第九讲 Laurent级数分解

第五章
解析函数的洛朗（Laurent） 展式与孤立奇点
1、解析函数的Laurent展式 2、孤立奇点
§5.1 洛朗(Laurent)级数

1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数

4. 展开式的唯一性
由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0<R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1<z - z0<R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？ 1 在z 0, z 1都不解析, 但在 例如，f ( z ) z(1 z )
皮埃尔· 阿方斯· 洛朗[1] （Pierre Alphonse Laurent1813年7月18日—1854年9月2日）法 国数学家，因发现洛朗级数而著名，洛朗级 数是对函数的无穷幂级数展开，它是泰勒级 数的推广。为获取法国科学院大奖，洛朗在 1843年提交了一篇研究报告，在此报告中洛 朗级数首次出现。但是他提交的研究错过了 最后期限，因此他的研究成果没有被发表、 获奖。1854年9月2日年仅41岁的洛朗在巴黎 去世。
1. 预备知识
Cauchy 积分公式推广到复连通域
设f ( z )在D : R1 z z0 R2内 解析 .作圆周：k1 : z z0 r , k 2 : z z 0 R , 且r R , k1、k 2 D, D1：r z z0 R，
R2 R r
D
R1
c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n (1)
其中z0及cn (n 0,1,2,)都是常数 ---双边幂级数
正幂项(包括常数项)部分：
n n c ( z z ) c c ( z z ) c ( z z ) ( 2) n 0 0 1 0 n 0 n 0
可以
( 3) R1 0

R2 ，此时，
n
可以
收敛域为： 0 z z0
(4)级数 cn ( z z0 ) 在R1 z z0 R2内的
n
和函数是解析的而且可 以逐项求积和逐项求导 .
3. 函数展开成双边幂级数
定理
设f ( z )在D : R1 z z0 R2内解析, z ) c n ( z z 0 ) n c 1 ( z z 0 ) 1 c 0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 ) n
本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析
的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。
z
z0
k1
D1
k2
对z D1有，
1 f (z) 2i
f ( ) 1 k2 z d 2i
f ( ) k1 z d
2. 双边幂级数
定义 形如
n
---含有正负幂项的级数
n 1
c (z z )
n 0

n
c n ( z z 0 ) c 1 ( z z 0 )
圆环域 : 0 z 1及0 z 1 1内处处解析. 当0 z 1时, 1 1 1 z 1 1 2 n f (z) 1 z z z z (1 z ) z 1 z z
当0 z 1 1时, 1 1 1 f (z) z (1 z ) 1 z 1 ( 1 z ) z 1 1 1 1 (1 z ) (1 z ) 2 (1 z ) n 1 z 1 n 1 1 (1 z ) (1 z ) 1 z 由此推想，若f (z) 在R 1<z - z0<R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即
令 1 1 1 将 代回得, R , 则级数(4) z z0 z z0 R1
当 z z0 R1收敛, 且和为s( z )－;当 z z0 R1发散.
当且仅当R1 R2时，级数( 2)及( 3)有公共收敛 区域即圆环域： R1 z z0 R2，此时， 称 cn ( z z0 ) 收敛, 且和s( z ) s( z ) s( z ) 。
1 对于级数( 3), 若令 ,则 z z0 n n 2 n c ( z z ) c c c c ( 4) n 0 n 1 2 n
n 1 n 1
对变数级数(4)为幂级数, 设其收敛半径为 R, 则当 R级数收敛, R级数发散。
n n
R2
R1
R1
R2
z0
z0
R1 R2 有公共收敛域
R1 R2 无公共收敛域


(1)当R1 R2时，称 cn ( z z0 )n 处处发散。
n

(2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上,
n n c ( z z ) 可能有些点收敛，有些点发散 。 n 0
负幂项部分：
n 1 n c ( z z ) c ( z z ) c ( z z ) ( 3) n 0 1 0 n 0 n 1
级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散。