高中数学：第三章概率 小结 (28)

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由表格可知P(和大于7)＝
5 12
，P(和小于或等于7)＝
172， 即李红和张明得分的概率不相等，所以这个游戏对
双方不公平．对双方公平的游戏规则：点数之和大于7 时，李红得1分，点数之和小于7时，张明得1分．
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【变式1】 玲玲和倩倩是一对好朋友，她们都想去 观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？ 玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如 果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就 你去！”你认为这个游戏公平吗？为什么？
思维导引：列出所有可能性来比较双方各自获胜可 能性的大小，然后得出比较的结论．
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解析 不公平．所有可能情况如表所示. 和123 4 5 6 1 234 5 6 7 2 345 6 7 8 3 456 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
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思维导引：根据频率等于频数除以样本总数得频 率，再根据等可能性以频率估计概率，最后根据总数等 于频数除以概率得结果．
解析 设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅 被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事
件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝20n0.①
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第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带 有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝12500，②
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(2)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名 女生”和“2名都是男生”两种结果． “至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和 “2名都是女生”两种结果，它们可同时发生．
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(3)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名 女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时 发生． (4)是互斥事件，也是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名 女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女 生”不可能同时发生．其并事件是必然事件，所以是对 立事件．
由①②两式，得20n0＝12500，解得n＝1 500. 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
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【变式2】 某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化， 10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义 解答下列问题．
(1)这种鱼卵的孵化率(即孵化概率)是多少？ (2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？ (3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需要多少个鱼卵？(精 确到百位)
与事件B的并事件
__A_∪__B___(或 __A_＋__B___)
(或和事件)
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图示
定义
表示法
事 若某事件发生当且仅
件 交 当__事__件__A_发__生__
__A_∩__B___(
的 事 _且_事__件__B_发__生_，则称此 或
运 件 事件为事件A与事件B __A__B____)
算 的交事件(或积事件)
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思考： (1)并事件、交事件和集合的并集、交集 意义一样吗？
(2)互斥事件和对立事件的关系是怎样的？
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提示 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集的意 义一样．
(2)互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥 事件，但互斥事件不一定是对立事件.
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课堂深度拓展
考点一 游戏设计的公平性
判断游戏是否公平的思路 无论是怎样的游戏，游戏公平与否就是看参与游戏 的每个个体获胜的概率是否相同，相同则公平，不相同 则不公平．具体判断时，可以求出按所给规则双方的获 胜概率，再进行比较．
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【例题1】 李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各 掷一枚骰子．当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1 分，否则张明得1分．这个游戏公平吗？为什么？如果 不公平，请你提出一个对双方公平的游戏规则．
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解析 (1)这种鱼卵的孵化率为180501030＝0.851 3.
(2)30 000个鱼卵大约能孵化 30 000×0.851 3＝25
539(尾)鱼苗．
(3)设大概需要x个鱼卵，由题意知 5
000 x
＝0.851
3，
解得x＝05.8050103≈5 900，所以大概需要5 900个鱼卵．
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要点二 游戏的公平性与天气预报的概率解释 1．裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运 动员先猜，猜中并取得发球的_概__率__均__为__12_______，所以 这个规则是公平的． 2．在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则 对每个人都是__公__平____的这一重要原则．
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【例题2】 为了估计某自然保护区中天鹅的数量， 可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天 鹅 ， 例 如 200 只 ， 给 每 只 天 鹅 做 上 记 号 ， 不 影 响 其 存 活，然后放回保护区，经过一段时间，让其和保护区中 其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天 鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只， 试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
思维导引： 事件 互的―斥―定事→义件 互斥事件 对的―立―定事→义件 结论 解析 (1)是互斥事件，不是对立事件． 理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实 质是选出“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男 生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事 件不是必然事件，所以不是对立事件．
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考点三 事件关系的判断
事件关系的判断方法 (1)两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥 事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次 试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个 事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． (2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但 互斥事件不一定是对立事件．
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图示
定义
表示法
事
互斥 事件
若A∩B为_不_可__能__事__件， 则称事件A与事件B互 斥
若 _A_∩__B_＝__∅_，
则A与B互斥
件
若A∩B为
的
__不_可__能__事__件__，A∪B 若A∩B＝
运 对立 为_必__然_事__件__，那么称 ∅，A∪B＝
算 事件 事件A与事件B互为对 U，则A与B
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？
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思维导引：确定事件C，D分别包含哪些基本事 件，然后结合事件A，B和交集、并集的知识即可得到 答案．
解析 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个
白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B．
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2
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(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40 张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数” 与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如 抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不 可能是对立事件．
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考点四 事件的运算
(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验 所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间 的运算．
个红球，1个白球或3个均为红球，所以A⊆C，故C∩A
＝A．
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【变式4】 掷一枚骰子，下列事件： A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小 于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}． 求：(1)A∩B，BC； (2)A∪B，B＋C； (3) D ，AC， D ＋ E .
