静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程

E d l 0（静电场的环流定理） C
静电场强的环路积分为零。
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因此，电场强度
E
可以用一个标量
函数——电位函数的负梯度表示。
E
同时，静电场又是一个有散场， 静止电荷是静电场的散度源。
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因此，可以从静电场的性质总结出：
在各向同性、均匀、线性的媒质中
静电场的基本方程：
积分形式：
Edl C
一个旋度方程和 一个散度方程。
同时，场量的散度与该场的标量源密度有关， 旋度与该场的矢量源密度有关。
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§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
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二、泊松方程和拉普拉斯方程 1、泊松方程 2、拉普拉斯方程
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1、泊松方程
D E
E
（介质方程） （电场与电位的关系） D (E)
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
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介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
。
2
原来就是泊松方程啊！ ~~~~~~ORZ…………………
23
16
2、给定电场分布，即已知 D和E ，
求电荷的分布。
D 或
E
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例2-9 P66 已知导体球的电位是U（设无穷远处的电位为0）， 球的半径为a，求球外的电位函数。 解：球外的电位满足拉普拉斯方程（=0），且电场
具有球面对称性，因此= (r)。 球 坐 标 系，
2
1 r2
r
r 2
r
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
r
C1 r2
一次积分
C1 r
C2
边界条件： r a , U ; r , 0。
C1 aU; C2 0。
第二章 静电场
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8
库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉斯方程 分界面上的边界条件 导体系统的电容 静电场能量和静电力
★ 电位的泊松方程
2
★ 静电场的基本方程
E 0
或（E ）
D
2
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
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§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
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一、静电场的基本方程
前面已经得出： ➢静电场是无旋场
E 0 (静电场守恒性的微分形式)
➢静电场是守恒场
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aU (a r ) r
例2-10 P66
两无限大平行板电极，板间距为d，电压
为U0，并充满密度为0x/d的体电荷。用 泊松方程的方法求板间的电场强度。
解：
20
2
0x 0d
x 0, 0
(0 x d)
x d, U0
0x d
2
2
x2
d 2
dx2
0x 0d
d 2 0 x dx2 0d
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
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2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
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2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
一次积分
d
dx
1 2
0 x2 0d
C1
一次积分
边界条件： x 0,
0;
0 x3 6 0 d
C1x C2
C1
U0 d
0d 6 0
;
x d , U0 .
C2 0
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0x3 6 0 d
U0 d
0d 6 0
x
E
0 x2 2 0 d
U0 d
0d 6 0
ax
22
填空题：
静电场电位所满足的微分方程是
ax
x
ay
y
az
z
2
ax
x
ay
y
az
z
ax
x
ay
y
az
z
2
x 2
2
y 2
2
z 2
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拉普拉斯算符2在三种坐标系中的表示
➢直角坐标系：2
2
x2
2
y 2
2
z 2
➢圆柱坐标系：2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
➢球坐标系：
2
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r
r 2