复习22 函数的单调性与最值PPT课件
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M是f(x)的___最__小____值，记作ymin ＝f(x0)
基础自测
[判一判] (1)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)。( × ) 解析 错误。单调区间不能用并集符号连接。 (2)函数 y＝1x在定义域上为减函数。( × ) 解析 错误。函数 y＝1x有两个单调递减区间，但在定义域上不是单调 的。
2．若函数 f(x)满足“对任意 x1，x2∈R，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)”，
则满足 f1x<f(1)的实数 x 的取值范围是(
)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由题意知，函数 f(x)为 R 上的减函数， 且 f1x<f(1)， ∴1x>1，即|x|<1 且|x|≠0。 ∴x∈(－1,0)∪(0,1)。故选 C。 答案 C
3．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在M∈R
满足 条件
结论
①存在x0∈D， 使得__f_(x_0_)_＝__M_____ ②对于任意的x∈D，都有
__f(_x_)≤__M______ M是f(x)的 最大 值，记作ymax ＝f(x0)
①存在x0∈D，使得___f(_x_0)_＝__M____ ②对于任意的x∈D，都有 _____f(_x_)_≥__M______
解析 易知函数 f(x)＝x－2 1在 x∈[2,6]上为减函数，故 f(x)max＝f(2)＝2， f(x)min＝f(6)＝25。
5．已知函数 f(x)＝ x2－2x－3，则该函数的单调增区间为_[3_，__＋__∞__)_。
解析 设 t＝x2－2x－3，由 t≥0，即 x2－2x－3≥0，解得 x≤－1 或 x≥3， 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)。 因为函数 t＝x2－2x－3 的图像的对称轴为 x＝1，所以函数在(－∞，－ 1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增。又因为 y＝ t在[0，＋∞)上单调 递增， 所以函数 f(x)的增区间为[3，＋∞)。
(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到。( √ ) 解析 正确。 (7)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，那么这个 函数在定义域上是增函数。( × ) 解析 错误。如函数 y＝－1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，但
这个函数在定义域上不是增函数。
[练一练]
1．下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( )
2．单调区间、单调性及单调函数 (1)单调区间：如果y＝f(x)在区间A上是 增加的 或是__减__少__的___，那么 称__A___为单调区间。 在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是___上__升___的；如 果函数是减少的，那么它的图像是 下降 的。 (2)单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是___增__加_____的或 是____减__少______的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性。 (3) 单 调 函 数 ： 如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 整 个 定 义 域 内 是 _增__加____ 的 或 是 __减__少___的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数。
3．(2016·宿州模拟)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，
则a的值为( )
A．－2
Βιβλιοθήκη Baidu
B．2
C．－6
D．6
解析
f(x)＝|2x＋a|＝2－x＋2xa－，ax，≥x－<－a2，a2。
因为函数 f(x)的单调递增区间是[3，＋∞)，
所以－2a＝3，即 a＝－6。
答案 C
4．函数 f(x)＝x－2 1，x∈[2,6]。下列命题： ①函数 f(x)为减函数；②函数 f(x)为增函数；③函数 f(x)的最大值为 2； ④函数 f(x)的最小值为25。 其中真命题的是____①__③__④_______(写出所有真命题的编号)。
第二章 函数、导数及其应用
第二节 函数的单调性与最值
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会 运用函数图像理解和研究函数的性质。
J 基础知识 自主学习
知识梳理
1．函数在区间上是增加(递增)的、减少(递减)的含义 在 函 数 y ＝ f(x) 的 定 义 域 内 的 一 个 区 间 A 上 ， 如 果 对 于 任 意 两 数 x1 ， x2∈A，且x1<x2，则： (1)f(x)在区间A上是增加(递增)的⇔f(x1)<f(x2) 。 (2)f(x)在区间A上是减少(递减)的⇔_f_(x_1_)>_f(_x_2)__。
(3)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性 。 (×)
解析 错误。相同单调性的函数在公共定义域上的和仍具有相同的单 调性，但是差、积、商函数的单调性不能确定。
(4)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函 数。( × )
解析 错误。不满足增函数定义中的任意性。 (5)函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是 [1，＋∞)。( × ) 解析 错误。函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，说明[1，＋∞)是该函 数单调递增区间的子集。
R 热点命题 深度剖析
考点一 函数单调性的判断
【例 1】 试讨论函数 f(x)＝x＋kx(k>0)的单调性。 【解】 解法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋
∞)。在(0，＋∞)内任取
x1，x2，令
x1<x2，那么
f(x2)－f(x1)＝x2＋xk2－x1＋
k x1
A．y＝e－x
B．y＝x3
C．y＝ln x
D．y＝|x|
解析 A 项，函数 y＝e－x 为 R 上的减函数； B 项，函数 y＝x3 为 R 上的增函数； C 项，函数 y＝ln x 为(0，＋∞)上的增函数； D 项，函数 y＝|x|在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数。 故只有 B 项符合题意，应选 B。 答案 B
