新人教版课时作业 第一章 1.4.2充要条件

1．4.2充要条件

学习目标

1.理解充要条件的意义.

2.会判断一些简单的充要条件问题.

3.能对充要条件进行证明．

知识点充要条件

一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.

1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(√)

2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)

3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．(√)

4．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)

一、充分、必要、充要条件的判断

例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．

(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

(2)p：x>1，q：x2>1；

(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；

(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.

解(1)∵p⇒q，q不能推出p，

∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵p⇒q，q不能推出p，

∴p是q的充分不必要条件．

(3)∵p不能推出q，q⇒p，

∴p是q的必要不充分条件．

(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，

∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.

而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.

∴p是q的必要不充分条件．

反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法

(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．

(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．

(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒p n，可得p1⇒p n；充要条件也有传递性．

跟踪训练1已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．答案充要

解析因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，

充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．

二、充要条件的证明

例2求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

证明充分性：因为a＋b＋c＝0，

所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，

得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.

必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.

所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

延伸探究

求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根，

所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝c a

<0， 所以ac <0.

充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝c a

<0， 所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，

即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根．

反思感悟 充要条件证明的两个思路

(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．

(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 证明 充分性：若a 2－b 2＝1成立，

则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1，

所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件．

必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1成立，

则a 4－(b 2＋1)2＝0，

即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0.

因为a ，b 为实数，所以a 2＋b 2＋1≠0，

所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1.

综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1.

三、充要条件的应用

例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．

解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．

因为p 是q 的必要不充分条件，

所以q 是p 的充分不必要条件，

即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，

故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧

1－m >－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3.

又m >0，

所以实数m 的取值范围为{m |0

延伸探究

1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．

解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．

因为p 是q 的充分不必要条件，

设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，

所以A B .

所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧

1－m <－2，1＋m ≥10. 解不等式组得m >9或m ≥9，

所以m ≥9，

即实数m 的取值范围是m ≥9.

2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．

解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．

若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧

－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在． 故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．

反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤

(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．

(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．

跟踪训练3 已知p ：x <－2或x >3，q ：4x ＋m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．

解 设A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－m 4， 因为p 是q 的必要不充分条件，

所以B A ，所以－m 4

≤－2，即m ≥8. 所以m 的范围为{m |m ≥8}．