人教A版高中数学必修4：第二章章末检测--含解析

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高中数学人教A版必修二章末综合测评4 Word版含答案

圆与方程一、选择题1．(2016·葫芦岛高一检测)过点(21)的直线中被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】依题意知所求直线通过圆心(1－2)由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1即3x －y －5＝0故选A 【答案】 A2．已知点M (ab )在圆O ：x 2＋y 2＝1外则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】由题意知点在圆外则a 2＋b 2＞1圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2＜1故直线与圆相交．【答案】 B3．若P (2－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0【解析】圆心C (10)k PC ＝0－(－1)1－2＝－1则k AB ＝1AB 的方程为y ＋1＝x －2 即x －y －3＝0故选D 【答案】 D4．圆心在x 轴上半径为1且过点(21)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆心坐标为(a0)则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1解得a＝2故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1【答案】 A8．(2016·泰安高一检测)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()【09960151】A．36 B．18C．6 2 D．5 2【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(22)半径为32圆心到直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6 2【答案】 C9．过点P(－24)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l直线m：ax－3y＝0与直线l平行则直线l与m的距离为()A．4 B．2C 85D125【解析】P为圆上一点则有k OP·k l＝－1而k OP＝4－1－2－2＝－34∴k l＝43∴a＝4∴m：4x－3y＝0l：4x－3y＋20＝0∴l与m的距离为|20|42＋(－3)2＝4【答案】 A10．一个几何体的三视图如图1所示正视图和侧视图都是等边三角形该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(000)(200)(220)(020)则第五个顶点的坐标可能是()图1A ．(111)B ．(112)C ．(113)D ．(223)【解析】由三视图知该几何体为正四棱锥正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心高为3则第五个顶点的坐标为(113)．故选C【答案】 C11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】设点(－22)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (mn )则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3n ＝－3所以圆C 2的圆心坐标为(3－3)所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2故选D【答案】 D12．(2016·台州高二检测)已知圆O ：x 2＋y 2－4＝0圆C ：x 2＋y 2＋2x －15＝0若圆O 的切线l 交圆C 于AB 两点则△OAB 面积的取值范围是( )图2 A．[27215] B．[278] C．[23215] D．[238]【解析】S△OAB ＝12|AB|·2＝|AB|设C到AB的距离为d则|AB|＝242－d2又d∈[13]7≤42－d2≤15所以S△OAB＝|AB|∈[27215]．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上) 13．已知A(123)B(56－7)则线段AB中点D的坐标为________．【解析】设D(xyz)由中点坐标公式可得x＝1＋52＝3y＝2＋62＝4z＝3－72＝－2所以D(34－2)．【答案】(34－2)14．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．【解析】原点O到直线的距离d＝1532＋42＝3设圆的半径为r∴r2＝32＋42＝25∴圆的方程是x2＋y2＝25【答案】x2＋y2＝2515．(2015·重庆高考)若点P(12)在以坐标原点为圆心的圆上则该圆在点P处的切线方程为________．【解析】∵以原点O为圆心的圆过点P(12)∴圆的方程为x2＋y2＝5∵k OP＝2∴切线的斜率k＝－1 2由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1) 即x ＋2y －5＝0 【答案】 x ＋2y －5＝016．若xy ∈R 且x ＝1－y 2则y ＋2x ＋1的取值范围是________．【解析】x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)此方程表示半圆如图设P (xy )是半圆上的点则y ＋2x ＋1表示过点P (xy )Q (－1－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k 则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1解得k ＝34又k BQ＝3∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A (－14)B (32)且圆心在y 轴上的圆的方程．【解】法一：∵圆心在y 轴上设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2 ∵该圆经过A 、B 两点∴⎩⎨⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 2，32＋(2－b )2＝r 2，∴⎩⎨⎧b ＝1，r 2＝10. 所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10 法二：线段AB 的中点为(13) k AB ＝2－43－(－1)＝－12∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1) 即y ＝2x ＋1由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(01)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为 (0＋1)2＋(1－4)2＝10∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1018．(本小题满分12分)如图3所示BC ＝4原点O 是BC 的中点点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0点D 在平面yOz 上且∠BDC ＝90°∠DCB ＝30°求AD 的长度．图3【解】由题意得B (0－20)C (020)设D (0yz )在Rt △BDC 中∠DCB ＝30° ∴|BD |＝2|CD |＝23∴z ＝32－y ＝3 ∴y ＝－1∴D (0－13)．又∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0∴|AD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋12＋()－32＝ 619．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)证明：不论m 为何值时直线和圆恒相交于两点； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程．【解】 (1)证明：由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0 得(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0 解⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，∴直线l 恒过定点A (31)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25 ∴(31)在圆C 的内部故直线l 与圆C 恒有两个公共点．(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时有l⊥AC由k AC＝－12得l的方程为y－1＝2(x－3)即2x－y－5＝020．(本小题满分12分)点A(02)是圆x2＋y2＝16内的定点BC是这个圆上的两个动点若BA⊥CA求BC中点M的轨迹方程并说明它的轨迹是什么曲线．【解】设点M(xy)因为M是弦BC的中点故OM⊥BC又∵∠BAC＝90°∴|MA|＝12|BC|＝|MB|∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]化简为x2＋y2－2y－6＝0即x2＋(y－1)2＝7∴所求轨迹为以(01)为圆心以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图4所示平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点定点AC的坐标分别是A(－23)C(21)．图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(－2－2)求直线BC截圆E所得的弦长．【解】(1)AC的中点E(02)即为圆心半径r＝12|AC|＝1242＋(－2)2＝ 5所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5(2)直线BC的斜率k＝1－(－2)2－(－2)＝34其方程为y－1＝34(x－2)即3x－4y－2＝0点E到直线BC的距离为d＝|－8－2|5＝2所以BC截圆E所得的弦长为25－22＝222(本小题满分12分)如图5已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0点A(06)．(1)求圆心在直线y＝x上经过点A且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于PQ两点且圆弧PQ恰为圆C周长的14求直线m的方程．【09960152】图5【解】(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50所以圆C的圆心坐标为C(－5－5)又圆N的圆心在直线y＝x上所以当两圆外切时切点为O设圆N的圆心坐标为(aa) 则有(a－0)2＋(a－6)2＝(a－0)2＋(a－0)2解得a＝3所以圆N的圆心坐标为(33)半径r＝3 2故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的14所以CP⊥CQ所以点C到直线m的距离为5当直线m的斜率不存在时点C到y轴的距离为5直线m即为y轴所以此时直线m的方程为x＝0当直线m的斜率存在时设直线m的方程为y＝kx＋6即kx－y＋6＝0所以|－5k＋5＋6|1＋k2＝5解得k＝4855所以此时直线m的方程为4855x－y＋6＝0即48x－55y＋330＝0故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0。

高中数学人教A版必修四章末综合测评2 含解析答案

章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC→＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4)D ．(1，4)【解析】法一：设C (x ，y )，则AC→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A ．法二：AB→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A ．【答案】 A2．(2015·福建高考)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【解析】 c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.【答案】 A3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2【解析】由已知条件得BD→·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D ．【答案】 D4．(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．【答案】 B5．(2015·重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【解析】 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0，∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝23π.【答案】 C6．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC→＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→【解析】在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC→，故选D ．【答案】 D7．(2016·锦州高一检测)已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【解析】因为a ＝(2，1)，则有|a|＝5，又a·b ＝10，又由|a ＋b|＝50， ∴|a|2＋2a·b ＋|b|2＝50，即5＋2×10＋|b|2＝50，所以|b|＝5. 【答案】 C8.已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC→等于( )图1【导学号：00680065】A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b【解析】 BC →＝2BD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD → ＝23a ＋43b . 【答案】 B9．(2016·景德镇期末)设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【解析】设向量a 、b 夹角为θ， |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，则cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B ．【答案】 B10．(2016·西城高一检测)在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE→·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．33【解析】设AE→与AB →的夹角为θ，则AE →与AD →的夹角为π2－θ，又AD →∥BC →，故有AE →与BC →夹角为π2－θ，如图：∵AE →·AB →＝|AE →|·|AB →|·cos θ＝3|AE →|·cos θ＝1， ∴|AE→|·cos θ＝33，∴AE →·BC →＝|AE →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AE →|sin θ＝1，∴AE →·AC →＝AE →·(AB →＋BC →)＝AE →·AB →＋AE →·BC →＝1＋1＝2. 【答案】 B11．(2016·济南高一检测)已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3，0)B ．(3，0)C ．(2，0)D ．(4，0)【解析】设P (x ，0)，则有 AP →·BP →＝(x －2，0－2)·(x －4，0－1) ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10 ＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，(AP →·BP →)min ＝1，此时P 点坐标为(3，0)．【答案】 B12．(2014·天津高考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC ．若AE→·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A ．12B ．23C ．56D ．712【解析】如图：∠BAD ＝120°，|AB→|＝|AD →|＝2.AF→·AE →＝(AD →＋DF →)(AB →＋BE →)＝(AD→＋μDC →)(AB →＋λBC →) ＝(AD →＋μAB →)(AB →＋λAD →) ＝λAD→2＋μAB →2＋(λμ＋1)AD →·AB → ＝4(λ＋μ)＋(λμ＋1)×4×cos 120° ＝4(λ＋μ)－2(λμ＋1)＝1，即2λμ－4(λ＋μ)＋3＝0，①由CE →·CF →＝(CB →＋BE →)(CD →＋DF →)＝(λ－1)·(μ－1)·BC →·DC → ＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23，所以有λμ＝λ＋μ－23，代入①得2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ－23－4(λ＋μ)＋3＝0，解得λ＋μ＝56.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．(2014·湖北高考)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.【解析】因为OA →＝(1，－3)，又|OA→|＝10＝|OB →|，又OA→·OB →＝0，所以∠AOB ＝90°，所以△AOB 为等腰直角三角形，且|AB →|＝2|OA →|＝2 5.【答案】 2 514．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【解析】 ∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n ) ＝(9，－8)，∴⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 【答案】－315．(2015·湖北高考)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________．【解析】因为OA→⊥AB →，所以OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA 2→＝0，所以OA→·OB →＝OA 2→＝|OA →|2＝9，即OA →·OB →＝9.【答案】 916．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB→＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．【解析】 ∵AM→＝2MC →，∴AM →＝23AC →.∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN→＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC → ＝12AB →－16AC →. 又MN→＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)(2016·无锡高一检测)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC→用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8，3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， ∴(8，3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3，0) ＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝143， ∴OC→＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB→与AC →不共线，又AB→＝OB →－OA →＝(3，0)－(2，－1)＝(1，1)， AC→＝OC →－OA →＝(m ，3)－(2，－1)＝(m －2，4)，则有1×4－(m －2)×1≠0， ∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB→＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB→⊥AD →，又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j＝AB→＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB→⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形．所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．【解】以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)，所以AC→＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC→∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5. 21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|k a ＋b|＝3|a －k b |(k >0，k ∈R )．(1)求a·b 关于k 的解析式f (k )； (2)若a ∥b ，求实数k 的值； (3)求向量a 与b 夹角的最大值．【解】 (1)由已知|k a ＋b|＝3|a －k b |，有|k a ＋b|2＝(3|a －k b |)2，k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3a 2－6k a·b ＋3k 2b 2. 由|a|＝|b|＝1，得8k a·b ＝2k 2＋2，所以a·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k(k >0)．(2)因为a ∥b ，k >0，所以a·b ＝k 2＋14k >0，则a 与b 同向．因为|a|＝|b|＝1，所以a·b ＝1，即k 2＋14k ＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0，所以k ＝2±3，所以当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a||b|＝a·b＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2. 当k ＝1k，即k ＝1时，cos θ取最小值12，又0≤θ≤π，π3，即向量a与b夹角的最大值为π3.所以θ＝。

