专题一-集合-与简易逻辑

专题一集合与简易逻辑

一、考点回顾

1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；

2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；

3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；

4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；

5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；

6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、经典例题剖析

考点1、集合的概念

1、集合的概念：

（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

（2）集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}

表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

（3）集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描

述法。

2、两类关系：

（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；

（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题

4、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B,则有A=∅或A≠∅两种可能，此时应分类讨论

例1、下面四个命题正确的是

（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2} （C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}

m}．若B⊆A，则实数m＝．例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，2

考点2、集合的运算

1、交，并，补，定义：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}，A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}，C U A=｛x|x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集；

2、运算律，如A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ），C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ）， C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）等。

3、学会画Venn 图，并会用Venn 图来解决问题。

例3、设集合A ＝{x|2x ＋1＜3}，B ＝{x|－3＜x ＜2}，则A ⋂B 等于（ ）

(A){x|－3＜x ＜1} (B) {x|1＜x ＜2} (C)｛x|x >－3｝ (D) ｛x|x <1｝

例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又

有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 ( )

A. 60

B. 70

C. 80

D. 90

例5、（2008广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A.A ⊆B B.B ⊆C C.A ∩B =C D.B ∪C =A

考点3、逻辑联结词与四种命题

1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

2、复合命题的形式：p 且q ，p 或q ，非p ；

3、复合命题的真假：对p 且q 而言，当q 、p 为真时，其为真；当p 、q 中有一个为假时，其为假。对p 或q 而言，当p 、q 均为假时，其为假；当p 、q 中有一个为真时，其为真；当p 为真时，非p 为假；当p 为假时，非p 为真。

4、四种命题：记“若q 则p ”为原命题，则否命题为“若非p 则非q ”，逆命题为“若q 则p “，逆否命题为”若非q 则非p “。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

例6、（2008广东高考）命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是（ ）

A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

图1

图2

例7、已知命题:p 方程2

10x mx ++=有两个不相等的负数根；:q 方程

244(2)10x m x +-+=无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范

围． 解：

考点4、全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词

（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示。

（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示。 2．全称命题与特称命题

（1）全称命题：含有全称量词的命题。“对∀x ∈M ，有p （x ）成立”简记成“∀x ∈M ，p （x ）”。

（2）特称命题：含有存在量词的命题。“∃x ∈M ，有p （x ）成立” 简记成“∃x ∈M ，p （x ）”。3． 同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供参考。 命题 全称命题∀x ∈M ，p （x ） 特称命题∃x ∈M ，p （x ） 表述 方法

①所有的x ∈M ，使p （x ）成立 ①存在x ∈M ，使p （x ）成立 ②对一切x ∈M ，使p （x ）成立 ②至少有一个x ∈M ，使p （x ）成立 ③对每一个x ∈M ，使p （x ）成立 ③对有些x ∈M ，使p （x ）成立 ④任给一个x ∈M ，使p （x ）成立 ④对某个x ∈M ，使p （x ）成立 ⑤若x ∈M ，则p （x ）成立

⑤有一个x ∈M ，使p （x ）成立

4．常见词语的否定如下表所示： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n 个 至多有一个 所有x 成立 词语的否定

或

一个也没有

至多有n -1个

至少有两个

存在一个x 不成

立

例8、（2007山东）命题“对任意的01,2

3

≤+-∈x x R x ”的否定是（ ） A.不存在01,2

3

≤+-∈x x R x B.存在01,2

3

≥+-∈x x R x C.存在01,2

3

>+-∈x x R x D. 对任意的01,2

3

>+-∈x x R x