充分必要条件的应用

充分必要条件的应用

【例5】 (1)若“m －10”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．

(2)若“x m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．

【解析】 (1)由不等式x 2－2x －3>0，得x >3或x <－1.

因为“m －10”的充分不必要条件，所以{x |m －13或x <－1}，所以m ＋1≤－1或m －1≥3，解得m ≤－2或m ≥4，故m 的取值范围为(－∞，－2]∪[4，＋∞)．

(2)由不等式x 2－2x －3>0，得x >3或x <－1.因为“x m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，所以{x |x >3或x <－1}{x |x m ＋1}，所以⎩⎪⎨⎪⎧

m －1≥－1，m ＋1≤3，解得0≤m ≤2，故m 的取值范围为[0,2]．

【答案】 (1)(－∞，－2]∪[4，＋∞) (2)[0,2]

设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)，q ：实数x 满足x 2－x －6<0或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是________．

解析：∵x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)，∴3a 0，∴x <－4或x >2，∴q ：{x |x <－4或x >－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴{x |3a －2}，∴a ≤－4或3a ≥－2，解得a ≤

－4或a ≥－23.又a <0，∴a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－23，0. 答案：(－∞，－4]∪[－23，0)

1．对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点．命题正误的判断的原则是：正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式．

2．判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

【例】 命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )

A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数

B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数

C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数

D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数

【解析】由于一个命题的否命题就是命题的条件与结论分别否定，故原命题的否命题是“①若f(x)不是奇函数；则②f(－x)不是奇函数”．

【答案】 B

解题策略：①②中均可能出现否定不当的错误，对“f(x)是奇函数”的否定只能是“f(x)不是奇函数”，而不能是“f(x)是偶函数”，因为除了奇函数和偶函数之外，还有非奇非偶函数，所以在否定时要特别注意细微的差异．

(1)命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()

A．若log a2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝log a x在其定义域内不是减函数

B．若log a2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝log a x在其定义域内不是减函数

C．若log a2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数

D．若log a2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数

(2)命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的否命题是()

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a2＋b2＝0，则a≠0且b≠0

D．若a2＋b2＝0，则a≠0或b≠0

解析：(1)易知原命题的逆否命题是“若log a2≥0(a>0，a≠1)，

则函数f(x)＝log a x在其定义域内不是减函数”．

(2)命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的否命题是“若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0”．

答案：(1)A(2)B