数的整除11
能被11整除的数的特征
能被11整除的数的特征之欧侯瑞魂创作能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包含0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不克不及被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不克不及被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不容易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
能被11整除的数的特征
能被11整除的数的特征
把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．
例如：判断491678能不能被11整除．
—→奇位数字的和9＋6＋8＝23
—→偶位数位的和4＋1＋7＝12 23－12＝11
因此，491678能被11整除．
这种方法叫“奇偶位差法”．
除上述方法外，还可以用割减法进行判断．即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止．如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除．
又如：判断583能不能被11整除．
用583减去11的50倍（583－11×50＝33）余数是33， 33能被11整除，583也一定能被11整除．。
11整除判定基本法则
11整除判定基本法则一、引言在数学中，我们经常会遇到判定一个数能否被另一个数整除的问题。
其中，判定一个数能否被11整除是一个常见的问题。
本文将介绍以11整除判定基本法则，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
二、11的整除判定法则要判断一个数能否被11整除，我们可以使用11的整除判定法则。
该法则的原理是利用数的位数之和的差来判断数是否可以被11整除。
三、具体步骤下面，我们将详细介绍以11整除判定基本法则的具体步骤。
1. 将给定的数从右往左分成若干个数位。
例如，对于一个三位数abc，可以分成a、b和c三个数位。
2. 计算数位之和的差。
将奇数位上的数字相加，再将偶数位上的数字相加，然后将两个和相减。
如果差能被11整除，则原数能被11整除；如果差不能被11整除，则原数不能被11整除。
3. 如果差是负数，则将其取绝对值再进行判断。
4. 重复以上步骤，直到得出结论。
四、示例分析为了更好地理解以11整除判定基本法则，我们来看几个具体的示例。
1. 示例一：判定132是否能被11整除。
将132从右往左分成三个数位，分别是1、3和2。
然后，将奇数位上的数字相加得到1+2=3，将偶数位上的数字相加得到3。
最后，将两个和相减得到3-3=0。
由于差是0，能被11整除，所以132能被11整除。
2. 示例二：判定225是否能被11整除。
将225从右往左分成三个数位，分别是2、2和5。
然后，将奇数位上的数字相加得到2+5=7，将偶数位上的数字相加得到2。
最后，将两个和相减得到7-2=5。
由于差不是0，不能被11整除，所以225不能被11整除。
3. 示例三：判定1001是否能被11整除。
将1001从右往左分成四个数位，分别是1、0、0和1。
然后，将奇数位上的数字相加得到1+0=1，将偶数位上的数字相加得到0+1=1。
最后，将两个和相减得到1-1=0。
由于差是0，能被11整除，所以1001能被11整除。
五、总结通过以上示例分析，我们可以发现以11整除判定基本法则是一种简单且有效的方法。
能被11整除的数的特征
能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
能为11 13 17整除的数的特征
能为11 13 17整除的数的特征一、概述在数学领域中，整除是一个非常重要且基础的概念。
当一个整数能够被另一个整数整除时，我们就称其为能整除。
而在特定的情况下，我们希望研究能够被某一系列特定整数整除的数，以寻找这些数的特征。
本文将针对能够同时被11、13和17整除的数展开讨论，探究其特征和规律。
二、11、13、17的简要介绍1. 11是自然数中的质数，它大于10，小于12。
它的倍数有11、22、33、44、55等。
2. 13是自然数中的质数，它大于12，小于14。
它的倍数有13、26、39、52、65等。
3. 17是自然数中的质数，它大于16，小于18。
它的倍数有17、34、51、68、85等。
三、能为11、13、17整除的数的特征1. 能被11整除的数有什么特征？11的倍数有一个特征，那就是它们的个位数和十位数的差的符号是相反的，且它们的绝对值相等。
22、33、44等都满足这一特征，因为它们的个位数和十位数的差的符号相反，而且绝对值相等。
2. 能被13整除的数有什么特征？13的倍数有一个特征，那就是它们的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身。
例如26、39、52等都满足这一特征，因为它们的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身。
3. 能被17整除的数有什么特征？17的倍数有一个特征，那就是它们的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。
