高级通信原理第4章信号的分析(于秀兰)资料

s2
t
f1
t
dt
从s2(t)中减去c12f1(t)wenku.baidu.com即得到s2(t)信号中所包含的与f1(t)正交的部分
f2t s2 t c12 f1t
将f2’(t)归一化,即得到第二个单位长度的正交矢量
f2t
f2 't
f2' t
2 dt
第三步:求第k个正交函数
fk t
fk 't
fk ' t
2 dt
s3
t
s1
t
0
1
2 t 3 otherwis e
f3t
f3 ' t
f3'
t
2 dt
f3 ' t
同理 c14 2, c24 0, c34 1
f4t s4 t 2 f1t f3t s4 t s1t f3t 0
f1t
s1 t
1
s1 t
2
f2t
s2 t
s2 t
K 1
其中 fkt sk t cik fi t i 1
cik
sk
t
f
i
t
dt
正交化过程继续下去，直到所有M个信号波形处理完毕， 则N≤M个标准正交波形构造完成。
信号的矢量空间表示
例
设一组信号为si(t),i=1,2,3,4,现求一组正交函数来表示这组信号。
解:
f1 t
s1 t
1
s1 t
正交矢量空间表示：
任何矢量可以用一组标准正交向量的线性组合来表示。 －－用矢量空间中的一个点来表示某矢量。
格拉姆-施密特正交化
提问 信号是否可以用矢量表示？
设一组标准正交函数为fn(t),n=1,2,..,N，即
fn t fm tdt
0 1
m n m n
N
信号s(t)可以由fn(t)的线性组合来近似 sˆ t sn fn t
性噪声 nt 是均值为 0，功率谱密度为 N0 / 2（W/Hz）。
计算基函数 f t ，相关解调器的输出， pr | sm 。
参见<<数字通信>>(第4版)172页
解：
M=4的双正交信号(eg.4PSK)
例 5－1－2
参见<<数字通信>>(第4版)175页
M=4 的双正交信号是由两个正交信号构成的。
最佳检测器
最大后验概率准则 最大似然准则 最小距离准则
无论是数字基带传输还是数字频带传输，都存在着“最 佳接收”的问题。最佳接收理论是以接收问题作为研究对象， 研究从噪声中如何准确地提取有用信号。对于数字信号而言， “最佳”可描述为使接收信号的差错率最低。
假定发送 M 个信号波形sm t, m 1,2, , M ，每个
这一近似的误差为 et st sˆt n1
如何求得系数sn , 使得误差的能量最小？
结论：
sn
st
f
n
t
dt,
n 1,2,... N
N
st sn fn t k 1
例题： 已知一组标准正交函数如下，试画出信 号空间中一个点所对应的信号波形。
1） 标准正交基 2） 信号的空间表示 3） 数字调制信号的矢量空间表示
（1）确定信号空间的标准基函数集； （2）画出信号星座图；
例5 : 4ASK(或4PAM频带信号)
4.2 AWGN条件下的最佳接收 及误码率分析
1) 信号的矢量表示 2) AWGN下的最佳接收(含“统计判决理论”) 3)误码率分析
复习：信号的矢量表示
一、最佳接收机
信号解调器
相关解调器 MF解调器
信号的正交展开方法 (Gran Schmidt)
设一组信号为si(t),i=1,2,…M,现求一组正交函数来表示这组信号。
第一步:设归一化的s1(t)为第一个正交函数,即第一个单位长度
的正交矢量为
f1 t
s1 t
1
这里
i
si
t
2 dt
第二步:计算s2(t) 在f1(t)上的投影
c12
2
c12
2 0
s2
t
f1 t dt
2
s2
t
s1t
dt
0
0
2
f2t s2 t 0
f2t
s2t s2t
f2' t
2 dt
2
c13
3 0
s3
t
f1
t
dt
2 0
s3 t s1 t dt
2
2
c23
3 0
s3 t
f2
t dt
2
s3 t s2
t
dt
0
0
2
f3t s3t 2 f1t 0 f2 t
k 1
k 1
N
其中 nt nt nk fk t ， nt 表示 nt 与 nt 在基 k 1
函数 fn t 上投影的对应部分之差。
可以证明：nt 不包含与判决有关的任何信息。也就是说，
判决完全可以根据相关器的输出 rk 来进行。
MF解调器
对输入信号的匹配 !
问题：匹配于基函数，输出信号和噪声功率为多少？
f2' t
2 dt
2
f3t s3t 2 f1t 0 f2 t s3t s1t
f4t s4 t 2 f1t f3t s4 t s1t f3t 0
练习
解：
小结
信号的空间表示
信号的正交展开 信号的空间表示
信号的矢量空间表示
例题
有4个消息要在AWGN信道传输，如下图所示。
N0
/2
3) 条件概率密度
N
N
pr | sm prk | smk
k 1
k 1
1
N 0
exp
rk
smk 2
N0
m 1,2, , M k 1,2, , N
证明：
例 5－1－1 研究一个 M 元的基带 PAM 信号集，在该信号集中的
基本脉冲形状 gt 是高度为 a，宽度为 T 的矩形。加
波形的持续时间为 T。在 0 t T 间隔内，接收信号表示为
rt sm t nt 0 t T
1、 相关解调器
接收信号的正交展开
相关解调器
因为正交函数集 fk t 不能构建噪声空间，接收信号
N
N
N
rt smk fk t nk fk t nt rk fk t nt
k 1
可以证明：
1)
噪声 nk 是均值为
0，方差
2 n
N0
/ 2 的不相关（即相互独立）
的高斯随机变量。（设信道噪声 nt 的功率谱密度为 N0 / 2 （W/Hz））
2) 在发送信号 sm t 的条件下，相关器输出 rk 也是不相关（即相互
独立）的高斯随机变量。
Erk
Esmk
nk
smk
；
2 r
2 n
第4章 信号的分析
主要内容 信号的空间分析
信号的矢量表示方法 统计判决理论 AWGN条件下的最佳接收及误码率分析
带通信号和系统的等效低通分析 希尔波特变换 解析信号 频带信号与带通系统
4.1 信号的空间分析
重点：常见调制信号的空间表示
复习
格拉姆-施密特正交化：
如何将一组n维向量构成一组标准正交向量？