数学教学的三种水平.喻平

A1
A2
A3 A
A4
（1）图2反映的数学教师基本知识结构不是 指外显的知识结构，而是指教师个体把外显 的知识内化为自己头脑中的知识，是一种认 知结构，即教师的基本知识结构是一种认知 结构表征的对象。 （2）Ai（i=1,2,3,4），Bi（i=1,2,3,4,5），Ci （i=1,2,……9）分别是各成分的子成分，每 个矩形条块的宽度不完全相同，它形象地表 示各子成分在整个知识结构中所占分量的相 对权重。
——智慧型教学 • 教师在基本型教学基础上，能根据不同的教 学内容正确处理预成目标与生成目标的关系； • 能洞察学生学习中出现的困难和理解的偏差， 采取及时补救措施； • 能使用有效的教学组织形式，构建利于学生 学习的优良环境；
• 能突出数学思想方法，注重举一反三、触类 旁通； • 能采用多种方式对学生学业成就、Βιβλιοθήκη Baidu为变化、 情感态度进行恰当评价。 智慧型教学不仅可以达到发展学生的“双基” 的目的，而且能有效地促进学生数学能力的 增长，发展学生的情感态度和价值观。
（5） 让学生思考下面问题： 你认为哪个数据表示该公司员工收入 的“平均水平”更合适？ 为什么该公司员工收入的平均数比中 位数高得多？ （6）学生讨论。 平均数、中位数、众数各自的特征中 什么？如果要选用它们代表一组数据的 “平均水平”，你认为它们各自在什么场 合下使用比较合理？
三、创新型教学层面分析
绝对主义 数学观
静态数 学观
“结果式” 教学范型
可误主义 数学观
动态数 学观
“过程式” 教学范型
3. 教师的PCK的特征表现为： ——个体性 ——情境性 ——实践性 （二） 基于教师PCK的数学教学 • 基于教师PCK的数学教学应该是一种智慧型 的教学。
• 会考虑学生的认知及非认知水平现状设定恰 当的教学目标； • 会思考知识组织和展示次序的合理性； • 会预设学生在学习中可能产生的困难并拟定 解决的办法； • 会针对具体教学内容考虑选择适宜的教学方 法和教学媒体； • 会设计科学的练习量和评价措施； • 会对同一内容预设多种教学方案并对其进行 比较确定最优方案等； • 会灵活机智地处理各种突发事件。
（三） 基于教师基本知识结构的数学教学
• 教师的基本知识有几个基本特征： 第一，知识的静态性。 第二，知识的陈述性。 第三，知识的发展性。 第四，个体知识的差异性。
二、智慧型教学层面分析
（一） 数学教师的PCK • 舒尔曼 ：PCK是指用专业学科知识与教育 学知识的综合去理解特定主题的教学是如 何组织、呈现以适应学生不同兴趣和能力 的知识 。 • 即教师在面对特定的主题时，如何针对学 生的不同兴趣与能力，将学科知识加以组 织、调整与呈现来进行教学的知识。
案例1：“勾股定理”教学 ——基于基本知识结构水平的教学处理可能 是一种固定程序： 定理展示-定理证明-定理应用 ——基于PCK水平的教学，设计者可能会考 虑设计一条发现该定理之路： 在课堂上发给学生一些工作单，边长为3， 4，5等一系列直角三角形，让学生通过测 量、计算、填表的实验方法去发现直角三角 形三边之间的平方关系。
• 设计者还可能反思这种设计的合理性：其实， 这种表面通过实验的方式去探究问题，并不 真正意义上的探究，而是教师事先设计的一 条路让学生去走，毫无探究的元素。于是， 这个教师可能会重新设计教学，把教学的重 点放到勾股定理的证明方面，因为它的证明 方法、文化内涵才是真正的价值的东西，学 生在学习中可以欣赏中国人做出的面积出入 相补方法，赵爽的代数证明方法，并与几何 原本中的面积证明方法进行比较，此时，学 生的收益会更大，其教育功能远大于设计不 当的“发现法”。
关于知识信念 知识的来源 知识的结构 知识的判断
课堂行为表现 合作学习 喜欢提问 独立学习
文化相关信念 独裁与民主 集体与个别
认识方式信念 联系性认知 分离性认知 自我调节学习 学习策略 阅读理解 元认知 批判性思维 问题解决
关于学习信念 学习的速度 学习的能力
