数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)第一二章

2 2 2 2
(2). x1 x2 xn x1 x2 xn ; 证明：使用数学归纳法； i.对于x, y , 总有 x y xy, 于是有 x 2 x y y x 2 2 xy y 2 ; 整理后可得 x y x y ，即当n 2时所证成立。 ii.假设当n k时所证不等式也成立，即 x1 x2 xk x1 x2 xk . iii.当n k 1时,取y x1 x2 xk , 于是有： x1 x2 xk xk 1 y xk 1 y xk 1 x1 x2 xk xk 1 x1 x2 xk xk 1 即当n k 1时所证不等式也成立。 那么由数学归纳法可知题证成立。
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即要证明
x 6恒成立，这等价于不等式6 x 2 x 6 0恒成立；而此一元二项式的判 x 1 别式 (1) 2 144 143 0, 于是不等式恒成立。 x 在(, )有界。 x 1
2
因此对于x (, )，都有f ( x) M 6；即f ( x)
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第二节 复合函数与反函数
1.设f ( x) 1 x , 求证f ( f ( x)) x. 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 f ( x) 2x 1 x 1 x x.得证。 证明：f ( f ( x)) 1 f ( x) 1 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x
G ( x) F ( x) 还是偶函数， 还是奇函数，即得所证。 2 2
14.用肯定语气叙述：在(, )上 (1) f ( x)不是奇函数； (2) f ( x)不是单调上升函数； (3) f ( x)无零点； (4) f ( x)无上界。 (1)存在x0 (, )，使得f ( x0 ) f ( x0 ); 解： (2)存在x1 x2 (, )，使得f ( x1 ) f ( x2 ); (3)对任意x0 (, )，总有f ( x0 ) 0; (4)对任意的M 0, 总有x0 (, ), 使得f ( x0 ) M .
x (3) y x 2 2 x
x 1 1 x 4 4 x x 1, 1 x 4, 4 x , x y x log x 2 y 1 1 y 16 16 y x 1 1 x 16 16 x . , 于是所求反函数为 .
2.求下列的函数的反函数及其定义域： 1 1 (1) y ( x ),1 x ; 2 x 1 1 解：函数y ( x )，当1 x 时，有y (1, ). 2 x 1 1 由y ( x )可以反解出 2 x x 因为x (1, ), 故x y y 2 1. 于是原函数的反函数为f ( x) x x 2 1, x (1, ). (2) y 1 x x (e e ), x ; 2 2 y 4 y2 4 y y 2 1; 2
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2.求证
ab a b . 1 a b 1 a 1 b
x , 易知f ( x)是一个增函数。 1 x 容易证得 a b a b ab ,那么f ( a b ) f ( a b ab );即
证明：令f ( x)
ab a b ab 1 a b 1 a b ab
(3). f ( x) cos

4
x; 2
解：由三角函数的性质可以知道此函数的最小正周期为T (4). f ( x) tan x .