2019版高中数学人教A版必修4：第二章检测B 含解析

1.A .(--4)D .(10,20):∵a =(1,2),b =(3,-1),c =(-2,4),·c )a =-10a =(-10,-20).:B2.已知A (-3,0),B (0,2),O 为坐标原点,点C 在∠AOB 内,|OC|=2,且∠AOC=,设=λ(λ∈2π4OC OA +OB 则λ的值为( )B. C. D.131223:过C 作CE ⊥x 轴于点E.3.A .(3,1)=-2,得(2,2)=-2(x-2,y ),x=1,y=-1,得P (1,-1).AB AP :C4.在△ABC 中,点M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上,且满足AP=2PM ,则·()等于( PA PB +PC B.- C. D.4434349:由题意可知点P 是△ABC 的重心,=0,PA +PB +PC ·()=-=-=-.PA PB +PC PA 2(23MA )249:A5.代入可得,故选A .AP =mn -m mn -1AB +mn -nmn -1AC :A6.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且=2,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若BC CD AO +(1-x ),则x 的取值范围是( )AB AC B .12)(0,13)D .12,0)(-13,0):由=x +(1-x ),得=x (),∴=x =-2x .AO AB AC AO ‒AC AB ‒AC CO CB CD O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),7.AE ·AF·AD +AB ·DF +BE ·AD +BE ·DF2×cos 120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos 120°+4(λ+μ)-2λμ=1,4(λ+μ)-2λμ=3.=-,得(2-2λ)·(2-2μ)·=-,所以λμ=λ+μ-,CE ·CF 23(-12)2323因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+=3,43λ+μ=,故选C .56:C8.A .等边三角形9.上,则B .C .D .11223:设=a ,=t b ,(a +b )=.∵A ,B ,C三点共线,∴=1,t=.OA OB OC =1313OA+13t OB13+13t12:B10.已知点A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在l 上,且实数x 满足x 2+x =0,则由实数OA OB +AC x 组成的集合为( )B.{-1}D.{-1,0}1-52,-1+52}:由于,又,则存在实数λ,使=λ,则=λ()=λ-λ,所以有λAB =OB ‒OA AB ∥AC AC AB AC OB ‒OA OB OA OA {211.120°②,根据平行四边形法则知,合力的大小为12.大值是 .:设动点D (x ,y ),则由||=1,得(x-3)2+y 2=1,D 点轨迹为以(3,0)为圆心,半径为1的圆.CD =(x-1,y+),OA +OB +OD 3||=,OA +OB +OD (x -1)2+(y +3)2|的最大值为点(3,0)与(1,-)之间的距离与1的和,即+1=1+OA +OB +OD 3(3-1)2+(0+3)2:1+713.如图,直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ,AD 分别交于E ,F 两点,且与对角线AC 交于点中,=λ,则λ的值为 .AE =25AB ,AF =12AD ,AK AC14.μ与:设圆的半径为r,则OA=OB=OD=r.OD OA OB=μ+λ,OD2OA OB=(μ+λ)2,=μ2r2+2λμr2·cos 60°+λ2r2,整理得μ2+λ2+λμ=1.:μ2+λ2+λμ=115.如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的若OP9-24cos 60°+1616.的坐标BC =(6,1)+(x ,y )=(6+x ,y+1),=(x-2,y-3).又因为,AC ⊥BD (6+x )(x-2)+(y+1)(y-3)=0,整理得x 2+4x+y 2-2y-15=0,②①②得{x =2,y =-1或{x =-6,y =3.的坐标为(2,-1)或(-6,3).BC 17.(8分)已知向量a =(cos(-θ),sin(-θ)),b =.(cos (π2-θ),sin (π2-θ))(1)求证:a ⊥b ;若存在不等于0的实数k 和t ,使x =a +(t 2+3)b ,y =-k a +t b 满足x ⊥y ,试求此时的最小值.k +t 2t18.(9分)如图,在△OAB 中,,AD 与BC 交于点M ,设=a ,=b .OC =14OA ,OD =12OBOA OB 用a ,b 表示;OM 在线段AC 上取一点E ,在线段BD 上取一点F ,使EF 过点M ,设=p =q ,求证:=1.OE OA ,OF OB 17p+37q解设=m a +n b ,则=(m-1)a +n b ,=-a +b .OM AM AD 12A ,M ,D 共线,q+p=pq ,即=1.3717p+37q19.(10分)已知O 为坐标原点,直线y=x+a 与圆x 2+y 2=4分别交于A ,B 两点.若=-2,求实数OA ·OB 值.由消去y ,得2x 2+2ax+a 2-4=0.{x 2+y 2=4,y =x +a ,(x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程2x 2+2ax+a 2-4=0的解.由根与系数的关系,得x 1+x 2=-a ,x 1x 2=.所以a 2-42=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+a )(x 2+a )=2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=a 2-4-a 2+a 2=-2,OB a 2=2,即a=±.220.(10分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足.OC =13OA +23OB(1)求证解由(1)得),33,AC =23CB =2,∴=2.AC CB |AC ||CB |解=(1+cos x ,cos x )-(1,cos x )=(cos x ,0).AB ∈,[0,π2]cos x ∈[0,1].|=|cos x|=cos x.AB =2,AC CB7综上所述,实数m的值为.4。

