上海市虹口区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)

（第11题图）
虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试
1.计算153lim ________.54n n
n
n
n +→+∞-=+ 2. 不等式
21
x
x >-的解集为_________. 3．设全集{}{}3,2,1,0,1,2log (1),U R A B x y x ==--==-若，则()
U A B =I ð_______． 4. 设常数,a R ∈若函数()()3log f x x a =+的反函数的图像经过点()2,1，则a =_______. 5. 若一个球的表面积为4,π 则它的体积为________. 6. 函数8
()f x x x
=+
[)(2,8)x ∈
的值域为________. 7．二项式6
2x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为________．
8. 双曲线22
143x y -=的焦点到其渐近线的距离为_________.
9. 若复数z =
sin 1
cos i i
θθ-（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为_________. 10.已知7个实数1,2,4,,,,a b c d -依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为__________.
11.如图，已知半圆O 的直径4,AB = OAC ∆是 等边三角形，若点P 是边AC （包含端点,A C ）上的
动点，点Q 在弧»BC 上，且满足,OQ OP ⊥ 则OP BQ ⋅uur uu u r
的最小值为__________.
12.若直线y k x =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为________.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分. 13.已知,x R ∈则“12
33
x -
<”是“1x <”的 （ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件
14．关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是 ( )
（第17题图）
（A ）若,αβ⊥则α内一定存在直线平行于β
（B ）若αβ与不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β （C ）若,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=， 则l γ⊥ （D ）若,αβ⊥则α内所有直线垂直于β
15．已知函数2
1,1,()1,(),11,1,1,x f x a x x g x x x x -≤-⎧⎪=-+=-<<⎨⎪≥⎩
若函数()()y f x g x =-恰有
两个零点，则实数a 的取值范围为 （ ）
（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)(0,1)-∞⋃ （C ）1
(,)(1,)2
-∞-⋃+∞ （D ）(,0)(0,2)-∞⋃
16．已知点E 是抛物线2
:2(0)C y p x p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的 焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（
）（A
（B
（C
（D 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.
17．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4， 点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.
（1）求该圆锥的侧面积与体积；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.
18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8
分．
已知函数16
()1(0,1)x f x a a a a
+=-
>≠+是定义在R 上的奇函数.
(1)求实数a 的值及函数()f x 的值域；
(2)若不等式 ()[]331,2x t f x x ⋅≥-∈在上恒成立，求实数t 的取值范围.
19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.
（第19题图）
某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界
2()3(),1().AB AD k m BC k m CD k m ====，
(1) 求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积； （2）因地理条件限制，边界,AD DC 不能变更，而 边界,AB BC 可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面
积，请在弧 ¼
ABC 上设计一点,P 使得棚户区改造后的 新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这 个面积最大值.
20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 设椭圆2
2:1,2
x y Γ+=点F 为其右焦点， 过点F 的直线与椭圆Γ相交于点,.P Q (1) 当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程；
(2) 如图1，点R 的坐标为（2，0），若点S 是点P 关于x 轴的对称点，求证：点,,Q S R 共线；
(3) 如图2，点T 是直线:2l x =上的任意一点，设直线,,PT FT QT 的斜率分别为,PT k
,,FT QT k k 求证：,,PT FT QT k k k 成等差数列；
21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
对于()n n N *
∈个实数构成的集合{}12,,,n E e e e =L ,记12E n S e e e =+++L .
已知由n 个正整数构成的集合{}12,,,n A a a a =L 12(,3)n a a a n <<<≥L 满足:对于任意不大于A S 的正整数,m 均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于.m （1）试求12,a a 的值；
（第20题图1）
（第20题图2）
（第17题图）
（2）求证：“12,,,n a a a L 成等差数列”的充要条件是“1
(1)2
A S n n =+”；
（3）若2018A S =， 求证：n 的最小值为11；并求n 取最小值时，n a 的最大值.
虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试
高三数学 参考答案和评分标准 2018年12月
一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，
每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1．5 2．()1,2
3. {}1,2 4．8 5．
43
π
6. )9⎡
⎣ 7. 60 8 10．4
7
11．2 12.(]{},01-∞⋃
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
13. A 14. D 15. B 16. C 三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第
2小题8分.
