中考数学专题复习专题三大数学思想方法第一节分类讨论思想训练

专题三 5大数学思想方法

第一节 分类讨论思想

类型一 由概念内涵分类

(2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y 1＝ax 2

－12x ＋c 与x 轴交于点A 和点B(1，0)，与y 轴交于

点C(0，3

4)，抛物线y 1的顶点为G ，GM⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的

抛物线y 2.

(1)求抛物线y 2的表达式；

(2)如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R.若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的表达式．

【分析】(1)应用待定系数法求表达式；

(2)设出点T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论；

(3)设出点P 坐标，表示出Q ，R 坐标及PQ ，QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【自主解答】

此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)．

1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( ) A ．－8

B ．8

C ．±8

D ．－18

类型二 由公式条件分类

(2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫

做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：

如图1，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．

(2)问题探究：

如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC，连结AA′交直线BC 于点D.若点B 是△AA′C 的重心，求AC

BC 的值．

(3)应用拓展：

如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2.“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l 1上，点A 在直线l 2上，有一边的长是BC 的2倍．将△A BC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C 所在直线交

l 2于点D.求CD 的值．

【分析】(1)过A 作AD⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形，∠ADC＝90°，依据∠ACB＝30°，AC ＝6，可得AD ＝1

2

AC ＝3，进而得到AD ＝BC ＝3，即△ABC 是“等高底”三角形；

(2)依据△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，可得AD ＝BC ，依据△ABC 关于BC 所在直线的对称图形是△A′BC，点B 是△AA′C 的重心，即可得到BC ＝2BD ，设BD ＝x ，则AD ＝BC ＝2x ，CD ＝3x ，由勾股定理得AC ＝13x ，即可得到AC BC ＝13x 2x ＝13

2

；

(3)①当AB ＝2BC 时，故DF ＝CF ＝x ，根据AC ＝3x ＝25，求出x ＝25

3，画出图形分两种情况分别求得

CD ＝2x ＝2

310或CD ＝2AC ＝22；当AC ＝2BC 时，画出图形分两种情况讨论，求得CD ＝AB ＝BC ＝2.

【自主解答】

题目条件不明确或本身隐含条件是此类题型的特点，解题时，首先要仔细审题，打破思维定势，全面考虑问题，对题目中隐含的条件进行挖掘，这也是此类题型分类讨论的依据．

2．(2018·山东菏泽中考改编)一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的正整数是______________．

类型三由位置不确定分类

(2018·山东潍坊中考)如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是( )

【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的表达式，进一步即可求解．

【自主解答】

此类题型多为点、线、图形位置的不确定，解题时，依据位置的不同情况进行分类讨论，分类时容易遗

漏，考虑问题时务必要全面．

类型四由形状不确定分类

6 cm，矩形ABCD中AB＝2 cm，BC＝10 cm，点C和点M重合，点B，C(M)，N在同一直线上，令Rt△PMN 不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1 cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，

矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是( )

【分析】在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒 1 cm的速度开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，(1)0≤x≤2；(2)2＜x≤4；(3)4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可．

【自主解答】

此类题型主要是抓住图形特征进行讨论，如运动过程中对产生的形状不同进行讨论．选择不同的分类依据会给问题解决带来不一样的难易程度，所以选择分类依据很重要．

3．(2018·云南中考)在△ABC中，AB＝34，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为__________．类型五由对应关系不确定分类