2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)(南通教研室)(含解析)
江苏省南通市2019-2020学年高考数学仿真第四次备考试题含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】①：由抛物线的定义可知15AF a =+=，从而可求A 的坐标；②：做A 关于准线1x =-的对称点为'A ，通过分析可知当',,A P O 三点共线时PA PO +取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值'A O ；③：设出直线l 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求0MB MC k k +=，从而可判断出,OMB OMC ∠∠的关系；④：计算直线,OD OB 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B O D 、、在同一条直线上. 【详解】解：对于①，设(),A a b ，由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=， 故4a =， 所以()4,4A 或()4,4-，所以满足条件的点A 有二个，故①不正确； 对于②，不妨设()4,4A ，则A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''PA OP PA OP A O +=+≥==， 当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，()1,0M - ，且l 的斜率不为0，则设l 方程为：()10x my m =+≠， 设l 与抛物线的交点坐标为()()1122,,,B x y C x y ，联立直线与抛物线的方程为，214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，整理得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以21242x x m +=+，()()221212114411x x my my m m =++=-++=则()()()()1221121212121212121122211111MB MCy x y x y y y y my y k k x x x x x x x x ++++++=+==+++++++ 2242404211m m m ⨯-⨯==+++.故,MB MC 的倾斜角互补，所以OMB OMC ∠=∠，故③正确. 对于④，由题意知()21,D y - ，由③知，12124,4y y m y y +==- 则12114,OB OD y k k y x y ===- ，由12211440OB OD y y k k y y y +-=+==， 知OB OD k k =，即三点B O D 、、在同一条直线上，故④正确. 故选:C. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值. 2．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭， 答案选A 【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 3．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.4．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V . 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.5．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27 B ．33C ．39D ．44【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332a a S a =＝＝【详解】解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，63a ∴＝．n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332a a S a =＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，． (2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.6．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 7．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./8．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项. 【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 22224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.9．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征. 10．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0 B ．1C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用2019S =6123336S a a a +++计算.【详解】由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =，2019126123336()01214S a a a a a a =++++++=+++=L .故选：D. 【点睛】本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题.11．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．43【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积． 【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABCD 的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形， 高为PA=2，∴四棱锥的体积为21242323V =⋅⋅=.故选：D. 【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.12．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【精准解析】江苏省南通市2020届高三下学期第四次调研测试数学试题
江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合{}3,1,1,3A =--，{}2230B xx x =--=∣，则A B =________．【答案】{1,3}- 【解析】 【分析】解一元二次方程求得集合B ，由此求得AB .【详解】由()()223310x x x x --=-+=解得1x =-或3x =，所以{}1,3B =-，所以A B ={1,3}-故答案为：{1,3}-【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()24z i -=，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由已知求出24z i =-，即得z 的实部. 【详解】由题得24424iz i i i -===-， 所以24z i =-， 所以z 的实部为2. 故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的运算和复数实部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[]48,58中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[]50,56的女生数为________．【答案】75 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图求出所求区间的频率，然后乘以总人数即为所求. 【详解】由频率分布直方图可知，体重在区间[]50,56的频率为()20.1000.1500.1250.75++=，所以体重在区间[]50,56的女生数为0.7510075.⨯=故答案为：75【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为7-，则输入的x 的值为________．【答案】1 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程可知该程序的功能是求分段函数的函数值，利用分类讨论即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行过程可知，该程序的功能是求分段函数6,228,23x x y x x-≥⎧⎪=⎨-<⎪-⎩的函数值，当2x ≥时，67x -=-，得1x =-，不符合题意； 当2x <时，2873x-=--，得1x =，符合题意； ∴输入的x 的值为1， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查程序与算法的应用，属于基础题．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y -=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为________． 【答案】17 【解析】 【分析】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||16MF MF -=，令2||1MF =即得解. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||2816MF MF -=⨯=,所以11|||1|2816||17MF MF -=⨯=∴=，或15-（舍）. 所以点M 到另一个焦点的距离为17. 故答案为：17.【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6.已知区域{(,)|||2A x y x =，||2}y 和{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +，若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为________． 【答案】18【解析】 【分析】分别求出集合A ，B 所对应的区域的面积，然后根据几何概型的概率公式即可求解．【详解】因为{(,)|||2A x y x =，||2}y 表示的区域是以4为边长的正方形，面积为16， 由{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +可知，其区域为如图所示的阴影部分，面积12222S =⨯⨯=，故在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率21168P ==. 故答案为：18.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析数学问题的能力.7.若实数x ，y 满足34x y +=，则28x y +的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】依题意3334282222222228x y x y x y x y ++=+≥⋅===，当且仅当322x y =，即32x y ==时等号成立.所以28x y +的最小值为8. 故答案为：8【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8.已知数列{}n a 满足112n nn n a a a a +++=-，且119a =，则6a 的值为________． 【答案】27 【解析】【分析】根据已知条件判断出数列{}n a 是等比数列，进而求得6a 的值. 【详解】由于112n nn na a a a +++=-，1122n n n n a a a a +++=-，13n n a a +=，所以13n n a a +=，所以数列{}n a 是首项为119a =，公比为3q =的等比数列， 所以55361133279a a q =⋅=⨯==. 故答案为：27【点睛】本小题主要考查根据递推关系求某一项的值，考查等比数列的定义，属于基础题. 9.已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为________． 【答案】13【解析】 【分析】根据题意可知函数的周期为3，可得()()()(2)1,81-==-f f f f ，然后根据函数的奇偶性可得()1f ，最后利用函数的周期性可得(2020)f【详解】由题可知：函数()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数 所以()()()()(2)1,811-==-=-f f f f f ， 又(2)2(8)1f f -=+所以(1)2(1)1=-+f f ，则1(1)3f =所以()()1(2020)6733113=⨯+==f f f 故答案为：13【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键在于观察，利用函数的周期性，把大数变小数，属基础题.10.已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数（V ）、棱数（E ）、面数（F ）之间存在如下关系：2V F E +-=．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为12,S S，则12SS的值为________．【答案】32【解析】【分析】设棱长为a，分别求出正六面体和正八面体的外接球半径即可.【详解】设棱长为a正六面体即正方体，它的外接球的半径等于体对角线的一半，所以13R a=对于正八面体，易得AC BD EF==，故其外接球的球心为AC中点，所以222R a=所以2211222234342424aS RS R aππ===故答案为：32【点睛】本题考查的是几何体外接球，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线2:330x y l -+=与圆22:4C x y +=的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为________．【答案】2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】直线l 的方程与圆C 方程联立，求出两交点,A B ，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，可求得圆的标准方程.【详解】由2:330x y l -+=与22:4C x y +=联立得22(323)4y y -+=， 得1y =或2y =，则两交点坐标为(3,1),(0,2)A B -，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，则圆心33(,)22-，半径为12AB =， 圆M 的标准方程为2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了求直线与圆的交点坐标，求以两点的线段为直径的圆的标准方程，属于基础题.12.如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若2,1AB AD ==，则DC AB ⋅的取值范围是________．【答案】(0,3) 【解析】 【分析】连接,,BD BC AC ，则()2DC AB DA AB AB BC AC CB ⋅=⋅++⋅+，再由直径AB 可得1cos 2DAB ∠=，90ACB ∠=︒，从而可求DC AB ⋅的值. 【详解】连接,,BD BC AC因为AB 为直径，故90ADB ∠=︒，而2,1AB AD ==，所以1cos 2DAB ∠=. 同理90ACB ∠=︒.()2DC AB DA AB BC AB DA AB AB BC AB ⋅=++⋅=⋅++⋅()2112432BC AC CB CB ⎛⎫=⨯⨯-++⋅+=- ⎪⎝⎭，因为C 在BD 之间（异于,B D 两点），故(3BC ∈， 所以()0,3DC AB ⋅∈， 故答案为：(0,3).【点睛】本题考查向量的数量积，其计算方法有定义法、坐标法、基底法等，解题中注意向已知的向量转化.13.已知函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，则函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求得()f x 的零点，然后由(()24)0y f f x x =-+=，求得函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数.【详解】由于函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，当0x <时，30x <，没有零点.当0x ≥时，220x x -=，解得10x =或22x =.令(()24)0y f f x x =-+=，则()240f x x -+=或()242f x x -+=，即()24f x x =-或()22f x x =-.由3240x x x =-⎧⎨<⎩或22240x x x x ⎧-=-⎨≥⎩或3220x x x =-⎧⎨<⎩或2222x x x x ⎧-=-⎨≥⎩. 解得4x =-或2x =，或2x =-，或2x =±所以函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为5.故答案为：5【点睛】本小题主要考查分段函数零点问题，属于中档题. 14.已知点G 是ABC 的重心，且GA GC ⊥，若111tan tan A C+=，则tan B 的值为________． 【答案】12【解析】 【分析】由GA GC ⊥得到0GA GC ⋅=，结合G 是ABC 的重心，得到2225b a c =+，结合余弦定理和正弦定理，求得tan B 的值.【详解】依题意GA GC ⊥，所以0GA GC ⋅=，所以()()0BA BG BC BG -⋅-=①， 因为G 是三角形ABC 的中心，所以()13BG BA BC =+②， 把②代入①并化简得5AC AC BC BC AB AB ⋅=⋅+⋅， 即2225b a c =+，由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+， 所以242cos b ac B =，由正弦定理得22sin sin sin cos B A C B =③， 已知111tan tan A C+=， 所以cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=()sin sin 1sin sin sin sin A C BA C A C+===， 所以sin sin sin B A C =④，由③④得2sin cos B B =，所以1tan 2B =. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数关系以及三角恒等变换，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,10,6,8ABC AB BC AC PC ====，E ，F 分别是,PA PC 的中点，求证：（1）//AC 平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）先证明//EF AC ，//AC 平面BEF 即得证；（2）先证明BC PA ⊥，PA EC ⊥，PA ⊥平面BCE 即得证． 【详解】（1）在PAC 中，E ，F 分别是,PA PC 的中点， 所以//EF AC ．又因为EF ⊂平面BEF ，AC ⊄平面BEF ， 所以//AC 平面BEF ．（2）在ABC 中，10,6,8AB BC AC === ， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥． 因为PC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PC BC ⊥．又因为,,BC PC AC PC C AC ⊥⋂=⊂平面,PAC PC ⊂平面PAC ． 所以BC ⊥平面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥ 在PAC 中，因为AC PC =，E 为PA 的中点， 所以PA EC ⊥．又因为,,PA BC CE BC C CE ⊥⋂=⊂平面,BCE BC ⊂平面BCE ． 所以PA ⊥平面BCE ．【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力.16.已知函数2()2cos cos 2,46f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()f x 的最小值； （2）在ABC 中，03A π<<，且1()2f A =-，若2,AC BC ==B 的大小． 【答案】（1）1（2）2B π=.【解析】 【分析】（1）用降次公式，两角和与差公式，辅助角公式化简()f x ，再求得最小值； （2）由1()2f A =-，求得角A ，再由正弦定理求得角B . 【详解】（1）2()2cos cos 246f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2cos2cos sin 2sin 266x x x πππ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭11sin 2sin 22x x x =-+-31sin 22x x =+-123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为当()3x k k Z ππ=+∈时，cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为1-，所以()f x 的最小值为1（2）由（1）知，1()1232f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，即cos 232A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 因为03A π<<，所以233A πππ<+<，所以5236A ππ+=，即4A π=．在ABC 中，因为2AC =，BC =由正弦定理sin sin AC BC B A=，得2sin sin 4B π=，所以sin 1B =．因为0B π<<，所以2B π=．【点睛】本题考查了降次公式，两角和与差公式，辅助角公式，已知三角函数值求角，正弦定理，属于中档题.17.如图，在市中心有一矩形空地,100m,75m ABCD AB AD ==．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边,AD AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为2400m ，求喷泉区域面积的最小值； （2）若100m MN =，求假山区域面积的最大值． 【答案】（1）2200m π；（2）212503m . 【解析】 【分析】（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，根据假山区域面积为2400m ，找到r 与θ的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地ABCD 内，即验证是否能取到最小值；（2）由（1）根据以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，求得θ的范围，再将假山区域面积用θ表示出来，再求最值.【详解】解：（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，半圆的圆心为O ．在直角三角形AMN 中，2MAN π∠=，所以2sin ,2cos AM r AN r θθ==．因为假山区域面积为2400m ， 所以2112sin 2cos sin 240022AM AN r r r θθθ⋅=⨯⨯== 所以2400sin 2r θ=，所以喷泉区域面积22002002sin 2S r πππθ==喷泉， 当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时取等号．此时20r =．因为点O 到CD 的距离112d AD AM =-，点O 到BC 的距离212d AB AN =-，所以175sin 7520d r r θ=-=->=，即1d r >，2100cos 10020d r r θ=-=->=，即2d r >．所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内． 所以当4πθ=时，S 喷泉取得最小值2200m π．喷泉区域面积的最小值为2200m π．（2）由（1）知，若100m MN =，则2100,100sin ,100cos r AM AN θθ===． 所以点O 到CD 的距离175sin 7550sin d r θθ=-=-， 点O 到BC 的距离210050cos d θ=-， 因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，所以12,,d r d r ⎧⎨⎩即7550sin 50,10050cos 50,θθ-⎧⎨-⎩所以1sin 2θ≤．