高中人教A版数学必修4：第二章章末检测 Word版含解析

第二章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各式叙述不正确的是( ) A ．若a ＝λ b ，则a 、b 共线B ．若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a －2b ，则m ∥nD ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c 答案：C解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．2．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b | 答案：B 解析：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案：A解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案：A解析：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →.所以12(OB →＋OC →)＝AO →，又D 为BC 边中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)．所以AO →＝OD →.5．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.6．若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →，则该四边形一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．直角梯形答案：B解析：由AB →＋CD →＝0⇒AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →＋DA →)⊥AC →⇒AC →⊥DB →，所以四边形ABCD 是菱形．7．给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( ) A.1327 B.132 C.133 D.727 答案：D解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727.8．如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．300 3N,300 3NB ．150N,150NC ．300 3N,300ND ．300N,300N 答案：C解析：如图：作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →|cos30°＝300 3N.|OB |→＝|OC →|sin30°＝300N.9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.10．若向量AB →＝(1，－2)，n ＝(1,3)，且n ·AC →＝6，则n ·BC →等于( ) A ．－8 B ．9 C ．－10 D ．11 答案：D解析：n ·AB →＝1－6＝－5，n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝6，∴n ·BC →＝11.11．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →等于( )A ．－12B ．－23C ．－13D ．－16答案：A解析：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，依题意设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝13BA →，∴⎝⎛⎭⎫x 1－12，0＝13(－1,0)，∴x 1＝16. ∵E 是CA 的中点，∴CE →＝12CA →，又CA →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴x 2＝－14，y 2＝34.∴CD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32·⎝⎛⎭⎫－34，34＝16×⎝⎛⎭⎫－34＋⎝⎛⎭⎫－32×34＝－12.故选A. 12．已知|a |＝2 2，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )A.152B.152 C ．7 D ．8 答案：A解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b )＝12(6a －b )∴|AD →|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254.∴|AD →|＝152.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：3解析：a ·b ＝2×3×32＝3.14．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．答案：[0,1] 解析：∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]，所以|b |∈[0,1]．15．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝________.答案：31010解析：设b ＝(x ，y )，则2b －a ＝(2x －3,2y －3)＝ (－1,1)，∴x ＝1，y ＝2，则b ＝(1,2)，cos α＝a ·b |a |·|b |＝93 2×5＝310＝31010.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)答案：②解析：①a 与b 的夹角为θ1，a 与c 的夹角为θ2. a ·b ＝a ·c ，有|a ||b |cos θ1＝|a ||c |cos θ2，得不到b ＝c ，错误． ②a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，∵a ∥b ，∴b ＝λa ，得k ＝－3.正确． ③设|a |＝|b |＝|a －b |＝m (m >0)，且a 与a ＋b 的夹角为θ. 则有(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝m 2， ∴2a ·b ＝m 2.a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝m 2＋m 22＝3m 22， (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝m 2＋m 2＋m 2＝3m 2，∴cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝32m 2m ·3m ＝32.∴θ＝30°.∴③错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )·(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2 ＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝2×42＋3×4×8×⎝⎛⎭⎫－32－2×82＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2＝16×42－16×4×8×(－32)＋4×82 ＝8(2＋6)18．(12分)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R ， (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t 的值．解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)， ∴a ＋t b ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋t b |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755，当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋t b |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －t b ＝(－3－2t,2－t )，又a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1)，∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.19．(12分)已知a ＝(1,1)、b ＝(0，－2)，当k 为何值时， (1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解：∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)∵k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2) a ＋b ＝(1，－1)(1)要使k a －b 与a ＋b 共线，则－k －(k ＋2)＝0，即k ＝－1. (2)要使k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝2，∴cos120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b |·|a ＋b |＝k －k －22·k 2＋(k ＋2)2＝－12. 即k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.20．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：如图所示，设OD →＝OP 1→＋OP 2→，由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 3→＝－OD →，|OD →|＝1，∴|OD →|＝1＝|P 1D →|，∴∠OP 1P 2＝30°，同理可得∠OP 1P 3＝30°，∴∠P 3P 1P 2＝60°. 同理可得∠P 2P 3P 1＝60°， ∴△P 1P 2P 3为正三角形．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42，故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，所以t ＝－115.22．(12分)设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f 满足：对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．(1)若|a |＝|b |，且a 、b 不共线，试证明：[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )；(2)若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，求f (AC →)·AB →.解：(1)证明：∵f (a )－f (b )＝λa －λb ＝λ(a －b )， ∴[f (a )－f (b )]·(a ＋b )＝λ(a －b )(a ＋b )＝λ(a 2－b 2)＝λ(|a |2－|b |2)＝0， ∴[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )．(2)由已知得AB →＝(2,4)，BC →＝(1,2)，AC →＝(3,6)．∵f (BC →)＝AB →，∴λBC →＝AB →. 即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.∴f (AC →)·AB →＝(2AC →)·AB →＝(6,12)·(2,4)＝60.。

2019版高中数学人教A版必修4：第二章检测A 含解析

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)解析:=(3,2)-(0,1)=(3,1),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.答案:A2.已知A(1,2),B(3,-1),C(3,4),则等于()A.11B.5C.-1D.-2解析:=(2,-3),=(2,2),则=2×2-3×2=-2.答案:D3.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于()A.-B.C.-或D.0解析:由a∥b知1×2-m2=0,即m=或-.答案:C4.已知向量a,b的夹角为,且a=(-1,1),|b|=2,则|2a+b|=()A.1B.C.2D.4解析:因为a=(-1,1),所以|a|=.又因为a,b的夹角为,|b|=2,所以|2a+b|2=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos =8+4-4×2×=4,所以|2a+b|=2,故选C.答案:C5.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A中e1=0e2,B中e1,e2为两个不共线向量,C中e2=2e1,D中e2=-e1.故选B.答案:B6.已知边长为3的菱形ABCD,∠DAB==2,则=()A.-B.-C.-D.解析:=()·()=()·=×22-32-×2×3cos=-,故选C.答案:C7.下列说法正确的个数为()①;②已知向量a=(6,2)与b=(-3,k)的夹角是钝角,则k的取值范围是k<9;③向量e1=(2,-3),e2=-能作为平面内所有向量的一组基底;④若a∥b,则a在b上的投影为|a|.A.1B.2C.3D.4解析:①正确;②由a·b<0,得k<9,由a∥b,得k=-1,此时,a=-2b,∴k<9,且k≠-1,故②错;③∵e1=4e2,∴e1与e2共线,不能作为基底;④由a∥b,若a与b同向,则a在b方向上的投影为|a|,若a与b方向相反,则a在b方向上的投影为-|a|.答案:A8.在△ABC中,已知D为边AB上的一点,若=2+λ,则λ=()A.B.C.-D.-解析:∵)=,∴λ=.答案:A9.已知向量a与向量b的夹角为120°,若向量c=a+b,且a⊥c,则的值为()A.B.C.2 D.解析:∵c=a+b,a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|cos 120°=|a|2-|a||b|=0,∴|a|2=|a||b|,∴.答案:A10.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线,则必有()A.a∥bB.a⊥bC.|a|=|b|D.a=b解析:f(x)=(x a+b)·(a-x b)=x a2-x2a·b+a·b-x b2=-x2a·b+(a2-b2)x+a·b,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以a·b=0.又a,b是非零向量,所以a⊥b.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.解析:|b|=,由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=.答案:12.已知向量a=(1,3),b=(-2,m),若a与a+2b垂直,则m的值为.解析:a+2b=(1,3)+(-4,2m)=(-3,3+2m),∵a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=0,∴-3+3(3+2m)=0,解得m=-1.答案:-113.已知a=(1,2),b=(-2,log2m),若|a·b|=|a||b|,则正数m的值等于.解析:∵|a·b|=|a||b|,∴a∥b,∴log2m=-4,∴m=2-4=.答案:14.设O,A,B,C为平面内四点,=a,=b,=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1,则|a|2+|b|2+|c|2=.解析:(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=|a|2+|b|2+|c|2-6=0,则|a|2+|b|2+|c|2=6.答案:615.如图,在▱ABCD中,P在对角线AC上,且AP=AC,用基底表示,则=.解析:∵=2,∴=-.答案:-三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)在平面直角坐标系xOy中,点A(16,12),B(-5,15).(1)求||,||;(2)求∠OAB.解:(1)∵=(16,12),=(-21,3),∴||==20,||=-=15.(2)=(-16,-12)·(-21,3)=300,则cos∠OAB=,又∠OAB∈[0,π],故∠OAB=.17.(8分)在平面直角坐标系xOy中,点O是坐标原点,已知▱ABCD的三个顶点A(2,3),B(-1,-2),C(-2,-1).(1)求对角线AC及BD的长;(2)若实数t满足(+t)·=0,求t的值.解:(1)设顶点D的坐标为(x,y).在▱ABCD中,由,得(3,5)=(x+2,y+1),所以x=1,y=4,所以顶点D的坐标为(1,4),所以||=4,||=2.(2)因为=(-3,-5),=(-2,-1),(+t)·=0,所以+t=6+5+5t=0,所以t=-.18.(9分)设向量a=(cos α,sin α)(0≤α<2π),b=-,a与b不共线.(1)证明向量a+b与a-b垂直;(2)当两个向量a+b与a-b的模相等时,求角α.(1)证明a+b=-,a-b=-,(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,∴(a+b)⊥(a-b).(2)解由题意知(a+b)2=(a-b)2,得a·b=0,∴-cos α+sin α=0,得tan α=.又0≤α<2π,得α=或α=.19.(10分)已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角θ的余弦值.解:以直角边所在直线为x轴、y轴建立如图平面直角坐标系,则A(4,0),B(0,6),设AF,BE分别为OB,OA边上的中线,则E(2,0),F(0,3).因为=(-4,3),=(2,-6),所以cos θ==-.所以两中线所成钝角的余弦值为-.20.(10分)(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角θ.(2)设=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4a2-4a·b-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,∴a·b=-6.∴cos θ==-,∴θ=120°.(2)设存在点M,且=λ=(6λ,3λ)(0<λ≤1),∴=(2-6λ,5-3λ),=(3-6λ,1-3λ).∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,∴45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=,∴=(2,1)或.∴存在M(2,1)或M满足题意.。

