静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程
高数泊松方程
高数泊松方程
泊松方程（Poisson's equation）是一个在物理学和数学中常见的偏微分方程，它描述了静电场、引力场或热传导等物理现象。
在二维或三维空间中，泊松方程可以表示为：
Δf = ρ
其中，Δ 是拉普拉斯算子（Laplacian operator），f 是某个标量场（如电势、温度等），ρ 是该场的源（如电荷密度、热源等）。
在高等数学中，泊松方程通常用于求解具有特定边界条件的偏微分方程。
例如，在静电学中，给定电荷分布ρ，我们可以使用泊松方程来求解电势 f 的分布。
为了求解泊松方程，我们可以使用分离变量法、有限差分法、有限元法或谱方法等数值方法。
这些方法可以帮助我们找到满足方程和边界条件的近似解。
需要注意的是，泊松方程是一个椭圆型偏微分方程，这意味着它的解在整个定义域内都是光滑的。
此外，泊松方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，如电磁学、流体力学、热力学等领域。
南京理工大学-研究生入学考试大纲-821电磁场与电磁波
《电磁场与电磁波》课程考试大纲
参考书：谢处方，饶克谨．电磁场与电磁波(第三版)．高等教育出版社，1999
一、矢量分析
1. 矢量，标量，矢量场与标量场
2. 散度，旋度，梯度
3. 散度定理，斯托克斯定理
4. 亥姆霍兹定理
二、静电场
1. 电荷与电荷分布，束缚电荷
2. 电流与电流密度，电流连续性方程
3. 电场强度，库仑定律
4. 真空中静电场的基本方程
5. 泊松方程与拉普拉斯方程
6. 高斯定律
7. 电位函数
8. 唯一性定理
9. 电介质的极化与极化强度
10. 介质中的高斯定律
11. 边界条件
12. 导体系统的电容
13. 电场能量
三、恒定磁场
1. 安培力定律，磁感应强度
1. 真空中磁场的基本方程
2. 安培环路定律
3. 矢量磁位，标量磁位
4. 磁场强度
5. 磁化及磁化强度
6. 自电感与互电感
7. 磁场能量
四、时变电磁场
1. 麦克斯韦方程（积分形式与微分形式），位移电流
2. 波动方程
3. 坡印廷矢量
4. 坡印廷定理
5. 时变电磁场的边界条件
6. 动态矢量位和标量位
五、正弦平面电磁波
1. 正弦平面电磁波的特点
2. 亥姆霍兹方程
3. 平均坡印廷矢量
4. 均匀平面波的极化。
电位的泊松方程和衔接条件
电位满足的微分方程 电位在分界面上的衔接条件
➢ 本节的研究内容
一、电位的泊松方程和拉普拉斯方程 二、电位的衔接条件
一、电位的泊松方程和拉普拉斯方程
根据静电场基本方程的微分形式和物性方程，可得 D (E) E E
() 2
均匀介质中 0 E
2
电位满足泊松方程
在没有电荷分布的场域中， 0
2 0
电位满足拉普拉斯方程
二、电位的衔接条件
因为，Dn En E en e n n
由 D2n D1n ，得
1 2
1 n 2 n
1 2
1 2
1 n 2 n
分界面两侧电位的衔接条件
题7. 如图所示平板空气电容器(板的尺度大于板间距离)中，
有体密度为 的电荷均匀分布，已知两板间电压值为 U0 。
忽略边缘效应，求电场的分布。
y
解：当平行板为无限大时，电位函数为
2 2 2 x 0
x2 Bx C 20
根据题意可知
x
x
0 d
0
U 0
x 0 x d
d
O U0
x
0 C
U0
2 0
d2
Bd
C
(x) x2 (U0 d )x
20
d 20
E (x) x0 U0 d 2d0e x
本节要点
➢ 本节的研究目的
电位满足的微分方程；电位在分界面上的衔接条件
2 1
11n12
2
2 n12
12
21
1 1
22
2
2
24
4
4
4 1
1
1
n14
4
4
n14
物理化学泊松方程
物理化学泊松方程泊松方程是物理化学中一种重要的偏微分方程，描述了电势场中的电荷分布和电势之间的关系。
它是电场的基本方程之一，也是研究电子结构、电解质溶液等领域的基础。
我们来了解一下泊松方程的基本形式。
在三维空间中，泊松方程可以表示为：▽²Φ = -ρ/ε₀其中，▽²Φ表示拉普拉斯算子作用于电势Φ得到的结果，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
这个方程建立了电势分布和电荷分布之间的关系，通过求解该方程，我们可以得到电势场的分布情况。
泊松方程的物理意义可以从两个方面理解。
首先，它描述了电势场中的电荷分布情况。
当电荷密度ρ为零时，泊松方程退化为拉普拉斯方程，描述了无电荷的电势场分布情况。
其次，泊松方程还可以用于求解电势场中的电荷分布。
通过已知的电势分布，可以反推出电荷分布情况，这在研究电子结构、电解质溶液等问题时非常有用。
泊松方程在物理化学中的应用非常广泛。
例如，在固体物理中，泊松方程被用来研究电子在晶格中的运动和能带结构；在电解质溶液中，泊松方程被用来研究电位分布和电解质浓度之间的关系。
此外，泊松方程还可以应用于电容器、半导体、生物电势等领域。
为了求解泊松方程，我们需要给定边界条件。
边界条件可以是电势值的固定值，也可以是电势梯度的固定值。
根据边界条件的不同，可以得到不同形式的泊松方程解。