又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．所以假山区域面积11100sin 100cos 2500sin 222S AM AN θθθ=⋅=⨯⨯=假山， 因为0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以20,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当6πθ=时，假山区域面积的最大值为2．【点睛】本题是三角函数在几何中的应用题，结合考查了直线与圆的位置关系，二倍角公式，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y bC b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．【答案】（1）2213620x y +=；（2）515100x ±-=；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由题得22363b -=b 的值，即得椭圆2C 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，得到韦达定理，再根据ABOAOFBOFSSS=+11||2OF y =21||2OF y +求出m 的值，即得直线AB 的方程； （3）设()()1122,,,,A x y B x y 先求出,,A B C 的坐标，得到533OA CD k k ==．所以//OA CD ，又53AD OC k k ==，所以//OC AD ．即得四边形AOCD 是平行四边形． 【详解】（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长1225b =22111224c a b =-=，椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距222236c b =-． 因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即22363b -= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=． （2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线，设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2259259y m m ==++， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSSSOF yOF y O y y y F y =+=+=-=-===， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上，所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =．代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,44x y ==，即321,,,4488A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC 的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,44C ⎛- ⎝⎭．又(6,0)D ，所以3OA CD k k ==． 又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又21AD OC k k ==-，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和面积的计算，考查直线方程的求法和位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 19.已知函数()(1ln )()m R f x x x m =++∈． （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 【答案】（1）21y x m =+-；（2）答案见解析；（3）{1,2,3}. 【解析】 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()g x 的表达式，利用()'g x ，对m 分成0m ≤，0m >两种情况进行分类讨论，由此求得()g x 的单调区间.（3）由()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，得到(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立，由此构造函数()(1ln )m x x x mx m =+-+，利用来导数研究()m x 的单调区间和最值，由此求得整数m 的取值集合.【详解】（1）()2ln '=+f x x ，所以(1)2f '=，()11f m =+， 所以所求切线方程为()121y m x --=-，即21y x m =+-． （2）由已知，()()1ln f x mg x x x x x x=+=+++， 所以2221()1m x x mg x x x x+-'=-+=． 当0m ≤时，()()0,g x g x '>的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，令()0g x '=，得12x -+=或12x --=（舍去），10,2x ⎛-+∈ ⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 综上，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，函数的单调递减区间为⎛ ⎝⎭，函数的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （3）由已知(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立， 设()(1ln )m x x x mx m =+-+，令()'ln 20m x x m =+-=，得2m x e -=．当()20,m x e -∈时，()'0,()m x m x <单调递减；当()2,m x e-∈+∞时，()'0,()m x m x >单调递增．所以()min 22[()]m m m x m e m e--==-，设2()m h m m e-=-，令2()10m h m e -'=-=，得2m =．当),(2m ∈-∞时，()()0,h m h m '>单调递增； 当(2,)m ∈+∞时，()()0,h m h m '<单调递减． 又(0)0h <，1(1)10h e-=->，0(2)20h e =->，(3)30h e =->，2(4)40h e =-<，所以满足题意的整数m 构成的集合为{1,2,3}．【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn nS b a =()N n *∈，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围． 【答案】（1）1(1)2n b n =+；（2）证明见解析；（3）(]20,log 3. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得1b 和数列{}n b 的公差，由此求得数列{}n b 的通项公式.（2）由（1）得到*1(1),2n n S n n N a =+∈，进而得到数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，求得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而证得数列{}n a 是等差数列.（3）先求得n c 的表达式，然后求得1n n c c +-的表达式，对1a 进行分类讨论，结合数列{}n c 的单调性，求得1a 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-． 由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=， 因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+． （2）由（1）知，*1(1),2n n S n n N a =+∈， 即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 两边除以(1)n n +得，()*101n na a n N n n+-=∈+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列． 所以111n a a a n ==，即1n a na =， 所以11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 等差数列．（3）因为n n n S b a =，所以11(1)22n n n n n S a a ++==， 所以111(1)22n n n na a S n n a c ++==． 因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)122222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，当*n N ∈时，211,1223n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭． 显然10a ≠，①若10a <，则11111,0222a a nn >->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ②若12log 3a >，则111,02322k k a a n n <-<+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ③若21log 3=a ，则1123k a =，所以当1n =，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =． ④若120log 3a <<，则111132a <<． 当1221a n <-，且*n N ∈时，1n n c c +>，{}n c 单调递增； 当1221a n >-，且*n N ∈时，1n n c c +<，{}n c 单调递减， 不妨取()*0120002log ,2k a k N k k +=∈，则001k k c c +=． 综上，若存在*12,k k N ∈，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是(]20,log 3.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查由递推关系证明等差数列，考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4-2：矩阵与变换 21.已知矩阵 1 1 4a A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．【答案】（1）2a =；（2）矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据矩阵A 的特征多项式列方程，结合矩阵A 的特征值求得a 的值. （2）由（1）求得另一个特征值，根据特征向量的求法，求得对应的特征向量. 【详解】（1）由已知，矩阵A 的特征多项式为1()(1)(4)14af a λλλλλ--==--+-，令()0f λ=得，2540a λλ-++=．因为矩阵A 的一个特征值为2，所以上述方程有一个实数解2λ=， 所以2a =．（2）由（1）得，2560λλ-+=，解得122,3λλ==， 所以另一个特征值为3λ=． 设其对应的一个特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12314x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，取1x =，则1y =． 所以矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本小题主要考查根据特征值求参数，考查特征值和特征向量的求法，属于中档题. B.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C，求实数m 的值．【答案】2m =±． 【解析】 【分析】将椭圆C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的参数方程代入椭圆方程，结合直线的参数方程中参数的几何意义与韦达定理即可求出答案．【详解】解：将椭圆C 的参数方程2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程得2214x y +=，将直线l的参数方程代入椭圆方程得2244022m t ⎛⎫⎛⎫++⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即225402t m ++-=， 由()22524402m m ∆=-⋅->得，m < 设12,t t 为两交点对应的参数，∴()2121224,55m t t t t -+=-=，∴()()()()222221212128482048425525m mm t t t t t t ---=+-=-=，∵直线l截椭圆所得弦长为5， ∴()28204322525m -=，2m =±，符合>0∆， ∴2m =±．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题．C．选修4-5：不等式选讲23.若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++≥． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】利用柯西不等式证得不等式成立.【详解】因为()22222221111149232323a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2222()4911149a b c a b c++++++． 又7a b c ++=， 所以2224936a b c ++【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，且60BAD ∠=︒，M 是侧棱1DD 的中点，N 是棱11C D 上的点．（1）求异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M AC N --的大小为4π，试确定点N 的位置．【答案】（1）10；（2）点N 与点1C 重合. 【解析】 【分析】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ，可以证明DE DC ⊥，11,D D DC D D DE ⊥⊥，从而建立如图所示的空间直角坐标系.（1）算出1,BD AM 的坐标后可求1,BD AM 的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值. （2）算出平面AMC 的法向量和平面ACN 的法向量后再计算它们夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值.【详解】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ， 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等， 所以底面ABCD 是菱形．又60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形， 所以DE AB ⊥，因为//AB DC ，所以DE DC ⊥． 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，DC ，DE ⊂平面ABCD ，所以11,D D DC D D DE ⊥⊥．分别以直线1,,DE DC DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则1(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)D A B C D M -．所以1(3,1,2),(3,1,1)BD AM =--=-， 设异面直线1BD 与AM 所成角的大小为θ，则1113cos |cos ,|||||2BD AM BD AM BD AM θ⋅=〈〉===⋅，所以异面直线1BD 与AM （2）由（1）知，(3,3,0),(3,1,1)AC AM =-=-． 设平面AMC 的法向量为()1111,,n xy z =，则11n AC n AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11n ACn AM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，所以1111130,0.y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩取13x =，则111,2y z ==，即平面AMC 的一个法向量为1(3,1,2)n =． 设(0,,2),02N λλ，则(0,2,2)CN λ=-．设平面ACN 的法向量为()2222,,n x y z =，则22n AC n CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2200n AC n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222230,(2)20.y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取23x =，则2221,2y z λ-==， 即平面ACN 的一个法向量为223,1,2n λ-⎛⎫= ⎪⎭． 则121212coscos 42n n n n n n π⋅=<⋅>===⋅ 解得2λ=．所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合．【点睛】本题考查空间角的计算，此类问题我们可以借助于空间中直线的方向向量和平面的法向量来帮助计算，比如异面直线所成角的的余弦值就是它们所在直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，二面角的平面角的余弦值就是两个平面的法向量的夹角的余弦值或其相反数（结合二面角的大小来考虑）.25.设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++ （2k ≥，k *∈N ）．（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k 的值；（2）设222n n k +-=（n *∈N ），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这1k +个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n *∈N ．记123n t t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)!n P n >-．【答案】（1）9k =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用题目所给展开式中第5项与第7项的系数之比列方程，解方程求得k 的值. （2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得n P 的表达式，构造数列()*(1)22,2n n n n a n n N +=-∈，判断出数列{}n a 的单调性，由此证得不等式成立 【详解】（1）因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，即44662328k k C C ⋅=⋅，所以4632k k C C =，即303(4)(5)2k k =--，所以292020k k -+=，解得0k =或9k =．因为*2,k k N ≥∈，所以9k =．（2）由题意，最小数在第n 列的概率为2212n n n n =++，去掉第n 列已经排好的n 个数，则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最小值在第1n -列的概率为12(1)2n n n n -=-， ………… 以此类推，余下的数中最小数在第2列的概率为23， 所以12222213(1)3(1)!n nnP n nn n n -=⨯⨯⨯==++⨯⨯⨯+． 由于2222n n k +-=，所以2n ≥．设()*(1)22,2nn n n a n n N +=-∈， 所以()*1212,nn n a a n n n N +-=--∈．记()*212,nn b n n n N=--∈，所以1210n n n bb +-=->，所以{}n b 是递增数列，所以210n b b =>；{}n a 是递增数列，所以21n a a =，所以(1)22nn n +>，所以2(1)1(1)!2(1)!2(1)!n n n n n n +>=++-，即12(1)!n P n >-．【点睛】本小题主要考查二项式展开式的系数，考查相互独立事件概率计算，考查数列的单调性，属于难题.。
2020届江苏省南通市高三下学期第四次调研测试数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市高三下学期第四次调研测试数学试题一、填空题1．已知集合{}3,1,1,3A =--，{}2230B xx x =--=∣，则A B =________．【答案】{1,3}-【解析】解一元二次方程求得集合B ，由此求得A B .【详解】由()()223310x x x x --=-+=解得1x =-或3x =，所以{}1,3B =-，所以A B ={1,3}-故答案为：{1,3}- 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．已知复数z 满足()24z i -=，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 【答案】2【解析】由已知求出24z i =-，即得z 的实部. 【详解】 由题得24424iz i i i-===-， 所以24z i =-， 所以z 的实部为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数实部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[]48,58中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[]50,56的女生数为________．【答案】75【解析】先根据频率分布直方图求出所求区间的频率，然后乘以总人数即为所求. 【详解】由频率分布直方图可知，体重在区间[]50,56的频率为()20.1000.1500.1250.75++=，所以体重在区间[]50,56的女生数为0.7510075.⨯=故答案为：75【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为7-，则输入的x的值为________．【答案】1【解析】模拟程序的运行过程可知该程序的功能是求分段函数的函数值，利用分类讨论即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行过程可知，该程序的功能是求分段函数6,228,23x xyxx-≥⎧⎪=⎨-<⎪-⎩的函数值，当2x ≥时，67x -=-，得1x =-，不符合题意； 当2x <时，2873x-=--，得1x =，符合题意； ∴输入的x 的值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查程序与算法的应用，属于基础题．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y -=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为________． 【答案】17【解析】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||16MF MF -=，令2||1MF =即得解. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||2816MF MF -=⨯=,所以11|||1|2816||17MF MF -=⨯=∴=，或15-（舍）. 所以点M 到另一个焦点的距离为17. 故答案为：17. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6．已知区域{(,)|||2A x y x =，||2}y 和{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +，若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为________． 【答案】18【解析】分别求出集合A ，B 所对应的区域的面积，然后根据几何概型的概率公式即可求解． 【详解】因为{(,)|||2A x y x =，||2}y 表示的区域是以4为边长的正方形，面积为16， 由{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +可知，其区域为如图所示的阴影部分，面积12222S =⨯⨯=，故在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率21 168P==.故答案为：18.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析数学问题的能力.7．