高中数学必修4第二章章末检测

高中数学必修4第二章章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB →B.AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D.AB →＋BC →＋CD →＝AD →2．设a 0，b 0分别是与a ，b 共线的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0·b 0＝1 C ．|a 0|＋|b 0|＝2D ．|a 0＋b 0|＝23．若三点A (2,3)，B (3，a )，C (4，b )共线，则有( ) A ．a ＝3，b ＝－5 B ．a －b ＋1＝0 C ．2a －b ＝3D ．a －2b ＝04．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．已知∠C 为△ABC 的一个内角，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)．若m ⊥n ，则∠C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的可能值的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－31529．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)＝( )A ．－49B ．－43 C.43 D.4911．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，而|c |＝13，c ·a ＝3，c ·b ＝4，则对于任意的实数λ，μ，|c －λa －μb |的最小值是( )A ．5B ．7C ．12D ．13二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________．14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 15．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 16．在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点．如果AB 的长为2，则(AB →＋AC →)·AD →＝________. 三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求|a ＋3b |的值；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b . (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向；(2)若|a |＝|b |，a 与b 的夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d?21．(本小题满分12分)在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →. (1)用向量AB →，AC →作为基底表示向量BE →； (2)求AD →·BE →的值．22．(本小题满分12分)已知向量OP 1→，OP 2→，OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1.求证：△P 1P 2P 3是等边三角形．高中数学必修4第二章章末检测答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB →B.AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0 D.AB →＋BC →＋CD →＝AD →答案：D2．设a 0，b 0分别是与a ，b 共线的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0·b 0＝1 C ．|a 0|＋|b 0|＝2 D ．|a 0＋b 0|＝2答案：C3．若三点A (2,3)，B (3，a )，C (4，b )共线，则有( ) A ．a ＝3，b ＝－5 B ．a －b ＋1＝0 C ．2a －b ＝3 D ．a －2b ＝0答案：C4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C5．已知∠C 为△ABC 的一个内角，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)．若m ⊥n ，则∠C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案：C解析：∵m ⊥n ，∴2cos 2C －3cos C －2＝0， ∴(2cos C ＋1)(cos C －2)＝0， ∴cos C ＝－12.又C 为△ABC 的一个内角， ∴C ＝2π3.6．在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的可能值的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B解析：若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝6＋k ＝0，k ＝－6；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝0， 2＋k －1＝0，k ＝－1；若∠C ＝90°，则AC →·CB →＝AC →·(AB →－AC →)＝0， k 2－k ＋3＝0无解．综上，k 可能取－6，－1两个数．7．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案：B解析：∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等腰三角形．8．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－3152答案：A9．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞ 答案：C解析：x 应满足(x,2)·(－3,5)<0且a ，b 不共线，解得x >103且x ≠－65，∴x >103.10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)＝( ) A ．－49 B ．－43 C.43 D.49答案：A解析：由题意可知，P 是△ABC 的重心， ∴P A →＋PB →＋PC →＝0，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－P A →2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23MA →2＝－49.11．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →答案：A解析：由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →.12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，而|c |＝13，c ·a ＝3，c ·b ＝4，则对于任意的实数λ，μ，|c －λa －μb |的最小值是( )A ．5B ．7C ．12D ．13 答案：C解析：由条件可得，|c －λa －μb |2＝c 2－6λ－8μ＋λ2＋μ2 ＝144＋(λ－3)2＋(μ－4)2≥144，当且仅当λ＝3，μ＝4时，|c －λa －μb |2＝144，|c －λa ＋μb |＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________．答案：⎝⎛⎭⎫35，－45 解析：AB →＝(3，－4)，∴|AB →|＝5，∴与向量AB →同方向的单位向量是15AB →＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，b ·c ＝0， ∴c ·b ＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝0， ∴t cos 60°＋1－t ＝0.∴t ＝2.15．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案：2解析：∵ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ， ∴AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点， ∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →. 又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2.16．在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点．如果AB 的长为2，则(AB →＋AC →)·AD →＝________. 答案：4解析：|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＝8， |AD →|＝12|BC →|，AB →＋AC →＝2AD →，(AB →＋AC →)·AD →＝2AD →·AD →＝12|BC →|2＝4.三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求|a ＋3b |的值；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1)∵a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)， ∴|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)．当(k a －b )∥(a ＋3b )时，7×(－1)＝(k －2)×3，解得k ＝－13，∴当k ＝－13时，k a －b 与a ＋3b 反向．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25， ∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20. 由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0， ∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．(1)证明：a·b ＝(3，－1)·⎝⎛⎭⎫12，32＝32－32＝0，∴a ⊥b . (2)解：假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·[－k a ＋t b ]＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0. 又a·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1. ∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0且t ≠±3)，故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0且t ≠±3)．20．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b . (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向；(2)若|a |＝|b |，a 与b 的夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d? 解：(1)∵c ∥d ，可设c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向． (2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b ) ＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos 60°，又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0.即(k －1)＋1－k2＝0，解得k ＝1.21．(本小题满分12分)在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →. (1)用向量AB →，AC →作为基底表示向量BE →； (2)求AD →·BE →的值．解：(1)由CA →＝3CE →，得AE →＝23AC →，∴BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋23AC →.(2)AD →·BE →＝AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AC →＝AD →·(－AB →)＋23AD →·AC →＝|AD →||AB →|cos 150°＋23|AD →|·|AC →|cos 30°＝32×1×⎝⎛⎭⎫－32＋23×32×1×32＝－14. 22．(本小题满分12分)已知向量OP 1→，OP 2→，OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1.求证：△P 1P 2P 3是等边三角形．证明：∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→， ∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2， ∴OP 1→·OP 2→＝－12，cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→||OP 2→|＝－12，∴∠P 1OP 2＝120°. ∴|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝(OP 2→－OP 1→)2＝OP →21＋OP →22－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 故△P 1P 2P 3是等边三角形．。

2016高中数学人教A版必修四第二章章末综合检测练习题含答案

梯度训练检验成果［学生用书单独成册］）（时间:100分钟，分数:120分）一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分、在每个小题给出的四个选项中, 只有一项就是符合题目要求的）1、下列说法正确的就是（）A、共线向虽:的方向相同B、零向捲就是0C、长度相等的向量叫做相等向量D、共线向量就是在一条直线上的向呈解析:选B、对A,共线向量的方向相同或相反，错误;对B,零向量就是0,正确：对C, 方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误;对D,共线向量所在直线可能平行，也可能重合,错误、故选B、2、已知A、D三点共线,存在点C,满足错误！=错误!错误! +人错误！，则2=（）A、错谋！ B.错谋！D、一错误!C、解析:选C、因为A』，D三点共线，所以存在实数人使丽=『错误！，则错误！一错误!=f（错误!_错误必即错误!=错误!+/（错误!一错误!） = （1 一0错误!+f错误!，所以错误! 即2=-,3、已知向量a=（l,2）0=（l,O）, c=（3,4）、若2 为实数,（a+财）〃c,则2=（）A、|B、错误！C. 1D. 2解析：选B. a+ Ab=（\+X9 2）,由（a+肋）〃c 得（1+x） X4—3X2=0,所以2=*、4、已知点0,N在ZUBC所在平而内，且I错误!1= I错误！I = I错误!错误!+错误！ +2VC=0,则点6 N依次就是ZkABC的（）A、重心，外心B、重心，内心C、外心，重心D、外心9内心解析：选C、由I错误！I =1错误！I =丨错误！I知，0为zMBC的外心;由错误! +错误! +错误!=0,得错误!=错误！+错误！，取BC边的中点D,则错误！=错误!+错误!=2错误！，知A、N、D三点共线，且AN = 2ND,故点N就是△ ABC的重心.5、已知向虽：a= （cos&.sin。

），其中&丘错误!，〃 = （0, — 1）,则a与〃的夹角等于（）A、&-错误！ B.错误!+0C、错误!一&D、6解析:选C、设a 与0 的央角为a9a b=cos &・0+sin 0-（―1） = —sin 09 I «l=l, I b I =1,所以cos a=错误! = —sin ^=cos （错误!_8）,因为0G错误！，a G［0, 7t］,y=cosx在［0,兀］上就是递减的，所以a=错误！一& 故选C、6、已知等边三角形ABC的边长为1•错误!=7错误!=伏错误!=c，则a b-b c-c a等于（）A、一错误！ B.错误！C、一错误！D、错误！解析：选D、由平面向童的数量积的定义知，ab~bc—ca=\a\ /blcos（7i—C）—{b / /elcos （n—A）— /c\\a /cos （兀一B）=cos （兀一C）—cos （兀一A）—COS（TT-B） = —cos C+cos A+cos B=cos 60°=错误！.故选D、7、已知平而向量"I=错误!，且\2a+b\=错课!，则向量a与向量+ 的夹角为（）A 、错误!C 、错误! 解析:选 B 、因为 I 2a+b I 2=4lfl I 2+4n ・b + 0|2=7, I a所以4+4fl ・〃+3=7. ab=09所以a 丄〃、如图所示，a 的夬角为ZCOA 9因为tanZCOA=错误！=错误!，所以ZCOA=j,即a 与a+b 的夹角为错误!、8、在厶ABC 中,ZBA （7=6（rdB=2, AC=1, E 、F 为边BC 的三等分点，则错误!•错误! =（）A 、错误！ B.错误！C 、错误！D 、错误！解析：选A.依题意，不妨设错误!=错误!错误!，错误!=2错误!，则有错误!一错误!= £（错误!一错误!），即错误!=错误!错误!+错误!错误!：错误!一错误!=2 （错误!一错误!），即错误!=错误!错误!+错误!错误!、所以错误！ •错误!=（错误!错误!+错误!错误!）•（错误!错误!+错误!错误!）=错误! （2错误！ +错误!）•（错误! + 2错误!）=错误！（2错误P+2错误!?+5错误!•错误!）=错误！（2X22+2XP+5X2X 1 Xcos60°）=错误!，故选 A 、9、已知非零向量a, b,c 满足a+D+c=0,向量a, 〃的夹角为60。

2016高中数学人教A版必修四第二章章末优化总结练习题含答案

）_ ■（向虽的表祠-（相等与共线〕 r ■（向圮加法运算及其儿何意义〕-｛向就的线性运算〕 ----- （向量减法运算及其几何克义〕L ■（向址逐甌RjQt 何意义〕（平面向虽基本定理］|_（】E 交分解］- LL ｛「坐标妬）一IWQ __________________平面向量的槪念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念、突显向量“形〃的特征就是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提、例① 关于平而向量eb. C 有下列三个命题：① 若〃丄c,贝ij （a+c ）・b=a ・b;② 若a= （IQ, b= （—2, 6）, a//b 9 贝iJk= — 3：③ 非零向量a 与〃满足0|= /b / =la —b /,则a 与a+b 的夹角为60S其中真命题的序号为 ________ .（写出所有真命题的序号）［解析］ ①因为〃丄c,所以b c=09所以（a+c ） b=a b+c b=a b ：② fl%,且aH0=>b=〃r=>错谋！=错谋!=k=—3;③ \a\= /b / = /a —b\=a,b, a —b 构成等边三角形，a 与a+b 的夬角应为30。

