)，即可得亮条纹和暗条纹的位置，分别为

和

例14.1：双缝实验

假定在双缝实验安排中，d = 0.150 mm ，L =120 cm ，λ = 833 nm ，y = 2.00 cm 。 (a) 光从双狭缝到屏上P 点的程差δ是多少？ (b) 用λ 表示这个程差。

(c) P 点对应的是光强极大值、极小值还是中等亮度值？

解：

(a) 程差由θδsin d =给出。当时，y L >>θ很小，近似有L y /tan =≈θθ。因此

(b) 由 (a) 的答案可得

或λδ00.3=。

(c) 由于程差是λ 的整数倍，故P 点对应的是光强极大值。

14.3 光强分布

考虑如图14.3.1所示的双缝实验。

图14.3.1 双缝干涉