例如34、51、68等都满足这一特征，因为它们的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。
四、能被11、13、17整除的数的特征1. 能被11、13、17整除的数，有什么样的特征？当一个数同时满足能被11、13、17整除的条件时，那么这个数必须同时满足以上三个条件所规定的特征。
这个数的特征是：它的个位数和十位数的差的符号是相反的，且它们的绝对值相等；它的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身；它的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。
五、结论通过对能够同时被11、13和17整除的数的特征的探究，我们得出了上述结论。
7、11、13整除判定法则
7、11、13的整除判定法则华图教育邹维丽在公务员考试数学运算这部分中，不少题目通过适当运用数的整除性质就可快速选出答案，这就要求考生对数的整除判断法则要熟练掌握。
下面我们先给出一些特殊数的整除判定基本法则：一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
三、能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。
四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。
能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。
五、能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。
从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位与剩下的数之差，那么，为什么7、11、13有相同的整除判断法则呢？事实上，这一规律源自经典分解1001=7×11×13。
下面我们利用1001=7×11×13来证明能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。
设abcd为超过三位的数，其中b, c, d分别为百位数、十位数、个位数，则abcd a bcd=+，1000为了凑出1001，我们将1000a写成1001a a-，于是我们有=+=-+=+-100010011001()abcd a bcd a a bcd a bcd a因为1001能被7整除，所以，若bcd a-能被7 整除，则上式右边能被7整除，。
7913整除判定法则
7913整除判定法则整除判定法则是用来判断一个数是否能被另一个数整除的一条规则。
下面详细介绍7、9、11和13的整除判定法则。
1.整除判定法则-7的判定法则：对于一个整数，可以通过以下步骤来判断它是否能被7整除：-把这个数字的个位数的2倍减去十位数，如果结果能被7整除，则原数也能被7整除；否则不能。
2.整除判定法则-9的判定法则：对于一个整数，可以通过以下步骤来判断它是否能被9整除：-把这个数字的各个位上的数字相加，如果结果能被9整除，则原数也能被9整除；否则不能。
3.整除判定法则-11的判定法则：对于一个整数，可以通过以下步骤来判断它是否能被11整除：-把这个数字的各个位上的数字从右到左依次加减，如果结果能被11整除，则原数也能被11整除；否则不能。
4.整除判定法则-13的判定法则：对于一个整数，可以通过以下步骤来判断它是否能被13整除：-用这个数字的各个位上的数字乘以4再相加，如果结果能被13整除，则原数也能被13整除；否则不能。
下面我们通过具体例子来说明整除判定法则的应用。
例子1：判断357是否能被7整除。
首先，将7的判定法则应用到357上，即将7的倍数减去个位数，得到35-7=28由于28可以被7整除，所以357也能被7整除。
例子2：判断567是否能被9整除。
首先，将9的判定法则应用到567上，即将各个位上的数字相加，得到5+6+7=18由于18可以被9整除，所以567也能被9整除。
例子3：判断876是否能被11整除。
首先，将11的判定法则应用到876上，即将各个位上的数字从右到左依次加减，得到8-7+6=7由于7可以被11整除，所以876也能被11整除。
例子4：判断975是否能被13整除。
首先，将13的判定法则应用到975上，即将各个位上的数字乘以4再相加，得到9*4+7*4+5*4=36+28+20=84由于84可以被13整除，所以975也能被13整除。
综上所述，整除判定法则可以帮助我们快速判断一个数是否能被7、9、11和13整除，提高计算效率。
能被11整除的数规律探讨
能被11整除的数的规律探讨仔细观察下表，然后完成表格，并回答下面的问题。
奇位偶
位
奇
位
偶
位
奇
位
奇
数
位
之
和
偶
数
位
之
和
前
面
两
者
相
差
是
否
能
被
11
整
除
121
144
253
1367
1088
6853
9020
13948
46980
76488
84909
我发现了：某数的奇位数和偶位数之和相差___________或___________的倍数的时候，这个数一定能被11整除。
①5354最少要减去_________才能被11整除。
②7086最少加上_________才能被11整除。
③在_____上填上一个数字，使得该数能被11整除。
