复变量的指数函数欧拉公式

第三节 复变量的指数函数 欧拉公式

2、应用欧拉公式和隶莫弗公式证明：

（1）)sin cos(cos ααx e x =∑∞

=0cos !n n

n n x α ；

（2）)sin sin(cos ααx e x =∑∞

=0sin !n n

n n x α

分析：利用复数相等的充要条件来确定。

证 ：令 ααs i n c o s i z +=

由欧拉公式 )s i n (c o s ααi z e

e +==)]sin(sin )[cos(sin cos αααi e + 故 )sin (cos ααi x xz e e +==)]sin sin()sin [cos(cos αααx i x e x +

=)sin sin()sin cos(cos cos ααααx ie x e

x x + （1） 又因为 ∑∞

==0!n n

n xz n z x e ∑∞

=+=0!)sin (cos n n n i n x αα ∑∞

==0cos !n n n n x α∑∞=+0sin !n n

n n x i α （2）

由 （1），（2）两式比较实虚部可得

)s i n c o s (c o s ααx e x =∑∞

=0cos !n n n n x α ；)sin sin(cos ααx e x =∑∞=0sin !n n

n n x α。