解：（1）由已知，得圆锥的底面半径为2OA =，高为OP = …… 2分 故该圆锥的侧面积为248S OA PA πππ=
⋅⋅=⨯⨯=. …… 4分
该圆锥的体积21()3V OA OP π=
⋅⋅⋅=. …… 6分 （2）以直线,,OC OB OP 分别为,,x y z 轴,
建立空间直
角坐标系，则相关点的坐标为(0,
2,0)A -，(0,2,0),B
(2,0,0),
(0,0,(0,C P D -于是
(0,4,0),(2,AB CD ==--u u u r u u u r
(10)
分
故
cos ,AB CD AB CD AB CD
⋅<>==
=⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u
u u r u u u r 因此异面直线AB 与CD 所成角的大小为…… 14分 18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分． 解：（1）由()f x 是R 上的奇函数，知(0)0,f =6
10, 3.a a a
-
==+解得
（第19题图）
此时31(),31x x f x -=+故对于任意的3131
,()()0,3131
x x x x x R f x f x ----∈+-=+=++有
即()f x 是R 上的奇函数；因此实数a 的值为3. …… 4分
令31(),31x x f x y -==+则130,1x y
y
+=>-解得11,y -<<即函数()f x 的值域为()1,1.-…
6分
（2）解法1：由（1）知31(),31
x x f x -=+于是不等式 ()33x
t f x ⋅≥-可化为
2
(3)(2)3(3)0.x x
t t -+⋅+-≤ …… 8分 令[][]33,9(1,2)x u x =∈∈因，则不等式2
(2)(3)0u t u t -+⋅+-≤在[]3,9u ∈上
恒成立.
设2
()(2)(3),g u u t u t =-+⋅+- 则()0g u ≤在[]3,9u ∈上恒成立， …… 10分
等价于(3)0.(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩即0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022
t g t t t g t t t ≥⎧=-++-≤⎧⎪⇔⇔≥⎨⎨=-++-≤≥
⎩⎪⎩
因此，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
…… 14分 （2）解法2：由（1）知31
(),31
x x f x -=+当[]1,2x ∈时，()0.f x >于是不等式
()33x
t f x ⋅≥-可化为()233(33)(31)(31)44(31).313131
x x x x x
x x x
t f x --+--≥===----- …… 10分令[][]312,8(1,2)x v x -=∈∈因，则由函数[]4
()2,8v v v
ϕ=-在上递增知，
max 15()(8).2v ϕϕ==
故由max ()t v ϕ≥恒成立知，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
…… 14分
19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.
解：（1）设,AC x =则由余弦定理，得
222222
2321cos ,cos .223221
x x B D +-+-==⋅⋅⋅⋅
由四边形ABCD 是圆内接四边形，得180,B D ∠+∠=︒
故cos cos 0,B D +=从而
222222
2232107,223221
x x x AC +-+-+=⇔==⋅⋅⋅⋅即……3分
从而1cos =60=120.2B B D =⇒∠︒∠︒， ……
5分
故 11
=+23sin 6021sin12022
ABC ADC ABCD S S S ∆∆=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒=四边形
答：AC (km ）,原棚户区建筑用地ABCD 的面积为2)k m . ……7分
（2）解法1：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.
要使棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积更大，必须使APC ∆的面积最大，即点
P 到AC 的距离最大，从而点P 在弦AC 的垂直平分线上，即
.PA PC = ……10分
于是APC ∆为等边三角形，2()AC = (12)
分
因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD ADC S ∆+==
即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD 2).k m ……14分
（2）解法2：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.
设1,(,0),sin .2APC PA u PC v u v S uv P ∆==>=⋅∠=则 ……9分
在APC ∆中，由余弦定理，有
222227=2cos ),
APC AC u v uv P u v uv uv ∆=+-⋅∠=+-≥=
=
故APC S ∆≤当且仅当u v ==
. (12)
分
因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD 面积的最大值为
4424
ADC S ∆+=+=
即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD 2).k m (14)
20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.
解：（1）易知(1,0),F 设11(,),(,),M x y P x y 则由M 为线段FP 的中点，得
111
11212
.022
x x x x y y y y +⎧
=⎪=-⎧⎪⇒⎨
⎨+=⎩⎪=⎪⎩ ……2分 于是，由点11(,)P x y 在椭圆22
:12x y Γ+=上，得 2
2(21)(2)12
x y -+=，
即点M 的轨迹方程为 22(21)82x y -+=. ……5分
证：（2）当过点F 的直线与x 轴重合时，点P 与S 重合，点,Q S 分别为椭圆在x 轴的两个
顶点，显然点,,Q S R 共线.