a)8___9b)14___9
能被11整除的数的规律：某数的奇位数和偶位和相差0或11的倍数，这个数一定可以被11整除。
例：(1)5352可以减去_____________才能被11整除。
5+5=10
3+2=5
5+0=5
5302÷11=482
5352-5302=50
所以可以减去50
(2)5352最少要加上_____________才能被11整除。
3+7=10
5357÷11=487
5357-5352=5
所以最少要加上5。
能被11整除的数的特征
创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*能被11整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
11的整除特征
11的整除特征11的整除特征11是唯一一个能被11整除的自然数，并且唯一能够被11整除。
这些事实都表明： 11不但是一个奇数、偶数或质数，而且还具有奇偶性；也就是说，当11为奇数时， 11为偶数；当11为偶数时， 11为奇数。
以下我们通过几个例子来了解11的奇偶性。
11，看上去很简单，可真要写出来，却要花费不少工夫。
11/12，虽然是个偶数，可它却不能化成有限小数。
11/2，不管怎样算，总是得到一个与11同余1的数。
11/7，这个数看起来是个偶数，可仔细一算，它竟是个合数。
11/21，这是11/ 7的商，不管怎么看， 11都不能被7整除。
11/11，虽然这两个数都能被11整除，但因为其中一个是奇数，所以11/11不是11的平方。
11/19，这个自然数不论怎么看，都是19，它既不是2的平方，也不是11的平方，它是一个质数。
11/3，这是11/6的商，即使除到三位数仍是一个质数。
从这里我们发现了什么？在每一个自然数中，都存在着11种状态，它们分别叫做单数、双数、三数、合数和奇数。
但只有11/11才是唯一一个能够被11整除的奇数。
有人认为， 11不能被11整除，必定是个奇数，可是11既不是奇数也不是偶数，那么它究竟是什么数呢？有的人认为11可能是质数或者是合数，但这些说法都是错误的。
为了证明这一点，我们可以举一些例子。
比如质数是否是奇数？根据11的分解质因数的结果，得到的数字，奇数比偶数多1，所以11既不是奇数也不是偶数。
我们再来看合数和质数有什么区别？从二进制的角度来说，两个数相乘，得到一个质数，就叫做合数，比如8， 3，5， 7， 9；两个数相乘，得到一个偶数，就叫做质数，比如2， 4，6， 8，以此类推。
从理论上来讲， 11/11和11/11*2，都应该是质数，但11/11* 2，由于两个乘积中的11都是质数，所以不符合质数定义，只能说是奇数。
又比如11/11，是一个自然数，用11除以2，得到的余数是0，也就是说11除以2，没有余数，因此11/11不能化成有限小数，只能化成一个合数。
数的整除(能被7、9、11、13整除的数的特征)专题训练
数的整除（能被7、9、11、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。
2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。
3、整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。
5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
例题精讲1、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。
47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。
解：47382能被3整除，不能被9整除2、判断42559，7295871能否被11整除？分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
解：42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数字和为2+5+7=14，25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。
3、32335能否被7整除？分析：一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
解：335-32=303，303不能被7整除，所以32335不能被7整除。
专题特训1、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？2、四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A=B=？3、173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、11、6整除，先后填入的3个数分别是几？4、九位数8765□4321能被21整除，□中应填几？5、用1~7七个数字组成不重复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数差是多少？6、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？7、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少?8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数可能是多少？9、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商可能是多少？10、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？1、解：能被9整除的数的特点是各数位的数字和能被9整除，5+1+6=12，至少再连续写三次，得到516516516各数字的和为36，才能被9整除。