若实数x，y满足34x y+=，则28x y+的最小值为________．【答案】8【解析】利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】依题意3334282222222228x y x y x y x y++=+≥⋅===，当且仅当322x y=，即32x y==时等号成立.所以28x y+的最小值为8.故答案为：8【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8．已知数列{}n a满足112n nn na aa a+++=-，且119a=，则6a的值为________．【答案】27【解析】根据已知条件判断出数列{}n a是等比数列，进而求得6a的值.【详解】由于112n nn na aa a+++=-，1122n n n na a a a+++=-，13n na a+=，所以13nnaa+=，所以数列{}na是首项为119a=，公比为3q=的等比数列，所以55361133279a a q =⋅=⨯==. 故答案为：27 【点睛】本小题主要考查根据递推关系求某一项的值，考查等比数列的定义，属于基础题. 9．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为________． 【答案】13【解析】根据题意可知函数的周期为3，可得()()()(2)1,81-==-f f f f ，然后根据函数的奇偶性可得()1f ，最后利用函数的周期性可得(2020)f 【详解】由题可知：函数()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数 所以()()()()(2)1,811-==-=-f f f f f ， 又(2)2(8)1f f -=+所以(1)2(1)1=-+f f ，则1(1)3f =所以()()1(2020)6733113=⨯+==f f f 故答案为：13【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键在于观察，利用函数的周期性，把大数变小数，属基础题.10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数（V ）、棱数（E ）、面数（F ）之间存在如下关系：2V F E +-=．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为12,S S ，则12S S 的值为________．【答案】32【解析】设棱长为a ，分别求出正六面体和正八面体的外接球半径即可. 【详解】 设棱长为a正六面体即正方体，它的外接球的半径等于体对角线的一半，所以13R a =对于正八面体，易得AC BD EF ==，故其外接球的球心为AC 中点，所以222R a =所以2211222234342424aS R S R a ππ=== 故答案为：32【点睛】本题考查的是几何体外接球，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线2:330x l -+=与圆22:4C x y +=的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为________．【答案】2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】直线l 的方程与圆C 方程联立，求出两交点,A B ，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，可求得圆的标准方程.【详解】由2:330x y l -+=与22:4C x y +=联立得22(323)4y y -+=， 得1y =或2y =，则两交点坐标为(3,1),(0,2)A B -，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，则圆心33(,)22-，半径为12AB =， 圆M 的标准方程为2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了求直线与圆的交点坐标，求以两点的线段为直径的圆的标准方程，属于基础题.12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若2,1AB AD ==，则DC AB ⋅的取值范围是________．【答案】(0,3)【解析】连接,,BD BC AC ，则()2DC AB DA AB AB BC AC CB ⋅=⋅++⋅+，再由直径AB 可得1cos 2DAB ∠=，90ACB ∠=︒，从而可求DC AB ⋅的值. 【详解】连接,,BD BC AC因为AB 为直径，故90ADB ∠=︒，而2,1AB AD ==，所以1cos 2DAB ∠=.同理90ACB ∠=︒.()2DC AB DA AB BC AB DA AB AB BC AB ⋅=++⋅=⋅++⋅()2112432BC AC CB CB ⎛⎫=⨯⨯-++⋅+=- ⎪⎝⎭，因为C 在BD 之间（异于,B D 两点），故(BC ∈， 所以()0,3DC AB ⋅∈， 故答案为：(0,3). 【点睛】本题考查向量的数量积，其计算方法有定义法、坐标法、基底法等，解题中注意向已知的向量转化.13．已知函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，则函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为________． 【答案】5【解析】先求得()f x 的零点，然后由(()24)0y f f x x =-+=，求得函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数.【详解】 由于函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，当0x <时，30x <，没有零点.当0x ≥时，220x x -=，解得10x =或22x =.令(()24)0y f f x x =-+=，则()240f x x -+=或()242f x x -+=，即()24f x x =-或()22f x x =-.由3240x x x =-⎧⎨<⎩或22240x x x x ⎧-=-⎨≥⎩或3220x x x =-⎧⎨<⎩或22220x x x x ⎧-=-⎨≥⎩.解得4x =-或2x =，或2x =-，或2x =. 所以函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为5. 故答案为：5 【点睛】本小题主要考查分段函数零点问题，属于中档题. 14．已知点G 是ABC 的重心，且GA GC ⊥，若111tan tan A C+=，则tan B 的值为________． 【答案】12【解析】由GA GC ⊥得到0GA GC ⋅=，结合G 是ABC 的重心，得到2225b a c =+，结合余弦定理和正弦定理，求得tan B 的值. 【详解】依题意GA GC ⊥，所以0GA GC ⋅=，所以()()0BA BG BC BG -⋅-=①， 因为G 是三角形ABC 的中心，所以()13BG BA BC =+②， 把②代入①并化简得5AC AC BC BC AB AB ⋅=⋅+⋅， 即2225b a c =+，由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+， 所以242cos b ac B =，由正弦定理得22sin sin sin cos B A C B =③，已知111tan tan A C+=， 所以cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=()sin sin 1sin sin sin sin A C BA C A C+===， 所以sin sin sin B A C =④，由③④得2sin cos B B =，所以1tan 2B =. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数关系以及三角恒等变换，属于难题.二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,10,6,8ABC AB BC AC PC ====，E ，F 分别是,PA PC 的中点，求证：（1）//AC 平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）先证明//EF AC ，//AC 平面BEF 即得证；（2）先证明BC PA ⊥，PA EC ⊥，PA ⊥平面BCE 即得证． 【详解】（1）在PAC 中，E ，F 分别是,PA PC 的中点， 所以//EF AC ．又因为EF ⊂平面BEF ，AC ⊄平面BEF ， 所以//AC 平面BEF ．（2）在ABC 中，10,6,8AB BC AC === ， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥． 因为PC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PC BC ⊥．又因为,,BC PC AC PC C AC ⊥⋂=⊂平面,PAC PC ⊂平面PAC ．所以BC ⊥平面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥ 在PAC 中，因为AC PC =，E 为PA 的中点， 所以PA EC ⊥．又因为,,PA BC CE BC C CE ⊥⋂=⊂平面,BCE BC ⊂平面BCE ． 所以PA ⊥平面BCE ． 【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力. 16．已知函数2()2cos cos 2,46f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的最小值；（2）在ABC 中，03A π<<，且1()2f A =-，若2,AC BC ==B 的大小．【答案】（1）1-（2）2B π=.【解析】（1）用降次公式，两角和与差公式，辅助角公式化简()f x ，再求得最小值； （2）由1()2f A =-，求得角A ，再由正弦定理求得角B . 【详解】（1）2()2cos cos 246f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2cos2cos sin 2sin 266x x x πππ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭11sin 2sin 222x x x =-+-31sin 22x x =+-123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为当()3x k k Z ππ=+∈时，cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为1-，所以()f x 的最小值为1（2）由（1）知，1()13cos 232f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，即3cos 232A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 因为03A π<<，所以233A πππ<+<，所以5236A ππ+=，即4A π=．在ABC 中，因为2AC =，2BC =，由正弦定理sin sin AC BC B A=，得22sin sin 4B π=，所以sin 1B =．因为0B π<<，所以2B π=．【点睛】本题考查了降次公式，两角和与差公式，辅助角公式，已知三角函数值求角，正弦定理，属于中档题.17．如图，在市中心有一矩形空地,100m,75m ABCD AB AD ==．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边,AD AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为2400m ，求喷泉区域面积的最小值； （2）若100m MN =，求假山区域面积的最大值． 【答案】（1）2200m π；（2）212503m . 【解析】（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，根据假山区域面积为2400m ，找到r 与θ的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地ABCD 内，即验证是否能取到最小值；（2）由（1）根据以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，求得θ的范围，再将假山区域面积用θ表示出来，再求最值. 【详解】解：（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，半圆的圆心为O ． 在直角三角形AMN 中，2MAN π∠=，所以2sin ,2cos AM r AN r θθ==．因为假山区域面积为2400m ， 所以2112sin 2cos sin 240022AM AN r r r θθθ⋅=⨯⨯== 所以2400sin 2r θ=，所以喷泉区域面积22002002sin 2S r πππθ==喷泉， 当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时取等号．此时20r =．因为点O 到CD 的距离112d AD AM =-，点O 到BC 的距离212d AB AN =-，所以175sin 7520d r r θ=-=->=，即1d r >，2100cos 10020d r r θ=-=->=，即2d r >．所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内． 所以当4πθ=时，S 喷泉取得最小值2200m π．喷泉区域面积的最小值为2200m π．（2）由（1）知，若100m MN =，则2100,100sin ,100cos r AM AN θθ===． 所以点O 到CD 的距离175sin 7550sin d r θθ=-=-， 点O 到BC 的距离210050cos d θ=-， 因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，所以12,,d r d r ⎧⎨⎩即7550sin 50,10050cos 50,θθ-⎧⎨-⎩所以1sin 2θ≤．又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 所以假山区域面积11100sin 100cos 2500sin 222S AM AN θθθ=⋅=⨯⨯=假山，因为0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以20,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当6πθ=时，假山区域面积的最大值为212503m ．【点睛】本题是三角函数在几何中的应用题，结合考查了直线与圆的位置关系，二倍角公式，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y bC b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 的面积为10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．【答案】（1）2213620x y +=；（2）515100x ±-=；（3）证明见解析.【解析】（1）由题得22363b-=b 的值，即得椭圆2C 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，得到韦达定理，再根据ABOAOFBOFSSS=+11||2OF y =21||2OF y +求出m 的值，即得直线AB 的方程； （3）设()()1122,,,,A x y B x y 先求出,,A B C 的坐标，得到533OA CD k k ==．所以//OA CD ，又5321AD OC k k ==-，所以//OC AD ．即得四边形AOCD 是平行四边形． 【详解】（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==，椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23=因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=． （2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线，设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以()1,2220259m y m -±==+， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSSSOF y OF yO y y y F y =+=+=-=-===， 化简得4259m =，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上，所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =，从而得，113,4x y ==即321,,,4488A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭．所以21OC k =-，直线OC的方程为21y x =-， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和面积的计算，考查直线方程的求法和位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 19．已知函数()(1ln )()m R f x x x m =++∈． （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 【答案】（1）21y x m =+-；（2）答案见解析；（3）{1,2,3}. 【解析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()g x 的表达式，利用()'g x ，对m 分成0m ≤，0m >两种情况进行分类讨论，由此求得()g x 的单调区间.（3）由()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，得到(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立，由此构造函数()(1ln )m x x x mx m =+-+，利用来导数研究()m x 的单调区间和最值，由此求得整数m 的取值集合. 【详解】（1）()2ln '=+f x x ，所以(1)2f '=，()11f m =+，所以所求切线方程为()121y m x --=-，即21y x m =+-． （2）由已知，()()1ln f x mg x x x x x x=+=+++， 所以2221()1m x x mg x x x x +-'=-+=．当0m ≤时，()()0,g x g x '>的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，令()0g x '=，得x =或x =（舍去），x ⎛∈ ⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；12x ⎛⎫-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 综上，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，函数的单调递减区间为10,2⎛-+ ⎝⎭，函数的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （3）由已知(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立， 设()(1ln )m x x x mx m =+-+，令()'ln 20m x x m =+-=，得2m x e -=．当()20,m x e -∈时，()'0,()m x m x <单调递减；当()2,m x e-∈+∞时，()'0,()m x m x >单调递增．所以()min 22[()]m m m x m e m e--==-，设2()m h m m e-=-，令2()10m h m e -'=-=，得2m =．当),(2m ∈-∞时，()()0,h m h m '>单调递增； 当(2,)m ∈+∞时，()()0,h m h m '<单调递减． 又(0)0h <，1(1)10h e-=->，0(2)20h e =->，(3)30h e =->，2(4)40h e =-<，所以满足题意的整数m 构成的集合为{1,2,3}． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn nS b a =()N n *∈，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围． 【答案】（1）1(1)2n b n =+；（2）证明见解析；（3）(]20,log 3.【解析】（1）根据已知条件求得1b 和数列{}n b 的公差，由此求得数列{}n b 的通项公式. （2）由（1）得到*1(1),2n n S n n N a =+∈，进而得到数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，求得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而证得数列{}n a 是等差数列.（3）先求得n c 的表达式，然后求得1n n c c +-的表达式，对1a 进行分类讨论，结合数列{}n c 的单调性，求得1a 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-． 由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=， 因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+． （2）由（1）知，*1(1),2n n S n n N a =+∈， 即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 两边除以(1)n n +得，()*101n na a n N n n+-=∈+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列．所以111n a a a n ==，即1n a na =， 所以11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 是等差数列． （3）因为n n n S b a =，所以11(1)22n n n n n S a a ++==， 所以111(1)22n n n na a S n n a c ++==．因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)122222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，当*n N ∈时，211,1223n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭． 显然10a ≠，①若10a <，则11111,0222a a nn >->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ②若12log 3a >，则111,02322k ka a n n <-<+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ③若21log 3=a ，则1123k a =，所以当1n =，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =． ④若120log 3a <<，则111132a <<． 当1221a n <-，且*n N ∈时，1n n c c +>，{}n c 单调递增； 当1221a n >-，且*n N ∈时，1n n c c +<，{}n c 单调递减， 不妨取()*0120002log ,2k a k N k k +=∈，则001k k c c +=． 综上，若存在*12,k k N ∈，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是(]20,log 3.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查由递推关系证明等差数列，考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21．已知矩阵 1 1 4a A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2．（1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．【答案】（1）2a =；（2）矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）根据矩阵A 的特征多项式列方程，结合矩阵A 的特征值求得a 的值. （2）由（1）求得另一个特征值，根据特征向量的求法，求得对应的特征向量. 【详解】（1）由已知，矩阵A 的特征多项式为1()(1)(4)14af a λλλλλ--==--+-，令()0f λ=得，2540a λλ-++=．因为矩阵A 的一个特征值为2，所以上述方程有一个实数解2λ=， 所以2a =．（2）由（1）得，2560λλ-+=，解得122,3λλ==， 所以另一个特征值为3λ=． 设其对应的一个特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12314x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，取1x =，则1y =． 