当过点F 的直线与x 轴不重合时，设其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且
则11(,),S x y -由2
21,
1,2
x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=，显然0.∆> 所以 12122221
,
,2
2
m
y y y y m m +=-
=-
++
于是 22221111(2,)(1,),(2,)(1,),RQ x y my y RS x y my y =-=-=--=--u u u r u u u r
故 22112211,,2121
RQ RS y y y y k k x my x my --====---- (8)
分
所以21121221122()0,11(1)(1)
RQ RS y y my y y y k k my my my my -+-=
+==----即RQ RS k k =，
因此点,,Q S R 共线. (10)
（第20题图1）
（第20题图2）
证：（3）由T是直线:2
l x=上的点，可设其坐标为(2,).t
当过点F的直线与x
轴重合时，有(
P Q从而
+2,,
21
PT QT FT
t
k k t k t
====
-
故2.
PT QT FS
k k k
+= (12)
分
当过点F的直线与x轴不重合时，其方程为1122
1,(,),(,),
x m y P x y Q x y
=+且有
1122
1122
,,,
212121
PT QT FT
y t y t y t y t t
k k k t
x my x my
----
======
-----
由(2)知
1212
22
21
,,
22
m
y y y y
m m
+=-=-
++
于是
1212211212
2
12121212
2
22
222
22
()(1)()(1)2(1)()2 11(1)(1)()1
22(1)
24(1)
2222
22(1)
1
22
PT QT
FT
y t y t y t my y t my my y t m y y t k k
my my my my m y y m y y
m m t m
t t m
m m t k
m m m
m m
----+---+++ +=+==
-----++
+
-+++
++
====
+
-++
++
即2,
PT QT FS
k k k
+=
综合上述，得,,
PT FT QT
k k k成等差数列.……16分
21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
解：（1）由条件，知
A
1S,1.A
≤∈
必有又
12n
a a a
<<<
L均为正整数，故
1
=1.
a……2分
由条件，知
A
2S,
≤故由
A
S的定义及
12n
a a a
<<<
L均为正整数，2,A
∈
必有于是2
=2.
a
……4分证：（2）必要性由“123
,,,,
n
a a a a
L成等差数列”及
12
=1,=2
a a得=(1,2,,).
i
a i i n
=L
此时{}
1,2,3,,1,
A n n
=-
L，满足题设条件；从而
12
1
12(1).
2
A n
S a a a n n n
=+++=+++=+
L L……7分
充分性 由条件知12n a a a <<<L ，且它们均为正整数，可得
(1,2,,)i a i i n ≥=L ，
故 1
12(1)2
A S n n n ≥+++=+L 当且仅当(1,2,,)i a i i n ==L 时，上式等号成立. 于是当1
(1)2
A S n n =
+时,=(1,2,,)i a i i n =L ，从而123,,,,n a a a a L 成等差数列. 因此 “123,,,,n a a a a L 成等差数列”的充要条件是“1
(1)2
A S n n =+”. ……10分
证：(3)由于n 元集合A 的非空子集的个数为21,n
-故当10n =时,10
211023,-=此时A
的非空子集的元素之和最多表示出1023个不同的正整数,m 不符合要求. ……12分
而用11个元素的集合{}1,2,4,8,1632641282565121024M =，
，，，，，的非空子集的元素之和可以表示2047个正整数：1,232046,2047.L ,,
, 因此当2018A S =时，n 的最小值为11. ……14分 当2018A S =，n 取最小值11时，设101210,S a a a =+++L 由题设得10112018,S a += 并且10111.S a +≥
事实上，若10111,S a +<则101111112019
201821,2
S a a a =+<-⇒>由11,a N *∈故111010.
a ≥
此时101008,S ≤从而1009m =时，其无法用A 的非空子集的元素之和表示，与题意矛盾！
于是由10112018,S a +=与10111,S a +≥可得 101111112019
201821,2
S a a a =+≥-⇒≤
故由11,a N *∈得111009.a ≤ ……16分
当11=1009a 时，用{}1,2,4,8,163264128256,498,1009A =，
，，，的非空子集的元素之和可以表示出1,2,3，…，2017,2018中的每一个数.
因此，当2018A S =时，n 的最小值为11，n a 的最大值为1009. ……18分。