3、4、5、6、7、8、9、11、12、13的整除特征
整除特征能被2整除的数个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
能被9整除的数各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除的数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
整除判定法则
整除判定法则11的整除判断法则是指一个数能否被11整除的判断方法。
根据这个法则，可以通过对数的各个位数上的数字进行加减运算来判断一个数是否能被11整除。
具体来说，假设一个数为A，则可以将A的各个位数上的数字进行交替相加和相减，然后判断最后的结果是否能被11整除。
具体的步骤如下：1.将数A的各个位数上的数字从右到左依次标号为n、n-1、n-2、..、2、1、0，其中n为数A的位数（个位对应n=0）。
2.将A的各个位数上的数字进行交替相加和相减，即将位数标号为奇数的数字进行相加，将位数标号为偶数的数字进行相减。
3.如果最后得到的结果能被11整除，则A能被11整除；如果最后得到的结果不能被11整除，则A不能被11整除。
举个例子来说明这个判断法则。
假设想要判断数1232是否能被11整除，根据上述步骤进行计算：1.数1232的各个位数上的数字为1、2、3、2，从右到左标号为3、2、1、0。
2.将位数标号为奇数的数字进行相加，即3+1=4；将位数标号为偶数的数字进行相减，即2-2=0。
3.最后得到的结果为4+0=44.结果4不能被11整除，所以数1232不能被11整除。
根据这个判断法则，我们可以很方便地判断一个数是否能被11整除。
但是需要注意的是，这个法则只适用于判断正整数是否能被11整除，对于负数、小数等其他类型的数则不适用。
另外，根据11的整除判断法则，我们还可以进一步推导出一个结论：如果一个数的各个位数上的数字之和与差的绝对值能被11整除，那么这个数也能被11整除。
这是因为位数标号为奇数的数字相加和位数标号为偶数的数字相减，可以看作是取数的一部分数字进行加减运算。
所以，如果一个数满足上述条件，则它能被11整除。
总结起来，11的整除判断法则是一种简单而实用的方法，可以用来快速判断一个数是否能被11整除。
通过对数的各个位数上的数字进行交替相加和相减，然后判断最后的结果是否能被11整除，可以实现高效的整除判断。
11的整除特征原理
11的整除特征原理咱先从简单的数字说起哈。
你看一个两位数，比如说11，它本身就能被11整除，这是最直白的啦。
那要是22呢，也能被11整除。
这时候你可能会想，这里面是不是有啥规律呢？咱就拿个三位数来说吧，像121。
你把这个数的奇数位数字加起来，1 + 1 = 2，再把偶数位数字加起来，这里偶数位就一个2，然后你把奇数位数字之和与偶数位数字之和相减，2 - 2 = 0。
这个数能被11整除，而且相减得到的差是0呢。
再看个数字，363。
奇数位数字相加3 + 3 = 6，偶数位数字是6，6 - 6 = 0，又能被11整除。
那要是四位数呢？比如说1331。
奇数位数字相加1 + 3 = 4，偶数位数字相加3 + 1 = 4，4 - 4 = 0，它也能被11整除哦。
这时候你可能有点感觉了吧。
其实啊，11这个数很特别。
对于一个整数，如果从右到左把它的数字依次编号为第1位、第2位、第3位……那么这个数能被11整除的一个特征就是：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。
咱再举个例子，1463。
奇数位数字相加1 + 6 = 7，偶数位数字相加4 + 3 = 7，7 - 7 = 0，0是11的0倍，所以1463能被11整除。
你要是问为啥会这样呢？咱可以这么想哈。
11这个数就像一个特殊的小怪兽，它对数字有着独特的“口味”。
当我们按照奇数位和偶数位把数字分开来计算的时候，就像是找到了这个小怪兽的“弱点”。
如果奇数位数字之和与偶数位数字之和的差符合它的要求，那这个数字就能被11这个小怪兽“吞掉”，也就是能被11整除啦。
再看个数字928。
奇数位数字相加9 + 8 = 17，偶数位数字是2，17 - 2 = 15，15不是11的倍数，所以928不能被11整除。
咱再拿一个比较大的数字来试试，123456。
奇数位数字相加1 + 3 + 5 = 9，偶数位数字相加2 + 4 + 6 = 12，12 - 9 = 3，3不是11的倍数，所以123456不能被11整除。
11的整除特征
11的整除特征同学们，你们知道11的整除特征吗？就请跟着我来探究11的整除特征吧！11的整除特征是指，能被11整除的数，在任意一个除法算式里，商都是11。
能被11整除的数有11、 12、 22、 33、 44、 55、 66、77、 88、 99、 11这十三个自然数。