所以矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本小题主要考查根据特征值求参数，考查特征值和特征向量的求法，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C，求实数m 的值． 【答案】2m =±．【解析】将椭圆C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的参数方程代入椭圆方程，结合直线的参数方程中参数的几何意义与韦达定理即可求出答案．【详解】解：将椭圆C 的参数方程2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程得2214xy +=，将直线l的参数方程代入椭圆方程得2244022m ⎛⎫⎛⎫++⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即225402t m ++-=， 由()22524402m m ∆=-⋅->得，m <<， 设12,t t 为两交点对应的参数，∴()2121224,55m t t t t -+=-=，∴()()()()222221212128482048425525m mm t t t t t t ---=+-=-=，∵直线l截椭圆所得弦长为5， ∴()28204322525m -=，2m =±，符合>0∆， ∴2m =±． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题． 23．若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++≥． 【答案】证明见解析.【解析】利用柯西不等式证得不等式成立. 【详解】因为()22222221111149232323a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2222()4911149a b c a b c++++++． 又7a b c ++=，所以2224936a b c ++ 【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.24．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，且60BAD ∠=︒，M 是侧棱1DD 的中点，N 是棱11C D 上的点．（1）求异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M AC N --的大小为4π，试确定点N 的位置． 【答案】（110（2）点N 与点1C 重合. 【解析】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ，可以证明DE DC ⊥，11,D D DC D D DE ⊥⊥，从而建立如图所示的空间直角坐标系.（1）算出1,BD AM 的坐标后可求1,BD AM 的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值.（2）算出平面AMC 的法向量和平面ACN 的法向量后再计算它们夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值. 【详解】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ， 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等， 所以底面ABCD 是菱形．又60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形， 所以DE AB ⊥，因为//AB DC ，所以DE DC ⊥． 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，DC ，DE ⊂平面ABCD ，所以11,D D DC D D DE ⊥⊥．分别以直线1,,DE DC DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则1(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)D A B C D M -．所以1(3,1,2),(3,1,1)BD AM =--=-， 设异面直线1BD 与AM 所成角的大小为θ，则11131210cos |cos ,|5||||225BD AM BD AM BD AM θ⋅-+=〈〉===⋅⨯，所以异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为105． （2）由（1）知，(3,3,0),(3,1,1)AC AM =-=-． 设平面AMC 的法向量为()1111,,n x y z =，则11n AC n AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11n ACn AM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，所以11111330,30.x y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩取13x =，则111,2y z ==，即平面AMC 的一个法向量为1(3,1,2)n =． 设(0,,2),02N λλ，则(0,2,2)CN λ=-．设平面ACN 的法向量为()2222,,n x y z =，则22n AC n CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2200n AC n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2222330,(2)20.x y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取2x =，则2221,2y z λ-==， 即平面ACN 的一个法向量为223,1,2n λ-⎛⎫= ⎪⎭．则121212coscos 422n n n n n n π⋅=<⋅>===⋅， 解得2λ=．所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合． 【点睛】本题考查空间角的计算，此类问题我们可以借助于空间中直线的方向向量和平面的法向量来帮助计算，比如异面直线所成角的的余弦值就是它们所在直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，二面角的平面角的余弦值就是两个平面的法向量的夹角的余弦值或其相反数（结合二面角的大小来考虑）. 25．设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++ （2k ≥，k *∈N ）．（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k 的值；（2）设222n n k +-=（n *∈N ），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这1k +个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n *∈N ．记123nt t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)!n P n >-．【答案】（1）9k =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用题目所给展开式中第5项与第7项的系数之比列方程，解方程求得k 的值.（2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得n P 的表达式，构造数列()*(1)22,2n n n n a n n N +=-∈，判断出数列{}n a 的单调性，由此证得不等式成立 【详解】（1）因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，即44662328k k C C ⋅=⋅，所以4632k k C C =，即303(4)(5)2k k =--，所以292020k k -+=， 解得0k =或9k =．因为*2,k k N ≥∈，所以9k =．（2）由题意，最小数在第n 列的概率为2212n n n n =++，去掉第n 列已经排好的n 个数，则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最小值在第1n -列的概率为12(1)2n n n n -=-， ………… 以此类推，余下的数中最小数在第2列的概率为23， 所以12222213(1)3(1)!n nn P n nn n n -=⨯⨯⨯==++⨯⨯⨯+． 由于2222n n k +-=，所以2n ≥．设()*(1)22,2nn n n a n n N +=-∈， 所以()*1212,nn n a a n n n N +-=--∈．记()*212,nn b n n n N=--∈，所以1210n n n bb +-=->，所以{}n b 是递增数列，所以210n b b =>；{}n a 是递增数列，所以21n a a =，所以(1)22nn n +>，所以2(1)1(1)!2(1)!2(1)!n n n n n n +>=++-，即12(1)!n P n >-．【点睛】本小题主要考查二项式展开式的系数，考查相互独立事件概率计算，考查数列的单调性，属于难题.。
2020届江苏省普通高中高三下学期高考全真模拟卷(四)数学试题(解析版)
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江苏省普通高中
2020届高三下学期高考全真模拟卷(四)
(南通密卷)
数学试题
(解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集运算即可求解.
【详解】因为，，
所以
【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于容易题.
2.已知复数，其中i为虚数单位，则的模是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的运算求出，求复数模即可.
【详解】因为，
所以，
故，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,复数的模,属于容易题.
3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n的值是
___________．
【答案】108
【解析】
【分析】
根据小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2,可知分层抽样时,高中生按的比例抽样即可求解.
【详解】因为小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2,
所以样本中高中生人数为,
解得,
故答案为：108
【点睛】本题主要考查了分层抽样,样本容量,属于容易题.
4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x的值为5,那么输出的y的值是
___________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据框图,模拟程序运算即可求解.。
2020届江苏省南通市高考数学四模试卷(含解析)
2020届江苏省南通市高考数学四模试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x>a}，且A∩B≠⌀，则a的取值范围是______ ．2.已知i是虚数单位，复数z=1+2i的虚部是．1+i3.程序框图(算法流程图)如图所示，其输出结果．4.某学院为了调查学生2018年9月“健康使用手机”(健康使用手机指每天使用手机不超过3小时)的天数情况，随机抽取了80名学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，……，(25,30]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为______．5. 已知曲线C ：mx 2+4y 2−4m =0(x ≤0)，点A(−2,0)，若实数m 与曲线C 同时满足条件曲线C 上存在B 、C ，使△ABC 为正三角形，则实数m 的取值范围是______．6. 甲乙丙丁4人入住宾馆中的4个房间，其中的房号101与102对门，103与104对门，若每人随机地拿了这4个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为______．7. 轴截面为等边三角形的圆锥叫作等边圆锥，底面半径为2的等边圆锥的体积为______ ．8. 已知函数f(x)=lnx −x 2，则f(x)在x =1处的切线方程为______．9. 在△ABC 中，点O 满足BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，过O 点的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则mn 的最大值是______ ． 10. 设z =2x +5y ，其中实数x ，y 满足6≤x +y ≤8且−2≤x −y ≤0，则z 的取值范围是______ ．11. 在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为P′(y x 2+y 2,−xx 2+y 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A ；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y 轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是______(写出所有真命题的序列)．12. 已知等比数列{a n }的各项为正数，前n 项和为S n ，若S 3=65，a 3=45，则a 1=______．13. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(6,x)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 的值为______ ．14. 方程|x −1|+|x −3|=2的解集为______．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15.将函数y=Asin(x+φ)图象的横坐标缩短为原来的1ω，得到函数y= f(x)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象，且y=f(x)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设θ∈(0,π2)，且f(θ)=−3√35，求cos(2θ+7π12)的值．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB=BC=√5，AC=AA1=2．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BEF；(Ⅱ)求三棱锥C1−BCD的体积．17.某服装制造商现有10m2的棉布料，10m2的羊毛料，和6m2的丝调料，做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．一条裙子雷要1m2的棉布料，1m2的羊毛料，1m2的丝绸料．一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，需要安排生产这两种服装的计划，请你列出生产这两种服装件数所要满足的数学关系式，并画出图形，18.如图所示，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，D(√2,−√22)为椭圆上一点，且e=√32．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另外一点E，直线PB交椭圆于另外一点F．①求直线PA与PB的斜率之积；②试判断△PEF和△PAB的面积之比是否为PF2PB2？说明理由．19.已知f(x)=lnx，g(x)=12ax2+bx(a≠0)，ℎ(x)=f(x)−g(x)(Ⅰ)当a=4，b=2时，求ℎ(x)的极大值点；(Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点做x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．20.在等比数列{a n}中，a2+a5=18，a3⋅a4=32，且a n+1<a n(n∈N∗)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若T n=lga1+lga2+⋯+lga n，求T n的最大值及此时n的值．21.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．求逆矩阵M−1以及椭圆x24+y29=1在M−1的作用下的新曲线的方程．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−√32t y =1+12t，(t 为参数)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ，(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 已知函数f(x)=e x −ax −1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．(1)当a >0时，求f(x)的极值；(2)若存在实数x 1，x 2∈[0,2]，得f(x 1)=f(x 2)，且|x 1−x 2|≥1，求证e −1<a <e 2−e ．24. 如图，抛物线C 的方程为y 2=4x ，已知点M(−1,0)，N(1,0)，直线l的方程为y =k(x −1)(k >0)，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)若S △AMNS △BMN =3时，求直线l 的方程；(2)若tan∠AMN =√32时，求△AMB 的外接圆半径．25.已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项。
江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题含附加题 含答案
江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{﹣3，﹣1，1，3}，B ＝{}2230x x x −−=，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(z ﹣2)i ＝4，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[48，58]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[50，56]的女生数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为﹣7，则输入的x 的值为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y −=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为 ．6．已知区域A ＝{}()2, 2x y x y ≤≤，和B ＝{}()0, 0, 2x y x y x y >>+≤，．若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为 ． 7．若实数x ，y 满足x ＋3y ＝4，则28xy+的最小值为 ． 8．已知数列{}n a 满足112n n n n a a a a +++=−，且119a =，则6a 的值为 ．9．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数， 且(2)2(8)1f f −=+，则(2020)f的值为 ．10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数(V)、棱数(E)、面数(F)之间存在如下关系：V ＋F ﹣E ＝2．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为S 1，S 2，则12S S 的值为 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l：0x +=与圆C ：224x y += 的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ．12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若AB ＝2，AD ＝1，则DC ⋅ AB 的取值范围 是 ．13．已知函数230()20x x f x x x x <⎧=⎨−≥⎩，，，则函数(()24)y f f x x =−+的不同零点的个数为．14．已知点G 是△ABC 的重心，且GA ⊥GC ，若111tan A tan C+=，则tanB 的值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P—ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝10，BC ＝6，AC ＝PC ＝8，E ，F 分别是PA ，PC 的中点，求证：（1）AC ∥平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．已知函数2()2cos ()cos(2)46f x x x ππ=+++，x ∈R ．（1）求()f x 的最小值；（2）在△ABC 中，0＜A ＜3π，且1(A)2f =−，若AC ＝2，BC B 的大小．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB ＝100m ，AD ＝75m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为400m 2，求喷泉区域面积的最小值； （2）若MN ＝100m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22195x y +=与C 2：222136x y b +=(0＜b ＜6)的离心率相等．椭圆C 1的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 1交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆C 2交于点C ，椭圆C 2的右顶点为D ．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）若△ABO AB 的方程； （3）若AF ＝2BF ，求证：四边形AOCD 是平行四边形．已知函数()(1ln )f x x x m =++(m ∈R)． （1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n nS b a =(n N *∈)，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 4a ⎡⎤⎢⎥−⎣⎦的一个特征值为2． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C所截得的弦长为5，求实数m的值．C ．选修4—5：不等式选讲若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝7，求证：2224936a b c ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD ＝60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．（1）求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M—AC—N 的大小为4π，试确定点N 的位置．23．（本小题满分10分）设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++（2k ≥，N k *∈）． （1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3：8，求k 的值；（2）设222n n k +−=（N n *∈），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这k ＋1个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n N *∈．记123n t t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)n P n >−！．江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题参考答案1．{﹣1，3} 2．2 3．75 4．1 5．17 6．187．8 8．279．13 10．32 11．223(()122x y ++−= 12．(0，3) 13．5 14．1215．16．17．解：18．19．20．21．ABC22．23．。
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)
2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)(南通教研室)学生版
(θ 为参数)求直线 l 与曲线 C 的交点坐标.