• 对于数学教师而言，对数学知识性质和数学 学习性质的理解尤其重要。教师对数学本体 的认识不同，就会产生不同的数学观，从而 影响到自身的教学行为。 • 对教学目标设计产生影响 • 对教学过程的认识产生影响 • 对教学方法选择产生影响 • 对教学组织形式产生影响 • 对教学评价产生影响
案例2：中位数与众数概念教学 ——基本型教学设计 （1）复习平均数概念 （2）定义中位数与众数概念 （3）举例说明与强化概念 （4）例题讲解 （5）学生练习 （6）教师小结
——智慧型教学设计 （1）教师呈现问题情境：某公司员工的月工 资如下： 经理：6000 副经理：4000 职员A：1700 职员B：1300 职员C：1200 职员D：1100 职员E：1100 职员F：1100 职员G：500 你怎样看待公司员工的收入情况？ （2）学生讨论
（一） 数学教师的创新能力 • 数学教师的创新能力的基础 （1）教师要有相对完备的数学知识结构，有 完善的PCK体系。 （2）教师要有反思意识，养成反思习惯。 （3）教师要有批判精神。 （4）教师要具备一定的教育科学研究能力。
（二） 基于教师创新能力的数学教学 • 创新型教学没有固定的模式可以套用，没有 僵化的策略供教师选择，创新型教学只能在 教师拥有扎实的知识基础，优良的PCK前 提下，在分析、比较、综合、反思、批判、 研究的过程中生成和发展。 • 创新型教学设计的几个要点： 1. 教师要制订富有弹性的教学目标，而不是 死板的教学目标，教学目标要预设能够在教 学实施过程中扩展或收缩的空间。
2. PCK受三个要素支撑：教师的基本知识结 构、自我监控和认识信念。
PCK
基本知识结构 自我监控 认识信念
专题1：个体认识信念
• 个体认识信念是个体对知识以及知识认知过 程的直觉认识，它涉及对知识性质、知识认 知、学习性质、学习条件、环境条件等维度 的认识。 • 个体认识信念是一个系统，这个系统由知识 信念、认知方式信念、学习信念、文化信念、 行为表现和自我调节信念组成，这些要素之 间相互联系、相互作用而形成一个复杂的结 构。
专题2：数学课程资源与开发 1、数学课程资源的结构
• 素材性资源：知识、技能、经验、活动方式、情 感态度、数学价值观等。 • 条件性资源：决定课程实施范围和水平的人力、 物力、财力、时间、场地、媒体、设备、设施和 环境等。 • 外显性资源： • 内隐性资源：
（3）在每一板块中，底部的A、B、C可视为 教师必备的知识，每一个大矩形的上面的矩 形可视为一个容器，向这些容器中注入溶液， 以溶液量的多少表示知识量的多少，容器中 溶液上方的空间即是各种知识的发展空间。 教师之间教学水平的差异，一个因素是教师 的基本知识不同引起的，直观上可用不同教 师不同认知结构的容器中溶液量的差异来反 映。
——创新型教学 • 教师在智慧型教学基础上，把握教学的宏观层面， 遵循数学教育科学性与人文性并重的理念； • 正确处理数学教学中的基本矛盾； • 打破常规教学思路，设计新颖、独特、有效的教 学程序； • 并能将教学实践与教学研究有机结合，把教学建 立在教学研究的基础之上。 创新型教学不仅注重发展学生的认知能力，提升 学生的非智力水平，而且强调培养学生的创新意 识和创新精神。
B教育学知识
C1教学监控知识 C2自我监控知识 C3教学风格知识 C4教师品德知识 C心理学知识 C5数学认知的知识 C6数学学习的元认知知识 C7数学学习的非认知因素知识 C8儿童心理发展知识 C9数学学习风格知识
B1 B2 B3 B4 B
B5
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C
• 伯利纳（D. C. Berliner）的分法：学科专长、 课堂管理专长、教学专长、诊断专长。 • 普特南和博克 （Putnam & Borker）的分法： 一般教学法知识、学科知识、学科教学法知 识。 • 艾尔贝兹（F. Elbaz）的分法：学科知识,包 括学科内容知识、课程知识、教学法知识、 关于自我的知识。