那么怎样才能知道一个数是否能被11整除呢？可以按照下面几种方法来验证。
在生活中，经常会用到小数、分数，如果小数和分数不能整除，那么我们就把它们叫做无限不循环小数或无限不循环分数。
我们可以根据无限不循环小数和无限不循环分数的特点，先想一想：一个无限不循环小数和一个无限不循环分数哪些情况能被11整除呢？我们可以采取什么方法来检验一个无限不循环小数和一个无限不循环分数是否能被11整除呢？在这里，我们不能像上面验证小数和分数的整除一样，把小数和分数化成整数，也不能通过分数去掉小数后去验证小数是否能被11整除，我们还可以利用下面的方法来验证一个无限不循环小数和一个无限不循环分数是否能被11整除。
因为小数和分数不能被11整除的数，在任何一个除法算式里，商都是11。
而任何一个数除以11都没有余数，所以它一定能被11整除。
一根长绳子用去了一半，再用去剩下的一半，又用去了一半……最后，用去的是全部长度的二分之一。
也就是说，这根绳子用去了11米，但还剩下20米。
这根绳子到底多少米呢？你能根据刚才提供的信息进行验证吗？我想同学们已经心里有数了吧。
好，我们就用排除法来验证这根绳子到底有多少米。
我们可以找出已知的条件，然后用排除法逐一验证就可以了。
现在，我们就要解决“剩下的一半就是全长的1/2”这一问题了。
你认为这根绳子多长？可以怎样表示？请你试着列出一个算式。
小明心里想：“咦，今天出门运气真差，遇到的全是难题，好不容易碰上了，偏偏还让我一个人来解决。
”他看了看纸上的数字，觉得这根绳子的长度好像不止11米，好像不止20米。
可是，他也想不起具体数值，只好从头开始仔细观察起来。
能被11整除的数的特征
能被11整除的数的特征之马矢奏春创作能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数, 即对任何整数a, 总有1|a.0是任何非零整数的倍数, a≠0,a为整数, 则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8, 则这个数能被2整除.（3）若一个整数的数字和能被3整除, 则这个整数能被3整除. (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除, 则这个数能被4整除. （5）若一个整数的末位是0或5, 则这个数能被5整除.（6）若一个整数能被2和3整除, 则这个数能被6整除.（7）若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 减去个位数的2倍, 如果差是7的倍数, 则原数能被7整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否7的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相减、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.例如, 判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7, 所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49, 所以6139是7的倍数, 余类推.（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除, 则这个数能被8整除. （9）若一个整数的数字和能被9整除, 则这个整数能被9整除. （10）若一个整数的末位是0, 则这个数能被10整除.（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除, 则这个数能被11整除.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处置！过程唯一分歧的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除, 则这个数能被12整除. （13）若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 加上个位数的4倍, 如果差是13的倍数, 则原数能被13整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否13的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相加、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.（14）若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 减去个位数的5倍, 如果差是17的倍数, 则原数能被17整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否17的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相减、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.（15）若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 加上个位数的2倍, 如果差是19的倍数, 则原数能被19整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否19的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相加、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除, 则这个数能被17整除.（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除, 则这个数能被19整除.（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除, 则这个数能被23整除.。