y＝2 ｜c o s θ ｜，
19
2020 年江苏高考数学全真模拟试卷三
（南通教研室）---立体几何 22
主讲：朱俊杰
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20
22．（本小题满分 10 分）
如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,AB⊥ AC,AP=AC=4,AB=2,D,E
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16
20.(本小题满分 16 分) 对 于 给 定 的 数 列 {an},{bn}, 设 ck= max{ka1+b1,ka2+b2, … ,
kak+bk}(k=1,2,… ,n), 即 ck 是 ka1+b1,ka2+b2,… , kak+bk 中的最大值,则称数列{cn}是数列{an},{bn}的 “和谐数列” (1)设 an=n+1,bn=2n 求 c1,c2, c3 的值,并证明数列{cnn }是等差数列； (2)设数列{an},{bn}都是公比为 q 的正项等比数列,若数列{cn}是等差数列,求公比 q 的取值范围; (3) 设数列{an}满足 an＞0,数列{cn}是数列{an},{bn}的“和谐数列”,且 kai＋ bi＋
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22
23.(本小题满分 10 分) 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形
(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当 n 依次取 0,1,2,3,… 时(a＋b)n 展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{an}. 例:a1=1,a2=1+1,a3=1+2 ,… .
2020年江苏南通高三下学期高考模拟数学试卷
，
．
，
，求函数 的单调增区间．
16. 如图，在四棱锥
锐角
所在平面
中，底面
底面
，
为梯形，
，
， 交 于，
，点 在侧棱 上，且
．
2
（ 1 ） 求证： （ 2 ） 求证：
平面
．
．
17. 在平面直角坐标系 中，圆
，直线
点，弦 过点 ，过点 作 的垂线交 于点 ．
（1） 若
，求
的面积．
（ 2 ） 判断直线 与圆 的位置关系，并证明．
2 若对任意 ，
，必存在
使得
，求数列 的通项公式．
（ ， ， 为常
，已知
，且
20. 若实数 满足 （ 1 ） 求函数
，则称
为函数
的不动点．
的不动点．
3
（ 2 ） 设函数
1若
时，存在一个实数
，其中 ， ， 为实数．
，使得
既是
点（
是函数 的导函数），求实数 的取值范围．
2令
，若存在实数 ，使 ，
，
为正数的等比数列，求证：函数 存在不动点．
， ，
， ，
，所以直线
， 与圆 相切，得证．
时，体积最大．
设
，则
，
，
若以 为底、 为高，则圆柱底面半径
，
，
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，
若以 为底， 为高，则圆柱底面半径
，
，
，
当 所以
时，
，令
，得
、
，
，当
时，
，
，
2020年江苏高考数学全真模拟试卷四全卷+学生
2020年江苏高考数学全真模拟试卷四（南通教研室）数学Ⅰ试题A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A ={x ｜x ≥0},B =(－2,－1,0,2)，则A ∩B =▲．2.已知复数z ＋i =－3＋ii,其中i 为虚数单位，则z 的模是▲．3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4:3:2.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n 的值是▲．4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x 的值为5,那么输出的y 的值是▲．5.函数y =log 3(－x ＋5x －6)的定义域是▲．6.某国家队“短道速滑”项目有A ,B ,C ,D ，4名运动员.若这四人实力相当,现从中任选2名参加2022年北京冬奥会,则A ,B 至少有1人被选中的概率是▲．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C :x 2a 2－y 2b 2=1(a >0，b >0)的一条渐近线垂直于直线y ＝2x －1则双曲线C 的离心率是▲．8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm .当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高是▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.（第4题图）Read x If x ≤4Theny ←6x Elsey ←x ＋5End If Print y（第8题）9.若S n ,是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,则a 9a 6＝▲．10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋4)=f (x ),当0≤x ≤2时,f (x )=－x 2+ax ＋b ,对f (－1)的值是▲．11.已知三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB =4，点A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动,则OA →・OC →的最大值是▲．12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为x 2+（y －1）2=4.过点P (x 0，y 0)存在直线l 被圆C 截得的弦长为23,则实数x 0的取值范围是▲．13.已知函数f (x )=（a ＋1）x 2－bx ＋a ，若函数f (x )有零点、且与函数y ＝f (f (x ))的零点完全相同，则实数b 的取值范围为▲．14.如图，在ABC 中已知2BC 2+AB 2=2AC 2,且BC 长线上的点D 足DA =DB ,则∠DAC 的最大值是▲．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为菱形、E 为棱A 1A 的中点,且O 为A 1C 1与B 1D 1的交点.(1)求证:OE ∥平面ABC 1;(2)求证:平面AA 1C 1⊥平面B 1D 1E.O（第11题）ACBy x（第14题）ACBD（第15题）ACBDEOC 1A 1D 1B 116.(本小题满分14分)已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<2π)的图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若角α满足f (α)=2,α∈(3π4,7π4)求sinα的值.17.(本小题满分14分)图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF =θ.(1)试用θ表示箱梁的总造价y (千元);(2)试确定cos θ的值,使总造价最低?并求最低总造价.（第17题）（图1）（图2）A CFBD Eθ如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,1)为椭圆Ex 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点，P 为椭圆E 上异于上、下顶点的一个动点.当点P 的横坐标为233时,OP ＝2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设M 为x 轴的正半轴上的一个动点.①若点P 在第一象限内,且以AP 为直径的圆恰好与x 轴相切于点M ,求AP 的长.②若MA =MP ,是否存在点N ,满足PN →＝4PM →,且AN 的中点恰好在椭圆E 上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=e x －ax ,其中e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y =x ＋1,求实数a 的值;(2)若函数f (x )有2个不同的零点x 1,x 2.①求实数a 的取值范围;②求证:2<x 1＋x 2<2ln a.（第18题）APxy OM对于给定的数列{a n},{b n},设c k=max{ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k}(k=1,2,…,n),即c k是ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k中的最大值,则称数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”}是等差数列；(1)设a n=n+1,b n=2n求c1,c2,c3的值,并证明数列{c nn(2)设数列{a n},{b n}都是公比为q的正项等比数列,若数列{c n}是等差数列,求公比q的取值范围;(3)设数列{a n}满足a n＞0,数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”,且ka i＋b i＋c k-i+1＝m(m为常数,i=1,2,…,k),求证:c n=m a n＋b n．2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)（南通教研室）数学Ⅱ附加题A ．必做题部分21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝2211,矩阵B 的逆矩阵B -1＝10012.若矩阵M ＝AB ,求矩阵M .B.[选修4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角标系xOy 中,已知直线l ＝1－t ，＝t －1，,(t 为参数,曲线C 的参数＝2sinθ，＝2｜cos θ｜，(θ为参数)求直线l 与曲线C 的交点坐标.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页,均为非选择题(第21题~第23题).本卷满分为40分,考试时间为30分钟,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3.请认真核对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.C.[选修45:不等式选讲](本小题满分10分)已知x ,y ,z 均是正实数,且x 2＋9y 2＋4z 2＝36，求证x ＋y ＋z ≤7.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AP =AC =4,AB =2,D ,E 分别为棱BC ,PC 的中点,点F 在棱PA 上,设t ＝PFAF.(1)当t ＝13时,求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；(2)试确定t 的值，使二面角C -EF -D 的平面角的余弦值为42121.（第22题）BACDEPF23.(本小题满分10分)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n依次取0,1,2,3,…时(a＋b)n展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{a n}.例:a1=1,a2=1+1,a3=1+2,….(1)写出数列{a n}的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;(2)猜想a1＋a2＋a3＋…＋a n,与a n+2的大小关系,并用数学归纳法证明.。
2020年高考数学全真模拟试卷(江苏南通专用)
__________ 姓名：__________班级：__________评卷人 得分一、选择题1．已知向量(1,2)a =-，(1,)b m =，则“12m <”是,a b 为钝角的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2．若函数()f x 满足()()32113f x x f x x '=-⋅-，则()2f '的值为( ) A. 3B. 1C. 0D. －13．为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数4．设函数2,1(),12x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则满足()()2f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. []0,2C. [)2,+∞D.(][),02,-∞⋃+∞5．ABC ∆中，2,6,3a b B π===，则sin A 的值是（ ）A.122 3 D.12或326．动圆M 与定圆C ：x2＋y2＋4x ＝0相外切，且与直线l ：x －2＝0相切，则动圆M 的圆心（x, y ）满足的方程为（ ）A. 212120y x -+=B. 212120y x +-=C. 280y x +=D.280y x -=评卷人 得分二、填空题7．若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________． 8．若3tan 5θ=-，则sin 2θ=______． 评卷人 得分三、解答题9．(本小题满分12分)(2019·宜宾三模)某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为32.商家认为一年以内(含一年)更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机．现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表： 时间间 隔(月) [3,6] (6,9] (9,12] (12,15] (15,18] (18,21] (21,24] 男性 x 8 9 18 12 8 4 女性y25131172(2)若以频率作为概率，从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3～6个月(含3个月和6个月)的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；(3)请根据频率分布表填写2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”．频繁更换手机 未频繁更换手机 合计男性顾客 女性顾客 合计P (K 2≥k 0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )10．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，动点,M N 满足,BM BC DN DC λμ==，,0λμ≠.（1）当12λμ==时，求||AM AN -的值； （2）若2AM AN =-•，求11λμ+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人 得分一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+，则2cos ,51a b a b a bm ⋅==⋅+若12m <，则2cos ,051a b a b a b m ⋅==<⋅+， 但当2m =-时， ,a b 反向，夹角为180；所以由12m <不能推出,a b 为钝角； 反之，若,a b 为钝角，则cos ,0a b <且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <；因此，“12m <”是,a b 为钝角的必要不充分条件. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.2．A解析：A 【解析】 【分析】先求出()()2211f x x f x ''=-- ，令x=1，求出()1f '后，导函数即可确定，再求()2f '．【详解】()()2211f x x f x ''=--，令x=1，得()()121f f ''=- ，解得()1=0f '，∴()21f x x '=-．∴()=32f '． 故选：A ．【点睛】本题考查导数公式的应用及函数值求解，属于基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出C 选项错误． 【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.812096⨯=人，女性人数为0.68048⨯=人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选：C ．【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题.4．D解析：D 【解析】 【分析】令()t f a =，则()2tf t =的解为1t ≥，再结合()y f x =的图像，则可得()1f a ≥的解，它就是()()2f f a f a =⎡⎤⎣⎦的解.【详解】作出()y f x =的图象，可得()f x 的最小值为12， 令()t f a =，考虑()2tf t =的解，考虑()y f t =与2ty =的图像的交点情况，如图所示故1t ≥，下面考虑()1f a ≥的解，如图所示，可得0a ≤或2a ≥．故选D.【点睛】复合方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦的解的讨论，其实质就是方程组()()g t mt f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩的解的讨论，一般我们先讨论()g t m =的解12,,,k t t t t =，再讨论(),1,2,,i f x t i k ==，后者的解的并集就是原方程的解.5．B解析：B 【解析】 【分析】 根据正弦定理求解. 【详解】由正弦定理得sin 2sin sin sin 36a A Ab B π=∴==B. 【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.6．B解析：B 【解析】 【分析】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆得半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，MC=2+r ，d=r ，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程． 【详解】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆得半径为r ， 则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，MC=2+r ，d=r ∴|MC|﹣d=2，即：22(2)x y ++﹣（2﹣x ）=2， 化简得： y 2＋12x －12＝0．∴动圆圆心轨迹方程为y 2＋12x －12＝0． 故选：B ．【点睛】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 评卷人 得分二、填空题7．100 【解析】 由正弦定理得因此 ，即最小值为100解析：100 【解析】 由正弦定理得因此，即最小值为1008．【解析】 【分析】利用二倍角的正弦函数公式和同角三角函数基本关系式化简，即可求解，得到答案．【详解】由题意，因为，则. 故答案：．【点睛】本题主要考查了二倍角正弦函数公式，同角三角函数基本关 解析：1517-【解析】【分析】利用二倍角的正弦函数公式和同角三角函数基本关系式化简，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，因为3tan 5θ=-，则2222sin cos 2tan sin 2sin cos 1tan θθθθθθθ==++23215517315⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 故答案：1517-．【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的综合应用，其中解答中熟练应用正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题9．(1)由题知男性顾客共有350×35＝210人，女性顾客共有350×25＝140人， 按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客105×210350＝63人，女性顾客105×140350＝42人；所以x ＝63－(8＋9＋18＋12＋8＋4)＝4，y ＝42－(2＋5＋13＋11＋7＋2)＝2.(2)记“随机从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3～6个月(含3个月和6个月)的顾客中，抽取2人”为事件A ，设男性分别为a ，b ，c ，d ，女性分别为e ，f ，则事件A 共包含(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，15种可能结果，其中2人均为男性有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，6种可能结果， 所以2人均为男性的概率为P (A )＝615＝25. (3)由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有21人，女性顾客中频繁更换手机的有9人，据此可得2×2列联表：所以K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝1.75；因为1.75＜2.706，所以没有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”． 10．（12）12【解析】【分析】 (1) 12λμ==时，,M N 分别为,BC CD 的中点，可得3AM AN ==，根据模长的计算公式得到结果；（2）根据平面向量基本定理得到()()AM AN AB BM AD DN ⋅=+⋅+按照向量点积公式展开得到结果.【详解】（1）当12λμ==时，,M N 分别为,BC CD 的中点， 此时易得3AM AN ==且,AM AN 的夹角为60，则2()AM AN AM AN -=-==; （2）()()AM AN AB BM AD DN ⋅=+⋅+AB AD AB DN BM AD BM DN =⋅+⋅+⋅+⋅11222()222222()22μλλμ⇒-=⨯⨯-+⨯+⨯+⨯⨯-4()22()λμλμλμλμ⇒+=⇒+=，故1112λμλμλμ++==. 【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.。
2020年江苏省南通市高考数学四模试卷（含答案解析）