对于一些复杂的情况，如非线性泊松方程、含时泊松方程等，求解起来可能更加困难，需要借助数值计算方法或近似方法。
泊松方程是物理化学中一种重要的方程，描述了电势场中的电荷分布和电势之间的关系。
通过求解泊松方程，可以得到电势场的分布情况，从而揭示了电势和电荷分布之间的联系。
泊松方程在固体物理、电解质溶液等领域有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点，并且把这些商加在一起，其总和即P点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离rk的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数ε=8.854o×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，ζ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
静电场的Laplace方程和Poisson方程(精)
边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（P159）
（定解问题所需边界条件的数目？）
三类定解问题
定解问题有微分方程(泛定方程)和定解条件组成. 定解条件主要是由初始条件和边界条件组成.根据定解 条件的情况,可以把定解问题分成三类:
二阶线性偏微分方程
把函数 u 的所有自变量（包含空间坐标和时间）依次记作
x1 , x2 ,
, xn ,二阶偏微分方程如果可以写成如下形式:
a u
i, j
n
ij xi x jFra bibliotek biuxi cu f 0
i
n
如果 aij , bi , c, 是线性的.如果 齐次的.
f
只是 1
x , x2 ,
, xn 的函数,则该方程
f 0 ,则称该方程是齐次的;否则称为非
(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
t ,
u x x, t | x l t k
1
又如杆的纵振动问题,若一端受有外力,且单位面积上所受的力 为
泊松方程
泊松方程是在数学中的静电学，机械工程学和理论物理学中常见的偏微分方程。
它以法国数学家，几何学家和物理学家Poisson的名字命名。
泊松首先获得没有重力源的泊松方程△Φ= 0（即拉普拉斯方程）；考虑重力场时，△Φ= f（f为重力场的质量分布）。
后来，它扩展到了电场，磁场和热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，但也可以用分离变量法和特征线法求解。
泊松方程为△φ=f
在这里△代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密顿算符▽的平方)，而f 和φ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，
因此泊松方程通常写成
在三维直角坐标系，可以写成
如果没有f，这个方程就会变成拉普拉斯方程△φ=0.
泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation[1] 。
现在有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
数学上，泊松方程属于椭圆型方程(不含时线性方程)。
折叠编辑本段静电场的泊松方程
泊松方程是描述静电势函数V与其源(电荷)之间的关系的微分方程。
▽^2V=-ρ/ε
其中，ρ为体电荷密度(ρ=▽·D，D为电位移矢量。
)，ε为介电常
数绝对值εr*εo。
电位的泊松方程和衔接条件
回顾
体电荷分布 面电荷分布 线电荷分布
(x, y, z) 1 (x, y, z) dV C
4π0 V
R
(x, y, z) 1 (x, y, z) dS C
4π0 S
R
(x, y, z) 1 (x, y, z) dL C
4π0 L
R
E
E
本节的研究目的
在没有电荷分布的场域中， 0
2 0
电位满足拉普拉斯方程
二、电位的衔接条件
因为，Dn En
E en
en
n
由
D2n
D1n
，得
1
1
n
2
2
n
1 2
1
1
n
2
2
n
分界面两侧电位的衔接条件
题7. 如图所示平板空气电容器(板的尺度大于板间距离)中，
有体密度为 的电荷均匀分布，已知两板间电压值为 U0 。
电位满足的微分方程 电位在分界面上的衔接条件
本节的研究内容
一、电位的泊松方程和拉普拉斯方程 二、电位的衔接条件
一、电位的泊松方程和拉普拉斯方程
根据静电场基本方程的微分形式和物性方程，可得
D ( E) E E
均匀介质中 0
E
() 2
2
电位满足泊松方程
3 3 n34
4
4 n34
34
区域内边界
，电位函数为
2
2
2x
0
x2 Bx C
2 0
根据题意可知
x x
0 d
0
U0
x 0 x d
d
O U0
x
0C
静电场微分方程及唯一性定理
2 0
泊松方程和拉普拉斯方程统称为微分方程。 二、泊松方程与拉普拉斯方程适用条件 只适用于各向同性、线性的均匀媒质。(?)