能被11整除的数的特征
能被11整除的数的特征之宇文皓月创作能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包含0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不克不及被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不克不及被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不容易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
整除判定基本法则
整除判定基本法则11的整除判定基本法则是指，一个数能否被11整除，可以根据该数的各个位上的数字的差的符号进行判断。
以下将详细介绍11的整除判定基本法则。
假设一个整数为n，n可以表示为：n = an * 10^n + an-1 * 10^(n-1) + ... + a1 * 10^1 + a0 *10^0其中，ai表示该整数的第i位上的数字，n为整数的位数。
根据数的位数，可以将n分解为：n = (an * 10^n-1 + an-1 * 10^n-2 + ... + a1 * 10^0) + a0根据n的定义，可以发现an * 10^n-1 + an-1 * 10^n-2 + ... +a1 * 10^0可以用11表示为：an * 10^n-1 + an-1 * 10^n-2 + ... + a1 * 10^0 = (10^n-1 + 1) * an + (10^n-2 + 1) * an-1 + ... + (10^0 + 1) * a1所以n可以表示为：n = [(10^n-1 + 1) * an + (10^n-2 + 1) * an-1 + ... + (10^0 + 1) * a1] + a0根据11的整除判定基本法则，如果一个数能被11整除，那么这个数的各个位上的数字之差的符号都是0或者是11的倍数。
所以，n能被11整除的充分必要条件是：[(10^n-1 + 1) * an + (10^n-2 + 1) * an-1 + ... + (10^0 + 1) * a1] + a0的各个位上的数字之差的符号都是0或者是11的倍数。
下面以一个具体的例子来说明。
假设n=8192，将n表示为：n=8*10^3+1*10^2+9*10^1+2*10^0可以将n分解为：n=(8*10^3+1*10^2)+(9*10^1+2*10^0)而8*10^3+1*10^2可以用11表示为：8*10^3+1*10^2=(10^3+1)*8+1=1000*8+8+1=999*8+9同样，9*10^1+2*10^0可以用11表示为：9*10^1+2*10^0=(10^1+1)*9+2=10*9+9+2=99*9+11所以n可以表示为：n=[(10^3+1)*8+1]+[(10^1+1)*9+2]=999*8+9+99*9+11由于999*8+99*9=11*(8*999+9*99)，所以n可以表示为：n=11*(8*999+9*99+1)可以发现8*999+9*99+1的个、十位数字之差等于0，所以n能被11整除。
十一 数的整除特征
十一数的整除特征同学们都知道，两个整数做除法运算时（除数不为0），它们的商有时是整数，有时不是整数.例如：对于整数a与b（b≠0），若存在整数q，使等式a=bq成立，则称b整除a，或a能被b整除.这时，称a是b的倍数，b是a的约数，并记作整数的整除性质：1.如果整数a、b都能被整数c整除，那么（a＋b）与（a-b）也能被c整除.2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除.3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除.反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除.数的整除特征：1.末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8（或125）整除.2.各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9整除）.3.若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被11整除，则这个数能被11整除.问题21.1四位数57A1能被9整除，求A.分析四位数57A1的各位数字的和应是9的倍数.解5＋7＋A＋1=A＋13.∵四位数57A1能被9整除，∴A＋13应是9的倍数，∵0≤A≤9，∴13≤A+13≤22.