高三数学一轮复习 第8篇 第7节 曲线与方程课件 理

(4)动点 P(5cos α,4sin α)(0≤α≤π)的轨迹方程是
x2 y2 =1. 25 16
其中正确命题的序号为
.
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解析:(1)如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=0, 则曲线 C 的点的坐标满足 f(x,y)=0, 以 f(x,y)=0 的解为坐标的点也都在曲线 C 上,则(1)正确;
考点突破
思想方法
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夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.曲线与方程
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种 条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立 了如下的关系: (1)曲线上点的 坐标 都是这个方程的解; (2)以这个方程的 解 为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做 曲线的方程 ;这条曲线叫做 方程的曲线 .
(2)条件 p:曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解,但以 f(x,y)=0 的 解为坐标的点不一定都在曲线 C 上,则 p 是 q 的必要而不充分条件,故(2)
错;(3)设 AB 中点为 P(x,y),则 A(2x,0)、B(0,2y),|AB|= 4x2 4 y2 =10,
x2+y2=25,故(3)错;(4)令 x=4 cos α,y=4sin α,0≤y≤4,则动点 P 的轨迹 方程为 x2 y2 =1(0≤y≤4),故(4)错.
∴点 Q 与 l 的距离的最小值为 8 5 . 5
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பைடு நூலகம்13
反思归纳 (1)利用直接法求轨迹方程的关键是根据条件列出方程,然 后进行化简. (2)运用直接法应注意的问题 ①在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同 解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点; ②若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略.
第7节 曲线与方程
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最新考纲 1.了解曲线与方程的对应 关系.
2.掌握常用的几种求轨迹方程的 方法.
编写意图 曲线与方程是高考的重点内容之一,常出现在解答题的第 一问,本节围绕高考命题规律设置了例题,重点突破求轨迹的常用方 法及常见题型,培养学生分析问题解决问题的能力.
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夯基固本
解:(1)设动点 P(x,y),
则 MP =(x-4,y), MN =(-3,0), PN =(1-x,-y), 由已知得-3(x-4)=6 (1 x)2 ( y)2 , 化简得 3x2+4y2=12,即 x2 + y 2 =1.
43
∴动点 P 的轨迹是椭圆 C: x2 + y 2 =1. 43
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4.已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足 PA · PB =x2-6,则点
P 的轨迹方程是
.
解析: PA =(-2-x,-y), PB =(3-x,-y), PA · PB =x2+y2-x-6,即 x2+y2-x-6= x2-6,即 y2=x.
答案:y2=x
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答案:(1)
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考点突破
剖典例 找规律
考点一 直接法求轨迹方程
【例 1】 已知 M(4,0),N(1,0),若动点 P 满足 MN · MP =6| PN |. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点,求 Q 到直线 l:x+2y-12=0 的距离的最小值.
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2.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨 迹为( D )
(A)圆 (B)椭圆
(C)双曲线 (D)抛物线
解析:由题意知,点P到直线x=-2的距离与它到点(2,0)的距离相等, 故点P的轨迹是以(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线.
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3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段 PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( D ) (A)2x+y+1=0 (B)2x-y-5=0 (C)2x-y-1=0 (D)2x-y+5=0 解析:设Q点坐标(x,y),则P(-2-x,4-y), 所以2(-2-x)-(4-y)+3=0,即2x-y+5=0.
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5.下列命题 (1)如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,那么点 P0(x0,y0)在曲线 C 上的 充要条件是 f(x0,y0)=0. (2)条件 p:曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解.条件 q: 曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线,则条件 p 是条件 q 的充要条件. (3)线段 AB 的长度是 10,它的两个端点分别在 x 轴、y 轴上滑动, 则 AB 的中点 P 的轨迹方程是 x2+y2=100.
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(2)由几何性质意义知,l 与平行于 l 的椭圆 C 的切线 l′的距离等于 Q 与 l 的距离的最小值. 设 l′:x+2y+D=0,将其代入椭圆方程消去 x, 化简得,16y2+12Dy+3(D2-4)=0. ∴Δ=144D2-192(D2-4)=0 D=±4,
l′和 l 的距离的最小值为 12 4 . 5
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2.求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0,并化简;
(4)查漏补缺. 3.求动点轨迹方程的常用方法
(1)直接法.也叫直译法,即根据题目条件,写出关于动点的几何关系并用 坐标表示,再进行整理、化简. (2)定义法.先根据已知条件判断动点的轨迹形状,然后根据曲线的定义直 接求动点的轨迹方程. (3)代入法.也叫相关点法,其特点是,动点M(x,y)与已知曲线C上的点 (x′,y′)相关联,可先用x,y表示x′、y′,再代入曲线C的方程,即得点M 的轨迹方程. (4)参数法.选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标(x,y),消去参数, 即得其普通方程.
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基础自测
1. 方程(2x+3y-1)( x 3 -1)=0 表示的曲线是( D )
(A)两条直线 (B)两条射线 (C)两条线段 (D)一条直线和一条射线
解析:原方程可化为
2x 3y x 3 0
1
0,
或
x 3 -1=0,
即 2x+3y-1=0 (x≥3)或 x=4,
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.