§2.8.2
唯一性定理（Uniquness Theorem）
一、定理内容
在静电场中，满足给定边界条件的微分方程（泊松方程或
拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。
2 2 2 式中： ( ex ey ez ) ( ex ey ez ) 2 2 2 2 x y z x y z x y z
2
泊松方程（针对场源点）
拉普拉斯方程（针对场点,ρ=0）
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚 辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§2.8 静电场边值问题 唯一性定理
§2.8.1 泊松方程与拉普拉斯方程 一、静电场微分方程
D
E E E
E
E 0
常数
二、物理角度理解
场源相同、场分布相同，则场一定相同。
三、数学角度理解
方程相同、边界条件相同，则解一定相同。
四、唯一性定理的作用
1、确定何为相同场的判定条件；
2、可以采用等效方法进行问题的求解，只要保证满足唯一
性定理的条件，则解法不同，但解却一
静电场泊松方程
静电场泊松方程静电场泊松方程是描述电荷分布在静电场中的数学模型。
它是一个偏微分方程，通常用于求解电荷分布和电势分布之间的关系。
本文将从以下几个方面进行详细介绍。
一、静电场泊松方程的基本概念1. 静电场静电场是指由静止的电荷所产生的空间中的力场。
它是一种无旋力场，其势能只与位置有关，与时间无关。
2. 泊松方程泊松方程是一种偏微分方程，通常用于描述物理系统中的势能分布。
在静电学中，泊松方程被用来描述电势与空间中的电荷密度之间的关系。
3. 静电场泊松方程静电场泊松方程描述了空间中的任意点处的电势与该点周围区域内所有带有电荷密度ρ(r) 的物体所产生的作用力之间的关系。
它可以表示为：∇²V = -ρ/ε0其中V表示该点处的电势，ρ表示该点周围区域内所有带有电荷密度ρ(r) 的物体所产生的作用力，ε0为真空介质中的电常数。
二、静电场泊松方程的推导1. 静电场中的高斯定律在静电场中，高斯定律描述了电荷分布与电场之间的关系。
它可以表示为：∮E·dS = Q/ε0其中E表示电场强度，Q表示空间内的总电荷量，S为任意闭合曲面。
2. 电势与电场之间的关系在静止的情况下，由于静电场是无旋力场，因此可以定义一个标量函数V称为电势。
根据库仑定律，可以得到：E = -∇V其中E为电场强度，V为该点处的电势。
3. 泊松方程的推导将上述两个公式代入高斯定律中，可以得到：∮(-∇V)·dS = Q/ε0根据斯托克斯定理可得：-∫(∇²V)dV = Q/ε0由此可得到静电场泊松方程。
三、静电场泊松方程的应用1. 求解空间中的电势分布通过求解静电场泊松方程，可以计算出空间中各点处的电势分布。
这对于研究带有不同形状和大小的电荷分布的系统非常有用。
2. 计算电场强度通过计算电势梯度，可以得到空间中任意点处的电场强度。
这对于研究静电场中的带电粒子运动非常有用。
3. 分析静电场中的能量分布通过计算静电场中的能量密度，可以分析静电场中能量的分布情况。
1.1 拉普拉斯方程与泊松方程
泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
静电场的详细计算
静电场定义由静止电荷(相对于观察者静止的电荷)激发的电场。
静电场性质根据静电场的高斯定理：静电场的电场线起于正电荷或无穷远,终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场．从安培环路定理来说它是一个无旋场．根据环量定理，静电场中环量恒等于零,表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场．根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=（k·q1q2）/r²;,其中q1、q2为两电荷的电荷量（不计正负性）、k为静电力常量，约为9.0e+09（牛顿·米²）/（库伦²;），r为两电荷中心点连线的距离。
注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。
是实际带电体的理想化模型。
当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。
静电场的泊松方程由于静电场是无旋场,故可用标量电位φ表征静电场（见电位）。
电位与电场强度的关系是式中Q点为电位参考点，可选在无穷远处；P点为观察点。
上式的微分形式为电场强度等于电位的负梯度，即E=-墷φ在ε为常数的区域，式中墷·墷可记作墷2，在直角坐标中分别为一阶与二阶微分算符。
这样,可得电位φ所满足的微分方程称为泊松方程。
如果观察点处自由电荷密度ρ为0，则墷2φ=0称为拉普拉斯方程。
泊松方程和拉普拉斯方程描述了静电场空间分布的规律性。