故A＋13=18，∴A=18-13=5.问题21.2 六位数a8919b能被33整除，求a与b.分析此六位数应同时是3与11的倍数.解33=3×11.∵a8919b能被33整除，∴a8919b同时是3与11的倍数.故a+8+9+1+9+b=27+a+b应是3的倍数，且（a+9+9）-（8+1+b）=9+a－b应是11的倍数.∵9+a-b是11的倍数,∴a-b=2.故a-b是偶数.∵a+b与a-b同为奇数或同为偶数，∴a+b为偶数.∵27+a+b是3的倍数，∴a+b是3的倍数.∵a≠0，∴a＋b≠0.∵a－b=2，∴a+b≠18.故a＋b=6或12.又a-b=2，∴a=4，b=2或a=7，b=5.问题21.3 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小.求这个六位数.分析根据一个整数分别被3、4、5整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数字.解设所求的六位数为568abc.568abc能被5整除，∴c=0或5.∵568abc能被4整除，∴c=0.要使568abc的数值尽可能地小，则二位数bc=20.568abc能被3整除，5+6+8+a+b+c=21+a是3的倍数.要使568abc尽可能地小，故a=0.所以，所求的六位数为568020.问题21.4 任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除.这是为什么？分析用字母表示这个六位数.所以这个六位数能同时被7、11、13整除.问题21.5 有72名学生，共交课间餐费a527b元，每人交了多少元？分析先求a和b代表的数字.解把单位由元改为分，可a527b为72的倍数.因为72=8×9，所以a527b应同为8和9的倍数.因为a527b为8的倍数，所以27b为8的倍数，故b=2.因为a527b为9的倍数，所以a+5+2+7+b=16+a为9的倍数，故a=2.因此，a527b=25272. 25272÷72=351（分）.答：每人交了3.51元.问题21.6 从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数.这样的三位数共有几个？分析能同时被2、3、5整除的自然数，其个位数字应为0，各位数字之和应是3的倍数.解因为所求的三位数能同时被2、5整除，所以这个三位数的个位数字为0.因为所求的三位数能被3整除，所以这个三位数的各位数字之和应是3的倍数.故所求的三位数为570或750，共2个.问题21.7 用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？分析所求的三个三位数能被9整除，那么它们的各位数字之和分别能被9整除.解1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45.因为所求的三个三位数都能被9整除，所以它们的各位数字之和分别能被9整除，故这三个三位数中有两个的数字和都是18，一个的数字和是9.要使数字和是9的三位数尽可能大，百位上的数字必须为6，十位上的数字为2，个位上的数字为1，所以这个三位数是621.要使数字和是18的两个三位数尽可能大，一个的百位上数字为9，另一个百位上数字为8，十位上数字分别为5与7，个位上数字分别为4与3.故这两个三位数是954与873.因此，所求的三个三位数分别是621、954、873.问题21.8 已知A、B、C、D是各不相同的数字，A+B+C=18,分析依题意，C=3或C=8.分这两种情况进行讨论.若C=3，则B＋D=23-3=20，这与B＋D＜18矛盾.故C≠3.若C=8，则B+D=23-8=15.故从而A=1或A=4.问题21.9 一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除.这样的六位数中的最小的数是多少？分析用字母表示所求六位数的个位数字.解依题意，设所求的六位数为30124a，因为六位数30124a能被11整除，所以（a＋2）-（4+1+3）=a-6应是11的倍数.故a=6.因此，所求的最小六位数是301246.被6整除.请说明道理.分析依题意，a+b+c+d+e是3的倍数，e是2的倍数.解6=2×3.的倍数，a+b+c+d+e是3的倍数.因为2×（a+b+c+d）－e＝2×（a+b+c+d+e）－3e，而2×（a+b+c+d+e）、3e都能被6整除，所以2×（a+b+c+d）-e能被6整除.练习211.小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和12块橡皮，总共用去4元5角.已知铅笔8分一支，圆珠笔3角6分一支.问售货员同志的帐有没有算错？2.六位数1803a6能被12整除，求数字a是多少.3.已知一个六位数6a6a6a能被11整除，求这样的六位数有几个？4.有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问数字A代表几？6.没有重复数字的五位数3a6b5是75的倍数，求这样的五位数.练习21解答1.以分为单位，可知铅笔、圆珠笔的单价都是4的倍数，所以买铅笔、圆珠笔的钱数都是4的倍数.而笔记本的本数、橡皮的块数都是4的倍数，所以买笔记本、橡皮的钱数都是4的倍数.因此，四种文具共用去的钱数是4的倍数，而450（分）不是4的倍数，所以售货员的帐算错了.2.由六位数1803a6分别能被3和4整除可求出a=3或a=9.3.18与3a的差（以大减小）是11的倍数.由a=0，1，2，…，9，可知只有a=6时满足要求.因此，所求的六位数只有一个，即666666.4.4+2A是9的倍数.由4＜4+2A≤22，可知4+2A=9或4+2A=18.又因为A是整数，所以A代表7.5.先考虑138，奇数位数字之和比偶数位数字之和多6.再考虑1990，奇数位数字之和比偶数位数字之和多1（这里所说的奇数位是在原来给定的数中从个位数起的）.于是所求的最小自然数n=5.6.b=2时，a=8；b=7时，a=0.9.故所求没有重复数字的五位数为38625，30675，39675.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数的整除姓名