2020年江苏省南通市高考数学四模试卷一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.己知集合封｛0』，2),B=(x|-l<x<l),则AC\B=・2.复数z=m的共轴复数是______.3.根据如图所示的伪代码，当输入〃的值为3时，最后输出的S的值为Road aI3^-0i iWhile M:—»S^S^a IIF:End While:PrtniS4.从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重(单.位：如)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从［60,70］这一组中抽取的人数为・5.设双曲线§_§=10：>0,方>0)的离心率是3,则其渐近线的方程为.6.现有某类病毒记作X m Y n,其中正整数〃】，n(m<7,n<9)可以任意选取，则〃7,〃都取到奇数的概率为.7.若圆锥底面半径为1，高为2,则圆锥的侧而积为.8.(1)曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为(2)己知函数=若直线<过点(0,—1)，并且与曲线y=/(x)相切，则直线i的方程为9.如图，在△ABC中，AB=2,BC=3,Z.ABC=60°,AH1BC于点H,4若而=X扁+“无，则人+“=/(x+y-1>010.若实数x,)，满足约束条件|x-3y+3>0,WJz=2x-y的最大值为.11.己知函数/Xx)满足f(l+x)=/(-I+x),fi/(l-x)=f(l+g E R),当x6[0,1]H-f./(x)=2X-1.若曲线y=/'(幻与直线y=k(x-1)有五个交点，则实数k的取值范困是_______.12.等比数列｛%｝中，。
2=9,a s=243.则｛%｝的前4项和为.13.在平面直角坐标系xOy中，点为(4,0),点B(0,2),平面内点P满足R4-PB=1S,则PO的最大值是______.14.己知AylBC的角A.B.C对边分别为a,b,c,若a2=b z+c2-bc.且乙屉。
江苏省南通市2019-2020学年高考第四次模拟数学试题含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+， 解得221y x =+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1D ．1-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-.故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算．4．已知向量(,1)a m =r ，(1,2)b =-r ，若(2)a b b -⊥r r r ，则a r 与b r夹角的余弦值为（ ）A ．213B ．213C ．613D 613【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -r r 的坐标，利用(2)=0a b b -⋅r r r 求得参数m ，再用cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=r rr r r r计算即可. 【详解】依题意，2(2,3)a b m -=+-r r ， 而(2)=0a b b -⋅r r r， 即260m ---=， 解得8m =-， 则213cos ,13||||565a b a b a b ⋅〈〉===⋅r rr r r r .故选：B. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.5．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】C 【解析】 【分析】由题可推断出ABC V 和BCD V 都是直角三角形，设球心为O ，要使三棱锥D ABC -的体积最大，则需满足h OD =，结合几何关系和图形即可求解 【详解】先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA OB OC ==，故ABC V 是直角三角形，设,AB x AC y ==，则有22242x y xy +=≥，又12ABC S xy∆=，所以142ABC S xy ∆=≤，当且仅当22x y ==时，ABC S ∆取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高2h OD ==，此时11842333ABC D ABC V S h -∆=⋅=⨯⨯=，故选：C 【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题 6．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．98【答案】C 【解析】 【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 7．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同 【答案】A 【解析】 【分析】设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，通过简单的计算逐一验证选项A 、B 、C 、D. 【详解】设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，2016年高考不上线人数为0.3x ， 2019年不上线人数为1.20.280.3360.3x x x ⨯=>，故A 正确；2016年高考一本人数0.3x ，2019年高考一本人数1.20.260.3120.3x x x ⨯=>，故B 错误； 2019年二本达线人数1.20.40.48x x ⨯=，2016年二本达线人数0.34x ，增加了0.480.340.410.34x xx-≈倍，故C 错误；2016年艺体达线人数0.06x ，2019年艺体达线人数1.20.060.072x x ⨯=，故D 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目. 8．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =【答案】D 【解析】 【分析】利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案.因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-， 故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共 轭复数为42z i =--，C错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题. 9．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1 B ．11C ．-19D ．51【答案】B 【解析】 【分析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况. 【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即1T =；（2）两个括号出x ，两个括号出1()x-，一个括号出1，即2222531()130T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=；（3）一个括号出x ，一个括号出1()x-，三个括号出1，即11541()120T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=-；所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B. 【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.10．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 11．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6C ．5D ．5-【答案】A 【解析】 【分析】由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b . 【详解】{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，故选：A 【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.12．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学四模考试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C 【解析】 【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ． 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题． 2．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.3．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数【答案】C 【解析】 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误； 选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误；选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确；选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3L L 上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误. 故选：C 【点睛】本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.4．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27 B ．33C ．39D ．44【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332a a S a =＝＝【详解】解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，63a ∴＝．n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332a a S a =＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，． (2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.5．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】解：若{a n }是等比数列，则89891,0S a a S q q -==≠， 若10a >，则898910S a a S q -==>，即98S S >成立， 若98S S >成立，则898910S a a S q -==>，即10a >，故“10a >”是“98S S >”的充要条件， 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 ）A ．2B ．C D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知，圆心M=222c a b ==+，解方程即可.【详解】由已知，2c =，渐近线方程为0bx ay ±=，因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M =2bb c===，故1a =， 所以离心率为2ce a==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.7．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，根据正四面体的性质可得34AO AF =，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出x y z ++的值. 【详解】如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，由正四面体的性质可得：三角形BCD 是正三角形，23BF ==，AF ==FOB 中，222222)OB OF BF OA AO AO =+⇒=-+⇒=， 34AO AF =，=+u u u r u u u r u u u r AF AB BF ，AF AD DF =+u u u r u u u r u u u r ，AF AC CF =+u u u r u u u r u u u r ，因为F 为重心，因此0FB FC FD ++=u u u r u u u r u u u r r ，则3AF AB AC AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此()14AO AB AC AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此14x y z ===，则34x y z ++=，故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题. 8．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3 B ．3i C ．3± D ．3i ±【答案】C 【解析】 【分析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.9．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36 B ．72C ．36-D ．36±【答案】A 【解析】 【分析】根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以4264a a a =±⋅=±，又2420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.10．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B ．322C ．13D ．13【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 11．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A 2 B ．2C ．1D 3【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可. 【详解】因为(1)1i z i +⋅=-,所以()()()211111i iz i i i i --===-++⋅-,由复数模的定义知,1z ==.故选:C 【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.12．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A ．6B ．13C ．3D ．1【答案】B 【解析】 【分析】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案. 【详解】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF. 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ， 所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HFAD ==.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH⊥平面ABE ，所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h .不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，EF =因为1122EHF S EF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅V ，所以sin h θ=，所以22211sin 1sin h θθ==≤++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133E ABCD V -=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2020届高考数学(4月份)模拟试卷(解析版)
2020年高考数学（4月份）模拟试卷一、填空题.1．设复数z满足（z+i）（2+i）＝5（i为虚数单位），则z＝．2．设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，则B∩∁U A＝．3．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为．4．某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示．估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P （1，3），则其焦点到准线的距离为 ．7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216−y 29=1渐近线的距离为 ．8．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3，若点M 是BC 的中点，则三棱锥M ﹣PAD 的体积为 ． 9．以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为 ． 10．一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为√3 cm ，则圆锥的体积是 cm 3．11．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝2x +ln x4，记a n ＝f （n ﹣5），则数列{a n }的前8项和为 ．12．过曲线y ＝x −1x（x ＞0）上一点P （x 0，y 0）处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2＝1，O 1：（x ﹣4）2+y 2＝4，动点P 在直线x +√3y ﹣b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，且点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是 ．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=12（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}＝∅，则实数a的取值范围为．二、解答题；本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m→=（sin B﹣sin C，sin C﹣sin A），n→=（sin B+sin C，sin A），且m→⊥n→．（1）求角B的大小；（2）若b＝c•cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．16．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O．（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE．17．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1．（1）若函数g（x）＝log a[f（x）+a]（a＞0，a≠1）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当x＞0时，恒有不等式f(x)x＞lnx成立，求实数a的取值范围．18．（16分）如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ．（1）若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tan θ=12，当a 变化时，求x 的取值范围．19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率是e ，定义直线y =±be为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±2√3，长轴长为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 的“类准线”上（但不在y 轴上），过点P 作圆O ：x 2+y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论． 20．（16分）已知数列{a n }的奇数项是公差为d 1的等差数列，偶数项是公差为d 2的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2． （1）若S 5＝16，a 4＝a 5，求a 10；（2）已知S 15＝15a 8，且对任意n ∈N *，有a n ＜a n +1恒成立，求证：数列{a n }是等差数列； （3）若d 1＝3d 2（d 1≠0），且存在正整数m 、n （m ≠n ），使得a m ＝a n ．