高二数学下6.3 不等式的证明4教案

课 题：不等式的证明（4）
教学目的：
1． 掌握换元法法证明不等式；
2．理解换元法实质；
3．提高证明不等式证法灵活性
教学重点：三角换元和代数换元
教学难点： 三角换元
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．重要不等式：
如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3：ab ≤222b a +，ab ≤（2
b a +）2 4． b
a a
b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 5．定理：如果+∈R
c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时
取“=”）
6．推论：如果+∈R c b a ,,，那么
33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）
7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论
8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式
成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法 用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ⇐⇐⇐
⇐⇐
分析法的思维特点是：执果索因
分析法的书写格式：
要证明命题B 为真， 只需要证明命题1B 为真，从而有……
这只需要证明命题2B 为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A 为真
而已知A 为真，故命题B 必为真
二、讲解新课： 1
若0≤x ≤1，则可令x = sin θ (20π≤
θ≤)或x = sin 2θ (22π≤θ≤π-) 若122=+y x ，则可令x = cos θ , y = sin θ (π≤θ≤20)
若12
2=-y x ，则可令x = sec θ, y = t a n θ (π≤θ≤20) 若x ≥1，则可令x = sec θ (2
0π<
θ≤) 若x ∈R ，则可令x = t a n θ (22π<θ<π-) 2
“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法
三、讲解范例：
例1 求证：2
11212≤-≤-x x 证一：（综合法） ∵212)1()1(1|||1|2222222=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+≤-=-=-x x x x x x x x 即 21|1|2≤-x x ∴2
11212≤-≤-x x 证二：（换元法） ∵11≤≤-x ∴令 x = cos θ , θ∈[0, π]
则θ=θθ=-2sin 2
1sin cos 12
x x ∵1sin 1≤θ≤- ∴211212≤-≤-x x 例2 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：22311+≥+y
x 证一：22323)2(11+≥++=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x y y x y x y x 即：22311+≥+y x 证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设α=α=
22cos ,sin 21y x 则)tan 1()cot 1(2cos 1sin 2112222α++α+=α
+α=+y x 223)tan cot 2(322+≥α+α+=
例3 若122≤+y x ，求证：2|2|22≤-+y xy x
证：设)10(,cos ,
sin ≤≤α=α=r r y r x ， 则|sin sin cos 2cos ||2|2222222α-αα+α=-+r r r y xy x
2242cos 2|2sin 2cos |222≤≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛π-α≤α+α=r r r 例4 若x > 1，y > 1，求证：)1)(1(1--+≥y x xy 证：设)2
,0(,sec ,sec 22π<βα<β=α=y x 则xy y x =βα≤βαβ-α=
βα+=--+cos cos 1cos cos )cos(tan tan 1)1)(1(1 例5已知：a > 1, b > 0 , a - b = 1，求证：11110<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<b b a a a 证：∵a > 1, b > 0 , a - b = 1 ∴不妨设)2
0(,tan ,sec 22π<θ<θ=θ=b a
则⎪⎭⎫ ⎝⎛θ+θ⎪⎭⎫ ⎝⎛θ-θθ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-tan 1tan sec 1sec sec 11112b b a a a θ=θ
θ⋅θθθ=sin tan sec sec tan sec 1222 ∵20π<θ<, ∴0 < sin θ < 1 ∴11110<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-<b b a a a 例6证明：若a > 0，则21212
2-+≥-+a a a a 证：设)2,2,0(,1,122≥≥>+=+=y x a a
a y a a x 则211222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=-a a a a y x 221122+≥+++=+a
a a a y x （ 当a = 1时取“=” ） ∴222
2222-=+≤+-=-y x y x y x 即22-≥-x y ∴原式成立
四、课堂练习：
五、小结 ：
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：。