1(例)、判断：354796能不能被4整除？能否被8整除？
2、（1）写一个六位数，使它能被4整除。
（2）写一个六位数，使它能被8整除。
3(例)、在□里填上适当的数，使47587□能被25整除。
4、在□里填上适当的数，使47587□能被9整除。
5(例)、923□□后面填上什么数字，使它能被60整除？6、97247□□后面填上什么数字，使它能被45整除？
7(例)、在□里填上适当的数字，使七位数□2002□□能同时被8、9、25整除。
8、已知一个五位数□392□能被55整除，所有符合条件的五位数有哪些？
9(例)、小明妈妈去批发市场购了72条毛巾，回家后不小心把发票弄脏了，只能看到总计栏里金额为□54.9□元，请你算算这些毛巾共用了多少钱？
10、一位马虎的采购员购买了72只热水瓶，洗衣服时把发票洗烂了，只能依稀看到：72只热水瓶共□63.5□元（□内数字看不清），请你帮他算一算，共用了多少钱？
11(例)、右边这个17位数333……3□999……9(其中3和9各8个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
12、右边这个41位数777……7□444……4(其中7和4各20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
13（例）、商店里有6箱货物，分别重18、19、20、22、25、27千克，两位顾客买去了其中的5箱，已知一个顾客买走的重量是另一个顾客的2倍，问商店里剩下的一箱货物重多少千克？
14、有一水果店进了6袋水果，分别装着苹果和橘子。
重量分别是18、20、30、31、38、46千克，当天下午卖出一袋苹果，在剩下的5袋水果中，橘子是苹果的3倍，问水果店进了多少千克橘子？
练习题(A组)
1、在62的右边补上三位数，组成一个五位数使它能被3、4、5整除，求这样的最小五位数。
2、一个五位数各个数位上的数各不相同，它能被
3、5、7、13整除，这样的五位数最小是几？
3、一个五位数能被11整除，首位是7，其余数位上的数各不相同，这五位数最小是几？
4、有一个六位数□2002□能被88整除，求这个六位数。
5、Ａ8914Ｂ能被24整除，这个六位数是几？
6、同时能被3、4、5整除的最小四位数是多少？
7、右面各数中哪些能被18整除，哪些能被13整除？186102，39052140，1313135005，3847256
能被18整除的有（）；能被13整除的有（）。
8、已知四位数3Ａ80，如果它能被12整除，那么Ａ＝？
B组
1、一次数学竞赛中，有这样一道题，写一个无重复数的五位数，要能被72整除，小明匆忙中写下了□047□，
个位和万位数看不清，你想想看，小明可能写的是几？
2、Ａ是一个自然数能被15整除，且它的各个数位上的数字只有0和7，Ａ最小是几？
3、有这样一个五位数Ｘ6989，它能被33整除，问Ｘ＝？
4、143□是个四位数，老师说：“我在这个□中先后填入三个数字，所得到的3个四位数依次可被9、11、8整除。
”问老师所填入的三个数之和是多少？
5、三个数分别是123、45
6、789，求第四个三位数，使它尽可能大，且与前三个数的平均数是整数。
6、四位数8Ａ1Ｂ能同时被5、11整除，这个四位数是多少？
C组
1、有一个2002位数Ａ能被9整除，其各个数位上的数字的和为a ,a的各个数位上的数字的和为b ,b的各个数位上的数字的和为c,那么c是多少？（想：被9整除数的特征）
2、在□内填上数，使20□02□能被225整除的六位数最大是多少？（想：要被225整除，必须被哪几个数整除？）
3、已知整数5a6a7a8a9a能被11整除，求这样的整数。
（想：被11整除数的特征）
4、下面这个四十一位数555……5□999……9(其中5和9各20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？（想：几个5，几个9组成的数能被7整除，这个数怎么拆？）
竞赛题精选
1、十位数abcdefghij,其中不同的字母表示不同的数字。
a是1的倍数，两位数ab是2的倍数，三位数abc是3的倍数，四位数abcd是4的倍数……十位数abcdefghij是10的倍数，则这个十位数是（）。
（2001小学数学奥林匹克试题决赛Ａ卷）
2、设a，b使得6位数a2000b能被26整除。
所有这样的6位数是（）。
（2000我爱数学少年冬令营试题）
3、设6个口袋分别装有18，19，21，23，25，34个小球。
小王取走了其中的3袋，小李取走了另外的2袋。
若
小王得到的球的个数恰好是小李得到的球数的2倍，则小王得到的球的个数是（）。
（2000我爱数学少年冬令营试题）。