基础自测
[判一判] (1)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)。( × ) 解析 错误。单调区间不能用并集符号连接。 (2)函数 y＝1x在定义域上为减函数。( × ) 解析 错误。函数 y＝1x有两个单调递减区间，但在定义域上不是单调 的。
2．若函数 f(x)满足“对任意 x1，x2∈R，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)”，
则满足 f1x<f(1)的实数 x 的取值范围是(
)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由题意知，函数 f(x)为 R 上的减函数， 且 f1x<f(1)， ∴1x>1，即|x|<1 且|x|≠0。 ∴x∈(－1,0)∪(0,1)。故选 C。 答案 C
3．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在M∈R
满足 条件
结论
①存在x0∈D， 使得__f_(x_0_)_＝__M_____ ②对于任意的x∈D，都有
__f(_x_)≤__M______ M是f(x)的 最大 值，记作ymax ＝f(x0)
①存在x0∈D，使得___f(_x_0)_＝__M____ ②对于任意的x∈D，都有 _____f(_x_)_≥__M______
解析 易知函数 f(x)＝x－2 1在 x∈[2,6]上为减函数，故 f(x)max＝f(2)＝2， f(x)min＝f(6)＝25。
5．已知函数 f(x)＝ x2－2x－3，则该函数的单调增区间为_[3_，__＋__∞__)_。
解析 设 t＝x2－2x－3，由 t≥0，即 x2－2x－3≥0，解得 x≤－1 或 x≥3， 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)。 因为函数 t＝x2－2x－3 的图像的对称轴为 x＝1，所以函数在(－∞，－ 1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增。又因为 y＝ t在[0，＋∞)上单调 递增， 所以函数 f(x)的增区间为[3，＋∞)。
(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到。( √ ) 解析 正确。 (7)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，那么这个 函数在定义域上是增函数。( × ) 解析 错误。如函数 y＝－1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，但
这个函数在定义域上不是增函数。
[练一练]
1．下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( )
2．单调区间、单调性及单调函数 (1)单调区间：如果y＝f(x)在区间A上是 增加的 或是__减__少__的___，那么 称__A___为单调区间。 在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是___上__升___的；如 果函数是减少的，那么它的图像是 下降 的。 (2)单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是___增__加_____的或 是____减__少______的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性。 (3) 单 调 函 数 ： 如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 整 个 定 义 域 内 是 _增__加____ 的 或 是 __减__少___的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数。
3．(2016·宿州模拟)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，
则a的值为( )
A．－2
Βιβλιοθήκη Baidu
B．2
C．－6
D．6
解析
f(x)＝|2x＋a|＝2－x＋2xa－，ax，≥x－<－a2，a2。
因为函数 f(x)的单调递增区间是[3，＋∞)，
所以－2a＝3，即 a＝－6。
答案 C
4．函数 f(x)＝x－2 1，x∈[2,6]。下列命题： ①函数 f(x)为减函数；②函数 f(x)为增函数；③函数 f(x)的最大值为 2； ④函数 f(x)的最小值为25。 其中真命题的是____①__③__④_______(写出所有真命题的编号)。
第二章 函数、导数及其应用
第二节 函数的单调性与最值
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会 运用函数图像理解和研究函数的性质。
J 基础知识 自主学习
知识梳理
1．函数在区间上是增加(递增)的、减少(递减)的含义 在 函 数 y ＝ f(x) 的 定 义 域 内 的 一 个 区 间 A 上 ， 如 果 对 于 任 意 两 数 x1 ， x2∈A，且x1<x2，则： (1)f(x)在区间A上是增加(递增)的⇔f(x1)<f(x2) 。 (2)f(x)在区间A上是减少(递减)的⇔_f_(x_1_)>_f(_x_2)__。
(3)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性 。 (×)
解析 错误。相同单调性的函数在公共定义域上的和仍具有相同的单 调性，但是差、积、商函数的单调性不能确定。
(4)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函 数。( × )
解析 错误。不满足增函数定义中的任意性。 (5)函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是 [1，＋∞)。( × ) 解析 错误。函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，说明[1，＋∞)是该函 数单调递增区间的子集。
R 热点命题 深度剖析
考点一 函数单调性的判断
【例 1】 试讨论函数 f(x)＝x＋kx(k>0)的单调性。 【解】 解法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋
∞)。在(0，＋∞)内任取
x1，x2，令
x1<x2，那么
f(x2)－f(x1)＝x2＋xk2－x1＋
k x1
A．y＝e－x
B．y＝x3
C．y＝ln x
D．y＝|x|
解析 A 项，函数 y＝e－x 为 R 上的减函数； B 项，函数 y＝x3 为 R 上的增函数； C 项，函数 y＝ln x 为(0，＋∞)上的增函数； D 项，函数 y＝|x|在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数。 故只有 B 项符合题意，应选 B。 答案 B