专题一-集合-与简易逻辑

专题一集合与简易逻辑
一、考点回顾
1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；
2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；
3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；
4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；
5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；
6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、经典例题剖析
考点1、集合的概念
1、集合的概念：
（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；
（2）集合的分类：
①按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}
表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；
（3）集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描
述法。

2、两类关系：
（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；
（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题
4、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B,则有A=∅或A≠∅两种可能，此时应分类讨论
例1、下面四个命题正确的是
（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2} （C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
m}．若B⊆A，则实数m＝．例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，2
考点2、集合的运算
1、交，并，补，定义：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}，A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}，C U A=｛x|x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集；
2、运算律，如A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ），C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ）， C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）等。

3、学会画Venn 图，并会用Venn 图来解决问题。

例3、设集合A ＝{x|2x ＋1＜3}，B ＝{x|－3＜x ＜2}，则A ⋂B 等于（ ）
(A){x|－3＜x ＜1} (B) {x|1＜x ＜2} (C)｛x|x >－3｝ (D) ｛x|x <1｝
例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又
有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 ( )
A. 60
B. 70
C. 80
D. 90
例5、（2008广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A.A ⊆B B.B ⊆C C.A ∩B =C D.B ∪C =A
考点3、逻辑联结词与四种命题
1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；
2、复合命题的形式：p 且q ，p 或q ，非p ；
3、复合命题的真假：对p 且q 而言，当q 、p 为真时，其为真；当p 、q 中有一个为假时，其为假。

对p 或q 而言，当p 、q 均为假时，其为假；当p 、q 中有一个为真时，其为真；当p 为真时，非p 为假；当p 为假时，非p 为真。

4、四种命题：记“若q 则p ”为原命题，则否命题为“若非p 则非q ”，逆命题为“若q 则p “，逆否命题为”若非q 则非p “。

其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。

因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

例6、（2008广东高考）命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是（ ）
A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数
B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数
C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数
D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数
图1
图2
例7、已知命题:p 方程2
10x mx ++=有两个不相等的负数根；:q 方程
244(2)10x m x +-+=无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范
围． 解：
考点4、全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示。

（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示。

2．全称命题与特称命题
（1）全称命题：含有全称量词的命题。

“对∀x ∈M ，有p （x ）成立”简记成“∀x ∈M ，p （x ）”。

（2）特称命题：含有存在量词的命题。

“∃x ∈M ，有p （x ）成立” 简记成“∃x ∈M ，p （x ）”。

3． 同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供参考。

命题 全称命题∀x ∈M ，p （x ） 特称命题∃x ∈M ，p （x ） 表述 方法
①所有的x ∈M ，使p （x ）成立 ①存在x ∈M ，使p （x ）成立 ②对一切x ∈M ，使p （x ）成立 ②至少有一个x ∈M ，使p （x ）成立 ③对每一个x ∈M ，使p （x ）成立 ③对有些x ∈M ，使p （x ）成立 ④任给一个x ∈M ，使p （x ）成立 ④对某个x ∈M ，使p （x ）成立 ⑤若x ∈M ，则p （x ）成立
⑤有一个x ∈M ，使p （x ）成立
4．常见词语的否定如下表所示： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n 个 至多有一个 所有x 成立 词语的否定
或
一个也没有
至多有n -1个
至少有两个
存在一个x 不成
立
例8、（2007山东）命题“对任意的01,2
3
≤+-∈x x R x ”的否定是（ ） A.不存在01,2
3
≤+-∈x x R x B.存在01,2
3
≥+-∈x x R x C.存在01,2
3
>+-∈x x R x D. 对任意的01,2
3
>+-∈x x R x
例9、命题“0x ∃<，有20x >”的否定是 ．
考点5、充分条件与必要条件
1、在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。

从集合角度看，理解“越小越充分”的含义。

例10、（2008安徽卷）0a <是方程2
210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
例11、（2008湖北卷）若集合{}
{
}
R x x x Q P ∈<<==,50,4,3,2,1,则：
（ ） A. R x ∈是Q x ∈的充分条件，不是Q x ∈的必要条件 B. R x ∈不是Q x ∈的充分条件，是Q x ∈的必要条件 C R x ∈是Q x ∈的充分条件，又是Q x ∈的必要条件. D.R x ∈既不是Q x ∈的充分条件，又不是Q x ∈的必要条件
三、方法总结与高考预测
（一）思想方法总结 1. 数形结合 2. 分类讨论 （二）高考预测
1．集合是每年高考必考的知识点之一。

题型一般是选择和填空的形式，主要考查集合的运算和求有限集合的子集及其个数．
2．简易逻辑是在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．
3．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现． 四、复习建议
1．在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法．重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法．要真正掌握数形结合思想——用文氏图解题．
2．涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多．所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等) 映射的概念以选择题型出现，难度不大。

就可以了
3．活用“定义法”解题。

定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。

利用定义，可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。

4．重视“数形结合”渗透。

“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。

当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的
建议便是：画个图!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。

5．实施“定义域优先”原则。

函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。

例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。

为此，应熟练掌握求函数定义域的原则与方法，并贯彻到解题中去。

6．强化“分类思想”应用。

指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于1有关；对于根式的意义及其性质的讨论要分清n是奇数还是偶数等。