求当d 1最大时，数列{a n }的通项公式．[选做题]本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4--2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．求矩阵[3113]的特征值及对应的特征向量．[选修4--4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =√6cosαy =√2sinα（α为参数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ+√3sin θ）+4＝0，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离． [选修4--5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x +1x 2−2xy+y 2≥2y +3．[必做题]第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4． （1）设AD →=λAB →，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值为9√1050，求λ的值；（2）若点D 是AB 的中点，求二面角D ﹣CB 1﹣B 的余弦值．25．设f （x ，n ）＝（1+x ）n ，n ∈N *．（1）求f （x ，6）的展开式中系数最大的项； （2）n ∈N *时，化简C n 04n ﹣1+C n14n ﹣2+C n 24n ﹣3+…+C nn−140+C n n 4﹣1；（3）求证：C n1+2C n2+3C n3+⋯+nC nn =n ×2n ﹣1．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．设复数z满足（z+i）（2+i）＝5（i为虚数单位），则z＝2﹣2i．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（z+i）（2+i）＝5，得z+i=52+i=5(2−i)(2+i)(2−i)=5(2−i)5=2−i，∴z＝2﹣2i．故答案为：2﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，则B∩∁U A＝{2}．【分析】先求出（∁U A），再根据交集的运算法则计算即可解：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，∴（∁U A）＝{2，4}∵B＝{2，3}，∴（∁U A）∩B＝{2}故答为：{2}【点评】本题考查集合的交并补运算，属于基础题3．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为35．【分析】先求出基本事件总数和摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出摸到的2球颜色不同的概率．解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球， 基本事件总数n =C 52=10，摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数m =C 31C 21=6，∴摸到的2球颜色不同的概率p =m n =610=35． 故答案为：35．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4．某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示．估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 224 ．【分析】由频率分布直方图求出这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的频率，由此能估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数． 解：由频率分布直方图得：这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的频率为：1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5＝0.28，∴估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为：800×0.28＝224．故答案为：224．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是240．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＝0时，满足条件n ＜2，退出循环，输出S的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解．解：执行程序框图，有n＝30S＝0不满足条件n＜2，S＝30，n＝28不满足条件n＜2，S＝30+28，n＝26不满足条件n＜2，S＝30+28+26，n＝24…不满足条件n ＜2，S ＝30+28+26+…+4，n ＝2 不满足条件n ＜2，S ＝30+28+26+…+4+2，n ＝0 满足条件n ＜2，退出循环，输出S ＝30+28+26+…+4+2=15(2+30)2=240． 故答案为：240．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本知识的考查． 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P （1，3），则其焦点到准线的距离为92．【分析】先设出抛物线的方程，把点P 代入即可求得p ，则抛物线的方程可得其焦点到准线的距离．解：由题意，可设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为曲线C 经过点P （1，3），所以p =92，所以其焦点到准线的距离为92．故答案为：92．【点评】本小题主要考查抛物线的方程与性质，考查运算求解能力，比较基础．7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216−y 29=1渐近线的距离为35．【分析】先求出抛物线y 2＝4x 的焦点和双曲线x 216−y 29=1渐近线，由此能求出抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216−y 29=1渐近线的距离．解：抛物线y 2＝4x 的焦点F （1，0），双曲线x 216−y 29=1渐近线为3x ±4y ＝0，∴抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216−y 29=1渐近线的距离为：d =9+16=35． 故答案为：35．【点评】本题考查抛物线的焦点到双曲线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线和抛物线的性质的合理运用．8．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3，若点M 是BC 的中点，则三棱锥M ﹣PAD 的体积为 √3 ． 【分析】由AD ∥BC 可知S △ADM ＝S △ABD ，则V M ﹣PAD ＝V P ﹣ADM =13S △ADM ⋅PA ．【解答】解∵底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，S △ADM ＝S △ADB =12×2×2×sin60°=√3， ∵PA ⊥底面ABCD ，∴V M ﹣PAD ＝V P ﹣ADM =13S △ADM ⋅PA =13×√3×3=√3． 故答案为√3．【点评】本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．9．以抛物线y2＝4x的焦点为焦点，以直线y＝±x为渐近线的双曲线标准方程为x212−y212=1．【分析】设以直线y＝±x为渐近线的双曲线的方程，再由双曲线经过抛物线y2＝4x焦点F（1，0），能求出双曲线方程．解：设以直线y＝±x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣y2＝λ（λ≠0），∵双曲线经过抛物线y2＝4x焦点F（1，0），∴λ+λ＝1，∴λ=1 2∴双曲线方程为：x212−y212=1．故答案为：x212−y212=1．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查抛物线的方程，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．10．一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为√3cm，则圆锥的体积是3πcm3．【分析】根据面积比计算圆锥的母线长，得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧面积＝πrl=√3πl，S底面积＝πr2＝3π．∴√3πl=2×3π，解得l＝2√3．∴圆锥的高h =√l 2−r 2=3．∴圆锥的体积V =13S 底面积⋅h =13π×3×3=3π． 故答案为：3π．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的面积和体积计算，属于基础题． 11．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝2x +ln x4，记a n ＝f （n ﹣5），则数列{a n }的前8项和为 ﹣24 ．【分析】通过f （x ）是R 上的奇函数及当x ＞0时的表达式可求出f （x ）的表达式，利用奇函数的对称性可知问题即求a 1即f （﹣4）的值，代入计算即得结论． 解：当x ＜0时，﹣x ＞0， ∵f （x ）是R 上的奇函数， ∴f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣2﹣x ﹣ln−x 4，又∵f （0）＝0，∴f （x ）={2x +ln x4，x ＞00，x =0−(2−x +ln −x 4)，x ＜0，∵a n ＝f （n ﹣5），f （x ）是R 上的奇函数， ∴a 2+a 8＝a 3+a 7＝…＝a 4+a 6＝a 5＝0，∴数列{a n }的前8项和为a 1＝f （﹣4）＝﹣（24+ln 1）＝﹣24， 故答案为：﹣24．【点评】本题是一道关于数列与函数的综合题，涉及奇函数、数列的求和等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．12．过曲线y ＝x −1x（x ＞0）上一点P （x 0，y 0）处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝ √5 ．【分析】求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x ＝0和y ＝0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横坐标．解：由题意可得y 0＝x 0−1x 0，x 0＞0，∵y ′＝1+1x 2， ∴切线的斜率为1+1x 02， 则切线的方程为y ﹣x 0+1x 0=（1+1x 02）（x ﹣x 0）， 令x ＝0得y =−2x 0；令y ＝0得x =2x 01+x 02， ∴△OAB 的面积S =12•2x 0•2x 01+x 0=13，解得x 0=√5（负的舍去）． 故答案为：√5．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角形面积的计算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2＝1，O 1：（x ﹣4）2+y 2＝4，动点P 在直线x +√3y ﹣b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，且点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是 −203＜b ＜4 ．【分析】求出P 的轨迹方程，动点P 在直线x +√3y ﹣b ＝0上，满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，转化为直线与圆x 2+y 2+83x −163=0相交，即可求出实数b 的取值范围．解：由题意O（0，0），O1（4，0）．设P（x，y），则∵PB＝2PA，∴（x﹣4）2+y2＝4（x2+y2），∴x2+y2+83x−163=0，圆心坐标为（−43，0），半径为83，∵动点P在直线x+√3y﹣b＝0上，满足PB＝2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+83x−163=0相交，∴圆心到直线的距离d=|−43−b|√1+383，∴−43−163＜b＜−43+163故答案为：−203＜b＜4．【点评】本题考查实数b的取值范围，考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=12（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}＝∅，则实数a的取值范围为(−∞，16 ]．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案．解：若{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}＝∅，则等价为f（x﹣1）﹣f（x）≤0恒成立，即f（x﹣1）≤f（x）恒成立，当x≥0时，f（x）=12（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若a ≤0，则当x ≥0时，f （x ）=12（x ﹣a +x ﹣2a +3a ）＝x ， ∵f （x ）是奇函数，∴若x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝﹣x ＝﹣f （x ）， 则f （x ）＝x ，x ＜0，综上f （x ）＝x ，此时函数为增函数，则f （x ﹣1）≤f （x ）恒成立， 若a ＞0，若0≤x ≤a 时，f （x ）=12[﹣x +a ﹣（x ﹣2a ）﹣3a ]＝﹣x ；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）=12[x ﹣a ﹣（x ﹣2a ）﹣3a ]＝﹣a ；当x ＞2a 时，f （x ）=12（x ﹣a +x ﹣2a ﹣3a ）＝x ﹣3a ． 即当x ≥0时，函数的最小值为﹣a ， 由于函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， 当x ＜0时，f （x ）的最大值为a ， 作出函数的图象如图：由于∀x ∈R ，f （x ﹣1）≤f （x ），故函数f （x ﹣1）的图象不能在函数f （x ）的图象的上方，结合图可得1﹣3a ≥3a ，即6a ≤1，求得0＜a ≤16，综上a ≤16，故答案为：（﹣∞，16]【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，根据分段函数的性质，将条件转化不等式恒成立是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、解答题；本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m→=（sin B﹣sin C，sin C﹣sin A），n→=（sin B+sin C，sin A），且m→⊥n→．（1）求角B的大小；（2）若b＝c•cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用平面向量垂直的坐标运算，结合正弦定理和余弦定理可求cos B 的值，结合B的范围即可求出B的值；（2）由已知利用余弦定理，勾股定理的逆定理可得C=π2，根据三角形的内角和定理可求A=π6，进而利用正弦定理可求a，b的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵m→=（sin B﹣sin C，sin C﹣sin A），n→=（sin B+sin C，sin A），且m→⊥n→，∴（sin B﹣sin C）•（sin B+sin C）+（sin C﹣sin A）•sin A＝0，∴b2＝a2+c2﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =ac2ac=12，∴由B∈（0，π），可得B=π3；（2）∵b＝c•cos A，∴cos A=bc =b2+c2−a22bc，整理可得：a2+b2＝c2，可得C=π2，∴A＝π﹣B﹣C═π6，∵△ABC的外接圆的半径为1，由正弦定理可得asinπ6=bsinπ3=2，∴解得：a＝1，b=√3，∴S△ABC=12ab=12×1×√3=√32．【点评】本题主要考查了平面向量垂直的坐标运算，正弦定理和余弦定理，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．16．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O．（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE．【分析】（1）连接AC，由EF是△ABC的中位线，可得EF∥AC，又AA1=∥CC1，可证AC∥A1C1，从而可证EF∥A1C1，即A1，C1，F，E四点共面；（2）连接BD，可证DD1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，可证A1C1⊥平面BB1DD1，可得OD⊥A1C1，结合OD⊥A1E，即可证明OD⊥平面A1C1FE．【解答】（本题满分为14分）解：（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC，由直棱柱知：AA1=∥CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，…5分所以EF∥A1C1，故A1，C1，F，E四点共面；…7分，（2）连接BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1，因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1，又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1DD1，…11分因为OD⊂平面BB1DD1，所以OD⊥A1C1，又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，所以OD⊥平面A1C1FE…14分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，线面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1．（1）若函数g （x ）＝log a [f （x ）+a ]（a ＞0，a ≠1）的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）当x ＞0时，恒有不等式f(x)x＞lnx 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由题可知x 2﹣2ax +1+a ＞0在R 上恒成立，利用二次函数的性质可得a 的范围；（2）整理不等式得x +1x −lnx ＞2a ，构造函数f （x ）＝x +1x−lnx ，利用导数求出函数的最小值即可．【解答】（1）由题意可知， x 2﹣2ax +1+a ＞0在R 上恒成立， ∴△＝4a 2﹣4﹣4a ＜0，∴0＜a ＜1+√52，且a ≠1；（2）∵f(x)x＞lnx ，∴x +1x −lnx ＞2a ，令f （x ）＝x +1x −lnx ，∴f '（x ）=−1x 2−1x+1， 令f '（x ）=−1x 2−1x +1＝0， ∴x =√5+12，∴x ∈（√5+12，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）递增；x∈（0，√5+12）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）≥f（√5+12）=√5−ln√5+12，∴a＜12（√5−ln√5+12）．【点评】考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换．难点是利用导函数求出构造函数的最小值．18．（16分）如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=12，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=2.5x，tanβ=0.5x，则tanθ＝tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ=2xx2+1.25（x＞0），令u=2xx2+1.25，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤√11.25，即（tanθ）max=√11.25，∵正切函数y＝tan x在（0，π2）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x=22u=√1.25，∴观察者离墙√1.25米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ=12=4−ax−2−a x1+4−a x⋅2−a x=2x22，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【点评】本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率是e ，定义直线y =±be为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±2√3，长轴长为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 的“类准线”上（但不在y 轴上），过点P 作圆O ：x 2+y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论． 