人教A版高中 数学必修4：第二章 章末检测--含解析

第二章章末检测

班级____ 姓名____ 考号____ 分数____

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．下列各式叙述不正确的是( )

A ．若a ＝λ b ，则a 、b 共线

B ．若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线

C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝3

2a －2b ，则m ∥n

D ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c

答案：C

解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．

2．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( )

A ．|a |＝a ·a

B ．|a ·b |＝|a |·|b |

C ．λ(a ·b )＝λa ·b

D ．|a ·b |≤|a |·|b |

答案：B

解析：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．

3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )

A.⎝⎛⎭⎫35，－45

B.⎝⎛⎭⎫45，－3

5

C.⎝⎛⎭⎫－3

5，4

5 D.⎝⎛⎭⎫－4

5，3

5

答案：A

解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么

( )

A.AO →＝OD →

B.AO →＝2OD →

C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →

答案：A

解析：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →. 所以12

(OB →＋OC →)＝AO →，又D 为BC 边中点， 所以OD →＝12

(OB →＋OC →)．所以AO →＝OD →. 5．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4

C.π3

D.π2

答案：C

解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3

. 6．若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →，则该四边形一定是( )

A ．矩形

B ．菱形

C ．正方形

D ．直角梯形

答案：B

解析：由AB →＋CD →＝0⇒AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →＋

DA →)⊥AC →⇒AC →⊥DB →，所以四边形ABCD 是菱形．

7．给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( )

A.1327

B.132

C.133

D.727

答案：D

解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a ＋

x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727

. 8．如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )

A ．300 3N,300 3N

B ．150N,150N

C ．300 3N,300N

D ．300N,300N

答案：C

解析：如图：作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →|cos30°＝300 3N.

|OB |→＝|OC →|sin30°＝300N.