、所以真命题为①［答案］①②吿题㊁ _________________________________________平而向量的线性运算1、向量的加法.减法与数乘向量的综合运算.通常叫作向量的线性运算，主要就是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线.两线段平行.线段相等、求点的坐标等问题、2、理解向咼的有关概念［如平行向量（共线向蚩：）、相等与相反向量.平面向疑基本左理、单位向量等］及其相应运算的几何意义，并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，就是求解有关向量线性运算问题的基础、例② 如图，在ZkABC 中，错误!=错误!，错误!=错误!错误!.B0与CR 相交于点/, AI 的延长线与边BC 交于点P 、⑴用错误!与错误!分别表示错误!与错误!：（2）如果错误!=错误! +Z 错误!=错误! + “错误!,求实数2与“的值；（3）确立点P 在边BC 上的位置、章杏优化总结知W 网络体系构建把握宏观理淸脉络L （运算律〕彳］诃朮的数朮积运算〕—提炼車点桁展升华 —｛向址的物理背娥及概念｝⑴由错误！=错误!错误！，可得错误!=错误！+错误!= 一错误!+错误!错误！,又错误!=错误!错误!，所以错误!=错误!+错误!= 一错误!+错误!错误!、(2)将错谋!= 一错误! +错误!错谋!，错误!= 一错谋!+错课!错谋!,代入错误!=错误! +/・错误!=错误! +“错误!，则有错误! +力错误！=错误! + “错误!，即(1-2)错误!+错误！久错误!=错误！“错误!+ (1—“)错误!、所以错误!解得错误！⑶设错误!=川错误!，错误!="错误！、由(2),知错误!=错误!错误!+错误!错误!，所以错谋！=错谋！-错谋！=〃错谋！-错谋！= 〃错课！ -错谋！=错课!错谋！ +错谋! 错误！f错误！= 〃備误！一川错误！，所以错误!解得错误！所以错误！=错误!错误！，即错误！=2、即点P就是BC上靠近点C的三等分点、平而向虽:的数量积求平而向量的数量积的方法有两个：一个就是根据数量积的立义，另一个就是根据坐标、左义法就是a・b= /a l\b /・cos&,英中&为向量a, 〃的夹角;坐标法就是a= (xj)/= (M,*)时e/mm+yw、利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向虽:的坐标运算转化为代数问题解决、例③ ⑴设单位向量加=(AS y), b= (2,—1).若m丄b,则I x4-2yl= _______________ 、(2)已知两个单位向量a, b的夹角8为60°x=w+ (l—t)b9若b・c=0,则f=____________________________________________________________________________ 、［解析］(1)因为单位向量m = (x9y)9则F+y2=i、①若加丄〃，则m・b=a即"一)=0、②由①®解得/=错误！，所以丨x I =错误！，I x+2yl=5 I x I =错误！、(2)法一：因为b・c=0,所以少［皿 + (1 —/) /＞］=0,即ta b+ (1—哪=0、又因为I a \ = \ b \ = \9 & =60。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式：①|a＋b|＝|a|＋|b|；②|a－b|＝±(|a|－|b|)；③a2>|a|2；④|a·b|＝|a|·|b|.其中正确的个数为()A．0B．2C．3D．4解析对于①仅当a与b同向时成立．对于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2．下列命题中，正确的是()A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角解析在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反．答案 B3．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．0D.532解析易知△ABC 为正三角形，AC →·CB →＝5·5cos120°＝－52，应选A.答案 A4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．0解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )×2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49B.43 C ．－43D ．－49解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23. ∴AP →2＝|AP →|2＝49. 答案 A6．(2010·广东)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析 8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )， ∴(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )·c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)解析依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)，则b ＝12(λ－1)a ，∴a ·b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)×2＝λ－1>－1. 答案 B8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( )A.34B.537C.2537D.53737解析 ∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e22＋24e 1·e 2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537×1＝537. 答案 D9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b解析如右图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE BE ＝DF BA ＝∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b . 答案 B10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝⎛⎭⎪⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)解析设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－(－3)，32－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)．答案 C11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析设OP →＝(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)－2×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，此时P (3,0)．答案 C12．下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 的方向相同；②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |e ； ③a ·a ·a ＝|a |3；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线； ⑤若平面内有四点A ，B ，C ，D ，则必有AC →＋BD →＝BC →＋AD →. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析易知①②③④均错误，⑤正确，因为AC →＋BD →＝BC →＋AD →，∴AC →－AD →＝BC →－BD →，即DC →＝DC →，∴⑤正确．答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.解析由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0，∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6.答案 π6或76π14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 解析设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.②由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32，y ＝－2， ∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)．答案 (32，2)或(－32，－2)15．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，那么a ·b ＝________.(其中i ，j 为夹角90°的单位向量)解析由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3i ＋4j ，b ＝5i －12j .∴a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)． ∴a ·b ＝－3×5＋4×(－12)＝－63. 答案－6316．(2009·天津高考)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 ∵等边△ABC 的边长为23， ∴如下图建立直角坐标系．∴CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)． ∴CM →＝16CB →＋23CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52.∴OM →＝OC →＋CM →＝(0,3)＋⎝⎛⎭⎪⎫－32，－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－12 ＝－94＋14＝－2. 答案－2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b .(1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？解 (1)令c ·d ＝0，则(3a ＋5b )·(m a －3b )＝0，即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ·b ＝0，解得m ＝2914. 故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →·CE →＝(AC →＋CD →)·(CA →＋AE →) ＝AC →·CA →＋CD →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·AE → ＝－a 2＋0＋a ·223a ·22＋a 2·223a ·22＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0，∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)， ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0. ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝(1－2)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．解设点M 的坐标为M (x ，y )．∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )，∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →.∴x 4＝y－4.∴⎩⎨⎧ x (5－x )＋y (1－y )＝0，x 4＝y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21．(12分)在四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，判断四边形的形状．解 ∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴(a ＋b )2＝(c ＋d )2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2＋2c ·d ＋d 2.∵a ·b ＝c ·d ，∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2.①同理a 2＋d 2＝b 2＋c 2.②①②两式相减，得b 2－d 2＝d 2－b 2，①②两式相加，得a 2＝c 2，∴|b |＝|d |，|a |＝|c |.∴四边形ABCD 是平行四边形．又a ·b ＝b ·c ，∴b ·(a －c )＝0.∴b ·2a ＝0，即a ·b ＝0.∴a ⊥b ，即AB ⊥BC .∴四边形ABCD 是矩形．22．(12分)已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB →⊥AD →；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．解 (1)证明：A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →.(2)∵AB →⊥AD →，若四边形ABCD 为矩形，则AB →＝DC →.设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1,1)＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴点C 的坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，∴AC →·BD →＝(－2)×(－4)＋4×2＝16，|AC →|＝25，|BD →|＝2 5. 设对角线AC 与BD 的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45>0. 故矩形ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为45.。