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第二章
概 率(必修3)
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2.1 随机事件的概率 2.1.2 概率的意义
2.1.3 概率的基本性质
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课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
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课前教材预案
要点一 概率的正确理解 随 机 事 件 在 一 次 试 验 中 发 生 与 否 是 __随__机_的___ ， 但 _随__机__性___中 含 有 _规__律__性___ ， 认 识 了 这 种 __随__机_性___ 中 的 _规__律__性___，就能使我们比较准确地__预__测____随机事件发 生的可能性．
要点三 事件的关系与运算
事件 的运 算
定义
表示法
一般地，对于事件A
包 含 关 系
与事件B，如果事件 B⊇A A发生，则事件 ________( B_一__定__发_生__，这时称 或 事件B包含事件A(或 __A_⊆__B___) 称事件A包含于事件
B)
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图示
定义
表示法
若某事件发生当且
事件 并 仅当__事__件_A__发_生__或_ 的运 事 ___事__件__B_发__生_，则 算 件 称此事件为事件A
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【变式3】 判断下列每对事件是否为互斥事件，是 否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从 1～10)中任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大 于9”．
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解析 公平．因为两枚硬币落地共有四种结果： 正，正；正，反；反，正；反，反．由此可见，她们两 人得到门票的概率都是12，所以公平．
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考点二 概率的实际应用
此类题型往往与随机抽样相结合．一般根据题中条 件可求出样本的数目以及在总体中的频率，用频率估计 概率，进而可估计总体的数目．
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3．天气预报的“降水”是一个__随_机__事__件____，“降 水 概 率 为 90%” ， 指 明 了 “ 降 水 ” 这 个 _随__机_事__件__发__生_的__概__率__，在一次试验中，概率为90%的事 件 也 __可__能__不_出__现________ ， 因 此 ， “ 昨 天 没 有 下 雨”_并__不__能__说_明____“昨天的降水概率为90%”的天气预报 是_____错__误_的．
解析 (1)A∩B＝∅，BC＝{出现2点}． (2)A∪B＝{出现1，3，5或2，4，6点}，B＋C＝{出 现1，2，4或6点}． (3) D－ ＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，AC ＝{出现1点}， D－＋ E－＝{出现1，2，4或5点}．
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考点五 互斥事件与对立事件的概率
(1) 当 A ， B 互 斥 时 ， 公 式 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) 成 立 ； 当 A ， B 互 为 对 立 事 件 时 ， 公 式 P(A) ＝ 1 － P(B) 成 立．
立事件，可记为B＝ 对立
A 或A＝ B
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图示
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要点四 概率的基本性质 1．概率的取值范围为_[_0_，_1_]___. 2．_必__然__事__件_的概率为1，__不__可_能__事__件___的概率为0. 3．概率加法公式：如果事件A与B为互斥事件，则 P(A∪B)＝___P_(_A_)＋__P_(_B_)______. 特 例 ： 若 A 与 B 为 对 立 事 件 ， 则 P(A) ＝1_－__P_(_B_)__ ， P(A∪B)＝____1____，P(A∩B)＝__0______.
(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同 一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图 中列出，并进行运算．
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【例题4】 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任 取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事 件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中 至 少 有 1 个 红 球 } ， 事 件 D ＝ {3 个 球 中 既 有 红 球 又 有 白 球}．
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【例题3】 判断下列各事件是否为互斥事件，是否 为对立事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去 参加演讲比赛，其中：
(1)恰有1名男生和恰有2名男生； (2)至少有1名男生和至少有1名女生； (3)至少有1名男生和全是男生； (4)至少有1名男生和全是女生．
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解析 (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从 40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑 桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不 能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方 块”或“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张 扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑 色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发 生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．