可以证明，当已知ρ、ε及边界条件时，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，可以设法求解电位φ，再求出场中各处的E。
静电场知识点一、库仑定律①元电荷：元电荷是指最小的电荷量，用e表示，大小为②库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
表达式：，其中静电力常量二、电场①电场的产生：电荷的周围存在着电场，产生电场的电荷叫做源电荷。
泊松方程
泊松方程是数学中的偏微分方程，通常用于静电学，机械工程和理论物理学中。
它以法国数学家，几何学家和物理学家泊松命名。
泊松首先获得没有重力源的泊松方程△Φ= 0（即拉普拉斯方程）; 当考虑重力场时，有△Φ= f（F是重力场的质量分布）。
然后扩展到电场，磁场和热场分布。
该方程通常通过格林函数法求解，也可以通过变量分离和特征线法求解。
泊松方程表明，电场是由电荷产生的：电势的二阶导数与电荷密度成正比。
近似的条件是在PIN结中没有载流子，也就是说，载流子被完全耗尽并且施主和受主被完全电离。
PIN结的泊松方程
（0 <x <xn）d ^ 2V（x）/ DX ^ 2 =-nd /ε，（-XP <x <0）d ^ 2V（x）/ DX ^ 2 =-Na /ε边界条件e（0）= e（xn）=-DV（x）/ DX（x =-XP，xn）= 0，V（x =-XP）= 0，V（x = xn）= 0
通过积分电场的符号，我们可以再次获得电场的分布。
扩展数据：
泊松方程可以用格林函数求解。
如何使用格林函数求解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
有许多数值解。
例如，松弛法，迭代代数法就是一个例子。
泊松首先获得没有重力源的泊松方程△Φ= 0（即拉普拉斯方程）;当考虑重力场时，有△Φ= f（F是重力场的质量分布）。
然后扩展到电场，磁场和热场分布。
该方程通常通过格林函数法求解，也可以通过变量
分离和特征线法求解。
NO.9-10 第二章 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程教学内容
静电场计算中的两类问题
——已知场空间分布，求源电荷分布
• 利用高斯定理的微分形式 D 0 D E
——已知源电荷分布，求空间场分布
•利用高斯定理的积分形式 （当电场分布具有某种空间对称性）
D
s
ds
q0
• 应用场强叠加原理
电荷分布在有限区域内，场区域为无限大，
且其中的介质是均匀线性和各向同性的。
E 0
本构关系: D E 线形、各向同性媒质
第二章 静 电 场
2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程 D
D E E E E 2
D E
E
当 场中无电荷分布
(即 0)的区域:
2
电位 满足的泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 拉普拉斯算子
边界条件是: ;
①r=a, φ1=φ2; ;
②r=a,
0
1
r
0
2
r
;
③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ;
④r=0, Er=0)。
1
r
0
(因为电荷分布球对称,
球心处场强E1=0,
即
由上述条件, 确定通解中的常数:
A 0, D 0,C va3 , B va2
30
20
第二章 静 电 场 例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的 厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界 面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。
dy
E1
vd 2 0
yˆ
(V / m)
d y 2
E2
v y 0
yˆ
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
泊松方程和拉普拉斯方程
直角坐标系：
柱坐标系：
1 1 (r ) 2 2 2 r r r r z 球坐标系：
2 2 2
1 2 1 1 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
第二章
2.5
静电场的基本方程: 无旋：
c
2.5 泊松方程和拉普拉斯方程
E dl 0
s
线性、均匀、各向同性 电介质 积 分
有散
本构关系：
2018/11/16
D E 0 r E 0 E P
1
E 0 D
D ds q
第二章
2.5
间无电荷分布，则板间电场强度 均匀;
体电荷，由于体电荷只是 函数， 故电场强度也只是
0 x 而实际上板间充满密度为 d 的
0 x d
x
U0
x
的
d
0