高中数学章末检测新人教A版选择性必修第二册

第四章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2021年郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23【答案】D 【解析】由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23. 2．已知3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，则等差数列的公差为( )A ．4或－2B ．－4或2C ．4D ．－4【答案】C 【解析】∵3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，∴(a＋2)2＝3(b ＋4)，2(a ＋1)＝1＋b ＋1，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝8.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4时，a ＋2＝0与3，a ＋2，b ＋4成等比数列矛盾，应舍去；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝8时，等差数列的公差为(a ＋1)－1＝a ＝4.3．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，某初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12>12764，整理得2n>128，解得n >7，所以初始值至少应取8.4．公差不为0的等差数列{a n }，其前23项和等于其前10项和，a 8＋a k ＝0，则正整数k ＝( )A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】C 【解析】由题意设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，∵其前23项和等于其前10项和，∴23a 1＋23×222d ＝10a 1＋10×92d ，变形可得13(a 1＋16d )＝0，∴a 17＝a 1＋16d ＝0.由等差数列的性质可得a 8＋a 26＝2a 17＝0，∴k ＝26.5．(2021年长春模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．10B ．16C ．24D ．32【答案】B 【解析】设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4.因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，则a 5＝2×23＝16.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．54 B ．45 C ．36D ．27【答案】A 【解析】∵2a 8＝a 5＋a 11，2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6，∴S 9＝9a 5＝54.7．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2＞19的最大正整数n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6【答案】B 【解析】∵a 2a 4＝4，a n ＞0，∴a 3＝2，∴a 1＋a 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝12，a 1q 2＝2，消去a 1，得1＋q q 2＝6.∵q ＞0，∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n ，∴不等式a n a n ＋1a n ＋2＞19化为29－3n＞19，当n ＝4时，29－3×4＝18＞19，当n ＝5时，29－3×5＝164＜19，∴最大正整数n ＝4. 8．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n－1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2021＝( )A ．12021B ．12022C ．20202021D ．20212022【答案】D 【解析】∵n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，∴(S n ＋1)[n (n ＋1)S n－1]＝0.又∵S n >0，∴n (n ＋1)S n －1＝0，∴S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 1＋S 2＋…＋S 2021＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12021－12022＝20212022. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知n ∈N *，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )A ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数B ．a n ＝1＋(－1)n2C ．a n ＝1＋cos n π2D ．a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinn π2 【答案】ABC 【解析】检验知A ，B ，C 都是所给数列的通项公式．10．(2022年宿迁期末)设等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d >0，若S 9＝S 20，则下列结论中正确的有( )A ．S 30＝0B ．当n ＝15时，S n 取得最小值C ．a 10＋a 22>0D ．当S n >0时，n 的最小值为29【答案】BC 【解析】由S 9＝S 20⇒9a 1＋12×9×8d ＝20a 1＋12×20×19d ⇒a 1＋14d ＝0⇒a 15＝0.因为d >0，所以有S 30＝30a 1＋12×30×29d ＝30·(－14d )＋435d ＝15d ＞0，故A 不正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以当n ＝15或n ＝14时，S n 取得最小值，故B 正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以a 10＋a 22＝2a 16＝2(a 15＋d )＝2d >0，故C 正确；因为d >0，n ∈N *，所以由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n (－14d )＋12n (n －1)d ＝12dn (n －29)>0，可得n >29，n ∈N *，因此n 的最小值为30，故D 不正确．故选BC ．11．已知等比数列{a n }的公比为q ，满足a 1＝1，q ＝2，则( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递增数列C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列【答案】AC 【解析】等比数列{a n }中，由a 1＝1，q ＝2，得a n ＝2n －1，∴a 2n ＝22n －1，∴数列{a 2n }是等比数列，故A 正确；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递减数列，故B 不正确；∵log 2a n ＝n －1，故数列{log 2a n }是等差数列，故C 正确；数列{a n }中，S 10＝1－2101－2＝210－1，同理可得S 20＝220－1，S 30＝230－1，不成等比数列，故D 错误．12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2019a 2020>1，a 2019－1a 2020－1<0，下列结论正确的是( )A ．S 2019<S 2020B ．a 2019a 2021－1<0C ．T 2020是数列{T n }中的最大值D ．数列{T n }无最大值【答案】AB 【解析】若a 2019a 2020>1，则a 1q 2018×a 1q2019＝a 21q4037>1.又由a 1>1，必有q >0，则数列{a n }各项均为正值．又由a 2019－1a 2020－1<0，即(a 2019－1)(a 2020－1)<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2019<1，a 2020>1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2019>1，a 2020<1，又由a 1>1，必有0<q <1，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2019>1，a 2020<1.有S 2020－S 2019＝a 2020>0，即S 2019<S 2020，则A 正确；有a 2020<1，则a 2019a 2021＝a 22020<1，则B 正确；⎩⎪⎨⎪⎧a 2019>1，a 2020<1，则T 2019是数列{T n }中的最大值，C ，D 错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，则S 8＝________．【答案】255 【解析】由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 知{a n }是以1为首项、2为公比的等比数列，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝1·(1－28)1－2＝255.14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n }，则a 1＝________，a n ＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”)．【答案】8 15n －7 【解析】被3除余2的正整数可表示为3x ＋2，被5除余3的正整数可表示为5y ＋3，其中x ，y ∈N *，∴数列{a n }为等差数列，公差为15，首项为8，∴a 1＝8，a n ＝8＋15(n －1)＝15n －7.15．(2021年淮北期末)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[lg n ]([x ]表示不超过x 的最大整数)，T n 为数列{a n }的前n 项和，若存在k ∈N *满足T k ＝k ，则k 的值为__________．【答案】108 【解析】a n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，…k ，10k≤n ＜10k ＋1.当1≤k ＜10时，T k ＝0，显然不存在；当10≤k ＜100时，T k ＝k －9＝k ，显然不存在；当100≤k ＜1000时，T k ＝99－9＋(k －99)×2＝k ，解得k ＝108.16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列△A ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列△(△A )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．【答案】100 【解析】令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1，a 2－a 1＝b 1，a 3－a 2＝b 2，…，a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n－1＝a 1＋(n －1)b 1＋(n －1)(n －2)2.分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0①，21a 2－20a 1＋210＝0②，①×2－②，得a 2＝100. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________．是否存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．从①a n ＋1－2a n ＝0；②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)；③S n ＝n 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：若选①a n ＋1－2a n ＝0，则a 2－2a 1＝0，说明数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 1＝1，a k ＝2k －1，S k ＋2＝1－2k ＋21－2＝2k ＋2－1.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(2k ＋2－1)＝2k ＋2－1.左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)，即S n －S n －1＝n ⇒a n ＝n (n ≥2)且a 1＝1也适合此式， ∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)(k ＋3)2.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则k 2＝1×(k ＋2)(k ＋3)2⇒k 2－5k －6＝0⇒k ＝6(k ＝－1舍去)，即存在正整数k ＝6，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选③S n ＝n 2，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2)，且a 1＝1适合上式．若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(k ＋2)2⇒3k 2－8k －3＝0⇒k ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝－13舍去，即存在正整数k ＝3，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．18．(12分)(2022年平顶山期末)在等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 4＝26.(1)求{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得4×2＋4×32d ＝26，解得d ＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1. (2)b n ＝1a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，所以T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝16－13(3n ＋2)＝n 6n ＋4. 19．(12分)设a >0，函数f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解：∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a1＋a，a 3＝f (a 2)＝a2＋a，a 4＝f (a 3)＝a3＋a，猜想a n ＝a(n －1)＋a.(2)证明：①易知n ＝1时，猜想正确； ②假设n ＝k 时，a k ＝a(k －1)＋a成立，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a(k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1＝a [(k ＋1)－1]＋a， ∴n ＝k ＋1时成立．由①②知，对任何n ∈N *，都有a n ＝a(n －1)＋a.20．(12分)(2022年潍坊模拟)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .(1)证明：∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ， ∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝λ·2n －1.(2)解：∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋ (22)＋2n ＋1 ＝(22＋24＋ (22))＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝4－4n ·41－4＋n (3＋2n ＋1)2＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)， ∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43. 21．(12分)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q . ∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18， ∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2. 又∵2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3， ∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)∵b n ＝na n ＝3n ·2n －1，∴13S n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1①， ∴23S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n②， ①－②，得－13S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n1－2－n ×2n ＝(1－n )2n－1，∴S n ＝3(n －1)2n＋3.22．(12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝n λ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．解：(1)由题意，得(1－a 2)2＝a 1(1＋a 3)， ∴(1－a 1q )2＝a 1(1＋a 1q 2)． ∵q ＝12，∴a 1＝12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∵⎩⎪⎨⎪⎧T 1＝λb 2，T 2＝2λb 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＝λ(8＋d )，16＋d ＝2λ(8＋2d )， ∴λ＝12，d ＝8.(2)由(1)得b n ＝8n ，∴T n ＝4n (n ＋1)， ∴1T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 令C n ＝1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，∴18≤C n ＜14.∵S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴12S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴14≤12S n ＜12， ∴C n ＜12S n 即1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ＜12S n .。

【人教A版】高中数学必修4第二章课后习题解答

新课程标准数学必修4第二章课后习题解答第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ；与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ；与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、332AD =. 6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×. 习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有64对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ；（2）CB .4、（1）c ；（2）f ；（3）f ；（4）g .练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =；（2）74b a =-；（3）12b a =-；（4）89b a =.4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b -；（2）111123a b -+；（3）2ya . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走km ；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0；（2）AB ；（3）BA ；（4）0；（5）0；（6）CB ；（7）0. 5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、（1）略；（2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --；（2）102210a b c -+；（3）132a b +；（4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.（第11题）12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =，34EC b =，1()8DN b a=-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN ANAM =-，而13AN AC =，13AM AB =，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即AB ∥. 因此，四边形ABCD 为平行四边形.（第12题）（第1题）（第4题(2)）（第4题(3)）（第5题）2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-；（2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-；（3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=；（4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--；（2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-；（3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-；（4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3- 7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,A P x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5). 解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2A C A B ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)O C O A A C =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)O D O A A D =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)O E O A A E =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)O B O B '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-；故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题2.3 B 组（P101） 1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP = （2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、2(3)5a =-，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题2.4 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=-2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== ()c o s a b a b λλθ⋅= ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.c o s ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩（第4题）代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-；（2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d vθ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,AB =-.（第2题）（第4题）将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2)(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y '' 则cos sin 44sincos44x x y y xy ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即)2)x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-；（3）33OA OB ⋅=. 6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===（第4题）11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章复习参考题B 组（P119）1、（1）A ；（2）D ；（3）B ；（4）C ；（5）C ；（6）C ；（7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅. 因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-.再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.（第3题）P 2（第5题）（第6题）6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=；（2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =。

数学必修4第二章章末检测卷含答案解析

分．把答案填在题中横线上)
13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb
∴ ∴
答案：
14．若向量＝(1，－3)，| |＝| |， · ＝0，则| |＝________.
A．－ B．－
C. D.
解析：由向量的平行四边形法则，知当| ＋ |＝| |时，∠A＝90°.又| |＝1，| |＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，| |＝2，所以＝＝－ .
答案：B
10．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且 · ＝ · ，则 · 的值等于()
A．－4 B．0
答案：C
5．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2 ，＝＋λ ，则λ＝()
A. B.
C. D.
解析：由已知得＝＋＝＋＝＋ ( － )＝＋，因此λ＝，故选B.
答案：B
6．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(0，－1)
解析：∵m⊗p＝m，∴(a，b)⊗(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，
∴ 即 ∵对任意m＝(a，b)，都有(a，b)⊗(x，y)＝(a，b)成立，
∴ 解得 ∴p＝(1,0)．
答案：A
12．在边长为1的正方形ABCD中，点M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则 · 的取值范围是()
A. B.
C. D．[0,1]
解析：如图，以AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，进而可得C(1,1)，M ，设E(x,0)(0≤x≤1)，