【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，则椭圆方程可求；（2）设P （x 0，2√3）（x 0≠0），当x 0=√3时和x 0=−√3时，求出A 的坐标，代入椭圆方程验证知，A 在椭圆上，当x 0≠±√3时，求出过点O 且垂直于0P 的直线与椭圆的交点，写出该交点与P 点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A 在椭圆C 上．解：（1）由题意得：b e=ab c=2√3，2a ＝4，又a 2＝b 2+c 2，联立以上可得： a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1． ∴椭圆C 的方程为x 24+13y 2＝1；（2）如图，由（1）可知， 椭圆的类准线方程为y ＝±2√3， 不妨取y ＝2√3，设P （x 0，2√3）（x 0≠0）， 则k OP =2√3x 0，∴过原点且与OP 垂直的直线方程为y =023x ， 当x 0=√3时，过P 点的圆的切线方程为x =√3， 过原点且与OP 垂直的直线方程为y =−12x ，联立{x =√3y =−12x，解得：A （√3，−√32），代入椭圆方程成立；同理可得，当x 0=−√3时，点A 在椭圆上； 当x 0≠±√3时，联立{y =0233x 2+4y 2=12，解得A 1（02，√3x√0），A 2（√0，√3x 0√9+x 02），PA 1所在直线方程为（2√3√9+x 02+√3x 0）x ﹣（x 0√9+x 02−6）y −√3x 02﹣12√3=0． 此时原点O 到该直线的距离d=√3x 02√3|√(2√3√9+x 02+√3x0)2+(x 0√9+x 02−6)2=√3，∴说明A 点在椭圆C 上；同理说明另一种情况的A 也在椭圆C 上． 综上可得，点A 在椭圆C 上．另解：设切点为（x 0，y 0），由圆上一点的切线方程可得 切线l 的方程为x 0x +y 0y ＝3，代入y ＝2√3，可得x =3−2√3y 0x 0， 即有P （3−2√3y 0x 0，2√3），k OP =√3x 03−23y 0，与OP垂直的直线，且过O的直线为y=√3y023x0x，代入x0x+y0y＝3，结合x02+y02＝3，可得x=√3x063−3y0，y=√3y02√3−y0，即为A（√3x06√3−3y，√3y02√3−y），由3（√3x06√3−3y ）2+4（√3y02√3−y）2=02√3y12−43y0+y02=12，则点A在椭圆C上．【点评】本题是新定义题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．20．（16分）已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1＝1，a2＝2．（1）若S5＝16，a4＝a5，求a10；（2）已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n+1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；（3）若d1＝3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m＝a n．求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．【分析】（1）确定数列的前5项，利用S5＝16，a4＝a5，建立方程，求出d1＝2，d2＝3，从而可求a10；（2）先证明d1＝d2，再利用S15＝15a8，求得d1＝d2＝2，从而可证数列{a n}是等差数列；（3）若d 1＝3d 2（d 1≠0），且存在正整数m 、n （m ≠n ），使得a m ＝a n ，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数．不妨设m 为奇数，n 为偶数，利用a m ＝a n ，及d 1＝3d 2，可得d 1=63m−n−1，从而可求当d 1最大时，数列{a n }的通项公式．【解答】（1）解：根据题意，有a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1+d 1＝1+d 1，a 4＝a 2+d 2＝2+d 2，a 5＝a 3+d 1＝1+2d 1 ∵S 5＝16，a 4＝a 5，∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝7+3d 1+d 2＝16，2+d 2＝1+2d 1 ∴d 1＝2，d 2＝3． ∴a 10＝2+4d 2＝14（2）证明：当n 为偶数时，∵a n ＜a n +1恒成立，∴2+(n2−1)d 2＜1+n2d 1， ∴n2（d 2﹣d 1）+1﹣d 2＜0∴d 2﹣d 1≤0且d 2＞1当n 为奇数时，∵a n ＜a n +1恒成立，∴1+n−12d 1＜2+(n+12−1)d 2， ∴（1﹣n ）（d 1﹣d 2）+2＞0 ∴d 1﹣d 2≤0 ∴d 1＝d 2∵S 15＝15a 8，∴8+8×72d 1+14+7×62×d 2=30+45d 2 ∴d 1＝d 2＝2 ∴a n ＝n∴数列{a n }是等差数列；（3）解：若d 1＝3d 2（d 1≠0），且存在正整数m 、n （m ≠n ），使得a m ＝a n ，在m ，n中必然一个是奇数，一个是偶数 不妨设m 为奇数，n 为偶数∵a m ＝a n ，∴1+m−12d 1=2+(n2−1)d 2 ∵d 1＝3d 2，∴d 1=63m−n−1∵m 为奇数，n 为偶数，∴3m ﹣n ﹣1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1∴数列{a n }的通项公式为a n ={32n −12，n 为奇数n2+1，n 为偶数． 【点评】本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．[选做题]本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4--2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．求矩阵[3113]的特征值及对应的特征向量．【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f （λ）＝0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．解：特征多项式f （λ）═|λ−3−1−1λ−3|=（λ﹣3）2﹣1＝λ2﹣6λ+8 由f （λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4 将λ1＝2代入特征方程组，得{−x −y =0−x −y =0⇒x +y ＝0，可取[1−1]为属于特征值λ1＝2的一个特征向量同理，当λ2＝4时，由{x −y =0−x +y =0⇒x ﹣y ＝0，所以可取[11]为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．综上所述，矩阵[3113]有两个特征值λ1＝2，λ2＝4； 属于λ1＝2的一个特征向量为[1−1]，属于λ1＝4的一个特征向量为[11]．【点评】本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于矩阵中的基础题．[选修4--4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =√6cosαy =√2sinα（α为参数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ+√3sin θ）+4＝0，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．【分析】由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得直线的普通方程，由点到直线的距离公式可得曲线C 上的点到直线的距离，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求最大距离．解：由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得：直线l 的极坐标方程：ρ（cos θ+√3sin θ）+4＝0， 即为x +√3y +4＝0，曲线C 上的点到直线l 的距离为d =√6cosα+√6sinα+4|1+3=4+2√3sin(α+π4)2=2+√3sin （α+π4）． 当α+π4=2k π+π2，即α＝2k π+π4，k ∈Z ，取得最大值2+√3．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式和正弦函数的值域的运用，考查运算能力，属于中档题． [选修4--5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x +1x 2−2xy+y 2≥2y +3．【分析】作差，构建满足基本不等式的条件，利用基本不等式证明即可． 【解答】证：∵x ＞0，y ＞0，x ﹣y ＞0，∴2x +1x 2−2xy+y 2−2y =2(x −y)+1(x−y)2=(x −y)+(x −y)+1(x−y)2≥3√(x −y)21(x−y)23=3，当且仅当x ﹣y ＝1时取等号，∴2x +1x 2−2xy+y 2≥2y +3．【点评】本题考查基本不等式的运用，解题的关键是构建满足基本不等式的条件，属于中档题．[必做题]第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4．（1）设AD →=λAB →，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值为9√1050，求λ的值；（2）若点D 是AB 的中点，求二面角D ﹣CB 1﹣B 的余弦值．【分析】（1）以CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ的值．（2）求出平面CDB 1的法向量和面CDB 1的一个法向量，利用向量法能求出二面角D ﹣CB 1﹣B 的余弦值．解：（1）由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，得∠ACB ＝90°…（1分）以CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A （3，0，0），C 1（0，0，4），B （0，4，0），设D （x ，y ，z ），则由AD →=λAB →，得CD →=(3−3λ，4λ，0)，而AC 1→=(−3，0，4)， 根据9√1050=5√25λ2−18λ+9|，解得，λ=15或λ=−13．…（2）CD →=(32，2，0)，CB 1→=(0，4，4)，设平面CDB 1的法向量n 1→=（x ，y ，z ），则{n 1→⋅CD →=32x +2y =0n 1→⋅CB 1→=4y +4z =0，取x ＝4，得面CDB 1的一个法向量为n 1→=(4，−3，3)，… 而平面CBB 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，并且＜n 1→，n 2→＞与二面角D ﹣CB 1﹣B 相等，所以二面角D ﹣CB 1﹣B 的余弦值为cosθ=cos ＜n 1→，n 2→＞=217√34． … （第（1）题中少一解扣（1分）；没有交代建立直角坐标系过程扣（1分）．第（2）题如果结果相差符号扣（1分）．）【点评】本题考查满足异面直线所成余弦值的实数值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．25．设f（x，n）＝（1+x）n，n∈一、选择题*．（1）求f（x，6）的展开式中系数最大的项；（2）n∈N*时，化简C n04n﹣1+C n14n﹣2+C n24n﹣3+…+C n n−140+C n n4﹣1；（3）求证：C n1+2C n2+3C n3+⋯+nC n n=n×2n﹣1．【分析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大；（2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可；（3）根据C n k=C n n−k，将左边利用倒序相加法求和．解：（1）f（x，6）＝（1+x）n，通项为：T k+1=C6k x k，故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为T4=C63x3=20x3．（2）C n04n﹣1+C n14n﹣2+C n24n﹣3+…+C n n−140+C n n4﹣1=14[C n04n+C n14n﹣1+C n24n﹣2+…+C n n−141+C n n]=14(4+1)n=5n4．（3）证明：令S＝C n1+2C n2+3C n3+⋯+（n﹣1）C n n−1+nC n n⋯⋯①，则S=nC n n+(n−1)C n n−1+(n−2)C n n−2+⋯+2C n2+C n1，所以S=nC n0+（n﹣1）C n1+（n﹣2）C n2+⋯+2C n n−2+C n n−1⋯⋯②，①+②得：2S＝n（C n0+C n1+⋯⋯+C n n）＝n•2n，∴S＝n•2n﹣1．【点评】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法．同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养．属于中档题．。
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2020年高考数学全真模拟试卷四（教研室）数学Ⅰ试题A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={x ｜x ≥0},B =(－2,－1,0,2) ，则A ∩B = ▲ ． 2.已知复数z ＋i =－3＋ii,其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ ． 3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4:3:2.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n 的值是 ▲ ． 4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x 的值为5,那么输出的y 的值是 ▲ ． 5.函数y =log 3(－x ＋5x －6)的定义域是 ▲ ．6.某国家队“短道速滑”项目有A ,B ,C ,D ，4名运动员.若这四人实力相当,现从中任选2名参加2022年冬奥会,则A ,B 至少有1人被选 中的概率是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C : x 2a 2－y 2b2=1 (a >0，b >0)的一条渐近线垂直于直线y ＝2x －1则双曲线C 的离心率是 ▲ ． 8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm . 当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23 (细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆, 则此圆锥形沙堆的高是 ▲ ．注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的 规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答 律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗. （第4题图）Read xIf x ≤4 Theny ←6x Elsey ← x ＋5 End If Print y（第8题）9.若S n ,是等比数列{a n }的前n 项和, S 3, S 9 , S 6成等差数列,则a 9a 6＝ ▲ ． 10. 已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数,且f (x ＋4)=f (x ),当0≤x ≤2时, f (x )=－x 2+ax ＋b ,对f (－1)的值是 ▲ ．11.已知三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB =4，点A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动,则OA → ・OC →的 最大值是 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为x 2+（y －1）2= 4.过点P (x 0，y 0)存在直线l 被圆C 截得的弦长为2 3 ,则实数x 0的取值围是 ▲ ． 13.已知函数f (x )=（a ＋1）x 2－bx ＋a ，若函数f (x )有零点、且与函 数y ＝f (f (x ))的零点完全相同，则实数b 的取值围为 ▲ ． 14.如图，在ABC 中已知2BC 2+AB 2=2AC 2,且BC 长线上的点D 足DA =DB ,则∠DAC 的最大值是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为 菱形、E 为棱A 1A 的中点,且O 为A 1C 1与B 1D 1的交点. (1) 求证: OE ∥平面ABC 1; (2) 求证: 平面AA 1C 1⊥平面B 1D 1E.16.(本小题满分14分)已知函数f (x ) = Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0,0≤的图象如图所示.(1) 求函数f (x )的解析式; (2) 若角α满足f (α)=2, α∈(3π4 ,7π4 )求sin（第11题）（第14题）ACBD（第15题） CBDEOC 1A 1D 1 B 117.(本小题满分14分)图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF = θ. (1) 试用θ表示箱梁的总造价y (千元);(2) 试确定cos θ的值,使总造价最低?并求最低总造价.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,1)为椭圆E x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的上顶点，P为椭圆E 上异于上、下顶点的一个动点.当点P 的横坐标为2 33 时,OP ＝ 2 .(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 设M 为x 轴的正半轴上的一个动点.① 若点P 在第一象限,且以AP 为直径的圆恰好与x 轴相切于点M ,求AP 的长.② 若MA =MP ,是否存在点N ,满足PN → ＝4 PM →,且AN 的中点恰好在椭圆E 上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.（第17题）（图1）（图2）A CFBD Eθ （第18题）APx y OM19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=e x－ax ,其中e 为自然对数的底数.(1) 若函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y =x ＋1,数a 的值; (2) 若函数f (x )有2个不同的零点x 1,x 2. ①数a 的取值围;②求证:2< x 1＋x 2<2ln a.20.(本小题满分16分)对于给定的数列{a n },{b n },设c k = max {ka 1+b 1,ka 2+b 2,…, ka k +b k }(k =1,2,…,n ), 即c k 是ka 1+b 1,ka 2+b 2,…, ka k +b k 中的最大值,则称数列{c n }是数列{a n },{b n }的“和谐数列”(1)设a n =n +1,b n =2n 求c 1,c 2, c 3的值,并证明数列{c nn}是等差数列；(2)设数列{a n },{b n }都是公比为q 的正项等比数列,若数列{c n }是等差数列,求公比q 的取值围; (3) 设数列{a n }满足a n ＞0,数列{c n }是数列{a n },{b n }的“和谐数列”,且ka i ＋b i ＋c k -i +1＝m (m 为常数,i =1,2, …, k ),求证:=m a n ＋b n ．2020年高考数学全真模拟试卷(四)（教研室）数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域．．．．．．．．．作答．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 1 ,矩阵B 的逆矩阵B -1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12 .若矩阵M ＝AB ,求矩阵M .B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝t －1， ,(t 为参数,曲线C 的参数 方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，y ＝2｜cos θ｜，(θ为参数)求直线l 与曲线C 的交点坐标.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知x ,y ,z 均是正实数,且x 2＋9y 2＋4z 2＝36，求证x ＋y ＋z ≤7.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AP =AC =4,AB =2,D ,E 分别为棱BC ,PC 的中点,点F 在棱PA 上,设t ＝PFAF. (1)当t ＝13时,求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；(2)试确定t 的值，使二面角C -EF -D 的平面角的余弦值为42121 .23.(本小题满分10分)在我国南宋数学家辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n 依次取0,1,2,3,…时(a ＋b )n展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{a n }.例:a 1=1,a 2=1+1,a 3=1+2 ,….(1) 写出数列{a n }的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;（第22题）BACEPF(2) 猜想a1＋a2＋a3＋…＋a n,与a n+2的大小关系,并用数学归纳法证明.。