图论例讲

图论例讲

（陶平生）

1、设有2n 阶简单图G ，若其每个顶点的度数皆不小于n ，证明：从G 中必可选出

n 条边，其端点互不相同．

2、某地网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次，证明：必有六场比赛，其中的12名参赛者各不相同．（美国1989）

3、设G 为n 阶图，且没有长为4的圈；证明：其边数(

14n

q ⎡⎤

≤

+⎢⎥⎣

⎦

．

4、任意给定() 2n n ≥个互不相等的n 位正整数，证明：存在{}1,2,,k n ∈ ，使得

将它们的第k 位数字都删去后，所得到的n 个1n -位数仍互不相等.

5、设G 为n 阶图()5n ≥，其边数4e n ≥+，证明G 中存在两个无公共边的圈.

6、若简单图G 有21n +个顶点，至少31n +条边(2)n ≥，证明：G 中必有偶圈．

7、一次足球邀请赛共安排了n 支球队参加，每支球队预定的比赛场数分别是 12,,,n m m m ，如果任两支球队之间至多安排了一场比赛，则称12(,,,)n m m m 是一个有

效安排；证明：如果12(,,,)n m m m 是一个有效安排，且12n m m m ≥≥≥ ，则可取掉一支球队，并重新调整各队之间的对局情况，使得11231

2(1,1,,1,,,)m m n m m m m m ++--- 也

是一个有效安排．

8、十个城市之间有两个航空公司服务，其中任意两个城市之间都有一条直达航线（中

间不停），所有航线之间都是可往返的．

证明：至少有一个航空公司可以提供两条互不相交的环形旅行线路，其中每条线路上的城市个数都为奇数．

（与其等价的图论说法是：10阶完全图10K 的边红蓝2-染色，则必存在两个无公共顶点的同色奇圈（顶点个数为奇数的圈，且这两个圈的边或者同为红色，或者同为蓝色））．

9、在一次学术讲演中有五名数学家参加，会上每人均打了两次旽，且每两人均有同时

在打旽的时刻，证明：一定有三人，他们有同时在打旽的时刻．

10

、() 2n n n ⨯≥矩阵A 中，每行及每列的元素中各有一个1和一个1-，其余元素

皆为0；证明：可以通过有限次行与行的交换以及列与列的交换，化为矩阵B ，使得

0A B +=.（即A 中的每个数都变成了其相反数）

11、有七种颜色的珍珠，共计14颗，其中每种颜色的珍珠各两颗；今把这些珍珠分装

于七个珠盒中，使得每个珠盒中各有一对不同颜色的珍珠；

(1)、证明：不论各盒中的珍珠怎样搭配，总可以将这七个珠盒分别放置于一个正七边

形的七个顶点之上，使得七边形的任两个相邻顶点处所放置的盒中，四颗珍珠互不同色．

(2)、如将以上条件与待证结论中的“七”一律改为“五”

，14改为10，则情况如何？

12、给定31个正整数1231,,,a a a ，若其中至少有94对数互质，证明：其中必存在四

个数,,,a b c d ，满足：(,)(,)(,)(,)1a b b c c d d a ====．

13、奥运会排球预选赛有n 支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负，

如果其中有k （3k n ≤≤）支球队12,,,k A A A ，满足：1A 胜2A ，2A 胜3A ，…，1k A -胜k A ，k A 胜1A ，则称这k 支球队组成一个k 阶连环套；

证明：若全部n 支球队组成一个n 阶连环套，则对于每个k （3k n ≤≤）及每支球队i A

()1i n ≤≤，i A 必另外某些球队组成一个k 阶连环套.

14、某公司有17个人，每个人都正好认识另外的4个人，证明：存在两个人，他们彼

此不相识且没有共同的熟人．（第26届独联体数学奥林匹克）

15、若8阶简单图不含四边形，那么，其边数的最大值是多少？（92C M O -） 16、10名选手参加乒乓球赛，每两个选手对赛一局．如果选手i 胜选手j ，选手j 胜

选手k ，选手k 胜选手i ，则称为有一个三角形．设i W 和i L 分别表示第i 个选手胜和败的局数，又如果选手i 胜选手j 时，总有8i j L W +≥．求证：这次球赛恰有40个三角形．

17、一次体育比赛共设有()2 2n n ≥个项目，每个选手恰好报名参加其中的两个项目，

而任两个人都至多有一个相同的项目，假定对于每个{}1,2,,1k n ∈- ，不超过k 人报名的项目少于k 个.

证明：存在2n 个选手，使得每个项目都恰好有其中的两人参加.

18、在一个九人小班中，已知没有4个人是相互认识的；求证：这个班能分成4个小组,使得每个小组中的人是互不认识的.

19、图G 中，若某四点之间恰有一条边，则称这样的四点组为G 的一个“单纯组”，对于所有的50阶图G ，求“单纯组”数目的最大值．

20、由n 个点和这些点之间的l 条线段组成一个空间图形，其中 21,n q q =++ ()2

1112

l q q ≥

++，2,q q N ≥∈．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，

存在一点至少有2q +条连线段．

证明：图中必存在一个空间四边形．

将本题用图论方法改述为：设n 阶图G 有l 条边，其中2

1n q q =++，

2

(1)

12

q q l +≥+，

2q ≥，且每点的度数2q ≥+，证明，G 中有四边形．