2016高中数学人教A版必修四第二章章末综合检测练习题含答案

解析：选 C.因为 A ，B ，D 三点共线，所以存在实数 t ，使AD ＝tAB ，则CD －CA ＝t (CB － 3 即 λ＝－1.CA )，即CD ＝CA ＋t (CB －CA )＝(1－t )CA ＋tCB ，所以⎨⎪⎩t ＝λ，解析：选 B.a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以 λ＝ .4．已知点 O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC ＝0，则点 O ，解析：选 C.由|OA |＝|OB |＝|OC |知，O △为 ABC 的外心；由NA ＋NB ＋NC ＝0，得AN ＝NB ＋NC ，取 BC 边的中点 D ，则AN ＝NB ＋NC ＝2ND ，知 A 、N 、D 三点共线，且 AN ＝2ND ， y ＝cos x 在[0，π]上是递减的，所以 α＝－θ，故选 C.2．已知 A 、B 、D 三点共线，存在点 C ，满足CD ＝ CA ＋λCB ，则 λ＝( )A. B ． C ．－ D ．－ A. B ． 5．已知向量 a ＝(cos θ，sin θ)，其中 θ∈b ＝(0，－1)，则 a 与 b 的夹角等于()⎝2，π⎭， A ．θ－ B ．＋θC.－θ D ．θ所以 cos α＝＝－sin θ＝cos( －θ)，因为 θ∈⎝2，π⎭，α∈[0，π]，|a ||b |2,[学生用书单独成册])(时间：100 分钟，分数：120 分)一、选择题(本大题共有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．共线向量的方向相同 B ．零向量是 0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选 B.对 A ，共线向量的方向相同或相反，错误；对B ，零向量是 0，正确；对C ，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选 B.→ 4 → →32 1 33 1 233→ → → → →→ → → → → → →⎧⎪1－t ＝4， 33．已知向量 a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若 λ 为实数，(a ＋λb )∥c ，则 λ＝( ) 1 1 4 2 C ．1 D ．212→ → → → → →N 依次是△ABC 的( )A ．重心，外心B ．重心，内心C ．外心，重心D ．外心，内心→ → → → → → → →→ → → → →故点 N 是△ABC 的重心．⎛π ⎫ π π2 2 3π2 解析：选 C.设 a 与 b 的夹角为 α，a · b ＝cos θ·0＋sin θ·(－1)＝－sin θ，|a |＝1，|b |＝1，a ·b 3π ⎛π ⎫3π2＝cos(π－C )－cos(π－A )－cos(π－B )＝－cos C ＋cos A ＋cos B ＝cos 60°＝ .故选 D.所以∠COA ＝，即 a 与 a ＋b 的夹角为 .△8．在 ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边 BC 的三等分点，则AE · A F ＝解析：选 A.依题意，不妨设BE ＝ EC ，BF ＝2FC ，则有AE －AB ＝ (AC －AE )，即AE ＝ AB ＋ AC ；AF －AB ＝2(AC －AF )，即AF ＝ AB ＋ AC .所以AE ·AF ＝( AB ＋ AC )·( AB ＋ AC )＝ (2AB ＋AC )·(AB ＋2AC )＝ (2AB 2＋2AC 2＋5AB · A C )＝ (2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝，故选 A.又 c·a ＝－(a ＋b )· a ＝－a 2－a·b ＝－1－cos 60°＝－，6．已知等边三角形 ABC 的边长为 1，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则 a·b －b · c －c·a 等于() A ．－ B ． C ．－ D ． A. B ． C. D ．π 夹角为∠COA ，因为 tan ∠COA ＝＝ 3，A. B ． C. D ．→ → →3 32 21 122解析：选 D.由平面向量的数量积的定义知，a·b －b·c －c·a ＝|a||b|cos(π－C )－|b||c|cos(π－A )－|c||a|cos(π－B )127．已知平面向量 a ，b ，|a |＝1，|b |＝ 3，且|2a ＋b |＝ 7，则向量 a 与向量 a ＋b 的夹角为( )π π 2 3 π6解析：选 B.因为|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝ 3，所以 4＋4a·b ＋3＝7，a·b ＝0，所以 a ⊥b .如图所示，a 与 a ＋b 的|CA ||OA | π π3 3→ →( )5 5 3 4 10 15 98→ 1 → → → → → 1 → →2 2→ 2 → 1 → 3 3→ → → → → 1 → 2 → 3 3→ → 2 → 1 → 1 → 2 →3 3 3 31 → → → → 91 → → → → 9 1 59 39．已知非零向量 a ，b ，c 满足 a ＋b ＋c ＝0，向量 a ，b 的夹角为 60°，且|b |＝|a |＝1，则向量 a 与 c 的夹角为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：选 D.因为 a ＋b ＋c ＝0，所以 c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2cos 60°＝3，所以|c |＝ 3.3223设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，10在△．A BC中，AC＝6，BC＝7，cos A＝，O是△ABC的内心，若OP＝xOA＋yOB，A.6B．6C.D．解析：选A.如图，因为OP＝xOA＋yOB，其中0≤x≤1，0≤y≤1，所以△在ABC中，由向量的减法法则得BC＝AC－AB，所以BC2＝(AC－AB)2，即|BC|2＝|AC|2＋|AB|2－2|AC||AB|cos A，由已知得72＝62＋|AB|2－12·|AB|×，所以5|AB|2－12|AB|－65＝0，所以|AB|＝5.即(6＋5＋7)×r＝66，所以r＝，故所求的面积S＝AB×r＝5×6＝ 6.12．如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，则AO＝________(用向量a和b表示)．1⎫→→→→μ解析：因为AO＝μAC＝μ(AD＋DC)＝μ⎝a＋2b⎭＝μa＋b.μ2→21因为μ＋＝1，解得μ＝.所以AO＝a＋b.答案：a＋b120°.设OC＝－3OA＋λOB(λ∈R)，则λ＝________．解析：由题意，得OC＝－3(－1，0)＋λ(－1，3)＝(3－λ，3λ)，因为∠AOC＝120°，3－a·c|a||c|3×12因为0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.1→→→5其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为()10533102033→→→动点P的轨迹所覆盖的区域是以OA，OB为邻边的平行四边形OAMB，则动点P的轨迹所覆盖的面积S＝AB×r，r△为ABC的内切圆的半径．→→→→→→→→→→→→→15→→→1所以△SABC＝2×6×5×sin A＝66，又O△为ABC的内心，故O△到ABC各边的距离均为r，1此时△ABC的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，所以△SABC＝2(6＋5＋7)×r，1226210333二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若m a＋4b与a－2b共线，则m的值为________．解析：m a＋4b＝(2m－4，3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，因为m a＋4b与a－2b共线，所以－1(2m－4)＝4(3m＋8)，解得m＝－2.答案：－2→→→→→⎛22333213313．已知两点A(－1，0)，B(－1，3)，O为坐标原点，点C在第一象限，且∠AOC＝→→→→λ－3 OA ·OC所以＝－，即＝－，解得 λ＝ . → → （3－λ）2＋3λ2 2 3BE ，DC ＝λDF .若AE ·AF ＝1，则 λ 的值为________．解析：因为AE ＝AB ＋BE ＝AB ＋ AD ，AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋ AB ，所以AE ·AF ＝(AB ＋ AD )·(AD ＋ AB )1 → 1＋3λ → → 1 → ＝ AB 2＋ AD ·AB ＋ AD 2＝＋ ×2×2×cos 120°＋＝＝1.15．若将向量 a ＝(1，2)绕原点按逆时针方向旋转得到向量 b ，则 b 的坐标是________．a·b ＝|a||b |·cos ＝ 5× 5× ＝，又 x 2＋y 2＝5，a·b ＝x ＋2y ，得 x ＋2y ＝，解得 x ＝－，y ＝ (舍去 x ＝，y ＝ )．故 b ＝⎝－ 2 3 2⎫ 2 ⎭ ， . 答案：⎝－ 2 3 2⎫ 2 ⎭ 2(2)若|b |＝，且 a ＋2b 与 2a －b 垂直，求 a 与 b 的夹角 θ. 即 2|a |2＋3a · b －2|b |2＝0，将|a |＝ 5，|b |＝代入，得 a·b ＝－ .所以 cos θ＝＝－1，又由 θ∈[0，π]，得 θ＝π，即 a 与 b 的夹角为 π.→ →1 1 32 2 2|OA ||OC |3答案：14．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD ＝120°，点 E ，F 分别在边 BC 、DC 上，BC ＝→ →→ → → → 1 → → → → → 1 →3 λ→ → → 1 → → 1 →3 λλ 3λ 3 4 1＋3λ 4 10－2λ λ 3λ 3 3λ 解得 λ＝2. 答案：2π4解析：如图，设 b ＝(x ，y )，则|b |＝|a |＝ 5，π 2 5 242 2 5 222 3 2 3 2 22 2 2 2⎛⎛2 ，三、解答题(本大题共 5 小题，共 55 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分 10 分)已知 a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中 a ＝(1，2)． (1)若|c |＝2 5，且 c ∥a ，求 c 的坐标；52 解：(1)由 a ＝(1，2)，得|a |＝ 12＋22＝ 5，又|c |＝2 5，所以|c |＝2|a |. 又因为 c ∥a ，所以 c ＝±2a ，所以 c ＝(2，4)或 c ＝(－2，－4)．(2)因为 a ＋2b 与 2a －b 垂直，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，5 52 2 a·b|a|·|b |(1)求AB，AC及|AB＋AC|；(2)设实数t满足(AB－tOC)⊥OC，求t的值．所以AB＝(－3，－1)，AC＝(1，－5)，AB＋AC＝(－2，－6)，|AB＋AC|＝（－2）2＋（－6）2＝210.(2)因为(AB－tOC)⊥OC，所以(AB－tOC)·O C＝0，即AB·OC－tOC2＝0，因为AB·OC＝－3×2＋(－1)×(－1)＝－5，OC2＝22＋(－1)2＝5，所以－5－5t＝0，所以t＝－1.18．(本小题满分10分)已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP|＝|OP3|＝1.证明：因为OP1＋OP2＋OP3＝0，所以OP1＋OP2＝－OP3，所以(OP1＋OP2)2＝(－OP3)2，所以|OP1|2＋|OP2|2＋2OP1·OP2＝|OP3|2，OP1·OP2→→所以|P1P2|＝|OP2－OP1|＝（OP2－OP1）2＝OP12＋OP22－2OP1·OP2＝ 3.同理可得|P2P3|＝|P3P1|＝ 3.△2(1)BE＝OE－OB＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)，CF＝OF－OC＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)，因为BE·CF＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，所以BE⊥CF，即BE⊥CF.(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，因为FP∥CF，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理，由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)．→→→→→→→解：(1)因为A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)．→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→求证：P1P2P3是正三角形．→→→→→→→→→→→→→→→→→→11所以OP1·OP2＝－2，又cos∠P1OP2＝→→＝－2，所以∠P1OP2＝120°.|OP1|·|OP2|→→→→→→→→→△故P1P2P3是等边三角形．19．(本小题满分12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.证明：如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．→→→→→→→→→→→→→→→→解得 x ＝，所以 y ＝，即 P ⎝5，5⎭.所以AP 2＝⎝5⎭ ＋⎝5⎭ ＝4＝AB 2，所以|AP |＝|AB |，即 AP ＝AB .若OA ＝a ，OB ＝b ，试用 a ，b 表示OP ，OQ ，并判断OP ＋OQ 与OA ＋OB 的解：(1)OP ＝OA ＋AP ＝OA ＋ AB＝OA ＋ (OB －OA )＝ OA ＋ OB ＝ a ＋ b .同理OQ ＝ a ＋ b .OP ＋OQ ＝a ＋b ＝OA ＋OB . (2)结论：OA ＋OB 1＋OA n －1＝OA 2＋OA n －2＝…＝OA . 由(1)可推出OA 1＝OA ＋AA 1＝OA ＋ AB所以OA 1＋OA n －1＝a ＋b ＝OA ＋OB .所以OA ＝a ＋b ＝OA ＋OB 2＋OA n －2，…，因此有OA ＋OA 1 n －1＝OA 2＋OA n －2＝…＝OA ＋OB .＝OA ＋ (OB －OA )＝n －1 →nOA ＋ OB ，6 8 ⎛6 8⎫ 5 5→ ⎛6⎫2 ⎛8⎫2 → → →20．(本小题满分 13 分)(1)如图，设点 P ，Q 是线段 AB 的三等分点， → → → → → → → →关系．(2)受(1)的启示，如果点 A 1，A 2，A 3，…，A n －1 是 AB 的 n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．→→ → → 1 →3→ 1 → → 2 → 1 → 2 1 3 3 3 3 3 → 1 23 3→ → → →→ → → → → → 证明如下：→ → → → 1 → n→ 1 → →1 →nn→n －1 1所以OA 1＝ na ＋nb ，→ 1 n －1同理OA n －1＝n a ＋ n b ，→ → → →n －2 2又 OA 2＝ n a ＋n b ， → 2 n －2OA n －2＝n a ＋ n b ，→ → → →→ → → → → →。