x 的函数。
x
8
应用高斯通量定理求解。
作一柱形闭合面为S，底面积为 S ，下底在 左极板内，上底在 处，侧柱面与 ax 平行。 2018/11/16
q E dS 0 0 S
闭合面上、下底处 x 的电场强度为零， d 侧面的法向与电场 故 q0 d 强度的方向垂直。 0 d x s (0)S 0 Sdx s (d )S 0 0 d U 0 0 0 d 则 s (d ) d 3
0
q E dS 0 S
x x 1 0 a E ( x ) a dS ( 0 ) S Sdx S x x 0 s 0 d
泊松与拉普拉斯方程
R2 q1 R1 o Ⅰ Ⅱ Ⅲ
V
1
r R1 R1 r R2 r R2
无限长线电荷的电位
E
l er 2 0 r
E
P' Q
电位参考点不能位于无穷远点，否则表 达式无意义。选择有限远点Q作为参考点。
1 20
rQ
l
r
rP
dr
rQ l ln 20 rP
u 2u在直角坐标系中：式中：称为拉普拉斯算符。 “2”
2 2 2 u u u 2 u 2 2 2 x y z
矢量场的拉普拉斯运算
F ( F ) ( F )
2
在直角坐标系中：
2 2 2 F ex Fx ey Fy ez Fz
P
l P (ln rQ ln rP ) 2 0
根据表达式最简单原则，选取r=1柱面 为电位参考面，即 rQ 1 得：
l P ln rP 2 0
无限长线电流在空间中产生的电位
2.3.2 泊松方程 拉普拉斯方程
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
小结：求空间电场分布的方法
1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。 2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。 3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值 问题的求解。
偶极子
电偶极子是一种非常重要的物理模型
E ex ey ez x y z
电位差（电压）
电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。
NO.9-10 第二章 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程教学教材
函数。 ;
第二章 静 电 场 (1) 分别列出球内、外的电位方程:
当r≤a时, 当r≥a时,
21r12rr2r10v 22r12 rr2r20
将上述两个方程分别积分两次可得φ1、φ2的通解:
E 0
本构关系: D E 线形、各向同性媒质
第二章 静 电 场
2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程
D
D E E E E 2
D E
E
当 场中无电荷分布
(即 0)的区域:
2
电位 满足的泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 拉普拉斯算子
法向边界条件
S DdS q
第二章 静 电 场
高斯通量定理
DdS q
S
D 1n ˆ S D 2n ˆ S qS S
n(D 1D2)S
或 D 1nD 2n S
结论: 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续 若界面上无自由电荷分布，即在ρS=0时:
n(D2 D1) 0
或
D2n D1n 0
结论: 当ε1≠ε2时, E的法向分量不连续, 其原因是交界面上有束缚面电荷密度
第二章 静 电 场
二. E满足的边界条件
静电场的无旋性: Edl 0 l
(2) 由边界条件确定常数: 边界条件为:
①
y d 2
时, φ1=φ2;
0
d1
dy
0
d2
dy
(交界面上无自由面电荷);
②y=0, φ2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考 点, 这里选择y=0处为参考点。
静电势满足的泊松方程
静电势满足的泊松方程静电势满足的泊松方程是描述电场分布的重要方程之一。
它在电磁学和电动力学的研究中具有重要的意义和应用。
下面将详细介绍泊松方程的概念、背景以及其在实际问题中的应用。
泊松方程是一种描述物理系统调和函数的偏微分方程。
在电场分布的研究中，泊松方程用于描述电荷分布所导致的电势分布。
泊松方程的数学表达式是∇²V=-ρ/ε₀，其中∇²表示拉普拉斯算子，V 表示电势，ρ表示电荷密度，ε₀表示真空介电常数。
泊松方程的背景可以追溯到18世纪。
法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯是泊松方程的奠基人之一，他在研究天体力学、流体力学和电磁学等领域时，提出了这一方程。