——基本型教学 • 教师在了解学生已有知识的基础上，在忠实 于教材的前提下，根据教学目标制订教学计 划和组织教学内容； • 教师在教学中能遵循数学教学原则，选择适 当的教学方法，讲授合乎数学学科的逻辑性、 严谨性； • 教师能组织有效考试对学生的学习效果进行 准确评价。 基本型教学能够完成教学任务，达到使学生 掌握基础知识、形成基本技能和目的。
• Cochran等发展了PCK理论，他们从强调 知识发展动态本质的建构主义观点出发，对 学科教学知识概念做了修改和拓展，提出了 “学科教学认识（pedagogical content knowing）”即PCKg的概念 • PCKg指教师对一般教学法、学科内容、学 生特征和学习情境等知识的综合理解。同时， 他们还提出了学科教学认识的发展综合模型。
（二）我们的观点
●数学教师的知识分为基本知识和PCK两个 相对独立部分。 ——基本知识包括 （1）数学学科知识 （2）教育学知识 （3）心理学知识 • 每个成分又可分为若干子成分
A1数学理论知识 A2对数学本体的认识 A数学学科知识 A3对数学思想方法的体悟 A4数学史知识 B1教育知识 B2教育技术知识 B3教育管理知识 B4数学课程知识 B5数学教学知识
（3）教师提供信息：经理、职员C、职员 D从不同角度描述了公司员工的收入情况。 经理：我公司员工收入很高，月平均工资 为2000元(平均数概念)。 职员C：我的工资是1200元，在公司算中等 收入(中位数概念)。 职员D：我们好几个人的工资只有1100元 (众数概念)。 （4）呈现概念 中位数，众数。
数学教学的三种水平 ——心理学依据与案例分析
南京师范大学 喻平
讲座内容与思路
基本型教学分析 智慧型教学分析
专题1：教师 的认识信念
创新型教学分析
专题3：课例研究 方法与案例
专题2：课程 资源开发
• 数学教学可以分为三个层次： 基本型教学
智慧型教学
创新型教学 • 三个层次所达到的教学效果和体现的教学功 能由低到高依次提升。
• 我们认为，所谓教师的PCK，是指教师在 教学过程中，根据特定的教学内容、特定 的学生群体、特定的教学环境，在自身认 识信念的支持下，在自我监控的作用下， 从自己的基本知识结构中选取、组合、贯 通相关知识，用于设计教学进程和解决教 学操作中出现的问题的能力。 1. 教师的PCK是一种教学的能力，作为知识 看待就是程序性知识。
• 格罗斯曼认为PCK包括4个部分： （1）教师关于一门学科教学目的的统领性观 念——关于学科性质的知识、关于学生学习 哪些重要内容的知识或观念； （2）学生对某一课题理解和误解的知识； （3）课程和教材的知识，它主要指关于教材 和其他可用于特定主题教学的各种教学媒体 和材料的知识，还包括了学科内特定主题如 何在横向和纵向上组织和结构的知识； （4）特定主题教学策略和表征的知识。
创新型教学
基于数学教师的创新能力
智慧型教学
基于数学教师的PCK
基本型教学
基于数学教师的基本知识结构
一、基本型教学层面分析
（一） 数学教师的基本知识结构 • 舒尔曼（L. S. S. Shulman）把教师知识分 为7类：学科内容知识、一般教学法知识、 课程的知识、学科教学法知识、学生知识、 教育环境知识。 • 格罗斯曼（P. L. G.rossman）的分法：内 容知识、学习者与学习的知识、一般教学 法知识、课程知识、教育环境知识。
2. 教师要深入挖掘内隐的数学课程资源，并 有效利用这些资源于教学中。 内隐的数学课程资源主要由内隐素材性知识 和过程性知识组成。 ——过程性知识是伴随数学学习活动过程的 个体的体验性知识，体验分为四个阶段： （1）对知识产生的体验。体会知识产生的缘 由，明晰新旧知识之间的关联和因果关系。
（2）对知识发展的体验。体悟知识发展的动 因，包括数学学科的内部因素和促进知识发 展的外部因素。习得探究问题的方法（逻辑 的和非逻辑的）和策略。 （3）对知识结果的体验。领会蕴含在知识中 的数学思想方法，感受数学结构的美。 （4）对知识应用的体验。体会数学应用的广 泛性，积累解决问题的认知策略和元认知知 识，形成自我监控的意识和习惯。