高一下学期数学(人教版必修4)第二章章末综合检测

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于() A ．3AB→ B.AB →C.BA → D.CA→解析：选B.原式＝(AB →＋BA →)＋(AC →－BC →)＝(AB →－AB →)＋(AC →＋CB →)＝0＋AB →＝AB →，故选 B.2．已知i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是()A ．3i ＋2jB ．－2i ＋3jC ．－3i ＋2jD ．2i －3j解析：选C.2i ＋3j ＝(2，3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3，2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．3．下列说法正确的是()A ．两个单位向量的数量积为 1B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝cC.AB →＝OA →－OB→D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b解析：选D.A 中，两向量的夹角不确定，故A 错；B 中，若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向，则不成立，故B 错；C 中，应为AB →＝OB →－OA →，故C 错；D 中，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b ，故D 正确．4．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是()A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(2，x)，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6，4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.5．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是()A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b 解析：选B.因为|a ＋b |＝|a －b |?(a ＋b )2＝(a －b )2?a ·b ＝0，所以a ⊥b ，选B.6．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(－3，1)，a 与b 的夹角为θ，则tan θ等于() A.13B ．－13C ．3D ．－3解析：选D.由题意，得a ·b ＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a |＝5，|b |＝10，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－5510＝－110. ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝1－cos 2θ＝310，∴tan θ＝sin θcos θ＝－3. 7．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC→＝2AD →，则顶点D 的坐标为() A ．(2，72) B ．(2，－12)。

人教A版数学必修4第二章测试题(二)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）云南省昭通市实验中学必修4第二章测试题（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平行四边形ABCD 中，BD CD AB +-等于（）A ．DBB ．ADC ．ABD ．AC2．若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是（）（A ）（3，-4）（B ）（-3，4）（C ）（3，4）（D ）（-3，- 4）3．已知b a 与均为单位向量，它们的夹角为60°，|3|b a -= （）A ．7B ．10C ．13D ．44．若|a |=2，|b |=5，|a +b |=4，则|a －b |的值为（）A ．13B ．3C ．42D ．75．已知平面向量)2,1(=a ，),2(m b -= ，且b a //，则b a 32+等于（）A ．)4,2(--B ．)6,3(--C ．)10,5(--D ．)8,4(--6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（）A ．2B ．4C ．6D ．127．已知12,5||,3||=⋅==b a b a 且，则向量a 在向量b 上的投影为（）A ．512 B ．3 C ．4 D ．58．已知AB =a +5b ，BC =－2a +8b ，CD =3（a －b ），则（）A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线9．已知向量)2,3(-=a , )0,1(-=b ，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( )A.71-B. 71C. 61D. 61-10．若0||2=+⋅AB BC AB ，则ABC ∆为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形11．若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o180，且53||=b ，则=b ( )A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-12．已知a =（1，2），)3,2(-=b ．若向量c 满足)(a c +∥b ，c ⊥)(b a +，则=c（A ）（37,97）（B ）)97,37(--（C ）)97,37(（D ）（37,97--）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高中数学人教A必修4章末综合测评2 Word版含解析

章末综合测评(二)平面向量(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·全国卷Ⅰ)已知点(，)，(，)，向量＝(－，－)，则向量＝( )．(－，－) ．(，)．(－，) ．(，)【解析】法一：设(，)，则＝(，－)＝(－，－)，所以从而＝(－，－)－(，)＝(－，－)．故选．法二：＝(，)－(，)＝(，)，＝－＝(－，－)－(，)＝(－，－)．故选．【答案】．(·福建高考)设＝(，)，＝(，)，＝＋.若⊥，则实数的值等于( )．－．－．．【解析】＝＋＝(＋，＋)，又⊥，所以×(＋)＋×(＋)＝，解得＝－.【答案】．(·山东高考)已知菱形的边长为，∠＝°，则·＝( )．－．－．．【解析】由已知条件得·＝·＝·°＝，故选．【答案】．(·陕西高考)对任意向量，，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) ．·≤．－≤－．(＋)＝＋．(＋)·(－)＝－【解析】根据·＝θ，又θ≤，知·≤，恒成立．当向量和方向不相同时，－>－，不恒成立．根据＋＝＋·＋＝(＋)，恒成立．根据向量的运算性质得(＋)·(－)＝－，恒成立．【答案】．(·重庆高考)已知非零向量，满足＝，且⊥(＋)，则与的夹角为( )．．．．【解析】∵⊥(＋)，∴·(＋)＝，∴＋·＝，即＋〈，〉＝.∵＝，∴＋〈，〉＝，∴〈，〉＝－，∴〈，〉＝π.【答案】．(·安徽高考)△是边长为的等边三角形，已知向量，满足＝，＝＋，则下列结论正确的是( )．＝．⊥．·＝．(＋)⊥【解析】在△中，由＝－＝＋－＝，得＝.又＝，所以·＝°＝－，所以(＋)·＝(＋)·＝·＋＝×(－)＋＝，所以(＋)⊥，故选．【答案】．(·锦州高一检测)已知向量＝(，)，·＝，＋＝，则＝( )．．．．【解析】因为＝(，)，则有＝，又·＝，又由＋＝，∴＋·＋＝，即＋×＋＝，所以＝.。

人教版必修四第二章测试题(含答案)

N (0, a)(a 0), NP与NQ 的夹角为 ,若 ,求实数a 的取值范围； 2
5
参考答案
一．选择题
1. B 2. D 3. B 4. C 5. A 6. A 7. C 8. A 9. A 10. C 11. D 12. C 二．填空题
13．10 14． , 2 (2, 1)
第二章测试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量 a =（x，1），b =（3，6），a b ，则实数 x 的值为（）
1
A．
2
B． 2
C． 2
D． 1 2
r
r
rr
2．设向量 a ＝（-2，1）， b ＝（1，λ）（λ∈R），若 a ． b 的夹角为 1350，则 λ
rr
使得 a tb ;则 p 是 q 的（）
A．充分条件
B．必要条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条 1
件
7．平面向量即二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 n(n 3) 维向
量，n 维向量可用（x1，x2，x3，…，xn）表示，设
ar (a1与与与…a,2与与与与a…3,与
r
r rr
r r r ur r r
19．已知| a | 2 | b | 3 , a与b 的夹角为 60o， c 5a 3b ， d 3a kb ，当实
r ur
r ur
数 k 为何值时，有（1） c ∥ d ，（2） c d .
20．（12 分）已知平面向量 OA (1,7),OB (5,1),OP (2,1), M 是直线 OP 上的

人教A版高中 数学必修4：第二章 章末检测--含解析

高中数学人教A版必修二 章末综合测评4 Word版含答案

高中数学人教A版必修四 章末综合测评2 含解析答案

2019版高中数学人教A版必修4：第二章检测B 含解析

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