泊松方程可以看作拉普拉斯方程的一种特殊情况，拉普拉斯方程是一种描述无源场的偏微分方程，而泊松方程则是在有电荷存在的情况下引入了电荷项。
在实际问题中，泊松方程有着广泛的应用。
首先，泊松方程可以用于求解静电场问题。
当我们知道了空间中各个位置的电荷分布时，可以通过求解泊松方程来得到电势的分布，进而得到电场的分布情况。
这对于电场分布的研究和应用非常重要，例如在电子设备的设计和电磁场干扰的分析中。
其次，泊松方程还可以用于研究电势的边界条件。
边界条件是指在空间的特定位置上给定的电势或电场值，通过泊松方程的求解，我们可以确定这些边界条件以及其对整个空间中电势分布的影响。
这在工程实践中有着重要的应用，例如在电路设计中，我们可以通过设置适当的边界条件来设计实现特定电势分布的电路。
此外，泊松方程还有着深入的理论意义。
在电磁学和电动力学的研究中，泊松方程是解决静电场问题的基本工具。
通过泊松方程的研究和分析，我们可以深入理解电场分布的特性，并通过推导求解方法来解决更加复杂的电场问题。
总的来说，泊松方程是描述静电势分布的重要方程。
通过求解泊松方程，我们能够获得电势和电场的具体分布情况，对于电场分布的研究和实际应用具有重要的意义。
同时，泊松方程也是电磁学和电动力学的基础理论之一，深入研究泊松方程可以帮助我们更好地理解和解决电场问题。
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0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
r
C1 r2
一次积分
C1 r
C2
边界条件： r a , U ; r , 0。
C1 aU; C2 0。
一次积分
d
dx
1 2
0 x2 0d
C1
一次积分
边界条件： x 0,
0;
0 x3 6 0 d
C1x C2
C1
U0 d
0d 6 0
;
x d , U0 .
C2 0
21
0x3 6 0 d
U0 d
0d 6 0
x
E
0 x2 2 0 d
U0 d
0d 6 0
ax
22
填空题：
静电场电位所满足的微分方程是
一个旋度方程和 一个散度方程。
同时，场量的散度与该场的标量源密度有关， 旋度与该场的矢量源密度有关。
9
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
10
二、泊松方程和拉普拉斯方程 1、泊松方程 2、拉普拉斯方程
11
1、泊松方程
D E
E
（介质方程） （电场与电位的关系） D (E)
19
aU (a r ) r
例2-10 P66
两无限大平行板电极，板间距为d，电压
为U0，并充满密度为0x/d的体电荷。用 泊松方程的方法求板间的电场强度。
解：
20
2
0x 0d
x 0, 0
(0 x d)
x d, U0
0x d
2
2
x2
d 2
dx2
0x 0d
d 2 0 x dx2 0d
E d l 0（静电场的环流定理） C
静电场强的环路积分为零。
5
因此，电场强度
E
可以用一个标量
函数——电位函数的负梯度表示。
E
同时，静电场又是一个有散场， 静止电荷是静电场的散度源。
6
因此，可以从静电场的性质总结出：
在各向同性、均匀、线性的媒质中
静电场的基本方程：
积分形式：
Edl C
E 0
或（E ）
D
2
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
3
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
4
一、静电场的基本方程
前面已经得出： ➢静电场是无旋场
E 0 (静电场守恒性的微分形式)
➢静电场是守恒场
ax
x
ay
y
az
z
2
ax
x
ay
y
az
z
ax
x
ay
y
az
z
2
x 2
2
y 2
2
z 2
14
拉普拉斯算符2在三种坐标系中的表示
➢直角坐标系：2
2
x2
2
y 2
2
z 2
➢圆柱坐标系：2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
➢球坐标系：
2
1 r2
r
r 2
16
2、给定电场分布，即已知 D和E ，
求电荷的分布。
D 或
E
17
例2-9 P66 已知导体球的电位是U（设无穷远处的电位为0）， 球的半径为a，求球外的电位函数。 解：球外的电位满足拉普拉斯方程（=0），且电场
具有球面对称性，因此= (r)。 球 坐 标 系，
2
1 r2
r
r 2
r
。
2
原来就是泊松方程啊！ ~~~~~~ORZ…………………
23
第二章 静电场
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8
库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉斯方程 分界面上的边界条件 导体系统的电容 静电场能量和静电力
★ 电位的泊松方程
2
★ 静电场的基本方程