8.
4 解：由于函数 tan x的最小正周期为 ，故此函数的最小正周期也是 .
Hale Waihona Puke Baidu
10.证明：f ( x)
x 在(, )有界。 x 1 证明：取M 6, 现证明对x (, )，都有f ( x) M 6.
(4)f ( x) lg( x 1 x 2 )
9.判断下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： (1). f ( x) cos x 2 ; 解：设t是f ( x)的最小正周期，则应有f ( x t ) f ( x), 即 cos x 2 cos( x t ) 2 , 可得 x 2 2k ( x t ) 2 x 2 2tx t 2 . 即求方程2k 2tx t 2的解，显然没有一个非零常数满足方程。故原函数没有周期。 x x (2) f ( x) cos 2sin ; 2 3 x x 解：由于 cos 的最小正周期为4 ， sin 的最小正周期为6，取它们的最小公倍数。 2 3 即原函数的最小正周期为12 .
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t [0,10] t (10, 20]
25
20
15
10
5
-10
10
20
30
Mathematica 作图
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8.判断下列函数的奇偶性： (1). f ( x) x4 x2 1 2 (2)f ( x) x sin x (3)f ( x) x 2 e x
2
偶函数； 奇函数； 偶函数； 非奇非偶函数。
第一章 绪论 第二章 函数
第一节 函数概念
1.证明下列不等式： (1) x y x y ; 证明：对于x, y , 总有 x y xy; 于是 x y xy. 又由于 x x 2 , y y 2 , 那么 x 2 x y y x 2 2 xy y 2 , 即( x y ) 2 ( x y ) 2 ; 开方后即得 x y x y .
1 解：当x (, )时，可以解出y (, );由y (e x e x )可以整理出 2 x 2x e 2 ye 1 0； 于是可得解得e x y y 2 1,由于e x 0恒成立，于是有e x y y 2 1，即 x ln( y y 2 1). 因此原函数的反函数为f ( x) ln( x x 2 1), x (, ).
3.求证： max(a, b)
4.已知三角形的两条边分别为a和b，它们之间的夹角为，试求此三角形的面积s ( ), 并 求其定义域。 解：由题意可知在三角形中以边a为底的高h b sin , 于是有 s ( ) 显然在三角形中其中一角 (0,180 ). ab sin . 2
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11.用肯定语气叙述函数f ( x)在(a, b)无界，并证明f ( x)
1 在(0,1)内无界。 x2 解：对于M 0, 总x (a, b), 使得 f ( x) M , 则f ( x)在区间(a, b)内无界。 对任意M 0, 取x0 1 (0,1), 显然有 1 M f ( x0 ) 1 M M .
2 2
(3). x1 x2 xn x x ( x1 x2 xn ). 证明：易知对于x, y , 总有 x y x y ; 于是可得 x1 x2 xn x x x1 x2 xn 又由于 x1 x2 xn x1 x2 xn ,因此 x1 x2 xn x x ( x1 x2 xn ).
1 在(0,1)上无界。 x2 12.试证明两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是奇函数，一个奇函数和一 故f ( x)
个偶函数的乘积是奇函数。 证明：i.设f ( x)与g ( x)是两个偶函数，即有f ( x) f ( x), g ( x) g ( x).那么必有 F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) F ( x). 于是两个偶函数的乘积是偶函数。 ii.设f ( x)与g ( x)是两个奇函数，即有f ( x) f ( x), g ( x) g ( x).那么必有 G ( x) f ( x) g ( x) f ( x)[ g ( x)] G ( x). 于是两个偶函数的乘积是偶函数。 iii.设f ( x)是一个偶函数，而g ( x)是一个奇函数，即有f ( x) f ( x), g ( x) g ( x).那么必 有 H ( x) f ( x) g ( x) f ( x)[ g ( x)] H ( x). 因此一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数。
a b a b a b a b ; min(a, b) . 2 2 2 2 a b a b a b a b a max(a, b); 证明：i.当a b时 2 2 2 2 a b a b a b ba b max(a, b). 当a b时 2 2 2 2 a b a b a b a b ii.当a b时 b min(a, b); 2 2 2 2 a b a b a b ba a min(a, b). 当a b时 2 2 2 2 a b a b a b a b 于是有 max(a, b) ,min(a, b) 成立。 2 2 2 2
5.在半径为r得瑟球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并求此函数 的定义域。
h2 解：设其高为h, 那么圆柱的底面半径为R r ; 于是圆柱体积 4 2 V R h
2
hr 2

4
h3
由于圆柱为球的内接圆柱，故有h (0, 2r ).
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6.某公交车路线全长为20 Km, 票价规定如下：乘坐5 Km以下(包含5 Km)者收费1元；超过 5 Km但在15 Km以下(包含15Km)者收费2元；其余收费2元5角。试将票价表示成路线的 函数，并作出函数的图像。 解：设y为票价,x为路程,则有 1 y ( x) 2 2.5 它的函数图像如下： x (0,5] x (5,15] . x (15, 20]
由于
a b 2 ab a (1 b ) b (1 a ) a b ,因此 1 a b ab (1 b )(1 a ) 1 a 1 b ab a b ab a b 2 ab a b . 1 a b 1 a b ab 1 a b ab 1 a 1 b
画图板作图
7.一脉冲发生器产生一个三角波，若记它随时间t的变化规律为f (t ), 且三个角分别对应关 系f (0) 0, f (10) 20, f (20) 0, 求f (t )(0 t 20), 并作出函数的图形。 解：由题意可知所求函数为： 2t f (t ) 40 2t 其函数图像为：
13.设f ( x)为定义在(, )上的任意函数，证明f ( x)可以分解为奇函数与偶函数的和。 证明：对任意的f ( x), 可以证明G ( x) f ( x) f ( x)是偶函数，而F ( x) f ( x) f ( x)是奇 函数；于是有 f ( x) 显然 G ( x) F ( x) . 2